第四章级数(答案)

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复变函数第4章测验题参考解答

数在 z 2 内解析，因此 a 的最大值为 2 . 4.若幂级数【答案】4
防
3.若幂级数
科
【解析】由于 lim n
n →
(−1)n 2 n z 和函数在圆盘 z a 内解析，则 a 的最大值为 n n =1 n 4

大
【答案】 3
n 1 = , 所以该幂级数的收敛半径为 3. 3n 3
n
的收敛半径为 1, 即收敛圆盘为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz + 1 1 , 因此幂级数在 z = −
i i n 处发散, 从而函数 f ( z ) = (n + 1)( z + 1) 在 z = − 处 2 2 n =0
O
min{
【解析】由阿贝尔第一定理可知
c ( z − 1)

n
在 z = i 处收敛, 则该幂级数在 z − 1 i − 1 内
科
n b n 1 a 1 + i n +1 n +1 a = 1 , 所以幂级数的收 a + ib 【解析】若 a b , 则 l = lim = lim n + 1 n → n → 1 b a n +1 n n a 1 + i a + ib a

5．设 a , b 为正实数，则幂级数 (A) max{ a , b } 【答案】 A
zn 的收敛半径是( n n n = 0 a + ib
函
i 处( 2
n =0
数 M
).
(B) min{ a , b }
(C) max{
敛半径 R =
敛半径为 max{ a , b } , 故选 A.

复变函数(4.4.5)--洛朗级数

-
1 )z4 3ﾥ5!
+L
故
1 1- cos
z
=
2 z2
+
1 3!
+
1 z2 5!
+L; a2
=
51!.
￑ﾥ 7. 解
选（C）.
若
|
z
|<
1
，则
cos3 z 1+z z
=
cos3
z
(1- z
2z2
+ L)
，这时
|z
|=1
cos3 z 1+z z
dz
ﾥ0，
故 an ﾥ 0 .
￑ﾥ若 | z |> 1，则
9. 解
z(z
1 - 1)( z
- 2)
=
-1 z(z -1)
+
1 z(z - 2)
� � � =
1 z
�1 -1
z
-
1 2z(1- z / 2)
=
ﾥ n=0
z n-1
ﾥ
-
n=0
z n-1 2n+1
=
ﾥ
(1 -
n=0
1 2n-1
)
z
n
-1.
10. 解
1 z(z -1)2
=
1 (z -1)2
1 1+ (z -1)
=
11
z
1-
k z
=
1 z
(1
+
k z
k2 + z2
+ L)
ﾥ令 z = eiq
得
cos 1-
q -k -i 2k cosq

第四章、级数

n=1 +∞
的复变函数项级数，简记为 ∑ f n ( z ) .
17
一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义
定义设 ∑ f n ( z ) 为区域 G 内的复变函数项级数，
n
第四章解析函数的级数表示
(1) 称 sn ( z ) = ∑ f k ( z ) 为级数 ∑ f n ( z ) 的部分和。
注意级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况是不一定的。约定 R = 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛；
⇒ lim z n = 0 ,
n→ +∞
7
二、复数项级数
1. 基本概念
定义设 { z n }n=1 , 2 ," 为一复数序列，
第四章解析函数的级数表示
(1) 称 ∑ z n = z1 + z 2 + " 为复数项级数，简记为 ∑ z n .
n =1
+∞
(2) 称 sn = ∑ z k = z1 + z 2 + " + z n 为级数的部分和；
⇒ | an z
n
n | = | a n z0 |⋅
z z0
n
z ≤ Mq , 其中 q = z ， 0
n
+∞
n Mq | a z | ≤ ∑ | z | < | z | q < 1 , 当即得 ∑ n 收敛。 0 时，
n
+∞
n= 0
n= 0
20
二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理
定理对于幂级数 ∑ a n z ，有
n→ +∞
第四章解析函数的级数表示

第四章复变函数级数

第四章复变函数级数第四章复变函数级数（42）⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞=lim n n v v→∞=1nn z ∞=∑收敛的充要条件是1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都收敛。

2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞=k k n z z z z 211若其前n 项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,⽽数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。

由于∑∑==+=n k kn v i uS 11，所以11lim lim limnk n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞→∞=?=??==+=??∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞=1k k z 收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。

3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑==nk k n z f S 0)(。

若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑∞==)()(k k z f z s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞当n N >时，1|()|n pk k n f z ε+=+<∑(p 为任意正整数)则称级数0()n n f z ∞=∑在B 内(或曲线L 上)⼀致收敛。

