曲线和方程典型例题

典型例题一例1如果命题“坐标满足方程f x, y 0的点都在曲线C上”不正确，那么以下正确的命题是(A)曲线C上的点的坐标都满足方程f x, y 0 .(B)坐标满足方程f x, y 0的点有些在C上，有些不在C 上.(C)坐标满足方程f x, y 0的点都不在曲线C 上.(D)—定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f x, y 0 .分析：原命题是错误的，即坐标满足方程 f x, y 0的点不一定都在曲线C上，易知答案为D.典型例题二例2说明过点P(5, 1)且平行于x轴的直线I和方程y 1所代表的曲线之间的关系.分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可•其中“曲线上的点的坐标都是方程f(x,y) 0的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性•这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则.解：如下图所示，过点P且平行于x轴的直线I的方程为y 1，因而y在直线I上的点的坐标都满足y 1，所以直线I上的点都在方程y 1表示的曲线上.但是以|y 1这个方程的解为坐标的点不会都在直线I上，因此方 ------ ■ —程y 1不是直线I的方程，直线I只是方程|y 1所表示曲线的一部分. |1说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性.典型例题三例3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程y x所表示的直线之间的关系.分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析.解：方程y x所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等•但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程y x，例如点(3,3)到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方程y x.因此不能说方程y x就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程y x所表示的轨迹.说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性•只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线.典型例题四例4曲线x2 (y 1)2 4与直线y k(x 2) 4有两个不同的交点，求k的取值范围.有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于 x 的一元二次方程的判别式分别满足 0、0、 0.y k(x 2) 4,2 2x (y 1) 4.k 2)x 2 2k(3 2k)x (3 2k)2 4 04k 2 (3 2k)2 4(1 k 2)[(3 2k)2 4]24(4k 12k 5) 4(2k 1)(2k 5)说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方 程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲 目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析.典型例题五例5若曲线y ax 与y x a(a 0)有两个公共点，求实数 a 的取值范围.分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解” ，从而研究一元二次方程的解的个数问题•若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发.y ax解法一：由得：y ay ay x a••• y 0，二 y 2 a 2( y a)2，即(a 21)y 2 2a 3y a 40 .要使上述方程有两个相异的非负实根.4a 6 4a 4 (a 2 1)则有：2a 3 -2 0 a 1 4 a 2 0 a 1解：由得(10 即(2k 1)( 2k 5) 0,即卩丄 2kI 时，直线与曲线有两个不同的交点•0 即(2k 1)(2k 5) 0,即 k 1或 k 2-时，直线与曲线有一个交点.21 0 即(2k 1)(2k 5) 0,即 k —或 k2 5时，直线与曲线没有公共点. 2又••• a 0•••解之得：a 1 ••••所求实数a 的范围是(1,) •解法二：y ax 的曲线是关于y 轴对称且顶点在原点的折线，而 y x表示斜率为1且过点(0,a)的直线，由下图可知，当a 1时，折线的右支与直线 不相交•所以两曲线只有一个交点，当 a 1时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点.说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求•若题设条件中“ a 0 ”改为a R 呢，请自己探求.典型例题六例6已知 AOB ，其中A(6,0) , 0(0,0) , B(0,3)，则角 AOB 平分线的方 程是y x (如下图)，对吗？分析：本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内 角平分线是一条线段.解：不对，因为AOB 内角平分线是一条线段 OC ，而方程y x 的图形是一条直线•如点P(8,8)坐标适合方程y x ，但点P 不在 AOB 内角AOB 的平分线上.