专题01-以数学文化史为背景的专题训练

合集下载

数学文化习题集试题版

2021年数学文化专项习题集110题一、数学文化与阅读 (2)二、数学文化与函数 (6)三、数学文化与数列 (8)四、数学文化与新定义 (14)五、数学文化与三角函数 (17)六、数学文化与立体几何 (20)七、数学文化与概率统计 (27)八、数学文化与排列组合 (32)九、数学文化与解析几何 (33)一、数学文化与阅读例1. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图1所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle).17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:C n r +C n r+1=C n+1r+1,其中n 是行数,r ∈N .请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 .图1 图2例2. 在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒（Sir Brook Taylor ）的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：01230!0!1!2!3!!n nxn x x x x x x e n n ∞===+++++∑，其中x ∈R ，*n N ∈，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：0!1=，1!1=，2!2=，3!6=.试用上述公式估计12e的近似值为（精确到0.001）（） A ．1.601B ．1.642C ．1.648D ．1.647例3. “克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数n 经过7次运算后首次得到1，则n 的所有不同取值的集合为____________.例4. 大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取13n =，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（） A ．9 B ．10C ．11D ．12例5. 中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）A ．B ．C ．D ．例6. 用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（）A．228617430+++=x x x27841630 ++=B．42x xC．2163842710x x x+++=++=D．43174328610x x例7.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）A．53B．63C．73D．83例8.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的A．甲辰年B．乙巳年C．丙午年D．丁未年例9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八封所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()A．33B．34C．36D．35例10.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼（）A．89条B．113条C．324条D．445条二、数学文化与函数例11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，给出下列命题： ①对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个； ②函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”；③正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形．其中正确的命题为( ) A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④例12. 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.27例13. 我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x .在理想情况下，对折次数n 有下列关系：22log 3wn x≤（注：lg20.3≈），根据以上信息，一张长为21cm ，厚度为0.05mm 的纸最多能对折___次.例14. 如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n N ∈），已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（）A ．7B ．16C ．19D ．21例15. 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法.其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.用秦九韶算法计算当0.6x =时函数()432234f x x x x =+++的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分别为（） A ．3，5.6426 B ．4，5.6426 C ．3，5.6416 D ．4，5.6416三、数学文化与数列例16. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．例17. 腾讯公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为n 级需要的天数为(*)n a n N ∈，则等级为50级需要的天数50a =__________例18. 我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二.问物几何?”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：求正整数N ，使N 除以3余2，除以5余2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的所有正整数数列{}n a 、{}n b ，{}n a 满足被3除余2，12a =，{}n b 满足被5除余2，12b =，把数列{}n a 与{}n b 相同的项从小到大组成一个新数列，记为{}n c ，则下列说法正确的是（）A ．211c a b =+B ．623c a b =C ．1046c a =D ．1242a b c +=例19. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（） A ．96里 B ．72里C ．48里D ．24里例20. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（） A ．一尺五寸 B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸例21. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋元时期数学家朱世杰在（四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为（）A ．55B ．220C ．285D ．385例22. 造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A 系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系为:x y =；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格.现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张.若A4纸的面积为2624cm ，则这9张纸的面积之和等于______2cm .例23. 《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为_____．例24. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若记堤与枝的个数分别为,m n ，现有一个等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且2a m =，6S n =，则4a =（）A ．84B ．159C ．234D ．243例25. 在进行123100++++的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列24034n na m =+，则122016...m a a a ++++=（）A ．5042m +B ．5044m +C ．504m +D ．2504m +例26. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为_____. 例27. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A ．56383B ．57171C ．59189D ．61242例28. 《张邱建算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著．书中有如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”其意思是：“现有一匹马，行走的速度逐渐变慢，每天走的里程是前一天的一半，连续行走7天，共走700里路，问每天走的里数为多少？”则该马第4天走的里数为( )A ．128127B ．700127C ．5 600127D ．44 800127例29. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（） A ．2550100,,777 B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,777 例30. 《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有（）A ．195尺B ．133尺C ．130尺D ．135尺例31. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（）A ．7尺B ．14尺C ．21尺D ．28尺例32. 朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．”该段话中的1 864人全部派遣到位需要的天数为( )A ．9B ．16C ．18D ．20例33. 我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸例34. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8⋯，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前项和，若2020a =M 则2018=S __________．(用M 表示)例35. “斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8,13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列{a n }为“斐波那契”数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 2 021＝m ，则S 2 019＝( )A ．2mB ．2m －12C ．m ＋1D ．m －1例36. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第20项为( )A ．220B ．200C ．180D ．162例37. 《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马”．马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A.507斗粟 B ．107斗粟 C.157斗粟 D ．207斗粟例38. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,问几天两只老鼠能相遇,相遇时各自打了多少尺的墙.如果墙足够厚,S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和,则S n = 尺.例39. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,如此继续,若共得到4 095个正方形,设初始正方形的边长为√22,则最小正方形的边长为 .四、数学文化与新定义例40.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)={1,x为有理数,0,x为无理数称为狄利克雷函数,则关于函数f(x)有以下四个命题:①f(f(x))=1;②函数f(x)是偶函数;③任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立;④存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.其中真命题的个数是()A.4B.3C.2D.1例41.规定记号“Δ”表示一种运算，即aΔb a＋b，a，b∈R.若1Δk＝3，则函数f(x)＝kΔx的值域是________．例42.定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2017＝1；(2)(2n ＋2)※2017＝(2n)※2017＋3.则2018※2017＝________.例43.定义：若数列{a n}对任意的正整数n，都有|a n＋1|＋|a n|＝d(d为常数)，则称{a n}为“绝对和数列”，d叫作“绝对公和”．在“绝对和数列”{a n}中，a1＝2，“绝对公和”为3，则其前2 019项的和S2019的最小值为()A．－3022B．3022C．－3025D．3035例44.设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是()A．7B．10C．25D．52例45.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为()222*,,a b c a b c N+=∈，我们把a，b，c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是_____. 例46.设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P⊗Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P⊗Q中元素的个数是()A．2 B．3C．4D．5例47. 设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a×b 是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a×b |＝( )A ．3B ．2C ．23D ．4例48. 如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为________．例49. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法一二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数()y f x =在1x x =，2x x =，()3123x x x x x =<<处的函数值分别为()11y f x =，()22y f x =，()33y f x =则在区间[]3,i x x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，1231k k k x x -=-，若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算2sin5π是（） A ．35B ．1625C ．1725D ．2425例50. 设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.将函数f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，函数f (x )与g (x )＝－x 3的图象的交点个数记为n ，则定积分⎠⎛mn g (x )d x ＝________.例51. 若计算由曲线y ＝x 及直线x ＝1和x 轴所围成的曲边三角形的面积时，可将区间[0,1]等分为若干个小区间，并以直代曲得到若干个窄边矩形，其面积表示为x i ·Δx (i ＝1,2,3，…)．当区间[0,1]被无限细分时，这些窄边矩形的面积之和将趋近于曲边三角形的面积，且面积S ＝⎠⎛01x d x .类比曲边三角形面积的求法，计算曲线y ＝x 及直线x ＝1和x 轴所围成的曲边三角形绕x 轴旋转360°所成旋转体的体积，则体积V 可以表示为( )A.⎠⎛01πx d xB.⎠⎛01π(x )2d xC.⎠⎛01x x d xD.⎠⎛019π(x )2d x例52. 已知x 为实数，[x ]表示不超过实数x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数例53.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(1,2,3)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为___________．五、数学文化与三角函数例54. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________.例55. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是S =,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边为.若sin 2sin cos C A B =，且222b c +=，则ABC 面积S 的最大值为________.例56. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A ．14B ．12C ．34D ．58例57.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦1AB=尺，弓形高π≈，=寸， 3.14CD=寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈101=尺1005sin22.5≈)13A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸例58.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB ACλμ=+，若2+=_________.=，则可以推出λμDF AF例59.干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个。