复变函数1到5章测试题及答案

复变函数1到5章测试题及答案(总20页)--本页仅作预览文档封面，使用时请删除本页--- 2 -第一章复数与复变函数(答案)一、选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （A ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+-3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（D ）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i（C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（C ）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线- 3 -６．一个向量顺时针旋转3π，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（A ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（D ）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（B ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（D ）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（C ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z- 4 -（C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则12()f z z -=（C ）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．000Im()Im()limz z z z z z →--（D ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（C ）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（A ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 8arctan -π 3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z i 21+- 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 ie θ16- 5 -5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z522=++-z （或1)23()25(2222=+y x ）的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为 122=+y x８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 12i -+ 和 2i - 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为()2211u v -+= 10．=+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围． (]25,25[+-（或25225+≤+≤-z ）) 四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22. (当10≤≤a 时解为i a )11(-±±或)11(-+±a 当+∞≤≤a 1时解为)11(-+±a ) 五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或Im()0z =. 六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.- 6 -(像的参数方程为π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u ．表示w 平面上的椭圆1)215()217(2222=+v u ) 七、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .(1．)(z f 在复平面除去原点外连续，在原点处不连续； 2．)(z f 在复平面处处连续)第二章解析函数（答案）一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( B )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( B )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( D )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x- 7 -（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( C )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2 （C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x + 5．函数)Im()(2z z z f =在0z =处的导数( A )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在 6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( C )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2- 7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( C )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是( C )（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数- 8 -（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( A )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．i i 的主值为( D )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2e π-11．z e 在复平面上( A )（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( C )（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( D )（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( B )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( C )（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz- 9 -（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(limi +1 2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是常数 3．导函数x v i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 xv x u ∂∂∂∂,可微且满足222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f i 827427- 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f ic xyi y x ++-222或ic z +2c 为实常数6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z i 处可导 7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k8．复数i i 的模为),2,1,0(2 ±±=π-k e k9．=-)}43Im{ln(i 34arctan -- 10 -10．方程01=--z e 的全部解为),2,1,0(2 ±±=πk i k三、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -= （;sin )(z z f -='）2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x x ++-=（.)1()(z e z z f +='）四、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. （c i z i z f )1(21)(2++-=.c 为任意实常数）第三章复变函数的积分（答案）一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( D )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( D)（A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( B ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π44．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( C)（A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( B) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( A ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）1 7．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c ⎰+'+'')()()(2)( ( C )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ A ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( A )（A ）i π22（B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( C) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( C )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是( D ) （A ）积分⎰=--ra z dz a z 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( D)(A)c iz +2 （B ） ic iz +2 （C ）c z +2 （D ）ic z +2 14．下列命题中，正确的是(C)（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( B )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 2 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(23 i π103．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd z z f ,其中2≠z ，则=')3(f 0 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz i π6 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c z dz i z e 5)(π 12iπ 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内解析8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为 C x y +-)(21229．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a -3 10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为),(y x u -三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; （当10<<R 时，0；当21<<R 时，i π8；当+∞<<R 2时，0） 2.⎰=++22422z z z dz．（0）四、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .（i π2）五、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(. （321ln 2)(ic c z c z f ++=（321,,c c c 为任意实常数））第四章级数（答案）一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( C )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( C )（A ）∑∞=+1)231(n n i （B ）∑∞=+1!)43(n nn i （C ） ∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为(D )（B ） ∑∞=+1)1(1n n i n （B ）∑∞=+-1]2)1([n n n in(C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( A )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( D )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( D )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( B ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为( A )（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c ，那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( C )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( B ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的 11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( D)（A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n （B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( B )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 2)()(( B )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+=,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n n n z c 的收敛域为( A ) （A ）3141<<z （B ）43<<z（C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( C )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n n i z c 在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为发散2．设幂级数∑∞=0n nn z c 与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 12R R ≥ ．3．幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径=R22 4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立，其中=n c ),2,1,0()(!10)( =n z f n n 或（)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f ir z z n <<=-π⎰=-+ ）． 5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n ．6．设幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为2R． 7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 211<-<z ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!1 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R π ．10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ∑∞=+--02)()1(n n nn i z i 三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．（)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n ，),2,1,0(})251()251{(5111 =--+=++n a n n n ）四、求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算∑∞=122n n n 之值.（3)1()1()(z z z z f -+=，6）五、将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成洛朗级数.（n n nk k z k n z z z z z z )1()1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+）第五章留数(答案)一、选择题： 1．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( D ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f的( B )（A ）可去奇点（B ）本性奇点（C ）m 级极点（D ）小于m 级的极点 3．设0=z 为函数zz ex sin 142-的m 级极点，那么=m ( C ) （A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( D ) (A)可去奇点（B ）一级极点（C ）一级零点（D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323z z z ++的( B ) (A)可去奇点（B ）一级极点（C ）二级极点（D ）本性奇点6．设∑∞==0)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re k zz f s ( C ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( A ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ D ）（A ） 21)(ze zf z -= （B ）z z z z f 1sin )(-= （C ）z z z z f cos sin )(+= (D) ze zf z 111)(--= 9．下列命题中，正确的是( C )（A ）设)()()(0z z z z f m ϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ）如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s（C ）若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s（D ）若0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos [Re 3zi z s ( A ) （A ）32- （B ）32 （C ）i 32 （D ）i 32- 11．=-],[Re 12i ez s i z ( B) （A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +65 12．下列命题中，不正确的是( D)（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s（B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-= （D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(zf 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞ 13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( A ) (A)0 （B ）i π2 （C ）n i π2 （D ）i n π214．积分=-⎰=231091z dz z z ( B ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5i π 15．积分=⎰=121sin z dz z z ( C ) （A ）0 （B ）61-（C ）3i π- （D ）i π- 二、填空题 1．设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m 9 ．2．函数z z f 1cos 1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k． 3．设函数}1exp{)(22zz z f +=，则=]0),([Re z f s 0 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s m - ． 5．设212)(zz z f +=，则=∞]),([Re z f s -2 ． 6．设5cos 1)(z z z f -=，则=]0),([Re z f s 241- ． 7．积分=⎰=113z z dz e z 12i π ．8．积分=⎰=1sin 1z dz z i π2 ．三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e z z ．(i π-316) 四、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数．五、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=．。

