无穷级数的经典习题和知识点
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
无穷级数(全)
无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质 以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。
数学竞赛无穷级数(一)
n!1an 1
an 1
1
lim
ˇˇf .x/ˇˇ dx D 0. 记 un
f .x/ dx. 则无穷级数 P un 的敛散性
n!1 an
an
nD1
b
与瑕积分 f .x/ dx 的敛散性相同。
f .x/ dx 的敛散性相同。
nDa
a
3. 广义积分与无穷级数的收敛性的联系
定理 5 设 a 为一整数，函数 f .x/ > 0 在 Œa; C1/ 上单调减少，un
1
C1
f .n/. 则无穷级数 P un 的敛散性与广义积分
f .x/ dx 的敛散性相同。
nDa
a
例4
当实数
p
取何值时，级数
1
P
D
lim
n!1
anC1 .n C 1/Š.an nŠ
.n C 1/nC1
nn
D
lim
n!1
ann .n C 1/n
a
a
D lim
n!1
1
C
1 n
nD e:
所以当 a < e 时，原级数收敛；当 a > e 时，发散。
例1
设
a
>
0
为常数，试判断级数
1
P
nD1
an nŠ nn
的敛散性。
解 注意到
D
lim
n!1
anC1 .n C 1/Š.an nŠ
.n C 1/nC1
nn
D
lim
n!1
ann .n C 1/n
a
a
D lim
n!1
1
C
1 n
nD e:
(整理)第七章 无穷级数
第七章无穷级数一、选择题1．下列关于级数的论述中一定错误的是(A) 若，则．(B) 若，则．(C) 若un≥0，且，则．(D) 若un≥0，且不存在，则．2．下列结论正确的是(A) 发散级数加括弧所成的级数仍发散．(B) 若加括弧后的级数收敛，则原级数收敛．(C) 若去括弧后的级数收敛，则原级数收敛。
(D) 若去括弧后的级数发散，则原级数发散．3．设都是正项级数，且级数收敛，则下列结论正确的是(A) 若un ＞vn，则级数发散． (B) 若，则级数收敛．(C) 若，则级数收敛． (D) 若，则级数发散．4．设级数，则下列结论正确的是(A) 因为，所以与p-级数比较得收敛．(B) 因为，所以．(C) 因为，所以收敛．(D) 因为，所以发散．5．设正项级数与任意项级数具有关系，则下列结论正确的是(A) 由收敛推知收敛． (B) 由发散推知发散．(C) 由收敛推知收敛． (D) 由发散不能断定的敛散性．6．下列命题中正确的是(A) 设正项级数发散，则．(B) 设收敛，则收敛．(C) 设至少有一个发散，则发散．(D) 设收敛，则均收敛．7．下列命题正确的是(A) 若收敛，则收敛．(B) 若条件收敛，则发散．(C) 若收敛，则收敛．(D) 若，则收敛．8．下列命题正确的是(A) 设复敛，则收敛．(B) 设收敛且n→∞时，an ，bn是等价无穷小，则收敛．(C) 设收敛，则．(D) 设收敛，令，且Sn为正项级数的前n项部分和(n=1，2，…)，则发散．9．下列命题正确的是(A) 若都收敛，则也收敛．(B) 若收敛，发散，则必发散．(C) 若收敛，绝对收敛，则绝对收敛．(D) 若条件收敛，绝对收敛，则条件收敛．10．已知都发散，则(A) 必发散． (B) 必发散．(C) 必发敞． (D) 必发散．11．设绝对收敛，则(A) 发散． (B) 条件收敛．(C) 绝对收敛． (D)12．对于常数k＞0，级数(A) 绝对收敛． (B) 条件收敛．(C) 发散． (D) 的收敛性与k的取值有关．13．设级数收敛，则其中的常数(A) a=-2，b=1． (B) a=b=1．(C) a=1，． (D) a=b=-2．14．设正项级数收敛，且bn =(-1)n ln(1+a2n)(n=1，2，…)，则级数(A) 发散． (B) 绝对收敛．(C) 条件收敛． (D) 的敛散性不能仅由所给条件确定．15．下列级数①②③④中收敛的个数是(A) 1个． (B) 2个． (C) 3个． (D) 4个．16．设有幂级数，则R为其收敛半径的充要条件是(A) 当|x|≤R时，收敛，且当|x|＞R时发散．(B) 当|x|＜R时，收敛，且当|x|≥R时发散．(C) 当|x|＜R时，收敛，且当|x|＞R时发散．(D) 当-R＜x≤R时，收敛，且当R＜x或x≤-R时发散．17．下列命题正确的是(A) 若幂级数的收敛半径为R≠0，则．(B) 若不存在，则幂级数没有收敛半径．(C) 若的收敛域为[-R，R]，则幂级数的收敛域为[-R，R]．(D) 若的收敛域为(-R，R)，则的收敛域可能是[-R，R]．18．设收敛，则(A) 条件收敛． (B) 绝对收敛．(C) 发散． (D) 的敛散性仅由此还不能确定．19．设幂级数在x=-1处收敛，则此级数在x=1处(A) 绝对收敛． (B) 发散．(C) 条件收敛． (D) 的敛散性仅由此不能确定．20．设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛域包含点集(A) {2，3，4，e}． (B)(C) {1，5}． (D) {1，2，3，4，5，e}．21．设在x=1处收敛，则在x=0处(A) 绝对收敛． (B) 条件收敛．(C) 发散． (D) 的收敛性取决于{an}的给法．22．设级数收敛，则级数的收敛半径(A) R=2． (B) R=3． (C) R＞2．(D) R≥2．23．下列结论不正确的是(A) 若函数f(x)在区间[a，a+2π]上导函数连续，则展开成傅里叶级数时，有(B) 若函数f(x)在区间[-π，π]上有则必有(C) 设连续函数f(x)满足f(x)+f(x+π)=0，则f(x)在[-π，π]上展开成傅里叶级数时，必有a 0=a2k=b2k=0(k=1，2，…)．(D) 若函数f(x)满足狄利克雷条件，则必有其中24．下列命题①若函数f(x)为[-π，π]上的奇(偶)函数，则f(x)的傅里叶级数必为正(余)弦级数②若函数f(x)在[0，π]上有定义，则f(x)的傅里叶级数展开式是唯一的③设，不论收敛与否，总有④将函数f(x)=x2(0≤x≤1)做偶延拓，得到令x=2得中正确的是(A) ①、③．(B) ①、④．(C) ②、③．(D) ②、④．25．将函数在[0，π]上展开为余弦级数，则其和函数在x=0，1，π处的函数值分别为(A) (B) 0，2，0．