以数学文化为背景命制的高考试题

们的文学素养，使其小学生活得以升华！参考文献[1]常璐.语文教学与社会主义核心价值观的培育[J].湖北师范学院学报(哲学社会科学版)，2016,05:153-156.[2]周翔.农村小学语文核心素养价值引领的探讨[J].科学咨询(科技·管理)，2016,05:22.[3]姚春杰.小学语文名师课堂深度解析[m].华东师范大学出版社.摘要:随着课改的不断推进，高考数学也在不断的发生变化，试卷上出现了以数学文化为背景的高考试题。

在这些题目中将数学文化与时代元素相结合，不仅透露着浓厚的数学文化气息，还将数学中的相关知识与题目的解答技巧、方法等与数学文化融为一体。

在此背景下命制的题目不仅仅能够在新的情景下考察学生对于知识的理解掌握能力，还考察了学生对于知识的灵活运用能力，让学生在不同的场景中运用相应的知识，能够检测学生对于所学知识的思维广度和深度，对于提高学生学习的潜能都有很大的好处，这也是近几年高考试题的一大亮点，本文笔者将以高考中的真题为例，浅析以数学文化为背景命制的高考试题。

关键词:数学文化高考试题背景我国在数学领域对于世界的贡献无论是在古代还是在现代都很突出。

比如勾股定理，这是两千多年前我国古代的数学家尚高首次发现的，比西方的数学家毕达哥拉斯还要早三百多年的历史;赵爽证明的勾股定理的弦图，至今为止都让人们叹为观止，而且还在2002年的北京国际数学家大会上被选中作为大会的徽标，成为中国人民的骄傲，中国的数学家们以及所有的中国人民都为之自豪。

在我国还有很多伟大的像祖冲之、杨乐、张广厚、华罗庚、陈景润等在现代数学领域做出了重大贡献的一代代数学家们。

一、以圆周率为背景的高考试题在南北朝时期，我国的天文历算学家祖冲之经过自己的刻苦学习、广泛的搜集材料、测量和推算终于在460年采用刘徽的割圆术计算出了圆周率应该是在3.1415926到3.1415927之间，开创了一项世界记录。

他的计算结果比欧洲早了一千多年。

2020中考必会的数学文化背景题

2020中考必会的数学文化背景题《九章算术》——正负术【文化背景】中国古代著名的数学专著《九章算术》(成书于公元一世纪)中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．”这里的“名”就是“号”，“益”就是“加”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”．题图【中考对接】中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为()A. －2B. ＋2C. －6D. ＋6参考答案A【解析】∵正放表示正数，斜放表示负数，∴图②中所得的数值为(＋2)＋(－4)＝－2.斐波那契数列【中考对接】斐波那契数列中的第n个数可以用15[(1＋52)n－(1－52)n]表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．根据以上材料，可求出斐波那契数列中的第1个数为________；第2个数为________．参考答案1；1.杨辉三角【文化背景】杨辉三角，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年．【中考对接】1. (2019烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．(a＋b)0＝1(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5…则(a＋b)9展开式中所有项的系数和是()A.128B. 256C. 512D. 1024《易经》——结绳记数【文化背景】“结绳记数”是远古时期的人最常用的记数方法，因为那个时候还没有发明阿拉伯数字，人们在记数的时候，就只能借助外物的帮助．所谓“结绳记数”就是用打绳结的办法来记录物体的数量．传说中，古代的国王们出去打仗的时候，因为没有日历，就采取在绳子上打结的办法计算天数，绳子上所有的结都被打开的时候，也就是战争该结束的时候．第2题图【中考对接】2. (2018恩施州)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为________个．参考答案1. C【解析】取a＝1，b＝1，则可以计算(a＋b)9展开式中所有项的系数和是29＝512.2. 1838【解析】由题意，野果的数量满六进一，可得该图示为六进制数，化为十进制数为1×64＋2×63＋3×62＋0×61＋2×60＝1838.她一共采集到的野果数量为1838个．《增删算法统宗》【中考对接】1. (2019福建)《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：“有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？”已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是( )A ．x ＋2x ＋4x ＝34685B ．x ＋2x ＋3x ＝34685C ．x ＋2x ＋2x ＝34685D ．x ＋12x ＋14x ＝34685《九章算术》——百僧分百馍【中考对接】2. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．下列求解结果正确的是( )A. 大和尚25人，小和尚75人B. 大和尚75人，小和尚25人C. 大和尚50人，小和尚50人D. 大、小和尚各100人《孙子算经》——绳度木长【中考对接】3. (2019长沙)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4.50.5y ＝x －1B. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4.5y ＝2x －1C. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4.50.5y ＝x ＋1D. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4.5y ＝2x ＋1参考答案1. A 【解析】设他第一天读x 个字，∵每天阅读的字数是前一天的两倍，∴第二天阅读的字数是2x ，第三天阅读的字数是4x ，可列方程为x ＋2x ＋4x ＝34685，故选A.2. A3. A《几何原本》——一元二次方程的图解法【中考对接】第1题图1. (2018嘉兴)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a 2，则该方程的一个正根是( ) A. AC 的长 B. AD 的长 C. BC 的长 D. CD 的长《田亩比类乘除捷法》【中考对接】2. (2019张家界)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多________步．参考答案1. B 【解析】∵x 2＋ax ＝b 2，∴x 2＋ax ＋(a 2)2＝b 2＋(a 2)2，即(x ＋a 2)2＝b 2＋(a 2)2，又∵∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，∴AB 2＝b 2＋(a 2)2，即(x ＋a 2)2＝AB 2，∴x ＋a 2＝AB ，∵BD ＝a 2，∴x ＝AB －BD ＝AD .2. 12 【解析】设宽为x 步，则长为(60－x )步．∵矩形田地的面积为864平方步，∴x (60－x )＝864.解得x 1＝36，x 2＝24.当长x ＝36时，宽为60－x ＝24，此时长比宽多36－24＝12(步)；当长x ＝24时，宽为60－x ＝36，此时长比宽多24－36＝－12(步)，不符合题意，舍去．综上，长比宽多12步．海伦——秦九韶公式【文化背景】古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，记p ＝12(a ＋b ＋c )，那么三角形的面积为：S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）(海伦公式)．我国著名的数学家秦九韶于1274年在《数书九章》给出了如下公式：S ＝14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2]，其中，a ，b ，c 分别表示三角形三边长，S 为三角形的面积．海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦——秦九韶公式．【中考对接】题图(2019宜昌)古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝a＋b＋c2，那么三角形的面积为S＝p（p－a）（p－b）（p－c）.如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为()A. 66B. 63C. 18D. 19 2参考答案A【解析】∵a＝5，b＝6，c＝7，∴p＝a＋b＋c2＝5＋6＋72＝9，∴S△ABC＝p（p－a）（p－b）（p－c）＝9×（9－5）×（9－6）×（9－7）＝6 6.《数书九章》【中考对接】1.(2018长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为()A. 7.5平方千米B. 15平方千米C. 75平方千米D. 750平方千米《九章算术》——折竹抵地【中考对接】2. (2019德阳改编)《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈＝10尺)，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为________尺．参考答案1. A 【解析】∵52＋122＝132，∴该沙田为直角三角形沙田，又∵5里＝5×500米＝2500米＝2.5千米，12里＝12×500＝6000米＝6千米，该沙田的面积为＝12×6×2.5＝7.5平方千米．2. B 【解析】设折断处离地面的距离为x 尺，则折断处离尖端的距离为(10－x )尺，根据题意可得x 2＋32＝(10－x )2，解得x ＝4.55.赵爽弦图【文化背景】赵爽，三国吴人，是三国到南宋时期三百多年间中国杰出的数学家之一．他在注解《周髀算经》中给出的“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性，如图所示，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形．通过对这个图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．证明方法如下：设直角三角形的三边中较短的直角边为a ，另一直角边为b ，斜边为c ，朱实面积＝2ab ，黄实面积＝(b －a )2＝b 2－2ab ＋a 2，朱实面积＋黄实面积＝a 2＋b 2＝大正方形面积＝c 2.【中考对接】(2019邵阳)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是________．参考答案4【解析】∵勾a＝6，弦c＝10，∴股b＝8，∴AD＝8－6＝2，∴小正方形的面积是4.《九章算术》——圆材埋壁【中考对接】1.(2019广西北部湾经济区)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为________寸．第1题图割圆术【文化背景】3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．【中考对接】2. (2019孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S －S 1＝______．(π取3.14)第2题图参考答案1. 26 【解析】如解图，作DE ⊥AB 于点H ，连接OA ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝5寸．设OH ＝x 寸，∴OD ＝OA ＝(x ＋1)寸，∴(x ＋1)2＝x 2＋52，解得x ＝12，∴OA ＝OD ＝13寸，∴DE ＝2OD ＝26寸，即圆材的直径为26寸．.第1题解图2. 0.14 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥OB 于点D .S ＝πr 2＝π，∠AOB ＝360°12＝30°.∵OA ＝1，∴AD ＝12OA ＝12，S 1＝12S △OAB ＝12×12·OB ·AD ＝12×12×1×12＝3.∴S －S 1≈0.14.第2题解图牟合方盖【中考对接】我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( )题图参考答案C。