第四章级数(答案)

复变函数练习题第四章级数系专业班姓名学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数一、选择题：1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]（Ａ）11(1)n in n ∞=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2．若幂级数nn n c z∞=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定()122i Abel +=>，由定理易得3．幂级数10(1)1n n n z n ∞+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln1z + （D ） 1ln 1z- '100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：1．设(1)2nn i α-=+，则lim n n α→∞= 0 。

2．设幂级数nn n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0(21)n n n n c z ∞=-∑的收敛半径为2R 3．幂级数!nn n n z n ∞=∑的收敛半径是 e 。

线面积分与级数复习题及答案

第四章：曲线积分与曲面积分习题一、填空题1、设L 为单位圆周x 2+y 2=1在第一象限的部分，则曲线积分 xyds L = 12 。

3、已知P x,y =x 2+y 2,要使得 Pdx +Qdy L 与积分路径无关，则Q(x,y)=2xy 。

4、设P x,y 与Q(x,y)在平面单连通区域G 内具有连续一阶偏导数，则P x,y dx +Q(x,y)dy 在G 内为某个函数的全微分的充要条件是∂P∂y =∂Q ∂x。

6、设L:x 2+y 2=R 2，方向为逆时针方向，利用格林公式计算（−x 2y ）dx L +xy 2dy = 12πR 4。

7、平面单连通区域G 内曲线积分 Pdx +Qdy L 与路径无关的一个充要条件是∂P ∂y =∂Q ∂x。

8、设L 是抛物线y =x 2从(0,0)到(2,4)的一段弧，则对坐标的曲面积 (x 2− y 2L )dx = −5615 。

9、设其中曲线C 为x 2+y 2=1沿正向，则曲线积分 xdy −ydx x +y C=2π。

10、设向量场F x,y,z =xy 2i +x 2yj −x 2+y 2k ,则散度div F = x 2+y 2。

二、计算题;11、计算曲线积分 xds L ，其中L 为 y =x 2−1上介于x=0与x=1之间的一段弧。

解： xds L = x 1+4x 210dx =5 5−112。

12、（x +y +z ）ds Γ ，其中Γ:x =2cost,y =2sint ,z =t ,t ∈[0,π] 。

解：（x +y +z ）ds Γ= 2cost +2sint +t 5dt =52π0(8+π2)13、已知Σ是z =x 2+y 2上z ≤1的部分曲面，计算 1+4z ΣdS 。