(C) 1，2，π+1． (D)1．设，则=______．2．设幂级数的收敛半径是2，则幂级数的收敛半径是______．3．设幂级数，则该幂级数的收敛半径等于______．4．若幂级数的收敛域是(-8，8]，则的收敛半径R=______，的收敛域是______．5．已知幂级数当x=-2时条件收敛，则该幂级数的收敛区间为______．6．设幂级数的收敛区间为(-2，4)，则幂级数的收敛区间为______．7．幂级数的收敛域为______．8．幂级数的收敛域为______．9．函数展开成x的幂级数及其收敛区间分别为______．10．设函数f(x)=x+|x|(-π≤x≤π)的傅里叶级数展开式为，则其中系数b=______．n11．设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于______，在x=2π处收敛于______．1．判别下列级数的敛散性：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)2．讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)3．设常数p＞0，试判断级数的敛散性．4．设b=1，，讨论级数的敛散性．1=1，对于n=1，2，…，设曲线上点处的切线与x轴交5．已知a1点的横坐标是a．n+1(Ⅰ)求a(n=2，3，…)；n(Ⅱ)设Sn 是以和(an+1，0)为顶点的三角形的面积，求级数的和．6．设un＞0(n=1，2，…)，证明：(Ⅰ)若存在常数a＞0，使当n＞N时，，则级数收敛；(Ⅱ)若当n＞N时，，则级数发散．7．设函数f(x)在区间[0，1]上有一阶连续导数且f(0)=0，设，证明级数绝对收敛．8．设f(x)在|x|≤1有一阶连续导数且，证明级数发散而级数收敛．9．设f(x)是[-1，1]上具有二阶连续导数的偶函数，且f(0)=1，试证明级数绝对收敛．10．设函数f(x)在|x|≤1上具有二阶连续导数，当x≠0时f(x)≠0，且当x→0时f(x)是比x高阶的无穷小．证明级数绝对收敛．11．求下列幂级数的收敛域：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)12．求下列幂级数的和函数：(Ⅰ) (Ⅱ)13．已知a0=3，a1=5，且对任何自然数n＞1，，证明：当|x|＜1时，幂级数收敛，并求其和雨数．14．分别求幂级数的和函数与幂级数当x≥0时的和函数·15．将函数展开为x的幂级数．16．(Ⅰ)将展开成x-1的幂级数；(Ⅱ)在区间(-1，1)内将展开为x的幂级数，并求f(n)(0)．17．将展开成x的幂级数．18．求证：19．将展开成以2π为周期的傅里叶级数．20．将函数展开成正弦级数，并求级数的和．一、选择题1．A[分析] 由级数发散．而只在级数收敛时才成立，故(A)不正确．应选(A)．2．C[分析] 对于(A)：例如级数，它是发散的，但添加括号后的级数(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+…=0是收敛的．故(A)不对．对于(B)：例如级数(1-1)+(1-1)+…收敛于零，但级数1-1+1-1+…却是发散的．故(B)不对，同时也说明(D)也不对．这说明：若加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛．由排除法可知，应选(C)．3．C[分析] 根据比较原理的极限形式：设有正项级数，又设，则1°当0＜l＜+∞时，级数〈A〉与〈B〉有相同的敛散性；2°当l=0时，若级数〈B〉收敛，则级数〈A〉也收敛；3°当l=+∞时，若〈B〉发散，则〈A〉也发散．由此可知(C)正确，应选(C)．4．D[分析] 设〈A〉：为正项级数，1°若，即为有限数，即a与n为同阶无穷小，则p＞1时，〈A〉收敛；p≤1时，〈A〉发散．2° 若，且p＞1，则〈A〉收敛．3° 若即a是比低阶的无穷小，p≤1，则n〈A〉发散．由此可知(D)正确．应选(D)．5．A[分析] 由于，由比较判别法可知，级数与级数有相同的敛散性，即由收敛推知收敛．故(A)正确，应选(A)．6．C[分析] 对于(A)：令，则正项级数发散，但，故(A)不正确．=(-)n，则收敛，但发散，所以(B)不正对于(B)：令an确．对于(D)：令，则收敛，但发散，所以(D)不正确．若收敛，则由比较判别法知都收敛，因此都收敛，矛盾，所以发散，(C)正确．故应选(C)．7．B[分析] 令，则收敛，但发散，故(A)不正确．令u=(-1)n，则收敛，但发散，所以(C)不正确．n令un=(-1)n，则，但发散，所以(D)不正确．对于(B)，可用反证法证明其成立．若收敛，则收敛，说明绝对收敛，与题设矛盾．故发散．所以应选(B)．8．D[分析] 对于(A)：令，则收敛，但发散，故(A)不对．对于(C)：令，则收敛，但，故(C)不对．对于(B)：令，则收敛且当n→∞时an 与bn是等价无穷小，但发散，故(B)也不对．对于(D)：由于收敛，根据收敛的必要条件可得，又，所以，故发散．因此选(D)．9．C[分析] 令，则都收敛，但发散，所以(A)不正确．令，则收敛，发散，而绝对收敛，所以(B)、(D)不正确．事实上，由于收敛，所以，因此数列{an}有界，不妨假设存在M＞0，对任意的n都有|an |≤M，从而|anbn|≤M|bn|，又绝对收敛，从而根据正项级数的比较判别法知，收敛，所以绝对收敛．故应选(C)．10．C[分析] 取，则都收敛．又因为都发散，故都是发散的正项级数，从而必发散．故应选(C)．11．C[分析] 由于绝对收敛，所以，从而存在正整数N，当n＞N 时，有，而，所以，由正项级数的比较判别法可得都收敛．故(A)不成立，而(C)成立．令，则绝对收敛，但(B)、(D)不成立，所以应选(C)．12．B[分析] 因为数列单调下降，且，故级数收敛．但，由于，而发散，因此条件收敛．故应选(B)．13．A[分析] 由于[lnn+aln(n+1)+bln(n+2)]由题设知，故应选(A)．14．B[分析] 由于正项级数收敛，所以正项级数收敛，从而，因此有|bn |=|(-1)n|ln(1+a2n)|～a2n(n→∞)，由正项级数的比较判别法可知绝对收敛．应选(B)．15．C[分析]对，由于，所以该级数收敛．对，由于，而级数收敛，故该级数收敛．对级数，由于，所以n充分大时ln(lnn)·lnlnlnn＜lnn，从而．由于发散，所以该级数发散．由于，所以级数条件收敛．16．