初一数学几何图形初步认识——角的概念及计算(学案)

角的概念及计算

【知识导图】

角

钟面角

角的概念及计算

方向角

角的计算

余角和补角

知识讲解

知识点一角

（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．

（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．

知识点二钟面角

（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走

112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．

（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所

处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度

数．

（3）钟面上的路程问题

分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°

时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．

知识点三方向角

（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）

（3）画方位角：以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．知识点四角的计算

（1）角的和差倍分

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．

（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．

（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．

知识点五余角和补角

（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．

（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．

例题解析

类型一钟面角

【例题1】上午9时30分，时钟的时针和分针所成的角为( )

A.90°

B.100°

C.105°

D.120°

类型二角的识别

【例题1】下图中表示∠ABC的图是（）．

类型三角的计算

【例题1】已知∠α与∠β互补，且∠α=35º18′，则∠β=_______.

【例题2】（1）3.76°=______度_____分_______秒．

（2）3.76°=______分=______秒．

（3）钟表在8：30时，分针与时针的夹角为______度．

类型四角平分线

【例题1】如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC．OF为OE的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF是否为∠AOD的平分线．

达标训练

基础

1.下列各角中，是钝角的是（）．

A．1

4周角B．

2

3

周角C．

2

3

平角D．

1

4

平角

2.从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，•则该图中共有角的个数是（）．

A．28 B．21 C．15 D．6

3.如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）．

巩固

1.如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，

则∠BOD的度数为（）

A.50°

B.60°

C.65°

D.70°

2.在图中一共有几个角？它们应如何表示？

3.计算下列各题：

（1）153°19′42″+26°40′28″（2）90°3″-57°21′44″

（3）33°15′16″×5

提高

1、∠AOB=45°，∠BOC=75°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE=( )

A.60°

B.75°

C.60°或15°

D.70°或15°

2. 如图，直线AB、CD、EF交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，求∠EOG的度数．

课后练习

基础

1.钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是( )

A. 77.5 °

B. 77 °5′

C. 75°

D. 以上答案都不对

2. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（）

A. 30°

B. 120°

C. 90°

D. 60°