广东历年高考数学真题

2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．设复数z 满足2)1(=+z i ，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．i +1 B ．1i - C ．i 22+ D ．i 22-

2．已知集合{}22(,)|,1A x y x y x y =+=为实数,且，{}

(,)|,1B x y x y x y =+=为实数,且，则A B I 的元素个数为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

3．若向量a r ，b r ，c r ，满足//a b r r 且a b ⊥r r ，则(2)c a b +r r r

g

=( ) A ． 4 B ．3 C ．2 D ．0

4．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数

5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪

⎩⎪

⎨⎧≤≤≤≤y

x y x 222

0给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐

标为

()12，，则OA OM z •=的最大值为( )

A ．24

B ．23

C ．4

D ．3

6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A ．

21 B ．53 C ．32 D ．4

3 7．如图1～3，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( ) A ．36 B ．39 C ．312 D ．318 8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀,，有S ab ∈， 则称S 关于数的乘法是封闭的，若,T V 是Z 的两个不相交的 非空子集，T V Z =U ，且T c b a ∈∀,,，有T c ab ∈,；V z y x ∈∀,,，有V xyz ∈，则下列结论恒成立的是( )

A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的

B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的

C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的

D ．,T V 中每一个关于乘法是封闭的

(特例法：例1：若T =自然数集，V =负整数集，满足T V Z =U ，且T c b a ∈∀,,，有T c ab ∈,；V z y x ∈∀,,，有V xyz ∈，此时T 封闭，V 不封闭，排除D ；例2：若{}1,0,1T =-，{},3,2,2,3,V =--L L ，满足T V Z =U ，且T c b a ∈∀,,，有T c ab ∈,；V z y x ∈∀,,，有V xyz ∈，此时T ，V 都封闭，排除,B C 。故选A ) 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一)必做题(9～13题)

9．不等式031≥--+x x 的解集是_______________________。

10．7

2⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x x x 的展开式中，4

x 的系数是____________________________ (用数字作答)。

11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项和。若11=a ，04=+a a k ，则k =________。

12．函数13)(2

3

+-=x x x f 在x = 处取得极小值。

13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm 。因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm 。 (二)选做题(14-15小题，考生只能从中选做一题)

14．(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为()πθθθ<≤⎩⎨⎧==0sin cos 5y x 和⎪⎩⎪⎨

⎧==t

y t

x 245(t R ∈)， 它们的交点坐标为 。

15．(几何证明选讲选做题)如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B 且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB = 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．(12分) 已知函数⎪⎭⎫

⎝⎛-=63

1

sin 2)(πx x f ，R x ∈。

(1)求⎪⎭

⎫

⎝⎛45πf 的值；(2)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，131023=

⎪⎭⎫ ⎝⎛+παf ，()5623=+πβf ，求()βα+cos 的值。

17．(13分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量(单位：毫克)。下表是乙厂的5件产品的测量数据：

(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

(2)当产品中微量元素,x y 满足175≥x 且75≥y 时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

(3)从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)。

18．(13分)如下图，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=o

，

2==PD PA ，2PB =，,E F 分别是,BC PC 的中点。