C[分析] 由幂级数的收敛半径的定义：“如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得：(i)当|x|＜R时，幂级数绝对收敛；(ii)当|x|＞R时，幂级数发散；(iii)当x=R 与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散，则称正数R为该幂级数的收敛半径．”可知，(C)正确，应选(C)．17．D[分析] 对任意的幂级数都存在收敛半径，收敛半径R可为R=+∞，0＜R＜+∞，或R=0，因此(B)不正确．对任意的幂级数不一定存在．例如，收敛半径为，由于a2n =2n，a2n+1=0，于是不存在，因此(A)也不正确．(C)也不正确，如收敛域为[-1，1]，但收敛域为[-1，1)．事实上，若，则其收敛域为(-1，1)，而的收敛域为[-1，1]，所以应选(D)．18．B[分析] 考察幂级数，由于收敛，所以幂级数在x=-2处收敛，根据阿贝尔定理可得当|x|＜|-2|时，对应的幂级数都绝对收敛，所以当x=1时，对应的幂级数绝对收敛，而此时对应级数为．所以应选(B)．19．A[分析] 根据阿贝尔定理可得：当|2x-1|＜|-2-1|=3时，幂级数绝对收敛．而当x=1时|2·1-1|＜3，因此与x=1对应的级数绝对收敛．故应选(A)．20．A[分析] 由于有相同的收敛半径，所以当|x-3|＜2时级数3)n绝对收敛，显然只有集合{2，3，4，e}中的点都满足不等式|x-3|《2，因此应选(A)．21．D[分析] 令，则级数在x=1处收敛，而在x=0处对应的级数发散．所以选项(A)，(B)不正确．又如，则级数在x=1处收敛，而在x=0处对应的级数收敛．所以选项(C)不正确．由排除法可知应选(D)．22．D[分析] 由于收敛，所以级数在x=-1处收敛，根据阿贝尔定理得：当|x-1|＜2时，对应的级数都绝对收敛，再根据收敛半径的定义可知R≥2，故选(D)．23．[分析] 对于(A)：将函数f(x)作周期延拓，所得周期函数仍记为f(x)，则f(x)cosx是周期为2π的周期函数，从而积分与a无关(事实上，=f(a+2π)cos(na+2nπ)-f(a)cosna=0)．令a=-π，则同理可证：故(A)正确．对于(B)：设，则应用三角函数系的正交性可得代入上述不等式，整理得式中右端为一与m无关的数，这说明级数收敛，于是，即．故(B)正确．对于(C)：据题设知函数f(x)是周期为2π的连续函数，则两式相加，由于f(x)+f(x+π)=0，则可得a0=a2k=b2k=0 (k=1，2，…)．故(C)也正确．对于(D)：若函数f(x)满足狄利克雷条件，则有其中，当x为f(x)的连续点时，故(D)不正确，应选(D)．24．A=0[分析] 对于①：设f(x)为奇函数，则f(x)cosnx也为奇函数，从而an(n=0，1，2，…)，因此f(x)～．故①正确．对于②：在区间[0，π]上定义的函数f(x)既可以做偶延拓展成余弦级数，也可以做奇延拓展成正弦级数．故②不正确．对于③：设，可证F(x)在[-π，π]上连续，且以2π为周期，从而满足狄利克雷条件，可将F(x)展成傅里叶级数其中，令z=0得为了求A即因此即故③正确．对于④：由于f(2)=f(0)=0，即，故④不正确．综上分析，应选(A)．25．D[分析] 将f(x)延拓成[-π，π]上的偶函数F(x)，根据狄利克雷定理可得所以选(D)．二、填空题1．8[分析] 1°先求由2°3°由收敛而是添加括号而得．因此，由2．2[分析] 由于有相同的收敛域，而所以与有相同的收敛半径，而有相同的收敛域．因此有相同的收敛半径，故的收敛半径为2．3．[分析] 由于令ρ(x+1)＜1，可得，所以收敛半径为．4．(-2，2][分析] 因幂级数的收敛域为(-8，8]，所以其收敛半径R=8．又因幂级数是由幂级数逐项求导两次所得，从而幂级数的收敛半径R=8．对于=，因-8＜x3≤8-2＜x≤2，所以的收敛域为(-2，2]．5．[-2，4)[分析] 由于级数存x=-2处条件收敛，所以级数的收敛半径为R=3，故收敛区间为[-2，4)．6．(-4，2)[分析] 由于幂级数有相同的收敛域，所以收敛区间也一样；而幂级数有相同的收敛区间和收敛半径．又幂级数和幂级数有相同的收敛域，综上可得：级数有相同的收敛区间．又因为收敛半径一样，由的收敛区间为(-2，4)可得的收敛半径为3，所以收敛半径为3．从而幂级数的收敛区间为(-4，2)．7．[-1，1)[分析] 因为当x→0时，故，于是幂级数的收敛半径R=1．易知当x=1时幂级数发散，x=-1时幂级数收敛．故幂级数的收敛域为[-1，1)．8．[-1，1)[分析] 收敛半径幂级数在x=1对应的级数，发散；在x=-1时对应的级数收敛．所以收敛域为[-1，1)．9．[分析] 由于所以故10．[分析]11．，1[分析] 根据狄利克雷定理知：f(x)以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于f(x)以2π为周期的傅里叶级数在x=2π处收敛于三、解答题1．(Ⅰ)由于以及级数收敛，故由正项级数比较判别法可得：收敛．(Ⅱ)此题用比值判别法失效，所以选用比较判别法．注意，常数k＞0有极限，因此，因为级数收敛，所以由正项级数的比较判别法知级数收敛．(Ⅲ)该正项级数的通项是以积分形式给出的，因此需对积分进行估值．显然这是正项级数，因当时，所以由于收敛，所以原级数收敛．(Ⅳ)因为又收敛，所以原级数绝对收敛．2．(Ⅰ)先讨论级数的敛散性，因为而级数发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．又因为级数用比值判别法可得，级数收敛，所以绝对收敛，又因为收敛，所以级数收敛，因此原级数条件收敛．(Ⅱ)先讨论级数的敛散性，由于而级数发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．由于级数是交错级数，但不单调，莱布尼兹判别法不适用．注意到，由于是收敛交错级数，级数是收敛的正项级数，根据级数的性质可得条件收敛。
第八章 无穷级数
∞
（A）
∑ a 2 n−1 收敛， ∑ a 2n 发散，
n =1 n =1
∞
∞
（B）
∑ a 2n 收敛， ∑ a 2 n−1 发散，
n =1 n =1
∞
∞
（C）
∑ (a
n =1
∞
2 n −1 + a 2 n ) 收敛，
（D）
∑ (a
n =1
∞
2 n −1
− a 2 n ) 收敛
【例】 （06）若级数
∞
∑a
n =1
∞
n
收敛，则级数
（
）
(A)
∑
n =1 ∞ n =1
an 收敛 .