解： 1+4z ΣdS = (1+4x 2+4y 2)Ddxdy =3π 14、证明：沿任何分段光滑的闭曲线L ，有 cosy +ycosx L )dx + sinx −xsiny dy =0 证明：因为P(x,y)=cosy +ycosx , Q(x,y)= sinx −xsiny , 所以有∂P∂y =∂Q ∂x，故得证。

第四章级数(研究生)

n
收敛圆域为|z|<1.
目录上页下页返回结束
(e ( n1) en1 ) 2 (4) (cos in ) z 解: l lim e n n n (e e ) 2 n 0
n

1 R e
( z 1) (5) n2 n 1
n
1 收敛圆域为 | z | . e
当 z z0 时， cn ( z z0 )n cn n
n 0
n 0

故只需讨论形如 cn z 的幂级数.
n n 0
目录上页下页返回结束

n 0
2. 幂级数在一点z0 的收敛性
1 . 若 cn z0 n 收敛，则z0的称为 cn z0 n 的收敛点.

(3 4i)n (2) n! n 1

in (3) n 1 n

1 1 1 (1) 原式= i 2 因为发散 , 所以原级数发散 . n 1 n n 1 n n 1 n
(2)

n 1

(3 4i ) n!
n
Байду номын сангаас
n 1

(3 4 ) n!
n 0

1 1 1 1 解: f ( z ) z b ( a b) ( z a ) a b 1 z a a b za 1 n a b 1 n za (1) a b a b n 0
z2
y
z1
0
x
R
当|z|>R时发散 . 则: (1)称 R为收敛半径; (2)称|z|<R为收敛圆域 . 注意：当|z|=R时, 情况复杂, 有时收敛 ( 绝对收敛 or 条件收敛) , 有时发散 .

复变函数4章幂级数

n 0 n n 0 n n n 0

则存在M 使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, | z0 |
z 而 | cn z || cn z | z0
n n 0 n
Mq
n
7
z n | cn z || c z | Mq z0
中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛
圆上是否收敛, 则不一定.
12
例1 求幂级数
z
n 0

n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn 1 z z
2
1- z z , ( z 1) 1- z
称为这级数的部分和.
3
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
处处收敛 , 即 R=. 如果 =+, 则对复平面内除 z=0 外的一切 z, 级数收敛, 因此
n0

n0
都不
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
18
定理三 (根值法 ) 敛半径 R
1
如果 n
lim n | c n | 0
, 则收

.
19

第四章第1节级数的基本性质(下)

n n n

k 1
( 1)n i n n 2
发散
二.复变函数项级数和复变函数序列
定义设 { f n ( z )} ( n 1,2,) 为一复变函数序列 , 其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn ( z ) n 1

f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
1 1 1 2! n1 2

n -1
原级数收敛
结论
a
n 1

(实常数项级数)
1 则原级数收敛
an 若 lim 1 则原级数发散 n a n 1
an 若 lim 1 不能确定 n a n 1
1 1 例如发散， 2 收敛 n n n 1 n 1
解:要证 lim sn不存在
n
1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n
1 1 1 1 2 3 n
故级数发散.
(实常数项级数)
注：
1 p级数 p n 1 n
0 p 1,

发散收敛
p 1,
( 1) np n 1

n
p 0, 收敛
y
绝对收敛
o
z0
.
z1
x
发散
（1）先证如果 cn z n在某点z0 ( 0)收敛, 则必在

圆K : z z0 内绝对收敛
设z是圆K内任一点,
要证 | cn z n|收敛,

称为复变函数项级数, 记作 f n ( z ) .
n 1
级数最前面n项的和
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )

第四章级数

zn
(a1 a2 an ) i (b1 b2 bn ) sn itn ,
根据部分和序列 { n} 极限存在的充要条件得
{sn} 和 { t} , n 的极限都存在

于是 an 和 bn 都收敛.
n 1 n 1

1 i 练习级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n
n 1 n 1
zn 0. 如果复数项级数 zn收敛, 那么 lim n
n 1

zn 0 级数 zn发散. 重要结论 lim n
n 1

12
例如, 级数 e in : 因为 lim zn lim ein 0,
n1
n n

不满足必要条件, 所以原级数发散.
n 1 n 1

n 1
结论：(1) zn绝对收敛 an与 bn绝对收敛.
n 1
2 n

n 1
n 1
2 k
事实上,由 a b an bn 知 a b ak bk ,
2 n
n
k 1
2 k
n
n
k 1
k 1
所以 an与 bn绝对收敛时, zn也绝对收敛.
有界数列
定义
设{zn } 是一个复数序列 , z0是一个复常数 . 如果任取 0, 存在
N 0, 使得当 n N 时，zn z0 , 那么称{zn } 收敛或有极限 z0 ,
或者说{zn }是收敛数列,并且收敛于 z0 ,记作 lim zn z0 .
n
如果序列zn 不收敛, 则称zn 发散, 或者说它是发散序列.