综合上述内角 AOB 平分线为：y x(0 x 2) •说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线 的范围.典型例题七例7判断方程y, x 22x 1所表示的曲线.分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先 将方程进行等价变形.解：由原方程y x22x 1可得:二方程y x22x 1的曲线是两条射线，如图所示：说明：判断方程表示的曲线， 在化简变形方程时要注意等价变形.如方程x 1 , y 2等价于2 2x 1，即 yx 1(x 1), x 1 (x 1),(x 1) y 2且x 1，即y (x 1) 2(x 1)，原方程的曲线是抛物线一部分.典型例题八例8如图所示，已知A、B是两个定点，且AB 2，动点M到定点A的距离是4,线段MB的垂直平分线I交线段MA于点P，求动点P的轨迹方程.分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点P满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系.连结PB ,则PM PB ,由此PA |PB |PA PM | AM | 4，即动点P到两定点A，B距离之和为常数.解：过A , B两点的直线为x轴，A , B两点的中点0为坐标原点，建立直角坐标系•/ AB 2 ,••• A, B 两点坐标分别为(1,0), (1,0) •连结PB •••T垂直平分线段BM ,• PM PB ,PA PB PA PM AM 4 •设点P(x, y)，由两点距离公式得•、(x 1)2y2(X 1)2y24,化简方程，移项两边平方得(移项)1厂y2 4 x •两边再平方移项得：1，即为所求点P轨迹方程.说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P点与两定点A , B距离之和为常数4 , 是解本题的关键.方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性.典型例题九例9过P 2,4点作两条互相垂直的直线|1, |2，若^交|1轴于A , 中点M的轨迹方程.解：连接PM，设M x, y，则A2x,0 , B 0,2y .l1 l2•PAB为直角三角形.由直角三角形性质知1PM 一AB 2即V x 2 2 y 4 2丄* ―4y22化简得M的轨迹方程为x 2y 5 0说明：本题也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此本题可有三种解法•用斜率求解的过程要麻烦一些.典型例题十说明：由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适 当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看便知是直线.而解法三得 到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦•因此，在求曲线方程时， 根据具体情况适当选取坐标系十分重要.另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表 述时应强调曲线的方程，而不是曲线.典型例题十一例ii 两直线分别绕着定点 A 和B ( AB 2a )在平面内转动，且转动时保持相互垂直， 求两直线的2 例10求与两定点A 、B 满足方程.分析：按求曲线方程的方法步骤求解. PB2 2k 2( k 是常数)的动点 P 的轨迹解法一：如图甲，取两定点A 和B 的连线为 x 轴, 过AB 的中点且与 AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系.设A(a,0) , B(a,0) , P(x, y),则：PA 2 (x a)图用PB2(x 2 2a) y .据题意,PAPB222k 2，有(x a)2(x a)2k 2 得 4ax k 2.k2由于k 是常数，且a 0，所以x 为动点的轨迹方程, 4a即动点P 的轨迹是 条平行于 y 轴的直线.解法二：如图乙，取A 与B 两点连线为x 轴，过A 点且与 AB 垂直的直线为轴建立坐标系.设 A(0,0) , B(a,0), P(x,y)，则:PA ,PB2(x a)2据题意,PAPBI 2 亠22kxy(x a)2 直线.解法三: PA 2 212a k 卄一- ,即动点 2aP 的轨迹方程为x ;k2,它是平行于2ay 轴的一条据题意,如图丙建立坐标系，设A(x 1 , y 1), (x x i )2 (y y i )2, PB 2 PAPB2 2k ，有2 2 2(x X i ) (y y i ) (x X 2) (y 整理后得到点P 的轨迹方程为:2 22(X 2 X i )x 2( y 2 y i )y X iy i B(X 2 , y 2), P(x, y)，则(x X 2)2 (y y 2)2.2 2V 2) k ,2 2 2X 2 y 2 k 2 0，它是一条直线.交点P 的轨迹方程.分析：建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式. 解：取直线 AB 为x 轴，取线段 AB 的中点0为原点建立直角坐标系，则:这就是两直线的交点 P 的轨迹方程. 说明：本题易出现如下解答错误:取直线AB 为x 轴，取线段 AB 的中点0为原点建立直角坐标系，则:设 P(x , y)，则A( a,0)与B(a , 0)应为所求方程的解.纠正的方法是：当PA 或PB 的斜率不存在时，即x a 时，A( a,0)和B(a,0)也在曲线上,故所求的点P 的轨迹方程是x2y 2 a 2.