（B）
∑ (−1)
n =1
∞
n
an 收敛.
(C)
∑ an an+1 收敛.
(D)
∑
an + an +1 收敛. 2 n =1
∞
【例】(09) 设有两个数列 {an } , {bn } ，若 lim an = 0 ，则
n →∞
∞
【例】设 an 为曲线 y = x 与 y = x
∞
( n = 1, 2,.....) 所围成区域的面积，记 S1 = ∑ an ，
n =1
S 2 = ∑ a2 n −1 ，求 S1 与 S 2 的值。
n =1
四
1．直接展开
∞ 1 (1) = ∑ xn 1 − x n=0
∞
将函数展开为幂级数
xn (2) e = ∑ n =0 n !
第八章
无穷级数 (数学二不考)
主要考点：必考内容. 常数项级数的收敛与幂级数是考察的重点. 难点：抽象级数的收敛判定，与不等式、极限、导数等综合考察有一定难度
无穷级数知识点总结简短
无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。
2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。
如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。
3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。
这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。
4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。
这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。
5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。
总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。
无穷极数知识点总结
无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。
无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。
2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。
收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。
无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。
3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。
无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。
4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。
绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。
5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。
比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。
6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。
无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。
7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。
无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。
第13章 无穷级数重点内容与练习
都收敛
（B）
un 与
un2 都发散
n 1
n 1
n 1
n 1
（C） un 收敛，而
u
2 n
发散（D）
un 发散，而
un2
n 1
n 1
n 1
n 1
收敛
6. 级数 sin( n2 1) （ ）．答案： B n1
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛 （D）敛散性无法判定
7.
级数
n1
sin n n2
( )．
（A） a ,b （B） a 2 ,b 2 2 +
2
2
2
2
(C) a ,b
22
答案： D ．
（D） a 2 ,b
2
2
x2 1, 0 x ,
25.设
f
(x)
x2
1,
则 f (x) 以周期为 2 的傅
x 0.
里叶级数在点 x 处收敛于
．
答案： 2 ．
1 n
（
）．答案： C
（A）条件收敛 （B）绝对收敛
（C）发散
（D）无法确定
8. 设正项数列{an }单调减少，且级数 (1)n an 发散， n1
试讨论
(1)n (1 an1 ) 的敛散性．
n1
an
解：依题知
lim
n
an
存在，设
lim
n
an
a
则
a
0
，且
an a, n 1, 2,
而 (1)n (1 an1 ) an an1 an an1
ln
2
2
x
．当
第十一章 无穷级数(习题及解答)
第十一章 无穷级数§11.1 级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数1n n aq ∞=∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C)1q <； (D)1q >． 答(D)．2. 下列结论正确的是( )．(A)若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1n n u ∞=∑收敛；(C)若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；(D)若1n n u ∞=∑发散，则lim 0n n u →∞≠. 答(C)．3. 若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )．(A)121()nn n u v S S ∞=±=±∑； (B)11nn ku kS ∞==∑；(C)21nn kvkS ∞==∑； (D)112nn nu S vS ∞==∑． 答(D). 4. 若级数1n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )．(A)1()n n u S ∞=-∑收敛； (B)11n nu ∞=∑收敛； (C)11n n u∞+=∑收敛； (D)n ∞=收敛. 答(C).5. 若级数1n n a ∞=∑收敛，其和0S ≠，则级数121()n n n n a a a ∞++=+-∑收敛于( )．(A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B).6. 若级数∑∞=1n na发散，∑∞=1n nb收敛则 ( )．(A)∑∞=+1)(n n nb a发散；(B)∑∞=+1)(n n nb a可能发散，也可能收敛；(C)∑∞=1n nn ba 发散； (D)∑∞=+122)(n n n b a发散. 答(A).二、填空题1. 设1a <，则().n n a ∞=-=∑答：11a +. 2. 级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为．答：21ln 3-.3. 级数0n ∞=∑，其和是 ． 答： 14.数项级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 的和为.答：12. 5*. 级数0212nn n ∞=-∑的和为. 答： 3.三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)23238888(1)9999nn -+-++-+答： 收敛.解： (2) 11113693n+++++ 答： 发散.解：(3)1133n++ 答： 发散.解：(4) 232333332222n n +++++ 答： 发散.解：(5) 22331111111123232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答： 收敛.解：§11.2 正项级数收敛判别法、P — 级数一、单项选择题1. 级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑满足0,(1,2,)n n u v n <≤=，则( )．(A)若1n n v ∞=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；(B)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑收敛； (C)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑发散；(D)若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑发散. 答(D).2. 若10,(1,2,)n a n n≤<=，则下列级数中肯定收敛的是( )．(A)1nn a ∞=∑； (B)11()n n n a a ∞+=+∑；(C)21n n a∞=∑； (D)n ∞=． 答(C).3. 设级数 (1)12!nn n n n ∞=∑与 (2) 13!nn n n n ∞=∑，则( )． (A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；(C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D) 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答(C).4. 设级数(1) n ∞=与 (2) 110!nn n ∞=∑, 则( ).