高考二轮培优专题六 第8讲 圆锥曲线的探索性问题

第8讲 探索性问题 母题 已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .

(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，

求此时l 的斜率；若不能，说明理由．

(2)思路分析

❶假设四边形OAPB 能为平行四边形

↓

❷线段AB 与线段OP 互相平分

↓

❸计算此时直线l 的斜率

↓

❹下结论

(1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．

将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得

(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，

故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9

. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k

，即k OM ·k ＝－9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．

(2)解 四边形OAPB 能为平行四边形．

因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.

由(1)得OM 的方程为y ＝－9k

x . 设点P 的横坐标为x P ，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2

得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝⎛⎭⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m (3－k )3

， 因此x M ＝k (k －3)m 3(k 2＋9)

. 四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.

因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形． [子题1] 已知椭圆C ：x 24

＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2. (1)若M 为C 上任意一点，求|MF 1|·|MF 2|的最大值；

(2)椭圆C 上是否存在点P (异于点A 1，A 2)，使得直线P A 1，P A 2与直线x ＝4分别交于点E ，F ，且|EF |＝1？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

解 (1)由椭圆的定义可知|MF 1|＋|MF 2|＝4，

∴|MF 1|·|MF 2|≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝4， 当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝2时等号成立，

∴|MF 1|·|MF 2|的最大值为4.

(2)假设存在满足题意的点P .

不妨设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则－2

由题意知直线P A 1的方程为y ＝y 0x 0＋2

(x ＋2)， 令x ＝4，得y E ＝6y 0x 0＋2

， 直线P A 2的方程为y ＝y 0x 0－2

(x －2)，

令x ＝4，得y F ＝2y 0x 0－2

， 由|EF |＝y E －y F ＝

6y 0x 0＋2－2y 0x 0－2＝4x 0y 0－16y 0x 20－4＝4y 0(x 0－4)－4y 20＝4－x 0y 0＝1，得x 0＝4－y 0， 由x 20＋4y 20＝4，得5y 20－8y 0＋12＝0，

∵Δ＝－176<0，∴此方程无解．

故不存在满足题意的点P .

[子题2] (2020·合肥适应性检测)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点(2,0)作直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一点A ，使得x 轴平分∠MAN ？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．

解 ①当直线l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x 轴上任意一点A (不与点(2,0)重合)，都可使得x 轴平分∠MAN ；

②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －2)，

y 2＝4x ， 消去y 得k 2x 2－(4k 2＋4)x ＋4k 2＝0，

显然Δ>0，

∴x 1＋x 2＝4k 2＋4k 2，x 1x 2＝4，(*) 假设在x 轴上存在一点A (a ,0)，使得x 轴平分∠MAN ，

∴k AM ＋k AN ＝0，∴y 1x 1－a ＋y 2x 2－a

＝0， ∴y 1(x 2－a )＋y 2(x 1－a )(x 1－a )(x 2－a )＝0， 又y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)，

∴2x 1x 2－(a ＋2)(x 1＋x 2)＋4a x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＝0， 把(*)式代入上式化简得4a ＝－8，

∴a ＝－2，∴点A (－2,0)，

综上所述，在x 轴上存在一点A (－2,0)，使得x 轴平分∠MAN .

规律方法 探索性问题的求解策略

(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．

(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论． 跟踪演练

1．已知椭圆G ：x 24

＋y 2＝1，点B (0,1)，点A 为椭圆G 的右顶点，过原点O 的直线l 与椭圆G 交于P ，Q 两点(点Q 在第一象限)，且与线段AB 交于点M .是否存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 设Q (x 0，y 0)，则P (－x 0，－y 0)，

可知0

假设存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍，则|OP |＝3|MQ |，即|OQ |＝3|MQ |，

即OM →＝23

OQ →＝⎝⎛⎭⎫23x 0，23y 0，得M ⎝⎛⎭⎫23x 0，23y 0. 又A (2,0)，∴直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.

∵点M 在线段AB 上，∴23x 0＋43

y 0－2＝0， 整理得x 0＝3－2y 0，①

∵点Q 在椭圆G 上，∴x 204

＋y 20＝1，② 把①式代入②式可得8y 20－12y 0＋5＝0，

∵判别式Δ＝(－12)2－4×8×5＝－16<0，

∴该方程无解．

∴不存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍．

2．(2020·滁州模拟)已知椭圆E ：x 24＋y 23

＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且|CD |·|AB |＝12137

？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．