求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分.典型例题十二例12如图，Rt ABC 的两条直角边长分别为 a 和b (a b), A 与B 两点分 别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角顶点C 的轨迹方程.分析：由已知 ACB 是直角，A 和B 两点在坐标轴上滑动时，AOB 也是直角，由平面几何知识， A 、C 、B 、0四点共圆，则有 ABC AOC , 这就是点C 满足的几何条件•由此列出顶点 C 的坐标适合的方程.解：设点C 的坐标为(x , y)，连结CO ,由 ACB 点共圆.从而 AOC ABC •由 tan ABC , tan AOC '，有，即y x .ax x aa注意到方程表示的是过原点、 斜率为-的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴A( a ,0) , B(a , 0)，交点P 属于集合CP PA PB Pk pA1，即 x 2 y 2a ).要知道，当PA x 轴且另一直线与 x 轴重合时，仍有两直线互相垂直,此时两直线交点为 A .同样PB x 轴重合时，且另一直线与 x 轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为B .因而,A( a,0), B(a,0) , P 属于集合 C P PA设 P(x , y)，则(x a)2y 2 (x a)2 y 2 (2a)2，化简得x 2PB AB a 2a), k pBAOB 90，所以 A 、O 、B 、C 四a上滑动，由于a、b为常数，故C点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分.我们可考察A与B两点在坐标轴上的极端位置，确定C点坐标的范围.如下图，当点A与原点重合时,SABC 2ABX 2 ^ b2X，所以x 如下图，当点B与原点重合时,由射影定理，BC22a-------- •由已知aa2b2故C点的轨迹方程为: abC点的横坐标x BD BD AB，即a2x a2b2 b，所以ab-a2b22b2b2说明：求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适合的部分.典型例题十三例13过点P(3,2)作两条互相垂直的直线)l i、I2，若l i交x轴于A，12交y轴于B，M在线段AB上，且AM : BM 1:3,求M点的轨迹方程.分析：如图，设M (x, y)，题中几何条件是l i I2，在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为一i,所以要求M的轨迹方程即x、y之间的关系，首先要把l i、I2的斜率用x、y表示出来，而表示斜率的关键是用x、y表示A、B两点的坐标，由题可知M是A、B的定比分点，由定比分点坐标公式便可找出A、B、M坐标之间的关系，进而表示出A、B两点的坐标, 并求出M点的轨迹方程.解：设M (x , y)，A(a, 0), B(0,b)••• M在线段AB上，且••• M分AB所成的比是a门3I ，得-b3i3• A(3x,0)、又••• P(3,2),AM :4x 3 ，4yB(0,4y) • l i的斜率k i BM i:3 •hrLO/—,l2的斜率k2电口34x 33••T1 l2 , •2 4y 21o431化简得：4x8y 130 •相等得到)分析2：此题也可以先用 P 、A 、M 三点共线表示出 A 点坐标，再根据 坐标，然后利用 Q 、B 、M 三点共线也可求得轨迹方程.说明：本题的上述解题过程并不严密, 9 9因为k i 需在x 时才能成立，而当x 时，A(3,0),4 4 l i 的方程为x 3 •所以J 的方程是y 2 •故B(0,2)，可求得M (9,丄)，而(-,-)也满足方程 4 2 4 2 4x 8y 13 0 •故所求轨迹的方程是 4x 8y 13 0 •这类题在解答时应注意考虑完备性和纯 粹性. 典型例题十四 例14如图，已知两点 P( 2,2), Q(0,2)以及一直线l :y x ，设长为 2的线段AB 在直线l 上移动•求直线 PA 和QB 的交点M 的轨迹方程. 分析1 ：设M (x , y)，题中的几何条件是 AB <2，所以只需用 (x, y)表示出A 、B 两点的坐标，便可求出曲线的方程，而要表示 A 点坐标可先找出 A 、M 两点坐标的关系，显然 P 、A 、M 三点共线•这 样便可找出 A 、M 坐标之间的关系，进而表示出 A 的坐标，同理便可表示出B 的坐标，问题便可以迎刃而解. 解法一：设 M (x, y)、A(a ,a)、B(b, b) (b a) • P\ /y Q//JM 三点共线可得: (利用PA 与MP 斜率x 22x 2yy 4由Q 、 B 、M 三点共线可得又由 AB、2 得 2( a b)2••• b 2x 2y1, • 亠x y 2 x y 4化简和所求轨迹方程为：x 2 y 2 2x2y 8AB 、• 2表示出B 点解法二：设 M(x,y), A(a,a)由AB J2且B 在直线y x 上且B 在A 的上方可得：B(a 1, a 1)3x y 4 2 x y 4 3x y 4 x y 4化简得所求轨迹方程为：x 2 y 22x 2y 8 0 .解法三：由于 AB J 2且AB 在直线y x 上 所以可设 A(a,a)，B(a 1,a 1).•••所求轨迹方程为x2y 2 2x 2y 80.说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，而后一种方法，事实上它涉及到参数的思想(a 为参数)，利用交点求轨迹方程•一般先把交点表示为关于参数的坐标，然后消去参数，这也反 映出运动的观点.1•下列各组方程中，表示相同曲线的一对方程是 A . y 、x,x y 2B 。