结构动力学读书笔记

《结构动力学》读书报告学院专业学号指导老师2013 年 5月 28日摘要：本书在介绍基本概念和基础理论的同时，也介绍了结构动力学领域的若干前沿研究课题。

既注重读者对基本知识的掌握，也注重读者对结构振动领域研究发展方向的掌握。

主要容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构动力学的前沿研究课题。

侧重介绍单自由度体系和多自由度体系，重点突出，同时也着重介绍了在抗震中的应用。

1 概述1.1结构动力学的发展及其研究容：结构动力学，作为一门课程也可称作振动力学，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。

作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。

质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。

牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。

经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，。

但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。

因此，在很长一段时间，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的畴用静力学的方法来解决工程实际问题。

随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。

也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。

结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。

由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。

目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。

总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。

作为一门课程，结构动力学的基本体系和容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学，；多自由度系统结构动力学，；连续系统结构动力学。

此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。

1.2主要理论分析结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。

对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。

作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。

1.3载荷确定载荷有三个因素，即大小、方向和作用点。

如果这些因素随时间缓慢变化，则在求解结构的响应时，可把载荷作为静载荷处理以简化计算。

载荷的变化或结构的振动是否 “缓慢”， 只是一个相对的概念。

如果载荷的变化周期在结构自由振动周期的五、六倍以上，把它当作静载荷将不会带来多少误差。

若载荷的变化周期接近于结构的自由振动周期，即使载荷很小，结构也会因共振（见线性振动）而产生很大的响应，因而必须用结构动力学的方法加以分析。

动载荷按其随时间的变化规律可以分为：①周期性载荷，其特点是在多次循环中载荷相继呈现相同的时间历程，如旋转机械装置因质量不平衡而引起的离心力。

周期性载荷可借助傅里叶分析分解成一系列简谐分量之和。

②冲击载荷， 其特点是载荷的大小在极短的时间有较大的变化。

冲击波或爆炸是冲击载荷的典型来源。

③随机载荷，其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。

由大气湍流引起的作用在飞行器上的气动载荷和由地震波引起的作用在结构物上的载荷均属此类。

对于随机载荷，需要根据大量的统计资料制定出相应的载荷时间历程（载荷谱）。

对于前两种载荷，可以从运动方程解出位移的时间历程并进一步求出应力的时间历程。

对于随机载荷，只能求出位移响应的统计信息而不能得到确定的时间历程，因而须作专门分析才能求出应力响应的统计信息。

1.4体系的动力自由度为了确定一个体系在振动过程中全部质量的位置所需独立几何参数的数目，称为动力自由度或简称自由度。

这些参数通常表示质量的线位移或转角，它们也就是动力计算中的基本未知量。

实际结构的质量是连续分布的，是无限自由度体系。

为了简化计算，常按下面的方法进行简化。

（1）集中质量法从物理的角度提供一种减少动力自由度的简化方法。

把连续分布的质量（根据静力等效原则）集中为几个质点。

这样就把无限自由度体系简化成有限自由度体系。

具体分为：不计轴向变形的均质简支梁；三层平面刚架在水平力作用下计算侧向振动和块形基础。

（2）广义位移法具有分布质量的简支梁的振动曲线（位移）曲线，可近似地用三角级数表示为∑==n k k l x k t t x y 1sin)(),(πα 式中，l x k πsin是一组给定的函数，称作“位移函数”或“形状函数”，与时间无关。

)(t k α是一组待定参数，称作“广义坐标”，随时间而变化。

因此，体系在任一时刻的位置是由广义坐标来确定的。

注意：这里的“形状函数”应满足位移边界条件，所选的函数形式可以是任意的连续函数。

因此，上式可写成更一般的形式)()(),(1x t t x y n k k k ∑==ϕα式中，)(x k ϕ是自动满足位移边界条件的函数集合中任意选取的n 个函数。

“广义坐标法”将应用于后面的振型叠加法和能量法。

（3）有限单元法可看作广义坐标法的一种特殊应用。

把体系的离散化和单元的广义坐标二者结合起来，就构成了有限单元的概念。

其具体作法是：第一，将结构离散为有限个单元（本例为3个单元）；第二，取结点的位移参数（挠度y 和转角θ）作为广义坐标，本例为、和、。

第三，分别给出与结点位移参数（均为1时）相应的“形状函数”)(x k ϕ称作“插值函数”（它们确定了指定结点位移之间的形状）；第四，仿照广义位移法的公式，体系的位移曲线可用4个广义坐标及其形状函数表示为：)()()()()()()()(),(42322111x t x t y x t x t y t x y ϕθϕϕθϕ+++= )(x k ϕ可事先给定，让其满足边界条件，这样就把无限自由度体系简化为4个自由度体系（11,θy 和22,θy ）。

