第四章 级数(答案)
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三、解答题
求收敛半径一般可以采用根值法、比值法。遇到
1．把下列各函数展开成 的幂级数，并指出它们的收敛半径：
（1）
收敛半径R=2
（在计算仅有奇数项或偶数项类型的级数的收敛半径时，可利用根值法，或者利用上述方法.）
（2）
收敛半径为
2．求下列各函数在指定点 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：
（1）
收敛半径R=2
二、填空题
1．
2．洛朗级数 的收敛圆环域是
3．设 ，在 收敛而在 发散，则其收敛半径 2，该幂级数在 绝对收敛。
三、解答题
1.求函数 在 的邻域内的泰勒展开式，并指出其收敛域。
2.求洛朗级数 的收敛圆环，其中
解：由于
级数 ;
另一方面，由于
级数 ，
从而洛朗级数 的收敛圆环为
3．把下列各函数在圆环域 内展开成洛朗级数，并指出使展开式成立的 ：
(A) (B) (C) (D)
2．函数 在 处的泰勒展开式为[D]
(A) (B)
(C) (D)
3.函数 在 处的泰勒展开式为[B]
（A） （B）
（C） （D）
4．级数 [A]
(A) (B) (C) (D)
5． [B]
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
1．函数 在 处的泰勒展开式为
2． 的幂级数展开式为 ，收敛域为
（1）绝对级数是否收敛
（2）实部和虚部的绝对级数是否收敛
（1）
（级数收敛的必要条件）
（2）
（3）
（4）
3．求幂级数 的收敛半径，收敛域及和函数，并计算 之值。。
解：由
4．求幂级数 的和函数，并计算 之值。
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
§3泰勒级数
一、选择题
1．设函数 的泰勒展开式为 ，那么幂级数 的收敛半径 [C]
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
§1复数项级数§2幂级数
一、选择题：
1．下列级数中绝对收敛的是[ ]
（Ａ） （Ｂ） (Ｃ) （Ｄ）
2．若幂级数 在 处收敛，那么该级数在 处的敛散性为[ ]
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不能确定
3．幂级数 在 内的和函数为[ ]
（Ａ） （B） （C） （D）
（2）
由 知，
收敛半径
（3）
（4）
由
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
§4洛朗级数
一、选择题：
1．若 ，则幂级数 的收敛域为[A]
（A） （B） （C） （D）
2．洛朗级数 的收敛域是[B]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （D）
3．洛朗级数 的收敛域是[C]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
4．设 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有 个，则 [C]
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1．幂级数 的收敛域为
2．函数 在 的洛朗展开式为
3．函数 在 的洛朗展式为
三、解答题：
1．用洛朗级数展开式将 在 处展开为洛朗级数。
2．把下列函数在指定的区域内展开成洛朗级数：
（1）
（2）
3．若 为正向圆周 ，求积分 的值，设 为
在洛朗级数的各个收敛圆环中，找出C所在的那个圆环，在该圆环内再进行洛朗展开
二、填空题：
1．设 ，则 0。
2．设幂级数 的收敛半径为 ，那么幂级数 的收敛半径为
3．幂级数 的收敛半径是e。
4．幂级数 （ 为正整数）的收敛半径是1。
三、解答题：
1．判断下列数列是否收敛？如果有极限，求出它们的极限。
（1）
（2）
2．判断下列级数的敛散性。若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。
判断绝对收敛的两种方法：
（1）
（2）
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
综合练习题
一、选择题
1．若 在 发散，则它必在[ ]
（A） 收敛（B） 发散（C） 收敛（D）以上全不正确
（由Abel定理）
2．设Baidu Nhomakorabea级数 和 的收敛半径分别为 ，则 之间的关系是[ ]
（A） （B） （C） （D）
3．级数 的收敛域是[ ]
（A） （B） （C） （D）不存在的
（1）
R=∞
（2）
R=1
