数列型不等式的证明.docx

数列型不等式证明的常用方法

一． 放缩法

数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多

省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的 一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从

下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧，

例如 归一技巧、

抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧 ，仅供参

考 .

1 归一技巧

归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或

若干项全部转化为 同一项 ，或是将和式的通项中的一部分转 化为 同一个式子 （或数值），既达到放缩的目的，使新的和 式容易求和 .

归一技巧有 整体归一、分段归一。

例如

1

1 1 1

设 n 是正整数，求证

n 1

n 2

1．

2 2n

1

1

1

【证明】 n 1

n 2

L

2n

1 1 1 1

1 .

2n 2n

2n 2n

2

14444244443

个 1

n

2n

1

1

L

1

另外： n 1 n 2

2n

1 1 1 1

n n n n

1 .

144424443

n

个 1 n

1

1

【说明】在这个证明中，第一次我们把

n 1 、

n

2

、

1

1

L

2n 这些含 n 的式子都 “归一” 为 2n ，此时式子同时变小，

1

1

L

1

1

顺利把不易求和的 n 1 n 2 2n 变成了 n 个 2n 的 和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和，

这就是 “归一” 所达到的效果。 而不等式右边的证明也类似

.

1.1 整体归一

放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一” .

例 1. 数列 a n 的各项均为正数， S n 为其前 n 项和，对于任

意 n N * ，总有 a n , S n ,a n 2

成等差数列 .

( Ⅰ ) 求数列 a n 的通项公式；

( Ⅱ ) 设数列 b n 的前 n 项和为 T n

，且

b n

ln n x

，求证:对

2

a n

任意实数 x 1, e （ e 是常数， e ＝

）和任意正整数 n ，

总有 T n 2 ；

（Ⅰ）解：由已知：对于

n

N * ，总有 2S n

a n a n 2 ①成立

∴ 2S n 1

a

n 1

a

n 1

2

（n ≥ 2 ）②

① -- ②得 2a n a n

a n

2

a

n 1

a n 1

2

∴ a n

a

n 1

a n

a n 1

a

n

a

n 1

∵ a n , a n 1 均为正数， ∴ a n a n

1

1

（n ≥ 2）

∴数列 a n

是公差为 1 的等差数列

又

n=1 时， 2S

a

a

2

， 解得 a

1

1

1

1 =1

∴ a n

n .(

n

N * )

（Ⅱ）证明：∵对任意实数

x

1, e 和任意正整数

n ，总有

ln n

x

1

.

b n

2

≤

n

2

（放缩通项， 整体归一 ）

a n

∴

T

1 1

1

1

1

1

1

n

2 2 2

1 2

2 3

n 1n

1

2

n

（放缩通项， 裂项求和 ）

1

1

1

1

1

1

1 1

2

3

n 1

2

2

2

n

n

例 2. 已知数列

a n 中的相邻两项 a 2 k 1，

a 2 k 是关于 x 的方程

x

2

(3k 2k

) x

3k 2

k

0 的两个根，且

a 2k 1 ≤ a 2k (k

1，2，3，L ) ．

（ I ）求 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 7 ；

（ II ）求数列 a n 的前 2n 项和 S 2n ；

1

sin n

（Ⅲ）记

f (n)

3

，

2

sin n

T n

( 1) f (2)

( 1) f (3)

( 1) f (4)

⋯

( 1)f (n 1)

a 1a 2

a 3a 4 a 5a 6

，

a 2n 1

a

2n