最优化方法第二章(1)

* * * [ x1 , x2 ,, xt* , xt*1 ,, xn ]T 是（2.10）的最 其次，若
z * c j x* ，那么，由前面的 优点，它所对应的最优值为 j
j 1
t
* * 证明可知，其前 t 个分量组成的向量 [ x1 , x2 , , xt* ]T 也一定 （2.5）的最优点。反之亦然。 因此，线性规划（2.5）与其标准形式（2.10）是等价的。 该结论表明，可以只讨论标准线性规划。 min 3 x1 4 x2 例2.1 将线性规划 s.t. x1 2 x2 4
（2.10）
它含有 t u v n 个变量、m 个等式约束。 注意，新引入变量的价格系数全部设为零。因此，在 （2.10）的目标函数中没有出现新变量。 下面说明线性规划（2.5）与其标准形式（2.10）是等 价的。 首先，它们的容许点是一一对应的，且对应的容许点 的函数值相等。 [ x1 , x2 , , xt ]T 是（2.5）的一个容许点，那么按 因为若 公式（2.7）和（2.9）引入非负的松弛变量和剩余变量 [ x1 , x2 ,, xt , xt 1 ,, xn ]T 将是（2.10）的 xt 1 ,, xn 后，显然 [ x1 , x2 , , xt ]T 与 容许点。反之亦然。故（2.5）的容许点 T （2.10）的容许点[ x1 , x2 ,, xt , xt 1 ,, xn ] 一一对应。 又（2.5）与（2.10）的目标函数相同，且都只是 x1 , , xt 的函数，所以（2.5）与（2.10）所对应的容许点 的函数值相等。
凸多面体 多面体 定义2.3 有界的的凸多面体称为凸多胞形。
凸多面体
凸多胞形
定理2.1 线性规划（2.2）的容许集 D 是凸多面体。 (2)凸集的极点 与凸集相关的另一个重要概念是凸集的极点。 定义2.5 若凸集 D 中的某个点 x 不能表示为这个集合 中另外两个不同点的严格凸组合，即 则
x 称为凸集 D
min c j x j
j 1 t
s.t.
a
j 1 t j 1 t
pj
x j xt p bp , x j xt q bq , xj br , x j 0,
a a
j 1
qj
rj
p 1, 2, , u q u 1, , u v r u v 1, , m j 1, 2, , t u v.
x2 , x3 , x4 0.
图解法求解原线性规划如下：
* 最优解 x 在直线 x1 x2 1 与 x1 x2 3 的交汇处，即 T * T * x 1, 2 。相应的标准形式的最优解为 x 1, 2,1, 0 。
（3）自由变量 以上讨论都考虑变量的取值是非负的（当变量的取值 非正，那么它的负变量的取值即是非负的）。实际中，如 果某些变量没有这种约束，也就是说，某些变量可以任意 取值，那么这些变量称为自由变量。自由变量可以通过以 下两种方法把它消除。 例如，假若 x1 是自由变量。 x1 和 x1 ，令 第一种方法：引入两个非负变量 x1 x1 x1 （2.11） 将其代入到线性规划的目标函数和约束函数中，自由变量 x1 就消除了。注意，求出新线性规划的最优点后，再利用 （2.11）便可以定出 x1 。
（2.1）
在进行理论分析时，有时需要把 A 表示成 A [a1 , a2 ,, an ], 这样，（2.2）中的 Ax b 又可写成
xja j b
n j 1
若 A 中有 m 个列向量可以合并成为单位矩阵，且 b 0，此时（2.2）则称为线性规划的典范形式。 例如，如下线性规划 min 3 x1 4 x2 2 x3 5 x4 ; s.t. 2 x1 6 x3 x4 5, 4 x1 x2 3 x3 8, x1 , x2 , x3 , x4 0, T a2 [0,1]T 可合并 就呈现为典范形式，因为 a4 [1, 0] 和 成单位矩阵。
例2.3 P48
定义2.10 基变量取值皆不为0的基本解称为非退化的， 否则称为退化的；若（2.2）的所有基本容许解都是非退 化的，则线性规划（2.2）称为非退化的，否则称为退化 的。 例2.4 P49
(3)基本容许解与极点的关系
x 是基本容许解 x 的正分量所对应的 A 的列向量线性
不失一般性，假定单位矩阵位于前 m 列，即典范 形式呈现为
min c1 x1 c2 x2 cn xn s.t. x1 x2
其中 bi 0(i 1, 2,, m) 。 用向量－矩阵表示法，那么（2.3）可简写成
x j 0,
a1, m 1 xm 1 a1, n xn b1 a2, m 1 xm 1 a2, n xn b2 （2.3） xm am , m 1 xm 1 am , n xn bm j 1, 2, , n
x1 x2 1 x1 x2 3 x1 , x2 0. 化为标准形式，并用图解法求解原问题，给出标准形 式的解。
解 对第1个约束引入松弛变量 x3 ，对第2个约束引入 剩余变量 x4 。于是，该线性规划的标准形式为
min 3 x1 4 x2 s.t. x1 2 x2 x3 x1 x2 x1 x2 x1 , 4 x4 1 3
2.1 线性规划的各种形式 1. 标准形式和典范形式 如下形式的线性规划
n
其中各 c j 称为价格系数，各 称为线性规划的标准形式。 bi 称为右端项。 采用向量－矩阵表示法，标准形式可以简写为。 T min c x; s.t. Ax b （2.2） x 0.
min c j x j j 1 n s.t. aij x j bi , i 1, 2, , m j 1 x j 0, j 1, 2, , n.