(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；(C)级数(1)收敛,级数(2)发散； (D) 级数(1)发散,级数(2)收敛． 答(D).5. 下列级数中收敛的是( )．(A)1n ∞= (B)11sin n n ∞=∑； (C)1(1)31nn n n ∞=--∑； (D)1121n n ∞=-∑． 答(A).6*. 若级数22116n n π∞==∑，则级数211(21)n n ∞==-∑( ). (A)24π; (B)28π; (C)212π; (D)216π. 答(B).7. 设1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑均为正项级数,若1lim=∞→nnn v u ，则下列结论成立的是( ).(A)1nn u ∞=∑收敛, 1n n v ∞=∑发散； (B) 1n n u ∞=∑发散, 1n n v ∞=∑收敛；(C)1nn u∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛,或1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散. (D)不能判别. 答(C).8. 设正项级数∑∞=1n nu收敛，则( ).(A)极限1limn n n u u +→∞≤1； (B) 极限1lim n n nuu +→∞<1；(C)极限1n； (D)无法判定. 答(A)9. 用比值法或根值法判定级数1n n u ∞=∑发散，则∑∞=1n nu( ).(A)可能发散； (B)一定发散；(C)可能收敛； (D)不能判定. 答(B)二、填空题1. 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是部分和nS .答：有上界.2. 设级数1n n α∞=∑收敛，则α的范围是. 答：32α>． 3. 级数1n n u ∞=∑的部分和21n nS n =+，则n u =. 答：2(1)n n +. 4. 级数0212n n n ∞=+∑是收敛还是发散. 答：收敛.5. 若级数11sin p n n n π∞=∑收敛，则p 的范围是. 答：0p >.6. 级数13!n n n n n∞=∑是收敛还是发散 . 答：发散.三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1) 2111n nn ∞=++∑； 答：发散. (2) 11(1)(2)n n n ∞=++∑； 答： 收敛.(3) 1sin2nn π∞=∑； 答：收敛. (4)11(0)1n n a a∞=>+∑.答1a >收敛;1a ≤发散.2. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1) 132nnn n ∞=⋅∑； 答：发散. (2) 213n n n ∞=∑； 答： 收敛. 解：(3) 12!n n n n n ∞=⋅∑； 答： 收敛. (4)11tan2n n n π∞+=∑． 答： 收敛.解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性：(1) 121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； 答： 收敛. (2)11[ln(1)]nn n ∞=+∑； 答：收敛.解： 解：(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑； 答：收敛.解：(4) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑其中,()n a a n →→∞，,,n a b a 均为正数．答：当b a <时收敛，当b a >时发散，当b a =时不能判断．§11.3 一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑满足,(1,2,)n n u v n ≤=,则( )．(A) 若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑发散；(B) 若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散；(C) 若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑发散；(D) 若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑未必收敛．答(D).2. 下列结论正确的是( )．(A) 1nn u∞=∑收敛，必条件收敛； (B) 1nn u∞=∑收敛，必绝对收敛；(C) 1nn u ∞=∑发散，则1nn u ∞=∑必条件收敛；(D)1n n u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛． 答(D) .2. 下列级数中，绝对收敛的是( )．(A) 1(1)31nn n n ∞=--∑; (B) 1211(1)n n n ∞-=-∑； (C) 111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑； (D) 111(1)n n n ∞-=-∑． 答(B) .3. 下列级数中，条件收敛的是( )．(A) 1(1)n n ∞-=-∑； (B) 112(1)3nn n ∞-=⎛⎫-⎪⎝⎭∑； (C) 1211(1)n n n ∞-=-∑； (D) 111(1)2n n n n ∞-=-⋅∑． 答(A) . 4. 设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛- ⎝∑( ). (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；(C) 发散； (D)敛散性与α的取值有关． 答(C).5. 设),3,2,1()11ln(cos =+=n nn a n π，则级数( ).(A)∑∞=1n na与∑∞=12n na都收敛. (B)∑∞=1n na与∑∞=12n na都发散.(C)∑∞=1n na收敛，∑∞=12n na发散. (D)∑∞=1n na发散，∑∞=12n na收敛. 答(C).6.设),3,2,1(10 =<<n na n ,则下列级数中肯定收敛的是( ). (A)∑∞=1n n a . (B)∑∞=-1)1(n n na . (C) ∑∞=2ln n n n a . (D)∑∞=22ln n n n a . 答(D). 7.下列命题中正确的是( ).(A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则21)(n n nv u+∑∞=收敛.(B)若∑∞=1n nn v u收敛,则∑∞=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛.(C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥. (D)若),3,2,1( =<n v u n n ,且∑∞=1n nu发散,则∑∞=1n nv发散. 答(A).二、填空题1. 级数11(1)n n n α-∞=-∑绝对收敛，则α的取值范围是 ． 答： 1.α> 2. 级数11sin 2n n nαπ∞=∑条件收敛，则α的取值范围是 ． 答：0 1.α<≤3. 级数2n n a ∞=∑收敛，则0(1)nn n a n ∞=-∑是条件收敛还是绝对收敛 ．答：绝对.收敛三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？(1) 1(1)n n ∞-=-∑ 答： .条件收敛解： (2)111(1)3n n n n∞--=-∑； 答： .绝对收敛 解： (3)21sin (1)n n n α∞=+∑； 答： .绝对收敛 解： (4)111(1)32n nn ∞-=-⋅∑； 答： .绝对收敛 解： (5)111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑； 答： .条件收敛 解：(6) 2112(1)!n n n n ∞+=-∑ 答： .发散 解：§11.4 幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数1nn x n∞=∑的收敛区间是( )．(A)[1,1]-； (B)(1,1)-； (C)[1,1)-； (D)(1,1]-． 答(C).2. 幂级数1(1)(1)2nnnn x n ∞=+-⋅∑的收敛区间是( )．(A)[2,2]-； (B)(2,2)-； (C)[2,2)-；(D)(2,2]-． 答(D).3. 幂级数2213nn n x n ∞=⋅∑的收敛半径是( ).(A)3R =； (B)R ； (C)13R =； (D)R = 答(B). （A ） (C)（B ）(D)4. 若级数∑∞=+1)2(n nnx C 在4x =处是收敛的，则此级数在1x =处( ).(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定． 答(C).5. 若级数∑∞=+1)2(n nnx C 在4x =-处是收敛的，则此级数在1x =处( ).(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定． 答(D).6．若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a ( ).(A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性不能确定. 答(B).二、填空题1. 幂级数21nn x n∞=∑的收敛域是 ． 答： [1,1].-2. 幂级数2123n n nn x nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛域是． 答： 11,.33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 幂级数1211(1)(21)!n n n x n --∞=--∑的收敛半径R = ，和函数是 ．