第四章_级数-新

s(z)称为该级数在区域D上的和函数.
17
4.2 幂级数
5.幂级数当 f n ( z ) c n 1 ( z a ) n 1 或 f n ( z ) c n 1 z n 1 时 , 得到函数项级数的特殊情形

cn ( z a ) c0 c1 ( z a ) c2 ( z a ) cn ( z a )n
n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是

n
lim n 0
n
n1
重要结论:
lim n 0 级数 n发散.
n n 1

7
4.1 复数项级数
定理三如果

n 1

n
收敛, 那么

n 1

n
也收敛，
且不等式

n 1
n 1

n
n 成立.
n
3
4.1 复数项级数二、级数概念
1.定义设{ n } {an bn } ( n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1

称为复数项无穷级数. (1) 部分和其最前面 n 项的和 sn 1 2 n 称为级数的部分和.
第四章级数
0
4.1 复数项级数一、复数列的极限
1.定义设 { n } ( n 1,2,) 为一复数列, 其中
n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数,
如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
N ( ), 使 n 在 n N 时成立,
故原级数发散。

4.4洛朗级数

n ( z z0 ) n 及 n ( z z0 ) n ,
都收敛时，我们说原级数收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。设上式中第一个级数在 | z z0 | R2 内绝对收敛并且内闭一致收敛；
n 0 n 1

解析函数的洛朗展式：
第二个级数在 | 内闭一致收敛。
f ( z)
n

n
( z z0 ) ,
n
其中，定理的证明：
1 f ( ) n 2' ( z0 )n1 d , (n 0,1,2,...) 2i 1 f ( ) n 1' ( z0 )n1 d , (n 1,2,...) 2i
小结
第四章级数
4.3 洛朗级数
解析函数的洛朗展式：
我们称级数
n

n
( z z0 )
n
பைடு நூலகம்
为洛朗级数。收敛?和函数?收敛域?解析部分?主要部分? 洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数，反之,圆环内的解析函数必可展开为洛朗级数即有
洛朗定理：
洛朗定理设函数f(z)在圆环： D : R1 | z z0 | R2 (0 R1 R2 ) 内解析，那么在D内
:| z z0 | ( R1 R2 )
然后沿求积分。由于所讨论的级数在上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有
1 g ( z) 1 n k 1 ( z z0 )k 1 dz k 2i ( z z0 ) dz k 2i
1 z
1 1 1 1 1 e 1 ... ... 2 n z 2! z n! z

信号与线性系统分析 (第四版)第四章级数

f (t ) sin n tdt n 1,
T 2 T 2 T 2 T 2
b-n

f (t ) sin( n t ) dt bn
龚茂康
扬州大学信息工程学院
f (t )
a0 2
( an cos n t bn sin n t )
n 1

信号与线性系统分析

A0 2
A0 2
A n cos(n t n )
n 1

A n Cos n Cos(n t ) -A n Sin n Sin(n t )
n 1 n 1
a n An Cos n , b n An Sin n ,
A n an
0
an
信号与线性系统分析
(2)奇函数 : 关于原点对称, f ( t ) f (t )
f (t )
t
a0 0
f (t )
龚茂康

n 1

an 0
b n sin n t
扬州大学信息工程学院
f (t ) cos nt为t的奇函数
an
信号与线性系统分析
信号与线性系统分析
第四章
傅里叶变换和系统的频域分析
很多问题在时域求解比较麻烦, 例如卷积; 很多问题在时域解释不清,例如声音信号中的高低音处理; 第一个变换域------频域; 如何在频域中描述信号和系统?
龚茂康扬州大学信息工程学院
信号与线性系统分析
§4-1 信号分解为正交函数常用正交函数集 ①三角函数集
上式的物理意义：
f t 中含有sint、sin3t、sin5t等的正弦分量。

