第四章流体力学(1)

Bernoulli- Lagrange 积分
V p + gz + = c 2 ρ
2
理想 绝热 可压 缩流体的Bernoulli 缩流体的 -Lagrange 积分
γ p V +G+ =c 2 γ −1 ρ
2
§4-2 Bernoulli 积分 Lagrange积分 动量定理 积分
第四章 理想流体力学专题 7
r v r ∫S ρvnVδs =∫ ρFδτ +∫S pnδs r τ v v v v r ∫S r ×(ρvnV)δs =∫τ r ×ρFδτ +∫S r × pnδs
计算时 就会容易 得多。 得多。
动量及动量矩定理的积分方程的应用前提及要点 （1）流动必须是定常的，因此求解的是流动过程中的稳定状态； ）流动必须是定常的，因此求解的是流动过程中的稳定状态； （2）控制面的选择（形状、位置等）需使其上的面积分易于准确计算； ）控制面的选择（形状、位置等）需使其上的面积分易于准确计算； （3）求解的结果只能是整体特性的描述（如合力，反力，能量等）。 ）求解的结果只能是整体特性的描述（如合力，反力，能量等）。
第四章 理想流体力学专题 14
Vm Rx R
A1 n1 v1 u1 Ry d1
A2 v2 u 2 d2 n2 B2
1 1 2 2 r r r v v 2 F =∫S ρvnVδs−∫S pnδs = ρ[(u2 d2 − u12d1) + p2d2 − p1d1]ex + ρ(u2v2d2 − u1v1d1)ey v v v = ρq[(u2 −u1)ex +(v2 −v1)ey ]+( p2d2 − p1d1)ex r r 作用在叶 v v v R=−F =ρq[(u1 −u2 )ex +(v1 −v2 )ey ]+( p1d1 − p2d2 )ex 栅上的力 r v v R=d( p1 − p2 )ex +ρq(v1 −v2 )ey 平行叶栅
无旋场=梯度场 无旋场 梯度场
∇ρ ×∇G =0
质量力方向 = 压力梯度方向 = 密度梯度方 向 等温面 体力等势面 = 等压面 = 等密度面
∇ρ / /∇G / /∇p
流体静止时，若体力有势， 流体静止时，若体力有势，则：
体力等势面 = 等压面 = 等密度面 = 等温面
v 1 v 1v ∇× F = − ∇ρ × F = F ×∇ρ
第四章 理想流体力学专题
流体静力学 — Bernoulli—Lagrange积分 — 平面势流理论和方 积分 法
§4-1 流体静力学
§4-1-1 流体静力学方程及边值条件
— 流体静力学方程
◆ 连续性方程 ◆ 运动方程 ◆ 能量方程 ◆ 本构方程 ◆ 状态方程
r dV = ρF +∇⋅ P ρ dt ρ dU = P:S +∇⋅(k∇T)+ ρq ρ dU =∇⋅(k∇T) dt dt r r 1(∇⋅V)I ]+µ'(∇⋅V)I P=− pI +2µ[S − P = − pI 3
SB B
P =P A B
VB = 2gh
V = g(zA −zB ) = gh 2
2 B
Q = αSBVB = αSB 2gh
α =0.61~0.64
§4-2 Bernoulli 积分 Lagrange积分 动量定理 积分 §4-2-1 Bernoulli 积分 Lagrange积分 Bernoulli- Lagrange积分 积分 积分
§4-2-1 Bernoulli 积分 Lagrange积分 Bernoulli- Lagrange积分 积分 积分
— 伯努利积分和拉格朗日积分的应用举例
(1) 绝热过程的可压缩流体
1 p γ = c ρ =( ) γ ρ c 1 1 −1 dp p γ p c ( p) −γ Π =∫ =c∫( ) d( ) = c c 1− 1 c ρ 1 γ cγ p p −γ = ( )( ) γ −1 c c γ p = γ −1 ρ
r v r ∂(ρV ) ∫τ ∂ t δτ +∫s ρvnVδs =∫τ ρFδτ +∫s pnδs r r v ∂(ρV ) v v v v r [r × ]δτ +∫s r ×(ρvnV )δs =∫ r ×ρFδτ +∫s r × pnδs ∫τ τ ∂t