数学文化练习题数学在不同文化中的应用

数学文化练习题数学在不同文化中的应用数学文化练习题:数学在不同文化中的应用数学作为一门学科，在全球范围内都扮演着重要的角色。

它不仅仅是一种计算工具，更是一种文化载体。

数学在不同的文化中，以各种形式得以应用和发展。

本文将通过几个具体的例子，探讨数学在不同文化中的应用。

一、古埃及文化中的数学应用古埃及文化是世界上最古老的文明之一，而数学在古埃及文化中也占据非常重要的地位。

古埃及人善于利用数学解决日常生活中的问题，尤其是建筑和土地测量方面。

他们使用了一种独特的计数系统，基于“凑十法”。

这种计数方法中，数字1~9被表示为横线和点，而数字10则用一个卜字符号表示。

这种计数系统使得古埃及人能够进行复杂的计算，并设计出精确的建筑和工程方案。

二、古希腊文化中的几何学古希腊文化对现代数学几何学的发展影响深远。

古希腊人将几何学从实际问题中提炼出来，形成了独立的数学学科。

他们研究了三角形、多边形和圆形等几何图形的性质和定理。

其中最著名的是欧几里得的《几何原本》。

这本书系统概述了数学公理和定理，并建立了一套完整且严密的推理方法，对后世的数学研究产生了深远的影响。

三、中国古代文化中的“六艺”之数学中国古代文化中的数学应用有着独特的特点。

在古代中国，数学与其他五种艺术技能一起，统称为“六艺”。

古代中国人将数学应用于土地测量、日历制定、农业技术等方面。

在数学的传承和发展中，中国出现了许多杰出的数学家，如《九章算术》的编纂者秦九韶、《数书九章》的作者刘徽等。

他们的研究成果对于后世的数学发展起到了重要的推动作用。

四、阿拉伯文化中的代数学阿拉伯文化对代数学的发展做出了巨大贡献。

阿拉伯数学家通过将字母和符号引入数学，创造性地解决了一系列复杂的代数问题。

阿拉伯人的代数学成果在欧洲中世纪时期被传入，对于欧洲数学的发展产生了极大的影响。

举例来说，阿拉伯数学家穆罕默德·本·穆萨所著的《和合分之法》是西方最早的代数学专著之一，其中介绍了二次方程的求根方法，对于后来的代数学发展起到了重要的推动作用。

高中数学文化情景题专题1 斐波那契数列(以斐波那契数列为背景的高中数学考题题组训练)解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题1 斐波那契数列（以斐波那契数列为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即()*21n n n a a a n N ++=+∈，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”.记2022a t =，则1352021a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．2t B ．1t - C ．t D ．1t +【答案】C 【解析】【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可. 【详解】由()*21n n n a a a n N ++=+∈，得202220212020202120192018a a a a a a =+=++=⋅⋅⋅=20212019322021201931a a a a a a a a t ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=.故选：C.2．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a a ++++=-，则k 等于（）A ．12B ．13C ．89D ．144【答案】A 【解析】【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可. 【详解】2357911457911791191681011112,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++++++=+=++==所以k 等于12，故选：A3．斐波那契数列指的是这样一个数列：11a =，21a =，当3n ≥时，12n n n a a a --=+.学习了斐波那契数列以后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学报出的数为1，第二位同学报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的同学有几个？（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出所报数构成的数列即可判断. 【详解】由题意知所报数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610…5a ，10a ，15a ，20a ，25a ，30a 均为5的倍数，故有6个同学．故选：C ．4．斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（） A ．512 B ．14C ．13D ．712【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式写出前12项，找出质数的个数，利用古典概型求概率公式进行求解. 【详解】由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，所以基本事件数共有12，其中质数有2，3，5，13，89，共5种，故是质数的概率为512P =．故选：A ．5．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的第2022项为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】【分析】根据数列各项的规律可知{}n b 是以6为周期的周期数列，由此可得202260b b ==. 【详解】由题意知：数列{}n a 为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,⋅⋅⋅，则数列{}n b 为：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,⋅⋅⋅，即数列{}n b 是以6为周期的周期数列，2022337660b b b ⨯∴===. 故选：A.6．斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：121a a ==，()*123,.n n n a a a n n N --=+≥∈ 已知2222123mma a a a a ++++是该数列的第100项，则m =（） A ．98 B ．99 C ．100 D ．101【答案】B 【解析】【分析】根据题意推出2121a a a =，222321a a a a a =-，，211m m m m m a a a a a +-=-，利用累加法可得211mi m m i a a a +==∑，即可求出m 的值.【详解】由题意得，2121a a a =，因为12n n n a a a --=-，得222312321()a a a a a a a a =-=-，233423432()a a a a a a a a =-=-，，21111()m m m m m m m m a a a a a a a a +-+-=-=-，累加，得222121m m m a a a a a ++++=，因为22212m ma a a a +++是该数列的第100项，即1m a 是该数列的第100项，所以99m =. 故选：B.7．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列{}n F ，此数列满足：121F F ==，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即*21()n n n F F F n N ++=+∈，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（）A ．672B ．674C ．1348D ．2022【答案】C 【解析】【分析】先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项. 【详解】121F F ==，故32F =，4563,5,8F F F ===，故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶），且周期为3，因为20223674=⨯，故奇数的个数为67421348⨯=，故选：C.8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列，现将{}n a 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n b ，则下列四个结论：①20211b =； ①123202120221a a a a a ++++=-； ①12320212694b b b b ++++=；①2222123202120212022a a a a a a ++++=.其中正确结论的序号是（） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①【答案】B 【解析】【分析】根据数列{}n b 的周期性，结合数列{}n a 的性质进行求解判断即可. 【详解】因为11b =，21b =，32b =，43b =，51b =，60b =，71b =，81b =，…，所以{}n b 是以6为周期的周期数列，所以202151b b ==，所以①正确；因为123202133782696b b b b ++++=⨯=，所以①错误；因为1232021a a a a ++++()()()()()()324354202120202022202120232022a a a a a a a a a a a a =-+-+-++-+-+-2023220231a a a =-=-，所以①错误；因为2222222123202112232021a a a a a a a a a ++++=++++()2222212320212332021a a a a a a a a a =++++=+++=，所以()22222123202120202021202120212020202120212022a a a a a a a a a a a a ++++=+=+=，所以①正确.故选：B9．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a a ++++=-，则k 等于（）A ．12B ．14C ．377D ．608【答案】A 【解析】【分析】利用21n n n a a a ++=+可化简得357911212a a a a a a a +++=++，由此可得12k =. 【详解】由21n n n a a a ++=+得：3579115791179112468911a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++=+==++101112a a a =+=，357912211a a a a a a a ++++=-∴，即12k =. 故选：A.10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则()()()()31425310098-+-+-+⋅⋅⋅+-=a S a S a S a S （）A ．0B ．1C ．98D ．100【答案】C 【解析】【分析】推导出当2n ≥时，21n n a S +-=，结合311a S -=可求得所求代数式的值. 【详解】当2n ≥时，11n n n a a a -++=，则11n n n a a a +-=-，故当2n ≥时，()()()1231314211n n n n S a a a a a a a a a a a +-=++++=+-+-++-()()1341123111n n n n a a a a a a a a a a +-+=++++-++++=+-，此时()11a S a a a a -=+-+-=，又因为31211a S -=-=，因此，()()()()3142531009898a S a S a S a S -+-+-+⋅⋅⋅+-=. 故选：C.11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则其中不正确结论的是（）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=-C ．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()121)4(3n n n n c c a n a π--+-≥=⋅【答案】C 【解析】【分析】A 选项由前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形即可判断；B 选项由()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N 结合累加法即可判断；C 选项通过特殊值检验即可；D 选项表示出221111,44n n n n c a c a ππ--==，作差即可判断. 【详解】由题意知：前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形，其面积为()211111n n n n n n n S a a a a a a +++++=+=+，A 正确；32143221,,,n n n a a a a a a a a a ++=+=+=+，以上各式相加得，2212n n a a a a a +-=+++，即1221n n a a a a ++++=-，B 正确；12345613561,2,3,5,8,817a a a a a a a a a a ======∴++=≠-=，C 错误；易知221111,44n n n n c a c a ππ--==，()()()221111214()(3)n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a n πππ-----+∴-=-=-+=≥，D 正确.