第四章级数

第四章级数第一节数项级数本节主要介绍数项级数的收敛性判定，至于求和问题放在下一节。

1．正项级数的审敛（1）除了敛散性定义和性质外，主要方法有：（i ）比较法，（ii ）比值法和根值法，（iii ）积分判别法：设)(x f 在),1[+∞上非负连续且单调减少，则⎰+∞1)(dx x f 收敛∑∞=⇔1)(n n f 收敛（比如对于级数∑∞=2ln 1n n n ，由于⎰+∞2ln 1dx x x 发散，故∑∞=2ln 1n n n 发散）（iv ）正项级数∑∞=1n na 收敛⇔部分和数列}{n s 有界．（2）几个简单级数的收敛性：-p 级数： ∑∞=11n p n ，1>p 时收敛，1≤p 时发散。

1=p 时得调和级数∑∞=11n n，其部分和)0( ln →++=n n n c n s εε。

等比级数∑∞=-11n n aq ，1||<q 时收敛，且为绝对收敛，其和为qa-1，1||≥q 时发散。

级数∑∞=2)(ln 1n pn n ，1>p 时收敛，1≤p 时发散。

（3）判定正项级数∑na的敛散性的一般步骤：（i ）先看n a lim ，若该极限存在但不等于零或不存在，则级数∑∞=1n na发散；（比如∑∞=++1121n n n ，由于，021121≠→++n n ，故级数发散）（ii ）若0lim =n a ，再用以下方法去判定： 01．判阶法和比较法，判阶法主要是看n a 是关于n 1的几阶无穷小．比如∑=++1311n n n n ，由于113++n n n 是关于n 1的23阶无穷小也即与231n 为同阶无穷小，故级数收敛，再比如∑=++1211n n n n ，由于112++n n n 是关于n 1的1阶无穷小即与n1为同阶无穷小，故级数发散．用比较法就要找一个比较对象∑∞=1n nb，若要说明∑∞=1n na收敛，则设法将n a 放大为n b （即n n b a ≤≤0）并且∑∞=1n nb收敛，那么∑∞=1n na收敛．若要说明∑∞=1n na发散，则设法将n a 缩小为n b （即n n a b ≤≤0）并且∑∞=1n nb发散，那么∑∞=1n n a 发散．或找一个已知其敛散性的正项级数∑∞=1n n b 并且极限nnb a lim能比较方便地求出来，那么就可以判定∑∞=1n na的敛散性．02．用比值法和根值法，特别n a 中出现na n n ,!!,!时．比如∑∞=--1)1(2n n nn，由于121)2(1)1(<→--nn nn，故级数收敛（注：该题不能用比值法，因为n n a a 1lim +不存在）3．通过说明部分和有界也是证明正项级数收敛的有效办法．例１．判别下列级数的收敛性（1）∑∞=+-1)]11([n p n e （2）)0( )11(1>+-∑∞=a n a n n（3） +++-++-+-222222222 （4）πnn )53sin(1∑∞=+ （5）∑∞=1n pnx ，其中 )2,0(,,3,2,sin 11π∈==-x n x x n n 解（1）由于p n e )11(+-～n e 2，从而知∑∞=+-1)]11([n pn e 与∑∞=11n p n 具有相同的敛散性，因此当1>p 时，原级数收敛；1≤p 时，原级数发散。

第4章级数

z1 + ( z2 − z1 ) + ( z3 − z 2 ) + ... + ( zn − zn −1 ) + ...
则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。
§4-1复数项级数
如果级数 ∑ zn 收敛，那么
n→+∞
lim zn = lim (σ n − σ n+1 ) = 0
n→+∞
设 an = Re zn , bn = Im zn , sa = Re(s), sb = Im(s)
n 2 ∞ n =0
形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1, c2 ,…, a 都是复常数. 若令z = z − a ,则以上幂级数还可以写成
cn z n = c0 + c1 z + c2 z 2 + L ∑
n =0 ∞
§4-2 幂级数
2. 阿贝尔(Abel)定理
定理2 如果幂级数 ∑cn z 在 z = z0 收敛, 那么
cn = μ (μ ≠ 0 ) ，那么收敛半径
R=
1
μ
§4-2 幂级数
5. 幂级数的运算和性质
象实变幂级数一样，复变幂级数也能进行有理运算。
∞ n =0 n f ( z ) = ∑ an z n , R = r1 , g ( z ) = ∑ bn z , R = r2 设 ∞
那么，在以原点为中心， r1 , r 2 中较小的一个为半径的圆内，这两个幂级数的和函数分别是 f (z )和 g (z ) 的和、差与积。
sn = z1 + z2 + ... + zn
§4-1复数项级数
如果序列 {sn } 收敛，那么级数 ∑ zn 收敛；如果