求解空间中各处的动量分布及其时间的依随性， 求解空间中各处的动量分布及其时间的依随性，这无异于先求解流体力学 基本微分方程 。但如果是定常流动，则： 但如果是定常流动，
V2 §4-2 p = c + gz + Bernoulli 2 ρ
积分 Lagrange积分 动量定理 积分
第四章 理想流体力学专题 6
§4-2-1 Bernoulli 积分 Lagrange积分 Bernoulli- Lagrange积分 积分 积分
— Bernoulli- Lagrange 积分 若：1）理想流体 ） 2）质量力有势 ） 3）流体正压 ） 4）定常流动 ） 5）无旋流动 ）
=−∇G =∇Π
=0
∂φ V 2 + +G+ Π =C ∂t 2
∂φ V 2 ∇( + +G+ Π) =0 ∂t 2
Lagrange 积分
Bernoulli积分沿流线积分，在同一流线上成立 — Lagrange积分在空间中处处成立 积分沿流线积分， 积分沿流线积分 积分在空间中处处成立 Bernoulli积分是完全的 — Lagrange积分是不完全的 积分是完全的 积分是不完全的
第四章 理想流体力学专题 9
— 伯努利积分和拉格朗日积分的应用举例
(3) 驻点压力 处到O作一流线 那么在流线上有： 作一流线， 从∞ 处到 作一流线，那么在流线上有：
∞(V∞ , p∞) O ( Vo=0, po )
2 pO V∞ p∞ V 2 O + gz∞ + = + gzO + 2 ρ 2 ρ 2 V∞ p∞ pO + = 2 ρ ρ 2 ρV∞ pO = + p∞ 2
§4-2 Bernoulli 积分 Lagrange积分 动量定理 积分 §4-2-1 Bernoulli 积分 Lagrange积分 Bernoulli- Lagrange积分 积分 积分
第四章 理想流体力学专题 10
— 伯努利积分和拉格朗日积分的应用举例
(4) 皮托（Pitot）管测速 皮托（ ） 沿皮托管外管作一流线， 从O 到 t 沿皮托管外管作一流线，在流线上
=−∇G =∇Π
理想流 体
=0
∂ (V 2 +G+ Π) =0 ∂s 2
Bernoulli 积分 — 沿流线ψ
V +G+ Π =C(ψ ) 2
2
§4-2 Bernoulli 积分 Lagrange积分 动量定理 积分
第四章 理想流体力学专题 5
§4-2-1 Bernoulli 积分 Lagrange积分 Bernoulli- Lagrange积分 积分 积分
§4-2 Bernoulli 积分 Lagrange积分 动量定理 积分
第四章 理想流体力学专题 12
§4-2-3 动量及动量矩定理
— 动量及动量矩定理的积分方程的应用举例
(1) 小孔出流的收缩比及反推力 容器开一 小孔SBC，流体理 想不可压缩流体， 小孔S 想不可压缩流体， 质量力重力。求小孔 出流反推力及收缩比。 质量力重力。 出流反推力及收缩比。 解：
容器所受的反推力 R 在
r (∫s pnds)x = ρghSB′C′
r
α =0.5
S j =0.5 SB′C′
x
r r (R)x =−(∫S pnds)x =−ρghSB′C′
方向的分量为： x 方向的分量为：
r r R = −ρghSB′C′ex
§4-2 Bernoulli 积分 Lagrange积分 动量定理 积分 §4-2-3 动量及动量矩定理 — 动量及动量矩定理的积分方程的应用举例
p
理想、绝热、 理想、绝热、可压缩 流体的Bernoulli积分 流体的 积分
V +gz+ γ p =C(ψ ) 2 γ −1 ρ
2
§4-2 Bernoulli 积分 Lagrange积分 动量定理 积分
第四章 理想流体力学专题8 理想流体力学专题8
§4-2-1 Bernoulli 积分 Lagrange积分 Bernoulli- Lagrange积分 积分 积分
r ∂ρ +∇⋅(ρV) =0 ∂t ∂t r
∂ρ =0 ∂t ∂t r ρF =∇p
f ( p,ρ,T) =0
p = f (ρ, T )
§4-1 流体静力学 §4-1-1 流体静力学方程及边值条件 — 流体静力学方程
第四章 理想流体力学专题 2
r r ρF =∇p F // ∇p r r r ∇× ρF = ∇ρ × F + ρ∇× F = ∇×∇p = 0 r r r 若质量力有势 ∇×F =0 ∇ρ ×F =0 ∇G = F