故选：C.12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，记121nin i aa a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（）A ．105a =B ．()2233n n n a a a n -+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答. 【详解】依题意，{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即1055a =，A 正确；依题意，当3n ≥时，12n n n a a a --=+，得2121223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ---+-+=+++=++=+，B 正确；由给定的递推公式得：321a a a -=，432a a a -=，…，202120202019a a a -=，累加得20212122019a a a a a -=+++，于是有1220192021220211a a a a a a +++=-=-，即2019202111i i a a ==-∑，C 错误；2121a a a =⋅，222312321()a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，2021202220212020a a a a =⋅-⋅，累加得22212202120212022a a a a a +++=⋅，D 正确.故选：C 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.13．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足： 12211,n n n a a a a a ++===+. ，记121nin i aa a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（）A ．1055a =B ．223(3)n n n a a a n -+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑【答案】C 【解析】【分析】根据给定的数列的递推公式，逐项分析、推理计算即可判断作答．【详解】依题意，数列{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即1055a =，所以A 正确；当3n ≥时，122121223n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a -----+-+=+=+++=++=+，，所以B 正确；由12211,n n n a a a a a ++===+，可得321432202120202019,,,a a a a a a a a a -=-=-=，累加得20212122019a a a a a -=+++则122019202122021220211a a a a a a a a +++=-=-=-，即2019202111i i a a ==-∑，所以C 错误；由2212122312321,()a a a a a a a a a a a ==-=-，233423432(),a a a a a a a a =-=-，220212021202220202021202220212020()a a a a a a a a =-=-，所以22212202120212022a a a a a +++=⋅，所以D 正确.14．数列{}n a ：1,1,2,3,5,8,13,21,34…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．202220211a S =- B ．202220201a S =+ C ．202220202a S =+ D ．202220212a S =-【答案】B 【解析】【分析】利用迭代法可得2n a +123211n n n n a a a a a a ---=+++++++，可得21n n a S +=+，代入2020n =即可求解. 【详解】由题意，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，所以211n n n n n n a a a a a a ++-=+=++=...123211n n n n a a a a a a ---=+++++++，所以21n n a S +=+，令2020n =，可得202220201a S =+，故选：B 【点睛】关键点点睛：理解数列新定义的含义得出21++=+n n n a a a ，利用迭代法得出2n a +123211n n n n a a a a a a ---=+++++++，进而得出21n n a S +=+.15．斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()123n n n a a a n --=+≥，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出2221220212021a a a a ++⋅⋅⋅是斐波那契数列的第（）项.A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【解析】【分析】由斐波那契数列的递推关系可得21121n n n n n a a a a a ++++=-，应用累加法求2222021122021T a a a =+++，即可求目标式对应的项.【详解】由12n n n a a a ++=-，则1222111()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-，又1a =21a =，所以2121a a a =，223221a a a a a =-，234332a a a a a =-，…，220212021202102222020a a a a a =-，则222022021122021202221T a a aa a ==+++，故2221220212021202220212021...a a a Ta a a +++==. 故选：C16．斐波那契数列（Fibonacci sequence ），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为{}n a ，则222122021a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．20202021a aB ．20202022a aC ．20212022a aD ．20222023a a【答案】C 【解析】【分析】由21n n n a a a ++=+，则12n n n a a a ++=-，且12a a =，可得222122021a a a ++⋅⋅⋅+()212321a a a a a a =+-()()20202021201920202021202220212020a a a a a a a a +⋅⋅-⋅-++，化简即可求解. 【详解】由已知条件可知21n n n a a a ++=+，则12n n n a a a ++=-，且12a a =，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220202020202120192020202120192020a a a a a a a a =-=-，()220212021202220202021202220212020a a a a a a a a =-=-，上述各式相加得222122021a a a ++⋅⋅⋅+()()()()202020212019202020212022202122123213243002a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅++-20212022a a =.故选：C .17．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈，121a a ==，则()20222120221,2,,2022ii ai a ==⋅⋅⋅∑是数列{}n a 的第几项？（） A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023【答案】D 【解析】【分析】由题意结合递推关系式,采用累加求和可得202221i i a =∑的值，进一步做比值即可．【详解】由题意可得211a =，2223123()1a a a a a a =⋅-=⋅-， 233423432()a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，，220222022202320212022202320222021()a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，累加得：22212202220222023a a a a a +++=⋅，即20222202220231i i a a a ==⋅∑，20222120232022ii a a a ==∑,故选：D ．18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论错误的是（） A ．854S = B ．135720192020a a a a a a +++++=C ．2468202020211a a a a a a +++++=-D ．20202019201820172021S S S S a +--=【答案】D【分析】利用“斐波那契数列”的定义及数列的性质对选项A 、B 、C 、D 逐一分析即可得答案．【详解】解：对A ：81238...112358132154S a a a a =++++=+++++++=，故选项A 正确；对B ：由“斐波那契数列”的定义有2020201920182019201720162019201720152014a a a a a a a a a a =+=++=+++20192017201532a a a a a ==+++++，因为21a a =，所以135720192020a a a a a a +++++=，故选项B 正确；对C ：由“斐波那契数列”的定义有202120202019202020182017202020182016421a a a a a a a a a a a a =+=++==++++++，因为11a =，所以2468202020211a a a a a a +++++=-，故选项C 正确；对D ：()()()()202020192018201720202018201920172019202020182019202120202022S S S S S S S S a a a a a a a +==++--=--++=+，故选项D 错误．故选：D ．19．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2022项和为（）A ．2698B ．2697C ．2696D ．2695【答案】C 【解析】【分析】根据()*12123,,1n n n a a a n n a a --=+⋯∈==N , 递推得到数列{}n a ,然后再得到数列{}n b 是以6为周期的周期数列求解.因为()*12123,,1,n n n a a a n n a a --=+⋯∈==N所以数列{}n a 为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,⋯此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列{}n b 为:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,是以 6 为周期的周期数列, 所以20222022=(1+1+2+3+1+0)=26966S . 故选：C.20．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列{}n a 的说法不正确的是（） A ．2021a 是奇数 B ．62420202021a a a a a ++++=C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202120212022a a a a a a ++++=【答案】B 【解析】【分析】直接根据斐波那契数列的递推关系21n n n a a a ++=+及数列求和，相消法的应用进行判断即可求解. 【详解】因为{}n a 的项n a 具有2奇1偶，3项一周期的周期性，所以2021a 是奇数，所以A 正确；因为34682020562020201920202021a a a a a a a a a a a +++++=+++==+=，所以B 错误；因为13520212352021452021202020212022a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++=+++=+=，所以C 正确；因为()22222222212320211223202121232021a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++=++++()22222332021323202134202120212022a a a a a a a a a a a a a =+++=+++=++==，所以D 正确．故选：B. 二、填空题21．