第四章泰勒级数

圆周上的性质（是否有定义？解析？）并
不清楚，只知道在大圆内解析。
第二步：将 f 形式展开
f ( z ) cn ( z z0 )
n 0

n
☺ 为利用 Cauchy 积分公式(需要一个圆周)，同第一步，先取小圆C：|z-z0|= r，
再令 rR，逼近区域K的边界
第二步：将 f 形式展开

K内收敛
n 0
这等价于：对任意 r < R，该幂级数在 C：
|z-z0|= r 内部收敛
☺ 令 rR，即可知级数在区域K内收敛
第一步：证明幂级数 an ( z z0 ) n 在区域

K内收敛
n 0
这等价于：对任意 r < R，该幂级数在 C：
|z-z0|= r 内部收敛
☺ 令 rR，即可知级数在区域K内收敛 ☺ 这里用小圆逼近的原因是对于 f 在大
某个邻域展开成 Taylor 级数。
推论：函数 f 在 z0 解析函数 f 在 z0的
某个邻域展开成 Taylor 级数。
☺ 函数 f 在 z0 附近展开成 Taylor 级数的范围是以 z0为圆心的尽量大的（解析）开圆盘，即收敛圆应“碰到”奇点
推论：函数 f 在的Taylor展开式 1 f ( z ) g ( z ) ln(1 z ) 2 （2）（1） (1 z ) 解：用 –z 代替例2中的 z 即得|z|<1时，
f ( z ) (1)
n 1

n 1
nz
n 1
(1) n 1 g ( z) z n 0 n 1
1 2

2
0
f ( z0 re ) d n in re

复变函数05(吉大)

根据实正项级数的比较判别法, 可知级数

xn 和 yn 收敛. 从而 xn 与 yn
n1
n1
n1
n1

收敛, 进一步可知级数 zn收敛.
n1
9
绝对收敛与条件收敛

若级数 zn 收敛则称级数 zn绝对收
n1
n1
敛. 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛.
关于定理我们作如下两点说明
(1) 若f(z)在z0解析, 则f(z)在z0的泰勒级数的收敛半径R等于从z0到f(z)的距离z0最近
的一个奇点之间的距离, 即R =| z0 |.
(2) 由本定理与和函数的性质有, 函数在一
点解析的充要条件是它在该点邻域内可以
展成幂级数. 29
利用泰勒级数展开的唯一性, 我们可以用
利用反证法根据上述结论可得定理另一部
分的证明. 利用阿贝尔定理, 可以确定幂级
数的收敛范围.
16
幂级数的收敛半径
对于幂级数 cnzn来说, 它的收敛情况可以分为下述三n0种：
①在原点收敛，除原点外发散. (R＝0) ②在全平面上处处绝对收敛. (R＝+ ) ③除上述两种极端情形之外, 由阿贝尔定
比较简便的方法将一个函数展开为泰勒
级数即幂级数. 展开的方法有两种. 一种
是由泰勒展开式，直接通过计算系数
cn
f (n)(z0 ) n!
把f(z)在z0展开为幂级数，称为直接法；另一种是利用幂级数的运算与性质, 以唯
一性为依据把函数展开成幂级数, 称为间
接法. 30
例求函数f(z) = ez在z = 0的泰勒展开式

第四章 级数(答案)

复变函数第4章测验题参考解答

复变函数(4.4.5)--洛朗级数

第四章、级数

第四章复变函数级数

复变函数1到5章测试题及答案

第四章 级数(答案)

线面积分与级数复习题及答案

第四章 级数(研究生)

复变函数4章幂级数

第四章 第1节 级数的基本性质(下)

第四章 级数

第四章_级数-新

4.4洛朗级数

信号与线性系统分析 (第四版)第四章 级数

第四章 级数

第4章 级数

第四章 泰勒级数

复变函数05(吉大)

第四章级数(答案)

第四章级数(答案)

第四章级数(研究生)

第四章第1节级数的基本性质(下)

第四章级数

信号与线性系统分析 (第四版)第四章级数

第四章级数

第4章级数

第四章泰勒级数