答：,sin .R x =+∞4. 幂级数20(1)(2)!n nn x n ∞=-∑的收敛半径R = ，和函数是 ．答：,cos .R x =+∞5. 设0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R ，则20n n n a x ∞=∑的收敛半径为 ．答：6. 设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为4，则210n n n a x ∞-=∑的收敛半径为 ．答：2.7. 幂级数1(23)(1)21nn n x n ∞-=---∑的收敛域是 . 答：(1,2].8. 幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 .答：]2,0[.一、简答题1. 求下列幂级数的收敛域． (1)1nn nx∞=∑； 答： (1,1).- (2)121(1)nn n x n ∞-=-∑； 答： [1,1].- (3) 13nnn x n ∞=⋅∑； 答：[3,3)-． (4) 2121n n n x n ∞=+∑； 答：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．(5) nn ∞= 答：[4,6). (6)211(1)21n nn x n +∞=-+∑． 答：[1,1].-2. 用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)11n n nx∞-=∑； 答：21(),(1,1)(1)S x x x =∈--． 解：(2) 21121n n x n -∞=-∑． 答：11()ln ,(1,1)21xS x x x +=∈--．解：3*. 求级数112nn n ∞=⋅∑的和． 答：2ln 2. 解：§11.5 函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数是( )．(A) 46212!3!x x x ++++；(B) 46212!3!x x x -+-+；(C) 2312!3!x x x ++++ ； (D) 2312!3!x x x -+-+． 答(B).2. 如果()f x 的麦克劳林展开式为20n n n a x ∞=∑，则n a 是( )．()(0)(A)!n f n ；(2)(0)(B)!n f n ；(2)(0)(C)(2)!n f n ；()(0)(D)(2)!n f n ． 答(A). 3. 如果()f x 在0x x =的泰勒级数为00()n n n a x x ∞=-∑，则n a 是( )．()0(A)()n f x ；(2)0()(B)!n fx n ；(2)0()(C)!n f x n ；()0()(D)!n f x n ． 答(C). 4. 函数()sin 2f x x =展开成x 的幂级数是( )．357(A)3!5!7!x x x x -+-+； 224466222(B)12!4!6!x x x -+-+； 335577222(C)23!5!7!x x x x -+-+； 462(D)14!6!x x x -+-+． 答(C).二、填空题1. 函数()xf x a =的麦克劳林展开式为． 答： 0(ln ).!n nn a x n ∞=∑ 2. 函数12()3x f x +=的麦克劳林展开式为． 0ln 3.2!nn n xn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3. 幂级数2111(1)(21)!n n n x n -∞-=--∑的和函数是 ． 答：sin .x4. 函数1()1f x x =-的麦克劳林级数为． 答：0.n n x ∞=∑5. 函数1()1f x x=+的麦克劳林级数为． 答：0(1).n n n x ∞=-∑6. 函数()ln(1)f x x =+的麦克劳林级数为．答： 11(1).nn n x n∞-=-∑ 7. 函数()xf x e =在1x =处的泰勒级数． 答：0(1).!n n ex n ∞=-∑8. 函数1()1f x x =+在1x =处的泰勒级数．答： 10(1)(1).2nnn n x ∞+=--∑ 9. 函数1()f x x=展开成3x -的幂级数为． 答： 1(3)(1).3nnn n x ∞+=--∑ 10. 函数2()cos f x x =展开成x 的幂级数为． 答：212012(1).2(2)!n nn n x n -∞=+-∑ 11. 级数0(1)(2)!nn n ∞=-∑的和等于. 答：cos1.三、简答题1. 将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间． (1) ()ln(),(0)f x a x a =+>； 解：答：11ln()ln (1).nn nn x a x a n a ∞-=+=+-⋅∑ (2) 2()sin f x x =；解：答：2211(2)sin (1),(,).2(2)!nn n x x n ∞-==--∞+∞∑ (3) ()(1)ln(1)f x x x =++； 解：答：12(1)(1)ln(1),(1,1].(1)n nn x x x x n n -∞=-++=+--∑(4*) ()f x =；解：21212(2)!(1),[1,1].(!)2n nn n x x n +∞=⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭∑(5). 2()23xf x x x =--．解：答：211221112(2)!(1),(1,1).2343(!)2n n nn n x n x x x x n +∞-=⎡⎤⎛⎫=-+-- ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑2. 将函数()cos f x x =展开成3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的幂级数．解：答： 221011cos (1),(,).2(2)!33nn n nn x x x n ππ+∞=⎡⎤⎛⎫⎫=-+++-∞+∞⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑3*. 将函数2()ln(3)f x x x =-在1x =展开成幂级数． 解：答： 2101(1)ln(3)ln 2(1),(0,2].2n n n n x x x n ∞-=-⎡⎤-=+--⎢⎥⎣⎦∑ 4*. 将函数21()32f x x x =++展开成4x +的幂级数.解：答： 2110111(4),(6,2).3223n n n n x x x ∞++=⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭∑§11.6 2π为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系{}1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,().x x x x nx nx(A) 在区间[,]ππ-上正交； (B) 在区间[,]ππ-上不正交；(C) 在区间[0,]π上正交； (D) 以上结论都不对． 答(A).2. 函数系{}1,sin ,sin 2,,sin ,().x x nx(A) 在区间[0,]π上正交； (B) 在区间[0,]π上不正交；(C) 不是周期函数； (D) 以上结论都不对． 答(B).3. 下列结论不正确的是( )．(A)cos cos d 0,()nx mx x n m ππ-=≠⎰；(B)sin sin d 0,()nx mx x n m ππ-=≠⎰； (C)cos sin d 0nx mx x ππ-=⎰； (D)cos cos d 0nx nx x ππ-=⎰． 答(D).4. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．(A)010,()sin d n n a b f x nx x ππ==⎰；(B)010,()cos d n n a b f x nx x ππ==⎰； (C)020,()sin d n n a b f x nx x ππ==⎰；(D)020,sin d n n a b nx x ππ==⎰．答(C).5. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A)010,()sin d n n b a f x nx x ππ==⎰；(B)020,()cos d n n b a f x nx x ππ==⎰； (C)010,()cos d n n b a f x nx x ππ==⎰；(D)020,cos d n n b a nx x ππ==⎰． 答(B).二、填空题1. ()f x 是以2π为周期的函数，()f x 傅里叶级数为．答：01(cos sin ).2n n n a a nx b nx ∞=++∑其中1()cos d ,0,1,2,,n a f x nx x n πππ-==⎰1()sin d ,1,2,.n b f x nx x n πππ-==⎰2. ()f x 是以2π为周期的偶函数，()f x 傅里叶级数为．答：01cos .2n n a a nx ∞=+∑ 02()cos d ,0,1,2,.n a f x nx x n ππ==⎰其中3. ()f x 是以2π为周期的奇函数，()f x 傅里叶级数为．答：1sin .n n b nx ∞=∑ 02()sin d ,1,2,.n b f x nx x n ππ==⎰其中4. 在(),()f x x x πππ=--≤≤的傅里叶级数中，sin x 的系数为 ．答：2.5. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，sin 2x 的系数为 ．答： 1.-6. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，cos2x 的系数为 ．答：0.三、简答题1. 下列函数()f x 的周期为2π，试将其展开为傅里叶级数．