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中奇数的个数为_______．【答案】1348 【解析】【分析】根据已知数据进行归纳，发现规律，再结合题意，即可求得结果. 【详解】对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，又20223674=⨯，故该数列前2022项有67421348⨯=个奇数. 故答案为：1348.22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是______．①733S = ①202220241S a =- ①135********a a a a a ++++= ①2222123202120212022a a a a a a ++++=【答案】①①①① 【解析】【分析】根据斐波那契数列的定义验证各结论是否正确．【详解】71123581333S =++++++=，①正确；2024202220232022202120222022202120202021a a a a a a a a a a =+=++=+++==2022202123a a a a ++++=2022202121220221a a a a a S +++++=+，所以202220241S a =-，①正确；20222021202020212019201820212019322021201931a a a a a a a a a a a a a a =+=++=++++=++++，①正确 222222221232021202120221232020202120212022()a a a a a a a a a a a a a ++++-+++-=++2222123202020212020a a a a a a =+++++-21120a a a ==-=，①正确．故答案为：①①①①．23．意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{}n a ，其中121a a ==，有以下几个命题： ①()12n n n a a a n ++++=∈N ；①2222123445a a a a a a +++=⋅；①135********a a a a a ++++=；①()2212221n n n a a a n +++=⋅-∈N ．其中正确命题的序号是________．【答案】①①① 【解析】【分析】根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以()12n n n a a a n ++++=∈N ，①正确.22221234451143915,515a a a a a a =+++++⋅=⨯=+=，①正确.202220212020202120192018a a a a a a =+=++ 2021201920172016a a a a =+++=202120192017201532a a a a a a =++++++202120192017201531a a a a a a =++++++，所以①正确.当1n =时，222134n a a +==，22224111312n n a a a a +⋅-=⋅-=⨯-=，所以①错误.故答案为：①①①24．斐波那契数列（Fibonaccisequence ）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….已知在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，()21N n n n a a a n +++=+∈，若2022a m =，则数列{}n a 的前2020项和为___________（用含m 的代数式表示）. 【答案】1m -##1m -+ 【解析】【分析】通过累加得到22n n a a S +=+即可求得前2020项和. 【详解】由21n n n a a a ++=+，可知11n n n a a a +-=+，……，432a a a =+，321a a a =+，将以上各式相加得1312121222n n n n n a a a a a a a a +-++++++++=++，整理得22n n a a S +=+，则2020202221S a a m =-=-. 故答案为：1m -.25．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列{}n a 满足：12a =，410a =，且21n n n a a a ++=+（n *∈N ），记数列{}2n a 的前n 项和为n S ，若2852p S =，则p =___________. 【答案】7 【解析】【分析】根据递推关系写出{}n a 的前面若干项，利用并项求和法求得n S ，从而确定p 的值. 【详解】①43212222210a a a a a a =+=+=+=，①24a =，36a =，则数列{}n a 中的项依次为2，4，6，10，16，26，42，68，…，又214a =，()222312312a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，()244534543a a a a a a a a =-=-，…，()21111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-=⋅-=⋅-⋅，将上面的式子相加，可得1124n n n S a a a a +=⋅-+，又77812442682442852S a a a a =-+=⨯-⨯+=，①7p =. 故答案为：726．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci )从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为121a a ==，()21N*n n n a a a n ++=+∈．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式⎡⎤=-⎥⎦n n n a 等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-，从而易得21a ＋22a ＋23a ＋…＋2126a 值的个位数为__________．【答案】4 【解析】【分析】先根据()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案. 【详解】因为()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-，所以()()()2123213432126127126125a a a a a a a a a a a a a +-+-++-211261271261271a a a a a a =-+=.又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以1266,a a 的个位数字相同，1277,a a 的个位数字相同，易知67658,13a a a a ==+=，则2438=⨯，所以126127a a 的个位数字为4. 故答案为：4.27．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为________.【答案】2276 【解析】【分析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，知{}n a 是周期为8的数列，即可求出数列{}n a 的前2022项的和. 【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，{}n a ∴是周期为8的数列，一个周期中八项和为112022109+++++++=，又202225286=⨯+，∴数列{}n a 的前2022项的和2022252982276S =⨯+=. 故答案为：2276.28．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{}n a 满足10a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，若记1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，则2022a =________．（用M ，N 表示）【答案】1M N ++ 【解析】【分析】由已知两式相加求得2020=+S N M ，1352019a a a a M ++++=得20181=-=S M a M ，2462020a a a a N ++++=得到20191=-S N ，从而得到202020202019a S S =-，201920192018=-a S S ，利用21n n n a a a ++=+可得答案.【详解】因为1352019a a a a M ++++=，由1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，得2020=+S N M ，所以()()()()11362018102451201728+++++++=+=++a a a a a a a a a a S M ，得20181=-=S M a M ，因为2462020a a a a N ++++=，所以()()()224201820192019251320911+++++++=-+=+=a a a a a a a S a a S N ，20191=-S N ，所以()()20202020201911==+--+-=a S S N M N M ，()20192019201811=-=--=--a S S N M N M ，所以202120192020=+=a a a N ，2022202020211=+=++a a a M N . 故答案为：1M N ++.29．斐波那契数列{}n a 满足：12211,1,n n n a a a a a ++===+．该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，设2221212,n n n n S a a a T a a a =+++=+++，给出以下三个命题：①22213n n n n a a a a +++-=⋅； ①21n n S a +=-； ①2111n n n n T a a a +++=+⋅．其中真命题的是________________（填上所有正确答案）【答案】①①①【解析】【分析】根据斐波那契数列的特点及所给条件进行分析计算确定正误.【详解】2121n n n n n n a a a a a a ++++=+⇒-=，32+1n n n a a a ++=+，所以21213()()n n n n n n a a a a a a ++++++-=⋅，即22213n n n n a a a a +++-=⋅，故①正确；211112321,n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++---=+=+=+⋅⋅⋅=+相加可得：22n n a a S +=+即21n n S a +=-，故①正确；因为1221111()=(2)n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n a a a --++-=+⋅=+⋅⇒⋅⋅≥⋅-，所以23221433212221121121n n n n n n a a a a a a a a a T a a a a a a a +++++=++++=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅又121,1a a ==，可得2111n n n n T a a a +++=+⋅，故①正确.故答案为：①①①.30．意大利数学家斐波那契(1175年1250-年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即*21()n n n a a a n ++=+∈N ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为11515()()225⎡⎤+-=-⎢⎥⎣⎦n n n a ．设n 是不等式2log (15)(15)211n n n ⎡⎤+-->+⎣⎦的正整数解，则n 的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】]n n ->n n n a ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，则11225n a >，根据数列{}n a 的单调性，求出11225n a >成立的n 的最小值，即可求出答案.【详解】由题知((11211n nn⎡⎤->+⎢⎥⎣⎦，①((11211n nn⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦，①((21111n n n⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦，即((1111n nn⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦①((211log112n nn⎡⎤-⎢⎥⎣⎦>，①11n n⎡⎤⎢⎥->⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，①11n n->⎝⎭⎝⎭，11n n⎡⎤⎥->⎥⎝⎭⎝⎭⎦令n nna⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，则数列{}na即为斐波那契数列，11na∴>，即11225na>，显然数列{}n a为递增数列，所以数列{}2n a亦为递增数列，不难知道713a=，821a=，且112725a<，112825a>，①使得11225na>成立的n的最小值为8.故答案为：8.。