4．把函数 在下面圆环域内展开成洛朗级数：
（1） （2） （3）
（1）
（2）
（3）
求收敛半径一般可以采用根值法、比值法。遇到
1．把下列各函数展开成 的幂级数，并指出它们的收敛半径：
（1）
收敛半径R=2
（在计算仅有奇数项或偶数项类型的级数的收敛半径时，可利用根值法，或者利用上述方法.）
（2）
收敛半径为
2．求下列各函数在指定点 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：
（1）
收敛半径R=2
二、填空题
1．
2．洛朗级数 的收敛圆环域是
3．设 ，在 收敛而在 发散，则其收敛半径 2，该幂级数在 绝对收敛。
三、解答题
1.求函数 在 的邻域内的泰勒展开式，并指出其收敛域。
2.求洛朗级数 的收敛圆环，其中
解：由于
级数 ;
另一方面，由于
级数 ，
从而洛朗级数 的收敛圆环为
3．把下列各函数在圆环域 内展开成洛朗级数，并指出使展开式成立的 ：
(A) (B) (C) (D)
2．函数 在 处的泰勒展开式为[D]
(A) (B)
(C) (D)
3.函数 在 处的泰勒展开式为[B]
（A） （B）
（C） （D）
4．级数 [A]
(A) (B) (C) (D)
5． [B]
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
1．函数 在 处的泰勒展开式为
2． 的幂级数展开式为 ，收敛域为
（1）绝对级数是否收敛
（2）实部和虚部的绝对级数是否收敛
（1）
（级数收敛的必要条件）
（2）
（3）
（4）
3．求幂级数 的收敛半径，收敛域及和函数，并计算 之值。。
解：由
4．求幂级数 的和函数，并计算 之值。
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§3泰勒级数
一、选择题
1．设函数 的泰勒展开式为 ，那么幂级数 的收敛半径 [C]
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§1复数项级数§2幂级数
一、选择题：
1．下列级数中绝对收敛的是[ ]
（Ａ） （Ｂ） (Ｃ) （Ｄ）
2．若幂级数 在 处收敛，那么该级数在 处的敛散性为[ ]
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不能确定
3．幂级数 在 内的和函数为[ ]
（Ａ） （B） （C） （D）
（2）
由 知，
收敛半径
（3）
（4）
由
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
§4洛朗级数
一、选择题：
1．若 ，则幂级数 的收敛域为[A]
（A） （B） （C） （D）
2．洛朗级数 的收敛域是[B]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （D）
3．洛朗级数 的收敛域是[C]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
4．设 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有 个，则 [C]
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1．幂级数 的收敛域为
2．函数 在 的洛朗展开式为
3．函数 在 的洛朗展式为
三、解答题：
1．用洛朗级数展开式将 在 处展开为洛朗级数。
2．把下列函数在指定的区域内展开成洛朗级数：
（1）
（2）
3．若 为正向圆周 ，求积分 的值，设 为
在洛朗级数的各个收敛圆环中，找出C所在的那个圆环，在该圆环内再进行洛朗展开
二、填空题：
1．设 ，则 0。
2．设幂级数 的收敛半径为 ，那么幂级数 的收敛半径为
3．幂级数 的收敛半径是e。
4．幂级数 （ 为正整数）的收敛半径是1。
三、解答题：
1．判断下列数列是否收敛？如果有极限，求出它们的极限。
（1）
（2）
2．判断下列级数的敛散性。若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。
判断绝对收敛的两种方法：
（1）
（2）
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
综合练习题
一、选择题
1．若 在 发散，则它必在[ ]
（A） 收敛（B） 发散（C） 收敛（D）以上全不正确
（由Abel定理）
2．设Baidu Nhomakorabea级数 和 的收敛半径分别为 ，则 之间的关系是[ ]
（A） （B） （C） （D）
3．级数 的收敛域是[ ]
（A） （B） （C） （D）不存在的
（1）
R=∞
（2）
R=1
4．把函数 在下面圆环域内展开成洛朗级数：
（1） （2） （3）
（1）
（2）
（3）