T T 不失一般性，设 A B, N , xB x1 , , xm , xN xm1 , , xn ,
则 xB 1 1 Ax b ( B, N ) b BxB NxN b xB B b B NxN xN 1 1 令 xN 0 ，得基本解 xB B b 。若 B b 0 ，那 么该基本解是关于基 B 的基本容许解。
x x1 (1 ) x2 , x1 , x2 D, x1 x2 ; 0,1
的极点。
(3)基本容许解 当（2.2）的容许解又是“ Ax b 的基本解”时，就 称其为（2.2）的基本容许解。 Ax 方程组 Ax b 满足“基本”条件的的解称为 b 的基本解。
无关。
定理2.3 设 x D ,则
x R 引理2.2 设 A a1 , a2 , , an mn ， ( A) m ， D。则
D {x Ax b , x 0}
x 是（2.2）的基本容许解 x
是 D 的极点。 从几何角度讲，例2.3中的约束条件 x1 x2 x3 6 x1 2 x2 4 x3 18 x1 , x2 , x3 0 表示空间一条直线在第一象限中的直线段部分。 如图所示：
T T min cI xI cN xN s.t. IxI NxN b xI , xN 0.
（2.4）
2. 一般形式 线性规划
t
3. 一般形式与标准形式的关系 源自文库1）松弛变量
min c j x j j 1 t s.t. a pj x j bp , p 1, 2, , u j 1 t aqj x j bq , q u 1, , u v j 1 t arj x j br , r u v 1, , m j 1 x j 0, j 1, 2, , t.
T 红线部分为容许集 D。D 有两个极点 (0,3,3)T 和 (2, 0, 4) , 它们恰恰是两个基本容许解。
例2.4如图所示： (0, 6, 0)T 和 D 有两个极点
(4, 0, 2)T
推论2.4 容许集 D 的极点个数有限。
2. 线性规划基本定理 T x x1 , , xl , 0, , 0 xi 0,1 i l , 引理2.5 设 x D .不妨设 且 a1 , a2 ,, al 线性相关。那么一定存在最多有 l 1 个正 分量的容许解。
（2.5）
考虑“ ”约束中的第p 个不等式
a
j 1
pj
t
pj
x j bp ,
（2.6）
引入非负变量 xt p ，迫使
a
j 1
t
x j xt p bp . （2.7）
使不等式约束（2.6）变为等式约束（2.7）的非负变量 xt p 称为松弛变量。 （2）剩余变量 考虑“ ”约束中的第 q 个不等式
a
j 1
t
qj
x j bq ,
（2.8）
引入非负变量
xt q ，迫使
引入非负变量 xt q ，迫使
a
j 1
t
qj
x j xt q bq . （2.9）
使不等式约束（2.8）变为等约束（2.9）的非负变量 xt q 称为剩余变量。 v 在引入 u 个松弛变量、 个剩余变量后，线性规划 （2.5）可化成标准形式： t
min c T x ; s.t. Ax b x 0.
记容许集 D {x Ax b , x 0}。不妨假定 R( A) m n ， 0 。 b
1. 极点与基本容许解 定义2.2 有限个半空间的交称为凸多面体。 半空间是凸集，故凸多面体是凸集。 边界为直线或平面是多面体的几何特征。
第二种方法：取一个包含 x1 的等式约束，例如 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi bi ai 2 ain 由此解出 x1 x2 xn （2.12）
ai1 ai1 ai1
将此式代入到线性规划的目标函数和其他约束函数中， x1 也消除了。求出新线性规划的最优点后， 自由变量 利用（2.12）再定出x1 。 第一种方法将增加变量的数目，导致问题的维数增大。 第二种方法正好相反。 2.2 基本定理 考虑标准线性规划（2.2），即
的基本解是如何定义的呢？ Ax b
将 Ax b 表示成向量形式
x1a1 x2 a2 xn an b
因为 R( A) m ，故 A 中必含有 m 阶的可逆矩阵 B，称为 基。基 B 的每个列向量称为基向量， 的其余列向量称为 A 非基向量。与基向量对应的变量称为基变量，与非基向量 对应的变量称为非基变量。若基是单位矩阵，则称为标准 基。非基变量取值皆为0的 Ax b 解称为基本解。满足 x 0 的基本解称为线性规划（2.2）关于基 B 的基本 容许解。