数学历史模拟试题

数学历史模拟试题在历史长河中，数学作为一门发展至今仍然广受关注的学科，承载着人类思维的精华和智慧的结晶。

本文将通过模拟试题的形式，回顾数学历史的重要里程碑和突出人物，带领读者一同探索这门学科的千年发展历程。

一、古代数学时代（约公元前3000年-公元6世纪）1. 古巴比伦数学试题1：请列举古巴比伦数学中已知的三个重要发现，并简要解释其意义。

2. 古代埃及数学试题2：埃及人如何应用数学知识解决日常生活中的问题？请以解释埃及三角法的发现为例。

二、古希腊数学时代（公元前6世纪-公元6世纪）1. 毕达哥拉斯学派试题3：简述毕达哥拉斯定理的内容及其在几何学中的应用。

2. 现代数学基础之一：欧几里得几何学试题4：欧几里得几何学的五条公理是什么？他们对后续数学发展产生了什么样的影响？三、印度数学时代（公元6世纪-公元14世纪）1. 数字系统与十进制试题5：印度人对数字系统和十进制的贡献是什么？他们在商业和科学领域中是如何应用这一体系的？2. 数学与宗教哲学试题6：解释印度数学家发现的零与无穷大的概念对数学哲学的影响。

四、阿拉伯数学时代（公元8世纪-公元16世纪）1. 《大书论数》的影响试题7：《大书论数》对欧洲数学有何重要影响？列举至少两个例子。

2. 十进制法与小数试题8：阐述阿拉伯科学家在十进制法和小数中的突出贡献，并简要解释其在商业和科学领域中的应用。

五、现代数学时代（公元16世纪至今）1. 笛卡尔坐标系的发现试题9：简要介绍笛卡尔坐标系的概念及其在数学发展中的意义。

2. 微积分的诞生与发展试题10：牛顿和莱布尼茨各自在微积分中的贡献是什么？他们的发现对科学和工程领域的影响如何？通过以上试题，我们回顾了数学历史中一些重要的时期和里程碑事件，展示了各个时代数学家的杰出贡献。

纵观数学发展历程，我们不禁为这门学科的深邃和广泛应用而感叹。

数学无疑是人类思维和文明进程中不可或缺的一环，它不断指引着我们前进的方向，促使我们了解世界的本质和规律。

“数学文化”专题

“数学文化”专题1 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( )A ．134石B ．169石C ．268石D ．338石解析设这批米内夹谷约为x 石，根据随机抽样事件的概率得x 1 534＝28254，得x ≈169，故选B 。

答案 B2 《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道 “竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升。

问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)。

问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为( )A.72B.3733C.6766D.1011 解析设从最下节往上的容量构成等差数列{a n }，公差为d 。

则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝4a 9＋a 8＋a 7＋a 6＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝44a 1＋26d ＝3，解得a 1＝9566，d ＝－766，中间为第五节，即a 5＝a 1＋4d ＝9566＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－766＝6766，故选C 。

答案 C3 如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( )A．0B．2 C．4D．14解析由题知，若输入a＝14，b＝18，则第一次执行循环结构时，由a＜b知，a＝14，b＝b－a＝18－14＝4；第二次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝14－4＝10，b ＝4；第三次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝10－4＝6，b ＝4；第四次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝6－4＝2，b＝4；第五次执行循环结构时，由a＜b知，a＝2，b＝b－a＝4－2＝2；第六次执行循环结构时，由a＝b知，输出a＝2，结束，故选B。

数学文化练习题

一、填空题1、毕达哥拉斯学派发现第一个不能被整数比的数是：22、数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式：恩格斯3、四色猜想的提出者：英国人古德里4、不属于数学起源的河谷地带：密西西比河6、现代数学起源于：19世纪20年代8、高等数学的研究范围不包括：常量11、上海路佳明发现的元朝玉桂：1986年15、极限理论的创立者：柯西二、选择题1、数学文化这个词最早出现于：（ C）A.1986年B.1974年C.1990年D.1996年2、下列不属于黄金分割点的是：（C）A.印堂B.膝盖C.鼻子D.都不对4、《几何学》的作者是：（C）A.牛顿B.莱布尼兹C.笛卡尔D.柯西5、南开大学每年出的杂志，收录数学文化课的学生优秀读书报告，叫做：（ A）A.数学之美B.数学与文化C.数学文化课文集D.数学6、1820-1870年是现代数学的（ C）A.形成阶段B.繁荣阶段C.酝酿阶段D.衰落阶段8、数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的科学，这个定义是（ B）说的:A.R·柯朗B.恩格斯C.华罗庚D.程景润9、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理在西方叫做：（ B）A.商高定理B.毕达哥拉斯定理C.勾股定理D.都不对12、下列不属于数学起源的河谷地带的是：（ C）A.非洲的尼罗河B.印度的恒河C.北美的密西西比河D.都不对13、上海陆家明发现的元朝玉挂，过去只有在印度才发现过这种“完全幻方”，这个玉挂的发现时间是：（ B）A.1996年B.1986年C.1976年D.1982年15、现代数学起源于：（C）A.十九世纪初B.十九世纪末C.十九世纪二十年代D.二十世纪18、下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：（ B）A.了解数学的思想B.提高解数学题的能力C.学会以数学方式的理性思维观察世界D.都不对22、大多数植物的花瓣数都符合（C）A．黄金分割 B.素数分割 C裴波那契数列 D.都不对27、四色猜想的提出者是哪国人： (B)A．法国 B．英国 C．美国 D．中国32、下面哪一项不是黄金分割点 (A)A．印堂 B．肚脐 C．膝盖 D．肘关节33、（）关于化归提出了“烧水”的例子。

以数学文化背景的高考数学命题

数学文化背景的高考试题背景一：杨辉三角杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。

1.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则（1）第9行的第2个数是66；（2）若第n（n≥2）行的第2个数为291，则n=18．2.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页．而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第10行从左边数第3个位置上的数值是（）A．B．C．D．3.[2006湖北L-15]将杨辉三角（如图（1））中的每一个数都换成分数，就得到一个如图（2）所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．从莱布尼茨三角形可以看出：，其中x=r+1．背景二：古希腊多边形数教材背景：必修⑤数列引入1.[2009湖北L-W-10]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.13782.[2012湖北W-17]传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。

他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（Ⅰ）b 2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b 2k-1=______。

（用k 表示）3.[2013湖北L-14]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。

记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n n n =-六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。

2020中考必会的数学文化背景题

数学史习题

数学史习题介绍数学是一门古老而又深奥的学科，它以逻辑推理和数学符号为基础，研究数量、结构、变化以及空间的关系。

通过解决问题和应用于实际情境，数学帮助我们理解世界的运行方式。

在数学史上，我们可以追溯到古代人类对数学问题的思考和解决方法。

以下是一些数学史习题，用以挑战你的数学思维能力。

1. 古代埃及的图像文字系统是一种非常有趣的表达方式，其中包含了数学符号。

请从以下线描图像中，尝试找出代表数字的符号：─────────│││─────────││───────────2. 古希腊人开创了几何学，其中最著名的问题之一是希俄斯岛上的“中值定理”。

在一个三角形中，通过连接一个角的顶点到对边的中点，将三角形划分为两个面积相等的小三角形。

请证明这个定理。

3. 著名的欧几里德几何学有着丰富的数学问题，其中之一是“平行公设”。

在几何学中，我们一直认为平行线永远不会相交。

然而，在19世纪初，这个公设被质疑，并且后来被证明是无法从其他公设中推导出来的。

请尝试找到一种方法，通过欧几里德几何学中的其他公设来证明平行线不会相交。

4. 中国古代数学在代数方面也有很大的贡献。

请试着解决以下古老的中国算术题：“有三种商品，一种每个10个卖1元，一种每个3个卖1元，一种每个2个卖1元，现在有20元，请问你最多可以买到几个商品？”5. 在17世纪，法国数学家皮埃尔·德费马提出了著名的费马大定理。