有限元法综合集中质量法和广义坐标法的优点：(a)与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。

(b)与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。

1.5体系振动时能量的耗散与阻尼力实际结构在自由振动时有衰减现象，振幅随时间逐渐减小，最后趋于静止；在强迫振动时，外荷载需对结构不断做功，才能维持振幅不变（稳态振动）。

这都表明在振动工程中会产生能量的耗散，这种消耗能量并使振动衰减的因素，成为阻尼。

在动力计算时，要先建立结构的振动方程，为了能反映振动过程中的能量耗散，在建立方程时须引入一个造成能量耗散的阻尼力。

而这个力的引入提高了运动方程计算的难度。

在结构动力分析时，由于粘滞阻尼力的分析比较简单，其他类型的阻尼力也可以简化为等效粘滞阻尼力来分析。

因此，本书只讨论粘滞阻尼力的情形。

1.6建立振动方程的方法动力问题主要是求出位移（或位移参数）随时间变化的反应。

建立振动方程的常用方法有四种，分别介绍如下。

（1）动力平衡法此法也称达朗伯原理的直接平衡法。

根据牛顿第二运动定律，任何质量m 的动量的变化率等于作用在这个质量上的力)(dt dy m dt d F =式中y 为动位移。

若m 不随时间变化，上式可写成0..=-y m F上式中第一项为作用在质量上的力，第二项可以称为质量m 的惯性力。

质量所产生的惯性力，与它的加速度成正比，但方向相反。

这个概念称作达朗伯原理。

有第二式可以看出，在引入达朗伯原理后，与静力学中的平衡方程的表达式相识，及作用于质量上的所有里保持平衡，常称此法为“动静法”。

本方法的优点在于物理概念清楚，形象鲜明。

缺点是解决复杂问题时困难较大，且不便用它来推证某些结论。

（2）虚功法当结构比较复杂，如所包含的各种力可以容易的用位移自由度来表示，而它们的平衡规律可能不清楚或很复杂。

此时，运用给予虚位移原理的虚功法来建立运动方程就较方便。

按照虚位移原理，虚位移时所作的总虚功为0是与平衡条件等价的。

在建立体系的方程时，先确定作用于质量上的所有力，包括惯性力；然后引入相应于每个自由度的虚位移，并使所做的总虚功等于0，从而得出振动方程。

此方法的优点是适应性强，可用它推出运动的普遍规律；虚功是标量可以按照代数规则计算避免复杂的矢量计算。

缺点是比较抽象。

（3）变分法用基于哈密顿原理以变分形式表示的能量关系来建立动力平衡方程。

哈密顿原理可以表达为⎰⎰=+-21210)(t t nc t t dt W dt V T δδ式中，T 为体系的总动能，V 为体系的势能，包括应变能及任何保守外力的势能，W nc 为作用于体系上的非保守力所做的功，δ为在指定时间区间所取得变分。

哈密顿原理表明，在任何时间区间，动能和势能的变分加上所考虑的费保守力所做的功的变分必须等于0。

应用这个原理可以直接导出任何体系的振动方程。

这个方法和虚功法的区别是：此方法中，不明显使用惯性力和弹性力，而是用动能和势能的变分项来代替。

（4）能量法基于能量守恒原理的能量法，不仅可以用来建立体系的振动方程，而且可以用来直接计算体系的自振频率。

2 单自由度系统的振动振动系统可分为离散模型和连续模型两种不同的类型。

离散模型具有有限个自由度，而连续模型则具有无限个自由度。

系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必须的独立的坐标个数。

在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统，它用一个二阶常系数微分方程来描述。

这类模型常用来作为较复杂系统的初步近似描述。

另外在后续章节将会讲到，复杂系统的数学模型可通过模态分析技术转化为一组独立的二阶常微分方程，其中每一个方程都类似于单自由度系统的运动方程。

因此，对单自由度系统进行详细深入的分析是十分必要的。

单自由度振动系统，指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x （线位移)或θ（角位移）就可以决定振动质点的瞬时位置。