(1) 2()31,()f x x x ππ=+-≤<；解：答： 221(1)()112cos ,(,).nn f x nx nπ∞=-=++-∞+∞∑(2) ,0(),0bx x f x ax x ππ-≤<⎧=⎨≤≤⎩；解：答：121[1(1)]()(1)()()()cos sin ,4n n n b a a b fx a b nx nx n n ππ-∞=⎧⎫----+=-++⎨⎬⎩⎭∑ (21).x k π≠+2. 将函数()2sin ()3xf x x ππ=-≤≤展开为傅里叶级数．解：答：121()(1)sin ,(,).91n n n f x nx n ππ∞+==---3. 将函数()cos ,()2x f x x ππ=-≤≤展开成傅里叶级数． 解：答：121241()(1)cos ,[,].41n n f x nx n ππππ∞+==+---∑4. 将函数(),(0)2xf x x ππ-=≤≤展开成正弦级数．解：答：1sin (),(0,].n nxf x n π∞==∑ 5. 将函数2()2,(0)f x x x π=≤≤展开成正弦级数和余弦级数．解：答：2331422()(1)sin ,[0,).n n f x nx n n n πππ∞=⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑ 2212(1)()8cos ,[0,].3nn f x nx nππ∞=-=+∑§11.7 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是( )．(A)coscos d 0,()lln x m xx n m l l ππ-=≠⎰； (B)sin sin d 0,()l l n x m x x n m l l ππ-=≠⎰；(C)cos sin d 0l l n x m x x l l ππ-=⎰； (D)sin sin d 0l l n x n x x l lππ-=⎰． 答(D).2. ()f x 是以2l 为周期的函数，则()f x 的傅里叶级数为( )．(A)01cos n n n n x n x a a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑；(B)01cos 2n n n a n x n x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑； (C)1nn n xb l π∞=∑； (D)01cos 2n n a n x a l π∞=+∑． 答(B). 3. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶级数为( )．01(A)cos2n n a n x a l π∞=+∑； 01(B)cos n n n xa a l π∞=+∑； 1(C)sin n n n x b l π∞=∑； 01(D)sin 2n n a n xa l π∞=+∑． 答(A). 4. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶级数为( )．01(A)sin 2n n b n x b l π∞=+∑； 01(B)cos n n n x b b l π∞=+∑1(C)sin n n n x b l π∞=∑； 1(D)cos n n n xb l π∞=∑． 答(C).二、填空题1. ()f x 是以2为周期的函数, ()f x 的傅里叶级数为.答：01cossin .222n n n a n n a x b x ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑ 111()cos d ,0,1,2,,22n n a f x x x n π-==⎰其中111()sin d ,1,2,.22n n b f x x x n π-==⎰2. ()f x 是以2l 为周期的偶函数, ()f x 的傅里叶级数为.答：01cos .2n n a n a x l π∞=+∑ 02()cos d ,0,1,2,.l n n a f x x x n l lπ==⎰其中3. ()f x 是以2l 为周期的奇函数，()f x 的傅里叶级数为.答：1sin.n n n b x l π∞=∑ 02()sin d ,1,2,.n n b f x x x n l l ππ==⎰其中4. 设()f x 是以3为周期的函数，1,10(),02x x f x x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩．又设()f x 的傅里叶级数的和函数为()S x ，则(0)S =，(3)S =．答：1(0)(3).2S S ==5. 设()f x 是以3为周期的函数，32,10(),01x f x x x -≤<⎧=⎨≤<⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =处收敛于．答：3.26. 设()f x 是以2为周期的函数，1,02()10,12x x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，又设()S x 是()f x 的正弦级数的和函数，则74S ⎛⎫= ⎪⎝⎭．答： 71.44S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为211()122f x x x ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭，试将其展开为傅里叶级数．解：答： 121111(1)()cos(2)(,).122n n f x n x ππ=∞=-=+-∞+∞∑2. 设周期函数在一个周期内的表达式为21,30()1,03x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩，试将其展开为傅里叶级数．解：答： 1221166()[1(1)]cos(1)sin ,3(21).233n n n n n f x x x x k n n ππππ∞+=⎧⎫=-+--+-≠+⎨⎬⎩⎭∑ 3*. 将函数2(),(02)f x x x =≤≤分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 123218(1)2[(1)1]sin ,0 2.2n n n n x x x n n πππ+∞=⎧⎫-=+--≤<⎨⎬⎩⎭∑ 2221416(1)cos ,0 2.32n n n x x x n ππ∞=-=+≤≤∑。
高等数学习题详解-第9章 无穷级数
习题9-11. 判定下列级数的收敛性：(1) 1n ∞=∑; (2) 113n n ∞=+∑; (3)1ln 1n n n ∞=+∑; (4) 1(1)2nn ∞=-∑;(5) 11n n n ∞=+∑; (6) 0(1)21n n nn ∞=-⋅+∑． 解：（1）11n n k S ===∑，则lim lim(11)nnnS n ，级数发散。
（2）由于14113n n nn，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。
（3）11ln[ln ln(1)]ln1ln(1)ln(1)1nnnk k n S n n n n n ，则lim lim[ln(1)]nnnS n ，级数发散。
（4） 2 , 21, 1,2,3,; 0 , 2nn k S k nk因而lim n nS 不存在，级数发散。
（5）级数通项为1nn u n ，由于1lim10nn n，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。
（6）级数通项为(1)21n nnu n ，而lim n n S 不存在，级数发散。
2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 11123n nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑; (3) 1πsin 2n n n ∞=⋅∑; (4)πcos 2n n ∞=∑．解：（1）因为111111111131111(1).23232232223nn n nk kkk n n n nk k k S 所以该级数的和为31113lim lim(),22232nn nnnSS 即1113.232nnk（2）由于1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n nn n n n，则111111111[][](1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)nnnk kS k k kk kk kn n所以该级数的和为 1111limlim [],22(1)(2)4nnn SS n n即111.(1)(2)4n n n n（3）级数的通项为sin2nu n n，由于sin2lim sinlim()02222nnnn nn，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。
级数知识点总结和例题
n
n
lim
un +1 u 1 或 lim n +1 不易计算或不存在时，不能用此法 (见例 6 评注、例 7(5)、例 9) 。 n u n u n n
5.用根植审敛法 (1)若 1 ，则
设 lim n un
n
un 收敛；(2)若 1(或 ) ，则 un 发散；
n
思路二：求 s2 n ,而 s2 n +1 =s2 n +u2 n +1 ,则 lim sn s lim s2 n lim s2 n 1 s .(见例 2 解法
n n n
1) 2.用收敛级数的性质判定级数的敛散性 (1)要判定某一级数的敛散性,可根据级数的性质将该级数转化成敛散性已知的级数来讨 论,(见例 2 解法 2,例 4,例 5).需要掌握下面三个最常用级数的敛散性: 等比级数
x
们将一些简单函数间接展开成幂级数. 11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 [l , l ] 上的函数展开为傅 里叶级数，会将定义在 [0, l ] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和 函数的表达式.