这个定理声称a^n + b^n = c^n在n大于2时没有正整数解。

这个问题困扰了数学界很长时间，直到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

请尝试提出你自己的证明或解释怀尔斯的证明。

6. 经典力学是数学和物理学的结合。

牛顿第二定律F=ma描述了力、质量和加速度之间的关系。

请使用这个公式解决以下问题：一个物体质量为2kg，施加在它上面的力为5N，求它的加速度。

7. 概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的发生概率。

以数学文化史为背景的专题训练

专题1 以数学文化史为背景的专题训练题型一渗透数学文化的数列题1.【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为（）钱A. B. C. D.2.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．829尺 B．1629尺 C．3229尺 D．12尺3.【2017届湖南长沙一中高三月考五】“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（［注释］三升九：3.9升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）A.1.9升 B.2.1升C.2.2升D.2.3升4.【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期第五次联考】在我刚明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（）A. 盏灯B. 盏灯C. 盏灯D. 盏灯5.【2017届湖北孝感市高三上学期第一次统考试】《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是： .6.【2017届河南漯河高级中学高三12月月考】“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a，则此数列的项数为_____________．7.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则（Ⅰ）__________；（Ⅱ）若，则__________．（用表示）8.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．题型二渗透数学文化的立体几何题9.【2017届福建省漳州市七校高三联考】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式3169d V人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A．3169d V B．32d V C．3300157d V≈D．32111d V≈10.【2017届河北唐山市高三理上学期期末】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A.4B.642+C.442+D.211.【2017届湖南郴州市高三理第二次质监】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =++下下上上•）. A ． 2寸 B ．3寸 C. 4寸 D ．5寸12.【2017届湖南长沙雅礼中学高三文月考】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣和（牟和）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的的正视图和俯视图分别可能是（）A ．b a ,B ．c a ,C. b c , D ．d b ,13.【2017届湖南师大附中高三理上学期月考四】《九章算术》是我国古代内容记为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积112V=⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中圆周率π的取值为．题型三渗透数学文化的程序框图题14.【2017届三省高三上学期百校大联考】下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数书九章》中的“秦九韶算法”求多项式的值.执行程序框图，若输入01a=，11a=，20a=，31a=-，则输出u的值为（）A．2 B．1 C．0 D．-115.【2017届云南大理州高三理上学期统测一】下边程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入,m n分别为225、135，则输出的m=（）A．5 B．9C．45 D．9016.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的分别为，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为（）A. 248B. 258C. 268D. 278题型四渗透数学文化的函数题17.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())1f f x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ， 33(,())C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形．其中真命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1题型五渗透数学文化的复数题18.【2017届四川双流中学高三文必得分训练8】欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题型六渗透数学文化的概率题19.【2017届重庆巴蜀中学高三12月月考】“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. 31 343- 3 20.【2017届广东潮阳黄图盛中学高三月考】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 .题型七渗透数学文化的推理题21.【2017届四川成都市高三理一诊】我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[]0,3上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ____________．22.【2017届湖南省长沙市雅礼中学高三月考】如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(1)1-，处标数字2，点(0)1-，处标数字3，点(11)--，处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(0)1，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =，．题型七渗透现代科技或数学时事的创新题23.【2017福建莆田二十四中高三理月考】把11化为二进制数为( ).A.1 011(2)B.11 011(2)C.10 110(2)D.0 110(2)。

高中数学二轮复习专题一常考小题点数学文化背景题专项练理课件

8
关闭
.
关闭
B
解析
-4- 答案
一、选择题
二、填空题
3.(2019山东潍坊高三三模,文11)五行学说是华夏民族创造的哲学
思想,是华夏文明重要组成部分.古人认为,天下万物皆由金、木、
水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、火、土彼此
之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素,则2类元
.故选
3

6
B.
=
4
3
=
关闭
B
解析
-12-答案
一、选择题
二、填空题
关闭
由三视图还原该几何体如下.
可得,该几何体可看作由两个相同的四棱柱拼接而成,且四棱柱底面
为直角梯形,由题中数据可得,底面的上底为 3,下底为 6,高为 3,四棱
柱的高为 3.因此,该几何体的体积为
关闭
1
1
2
2
C ×(3+6)×3×3+ ×(3+6)×3×1=54.故选 C.
意思是:“现有一根金锤,长5尺,头部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤”,若该
金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少
斤?(
)
A.6斤 B.7斤 C.9斤D.15斤
关闭
因为每一尺的重量构成等差数列{an},a1=4,a5=2,∴a1+a5=6,数列
的前 5 项和为 S5=5×
1 + 5
为 n=2 016;…故
018-i”,故选
D.
D
处可填“i≤2 017?”,
中的结果应
处应填“n=2
解析
关闭
-6- 答案

以数学文化背景的高考数学命题

数学文化背景的高考试题背景一：杨辉三角杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.13782.[2012湖北W-17]传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。