ρ
ρ
r v 1v v F ⋅ ∇× F = − F ⋅ (F ×∇ρ) = 0
ρ
流体只有在质量力与其旋度方向垂直， 流体只有在质量力与其旋度方向垂直，或者其旋度本身为零 的这样的质量力的作用下， 的这样的质量力的作用下，流体才有可能处于稳定的静止状态 。
§4-1 流体静力学 §4-1-1 流体静力学方程及边值条件 — 边界条件
(2) 作用在叶栅上的力 流体理想、 压缩、不考虑质量力，叶片间流场对称。 流体理想、不可 压缩、不考虑质量力，叶片间流场对称。 解： 取控制面S 虚线）， ），其中 取控制面S（虚线），其中A1 A2 , B1 B2 是两叶 片间的对称流线(流面) 控制面上动量方程为： 片间的对称流线(流面)。控制面上动量方程为：
— Lagrange 积分 若：1）理想流体 ） 2）质量力有势 ） 3）流体正压 ） 4）无旋流动 ）
r r v r v ∂V +∇(V 2 ) +Ω×V = F − 1 ∇p+2 [∇⋅S −1∇(∇⋅V)] ν ρ ∂t 2 3
r r r V =∇φ Ω×V =0
无旋流动
质量力有势 流体正压
理想流体
P0 A A’ B B’ C D C’ D’ SB’ C’ Sj
r v r ∫S ρvnVδs =∫ ρFδτ +∫S pnδs τ
计算动量流水平分量 （x）
作控制面S，（虚线 作控制面S，（虚线） 虚线）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
r 2 (∫S ρvnVδs)x =ρ vB′C′Sj
=2ghραSB′C′
面力水平方向分量： 质量力水平方向上分量为零 — 面力水平方向分量：
r r v r v ∂V +∇(V 2 ) +Ω×V = F − 1 ∇p+2 [∇⋅S −1∇(∇⋅V)] ν ∂t 2 ρ 3
定常流动 质量力有势 流体正压
Lamb-Громико 运动方程 若：1）理想流体 ） 2） 2）质量力有势 3）流体正压 ） 4）定常流动 ）
=0
v r r V2 es • ∇( + G + Π) + Ω×V = 0 2
第四章 理想流体力学专题 4
§4-2 Bernoulli 积分 Lagrange积分 动量定理 积分
§4-2-1 Bernoulli 积分 Lagrange积分 Bernoulli- Lagrange积分 积分 积分
— Bernoulli积分 积分 N-S 方程
r v r dV = F − 1 ∇p+2 [∇⋅S −1∇(∇⋅V)] ν ρ dt 3
— 伯努利积分和拉格朗日积分的应用举例
(2) 小孔出流 假定： 假定：SA>> SB，VB>>VA ≈0 从自由面A 处到B 作一流线，那么在流线上有： 从自由面 处到 作一流线，那么在流线上有：
SA A
h
2 2 VA pA VB pB + gzA + = + gzB + = C(ψ ) 2 ρ 2 ρ
pO =
V= t
ρVt 2
2
h
+ pt
O ( Vo=0 po )
Vt pt
D
2( pO − pt )
ρ
= 2gh
§4-2 Bernoulli 积分 Lagrange积分 动量定理 积分
第四章 理想流体力学专题11 理想流体力学专题11
§4-2-3 动量及动量矩定理
— 积分方程形式的动量及动量矩定理 r
第四章 理想流体力学专题 3
r V
固壁
=0
自然满足
p自由面 = p0
§4-1-2 流体静力学定律 — 静止流体内部的压力分布 — 帕斯卡定律 — 平面壁和曲面壁上的压力、压力中心 平面壁和曲面壁上的压力、 — 浮体及潜体的浮力 — 浮力中心
— 浮体和潜体的平衡 — 定倾中心
§4-1-3 旋转液体的平衡 §4-1-4 表面张力及毛细现象
r r v r v ∂V +∇(V 2 ) +Ω×V = F − 1 ∇p+2 [∇⋅S −1∇(∇⋅V)] ν ρ ∂t 2 3
=0 =0 =−∇G =∇Π V 2 +G+ Π) =0 ∇( 2
定常 流动
无旋 流动
质量力 有势
流体正压
理想流体
=0
V 2 +G+ Π =C 2
重力下不可压 缩流体Bernoulli 缩流体 -Lagrange 积分