11.2 基本题型及解题思路分析 题型 1 用级数敛散性的定义与性质判定级数的敛散性
例 5 (1991-研)已知级数
(1)n1 an 2 ， a2n1 5 ，则级数 an =__________.
n 1 n 1 n 1
【分析】此题关键是弄清三个级数的一般项之间的关系。 解：因为 an 2a2 n1 (1)
n 1
an ，又 (1) n 1 an ， a2 n 1 均收敛，故由收敛级数的
无穷级数习题及详细解答
(1,5]
n1
(4) 设函数 f (x) x 1 ( x ) 的傅里叶级数的和函数为 S(x),则S(5 ) 等于 1
(5) 设 函 数 f (x) x2 (0 x ) 的 正 弦 函 数 bn sin nx 的 和 函 数 n1
S(x),则当x( , 2 )时，S(x)
( 2 x 2)
0
（1）证明 an
an2
1 (n n 1
3, 4,) ，并求级数
n3
1 n
(an
an2 )
的和；
（2）证明级数
an 收敛.
n1 n
证：（1） an
4 tan2 x tann2 xdx
0
4 sec2 x tann2 xdx
0
4 0
tan n2
xdx
1 n 1
an2 ,
即有
an
1
x cos
x2dx
1 sin
x2
1
sin1.
2 6 2! 10 4! 14 6!
0
2
02
13.
将函数
f
x
x 2 x x2
展开成 x 的幂级数.
f
x
2
x x x2
1 3
2 2
x
1 1
x
1 1
3
1
x
1 1
x
2
而
1
1n xn
1 x n0
x 1,1
1
1 x
n0
x n 2
2
x 2, 2
(x)
1
x2
a0 2
n1
an
cos nx
1
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
考研数学高数复习无穷级数常考内容及题型
考研数学高数复习无穷级数常考内容及题型考研数学高数复习无穷级数常考内容及题型高等数学是考研数学重中之重自不必说，高数知识点不少，考生要捋清孰轻孰重，可参照去年大纲复习。
店铺为大家精心准备了考研数学高数复习无穷级数的知识点，欢迎大家前来阅读。
考研数学高数复习有哪些无穷级数常考内容及题型1、考试内容(1)几何级数与级数及其收敛性;(2)常数项级数的收敛与发散的概念;(3)收敛级数的和的概念;(4)交错级数与莱布尼茨定理;(5)级数的基本性质与收敛的必要条件;(6)正项级数收敛性的判别法;(7)函数项级数的收敛域与和函数的概念;(8)任意项级数的绝对收敛与条件收敛;(9)幂级数的和函数;(10)简单幂级数的和函数的求法;(11)幂级数在其收敛区间内的基本性质;(12)幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域;(13)初等函数的幂级数展开式;(14)狄利克雷(Dirichlet)定理;(15)“无穷级数”考点和常考题型上的正弦级数和余弦级数。
(其中14-17只要求数一考生掌握，数三考试不要求掌握)。
(16)函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数;(17)“无穷级数”考点和常考题型上的傅里叶级数;2、考试要求(1)了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系;(2)理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件;(3)掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法;(4)掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件;(5)掌握交错级数的莱布尼茨判别法;(6)了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;(7)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和;(8)理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;(9)了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件;(10)了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.(其中11只要求数一考生掌握，数二、数三考试不要求掌握)(11)掌握“无穷级数”考点和常考题型的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数;3、常考题型(1)把函数展开成傅立叶级数、正弦级数、余弦级数;(2)求幂级数的和函数;(3)狄利克雷定理(4)判定级数的敛散性;(5)把函数展开成幂级数;(6)求幂级数的收敛域和收敛半径;(7)特殊的常数项级数的求和。
第八章 无穷级数
∞
∑ 【例】(07) 设幂级数 an xn 在 (−∞, +∞) 内收敛,其和函数 y(x) 满足 y′′ − 2xy′ − 4 y = 0, n=0
y(0) = 0, y′(0) = 1
(Ⅰ)证明 an+2
=
2 n +1 an , n
= 1, 2,";
(Ⅱ)求 y(x) 的表达式
∞
∑ 【例】设 an 为曲线 y = xn 与 y = xn+1 (n = 1, 2,.....) 所围成区域的面积，记 S1 = an ， n=1
(1) 在 x = 0 点收敛，在 x = −4 点发散. (2) 在 x = 3 点条件收敛.
三 幂级数的和函数与级数求和
∑ ∞
∞
幂级数 ∑ anxn 在其收敛域 D 上有和函数 s(x) = an xn (x ∈ D) 具有如下重要性质：
n=0
n=0
（1） S (x) 在收敛域 D 上的连续；
∞
∑ S2 = a2n−1 ，求 S1 与 S2 的值。 n=1
1．直接展开
∑ (1)
1
∞
= xn
1− x n=0
四 将函数展开为幂级数
x <1
∑ (2) ex = ∞ xn n=0 n!
x < +∞
∑ ∑ (3)
sin
x
=
∞
( −1)n
n=0
x 2 n +1
(2n +1)!
，
x
< +∞
(4) cos x
①逐项求导,求积 ②四则运算 ③分解或组合（常见级数的和或差）、变量代换等等
∑ 【例】（03）求幂级数1 +
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
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2011年考研数学高数预测：无穷级数(数一、三) 2011-01-12 19:26:46来源: 网易教育频道专稿跟贴0 条手机看新闻
考点1：级数收敛的概念和基本性质
考点2：正项级数敛散性的判别方法，包括比较判别法、比值判别法、根植判别法
考点3：任意项级数的绝对收敛和条件收敛，交错级数的莱布尼茨判别法
考点4：阿贝尔定理与幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域
考点5：幂级数在其收敛区间内的基本性质及和函数
考点6：幂级数的展开
考点7：有关傅里叶级数的问题(数一)
考点8：求数项级数的和
2011年考研数学高数预测：无穷级数(数一、三)
2011-01-12 19:26:46来源: 网易教育频道专稿跟贴0 条手机看新闻
核心提示：2011考研将至，网易教育将为广大考生提供最准确的考前预测和最及时的真题解析，敬请关注！
2011年考研数学高数预测：无穷级数(数一、三)
2011-01-12 19:26:46来源: 网易教育频道专稿跟贴0 条手机看新闻
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