构造性数学及其哲学意义

构造性数学及其哲学意义

摘要：本文在介绍了构造性数学的产生和发展的基础上，重点阐述了它的数学原则和数学基础，表明了可构造性的数学底蕴。最后通过对构造性数学产生的原因和其所要达到的目的的分析，论述了构造性数学的重大意义，同时评析了我国学术界对它的一些认识。

关键词：构造性数学递归函数可靠性

一，构造性数学的产生与发展

构造性数学是现代数学研究的一个重要领域。它的根本特征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个Ｘ满足性质Ａ”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满足性质Ａ的一个ｘ；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质Ａ的这个ｘ来。反之，经典数学（非构造性数学）中的纯存在性证明被称之为非构造的。非构造性证明主要是通过使用反证法来实现的。人们一般把这种强调可构造性的数学称为构造性数学。

构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是先天地把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。又说“数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。构造一个概念，意即先天地提供出来与概念相对应的直观。”（〔１〕，第３９页）后来，１９世纪德国的克罗内克进一步指出：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”主张自然数与数学归纳法是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其它一切数学对象都必须能在有限步骤内从自然数中构造出来，否则就不能作为数学对象。由此克罗内克把许多数学成果划到不合法的行列里，如无限集合、纯存在性证明等。但由于他批判的多建设的少，故其思想在当时并未产生很大影响。另外，彭加勒、勒贝格等大数学家也都是倡导构造性数学研究的有名人物。但是，所有这些人提倡的大都只是一种数学哲学的思想，他们实际的数学工作并未严格地遵循自己的哲学思想。因此，现代意义的构造性数学应以布劳威尔的直觉主义数学为开端，迄今，在构造性数学的研究领域里，由于宗旨、观点和方法的不同，已经形成了一些不同的学派。最着名的除了布劳威尔的直觉主义数学以外，还有希尔伯特的元数学、毕晓普等人的构造性数学以及马尔科夫的算法论等。布劳威尔的直觉主义数学和希尔伯特的元数学，我国数学哲学界普遍比较熟悉，故本文不再表述。这里我们仅就后来发展起来的毕晓普、马尔科夫的构造性数学作些简述。（〔２〕、〔３〕第１０１—１０９页）

以毕晓普、迈希尔等人为代表的构造性数学是一个与早先直觉主义数学齐名但又不同于它的新的构造性数学。他们的构造性数学研究是在数学领域中，用普通逻辑于可编码的对象和递归函数。他们所关心的不是数学的奠基问题，而是要用构造性方法来研究数学。他们把构造性数学看成古典数学的一个分支，在这个分支中所讨论的对象都要求是可计算的。以毕晓普

的工作为例，他认为只证明一个数学对象在逻辑上必然存在是不够的，还必须拟定一种有限而机械的办法把这个对象构造出来。他不用非直观的概念来重建数学，而是从标准的算术规则和有理数出发，通过避开“理想”观念并不断地检验从直观生成的对象和定理，逐步地进行构造，以求得数学的可信性。他与布劳威尔不同，他不去全盘地否定康托的集合论，而是把它加以改造，使之具有构造的合理性。如确定一个集合，原来康托的朴素定义只要求给出一个判别集合中元素的规则即可，而毕晓普认为还应要求拟定出一个办法来真正构造集合的一个元素并证明集合中两个元素是不同的。这样，则可使康托集合论中的一条最有争议的公理——选择公理成为完全可以接受的了。他们把经典数学的基本概念算法化，并从而考虑哪些定理在构造意义下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此发展出相当大的一部分有价值的数学。１９６７年毕晓普的《构造性分析》的出版，标志着这一新的构造性数学的建立，而随后《构造性泛函分析》的问世，则表明了这一领域的新进展。

构造性数学的另一个新体系是由马尔科夫、沙宁创建的。他们的构造性数学研究是以算法概念为基础的，即把其它一切概念都归约到算法之上。在马尔科夫那里，所有的定义都用日常语言表达，所有引用实无穷的话都严格地避免，并采用了直觉主义逻辑。他们对构造分析学作了相当深入的研究，对于许多数学分支的算法化以及制定构造逻辑的语义学都作了很可观的工作。如他把实数定义成一种逐次逼近的算法，实函数也就等同于一个算法。他的正规算法就是目前少数几个力量最强的精确化的算法概念。

以毕晓普、马尔科夫等人为代表的构造性数学，是对早先直觉主义数学的发展、扬弃。它一方面承继了直觉主义的基本主张，强调在构造数学内部要求“证明存在一个具有性质Ｐ的ｘ，必须指出一个有限的方法来构造ｘ，以及找出一个有限的方法来证明ｘ具有性质Ｐ”。但另一方面，它又不同于直觉主义数学，它不象直觉主义数学那样极端地要把全部数学都“构造化”，他们只是想从构造性的角度建立一门有别于传统数学的新学数学，因为在他们看来，从构造的观点来研究，对许多老问题都会有新的见解。他们认为构造性数学和非构造性数学是现代数学的两大倾向，是可以并行发展和相互促进的。

二构造性数学的原则与基础

如前所述，对可构造性的强调是构造性数学的根本特征，其实也可以说，这就是构造性数学的基本数学原则。它要求一个关于“存在一个具有性质Ｐ的ｘ的证明”，必须解释ｘ的构造是怎样实行的。这与通常“纯粹存在性证明”的做法不一样，在那里，一个具有性质Ｐ的ｘ的存在性是通过采用指出假设“ｘ不存在”就会导致矛盾的办法来证明的。从构造性的观点看，后一证明只是表明“ｘ不可能不存在”，但是它并未给出寻找ｘ的办法。此外，甚至有了这样一种办法，构造主义者还必须采取一些附加的构造性办法来证明ｘ具有性质Ｐ。因此，仅仅证明如果ｘ不具有性质Ｐ就会导致矛盾是远远不够的。为了充分认识构造性数学与非构造数学之间的这种戏剧性差别，我们有必要用一个例子给予说明。如代数基本定理：

任何复系数的非常数多项式ｆ至少有一个复根。（Ⅰ）

对于（Ⅰ）最着名的非构造性证明是，假设ｆ不取零值，把刘维尔定理用于ｆ的倒数，得出１／ｆ是常数，于是ｆ是常数，矛盾，证明完成。从构造的观点看，这里证明的并不是代数