（用k 表示）3.[2013湖北L-14]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。

高考数学新题型含详解：文化背景

高考数学新题型：文化背景1．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据: 1.414≈，1.732≈)（）A ．1.012米B ．2.043米C ．1.768米D ．2.945米2．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．则下列说法不正确的是（）注：“相差”是指差的绝对值A ．立春和立冬的晷长相同B ．立夏和立秋的晷长相同C ．与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长D ．与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长3．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A ．27B ．42C ．55D ．2104．自宋朝以来，折扇一直深受文人雅土的喜爱，在扇面(折扇由扇骨和扇面组成)上题字作画是生活高雅的象征.现有一位折扇爱好者准备在如图所示的扇面上题字，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面部分的概率为（）A ．47B ．34C ．1649D ．40495．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、.癸酉，甲戌、乙亥、丙子、.癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60个组合，周而复始，循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2019年是“干支纪年法”中的（）A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年6．黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为12的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C ，D为AB 的两个黄金分割点，研究发现如下规律：AC BD CD AB AB BC ===若CDE △是顶角为36°的等腰三角形，则cos 216︒=（）A ．514-B ．14-C ．512-D ．12-7．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A ．30B ．40C ．44D ．708．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦+矢）⨯矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据： 3.14π≈ 1.73≈）A ．220平方米B ．246平方米C ．223平方米D ．250平方米9．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A ．3sin θB ．3cos θC ．12sin θD ．12cos θ10．“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，为探究下面“瓦当”图案的面积，向半径为10的圆内投入1000粒芝麻，落入阴影部分的有400粒.则估计“瓦当”图案的面积是（）A ．40B ．40πC ．4D ．4π11．明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则sin 2α=（）A ．1235B ．17C ．817D ．81512．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到6sin 的近似值为（）A ．30πB ．60πC ．90πD ．180π13．中国的少数民族有不少具有鲜明特色的建筑，如图①所示的建筑为坐落于广西三江林溪河上的程阳永济桥，是典型的侗族建筑，该类建筑由桥、塔、亭组成，其中塔、亭建在石桥上，具有多层结构，被称为世界十大最不可思议桥梁之一，因为行人过往能够躲避风雨，故名“风雨桥”.已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列.若这四层六边形的周长之和为156，，则最外层六边形的周长为（）A ．54B ．48C ．42D ．3014．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得60AB =米，60BC =米，40CD =米，60ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD 大约为（）．（结果精确到1米）1.414≈ 1.732≈2.236≈ 2.646≈）A ．39米B ．43米C ．49米D ．53米15．祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立.据此，短轴长为6cm ，长轴为8cm 的椭球体的体积是（）3cmA ．24πB ．48πC ．192πD ．384π16．龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u ，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则被抽到的3个数的数字之和超过16的概率为（）A ．1340B ．720C ．14D ．31017．“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图．圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为（）A ．85kmB ．42.5kmC ．50kmD ．100km18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周四尺.高三尺.何积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为4尺.米堆的高为3尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A ．7斛B ．3斛C ．9斛D ．12斛19．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音1c 的频率正好是中音c 的2倍.已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是（）A ．dB ．fC ．eD ．#d20．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．)02a b a b +>>>B ．()2220a b ab a b +>>>C ．)20ab a b a b <>>+D ．)02a b a b +<>>21．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为（）A ．37B ．47C ．314D ．111422．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36o 的等腰三角形（另一种是顶角为108 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126= （）A ．14-B ．38+C ．14+D ．48+23．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（）A ．55πB ．60πC ．63πD ．68π24．玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8cm ，孔径4.9cm 、外径17.6cm .琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像.兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为（单位：3cm ）（）A ．6250B ．3050C ．2850D ．235025．我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为2a 的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h 的平面为α，记平面α截牟合方盖所得截面的面积为S ，则函数()S f h =的图象是（）A ．B ．C ．D ．26．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t的函数关系式为（）A ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞B ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞C ．2sin 16h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞D ．2sin 16h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞二、多选题27．如图所示，4个长为a ，宽为b 的长方形，拼成一个正方形ABCD ，中间围成一个小正方形1111D C B A ，则以下说法中正确的是（）A ．2()4a b ab+≥B ．当a b =时，1A ，1B ，1C ，1D 四点重合C ．2()4a b ab-≤D ．22()()a b a b >+-三、填空题28．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以化的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧 AB 的长度为π，则该勒洛三角形的面积为___________.29．我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，即祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图1)．在xOy 平面上，将双曲线的一支2214x y -=及其渐近线12y x =和直线y =0，y =2围成的封闭图形记为D ，如图2中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω，利用祖暅原理试求Ω的体积为________．30．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放a ，b 个坛子，一共堆了n 层，则酒坛的总数(1)(1)(2)(2)(1)(1)S ab a b a b a n b n =+--+--+⋅⋅⋅+-+-+个.现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为______.31．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，则球的半径R =______________．32．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积和周长.如图①，若用圆的内接正六边形的面积1S ，来近似估计半径为1的O 的面积，再用如图②的圆的内接正十二边形的面积2S 来近似估计半径为1的O 的面积，则21S S -=______.（结果保留根号）33．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为______34．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为___________cm .35．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图1），扇面形状较为美观．从半径为20cm 的圆面中剪下扇形OAB ，使扇形OAB 的面积与圆面中剩余部分的面积比值为12-（12≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比值为12-．则一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图2）的面积为________cm 2．36．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大”，如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且射线QB 相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN∠取最大值时，点P 的坐标为___________37．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928'︒，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱柱ABCDEF A B C D E '''''﹣的三个顶点,,A C E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M ABF -，O BCD -，N DEF -，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构．如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则cos θ=________.（用含tan 5444'︒的代数式表示）38．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.39．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.40．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，53.14,sin 22.513π≈≈ ，答案四舍五入，只取整数．．．．．．．．．．．）41．若点M 在平面α外，过点M 作面α的垂线，则称垂足N 为点M 在平面α内的正投影，记为()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合）1()Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，2()Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭；②存在点P 使得1//PQ 平面β；③存在点P 使得12PQ PQ ^；其中正确结论的序号是______.42．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：数字形式123456789纵式横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示.如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为______.43．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，13AA =，11A BCC -外接球的表面积为25π，则阳马111A BCC B -体积的最大值为_________.44．《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ ABCD -，下底面ABCD 是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ 的中点R 在底面ABCD 上的投影为矩形ABCD 的中心点O ，//PQ AB ，4AB =，3AD =，2PQ =，1OR =（长度单位：丈）.则楔体PQ ABCD -的体积为___________（体积单位：立方丈）.四、双空题45．在中国古代数学著作《九章算术》的“方田”篇中，有一篇关于环形田的面积计算问题：今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？答：二亩五十五步，其大致意思为：现有一个环形田（如图），中周长92步，外周长122步，径长5步，问田的面积是多少？答：2亩55步2，则根据该问题中的相关数据可知该题所取的圆周率的近似值是______；若已知某环形田的中周长1l步，外周长2l步，径长c步，则该环形田的面积为______．（单位：步2）．参考答案1．C【分析】先计算弓所在的扇形的弧长，算出其圆心角后可得双手之间的距离.【详解】弓形所在的扇形如图所示，则 AB的长度为5 288πππ+=，故扇形的圆心角为58=524ππ，故55 1.414 1.7675 1.76844AB=≈⨯=≈.故选：C.2．D【分析】根据对称性判断出说法不正确的选项.【详解】根据对称性可知：立春和立冬的晷长相同、立夏和立秋的晷长相同、春分和秋分的晷长相同；与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长（冬至晷长最大，夏至晷长最小）.所以说法错误的是D.故选：D【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，属于基础题.3．B【分析】根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为()5132，化为十进制数即可得出结果.【详解】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为()5132，化为十进制数为()251321535242=⨯+⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题.4．D 【分析】求出整个折扇和只有扇骨处的面积，相减即得扇面的面积，代入几何概型概率公式即可得解.【详解】S 大扇形212aR =，S 小扇形212r α=，22294014949R r P R -∴==-=.故选：D.【点睛】本题考查了扇形的面积公式和几何概型，考查了计算能力，属于简单题.5．A 【分析】根据“干支纪年法”依次写出2011-2019年的“干支纪年”，得到结果.【详解】2011年是辛卯年，2012年是玉辰年，2013年是癸已年，2014年是甲午年，2015年是乙未年，2016年是丙申年，2017年是丁酉年，2018年是戊戌年，2019年是己亥年.故选：A 【点睛】本题考查新定义，重点考查读懂题意，列举法，属于基础题型.6．A 【分析】由题可得BC CE =，可得12CD CE =，设2CE =，1CD =-，即可由余弦定理求出cos36︒，再由诱导公式即可求出.【详解】由题意得在正五角星中，C ，D 为AB 的两个黄金分割点，易知BC CE =.。

专题01-以数学文化史为背景的专题训练

专题1 以数学文化史为背景的专题训练题型一渗透数学文化的数列题1.【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为（）钱A. B. C. D.2.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．829尺 B．1629尺 C．3229尺 D．12尺3.【2017届湖南长沙一中高三月考五】“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（［注释］三升九：3.9升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）A.1.9升B.2.1升C.2.2升D.2.3升4.【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期第五次联考】在我刚明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（）A. 盏灯B. 盏灯C. 盏灯D. 盏灯5.【2017届湖北孝感市高三上学期第一次统考试】《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是： .6.【2017届河南漯河高级中学高三12月月考】“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a，则此数列的项数为_____________．7.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则（Ⅰ）__________；（Ⅱ）若，则__________．（用表示）8.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．题型二渗透数学文化的立体几何题9.【2017届福建省漳州市七校高三联考】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式3169d V≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A．3169d V≈B．32d V≈．3300157d V≈D．32111d V≈10.【2017届河北唐山市高三理上学期期末】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A.4B.642+C.442+D.211.【2017届湖南郴州市高三理第二次质监】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =++下下上上•）. A ． 2寸 B ．3寸 C. 4寸 D ．5寸12.【2017届湖南长沙雅礼中学高三文月考】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣和（牟和）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的的正视图和俯视图分别可能是（）A ．b a ,B ．c a ,C. b c , D ．d b ,13.【2017届湖南师大附中高三理上学期月考四】《九章算术》是我国古代内容记为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积112 V=⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中圆周率π的取值为．题型三渗透数学文化的程序框图题14.【2017届三省高三上学期百校大联考】下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数书九章》中的“秦九韶算法”求多项式的值.执行程序框图，若输入01a=，11a=，20a=，31a=-，则输出u的值为（）A．2 B．1 C．0 D．-115.【2017届云南大理州高三理上学期统测一】下边程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入,m n分别为225、135，则输出的m=（）A．5 B．9C．45 D．9016.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的分别为，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为（）A. 248B. 258C. 268D. 278题型四渗透数学文化的函数题17.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())1f f x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ， 33(,())C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形．其中真命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1题型五渗透数学文化的复数题18.【2017届四川双流中学高三文必得分训练8】欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题型六渗透数学文化的概率题19.【2017届重庆巴蜀中学高三12月月考】“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. 31-B. 3C. 43-D. 320.【2017届广东潮阳黄图盛中学高三月考】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 .题型七渗透数学文化的推理题21.【2017届四川成都市高三理一诊】我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[]0,3上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ____________．22.【2017届湖南省长沙市雅礼中学高三月考】如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(1)1-，处标数字2，点(0)1-，处标数字3，点(11)--，处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(0)1，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =，．题型七渗透现代科技或数学时事的创新题23.【2017福建莆田二十四中高三理月考】把11化为二进制数为( ).A.1 011(2)B.11 011(2)C.10 110(2)D.0 110(2)。

专题01-以数学文化史为背景的专题训练

数学文化习题集 试题版

以数学文化为背景命制的高考试题

2020中考必会的数学文化背景题

数学文化练习题数学在不同文化中的应用

高中数学文化情景题专题1 斐波那契数列(以斐波那契数列为背景的高中数学考题题组训练)解析版

数学历史模拟试题

“数学文化”专题

数学文化练习题

以数学文化背景的高考数学命题

2020中考必会的数学文化背景题

数学史习题

以数学文化史为背景的专题训练

高中数学二轮复习专题一常考小题点数学文化背景题专项练理课件

以数学文化背景的高考数学命题

高考数学新题型含详解：文化背景

专题01-以数学文化史为背景的专题训练

数学文化习题集试题版