高考数学 一轮 2.9函数模型及其应用 理 苏教

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思维升华
实际生活中的二次函数问
题(如面积、利润、产量
等)，可根据已知条件确
定二次函数模型，结合二
次函数的图象、单调性、
零点解决，解题中一定要
注意函数的定义域.
题型分类·深度剖析
跟踪训练1 某汽车运输公司购买了一批豪华 大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运 的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*) 为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运________年时， 其营运的年平均利润最大. 解析 由题图可得营运总利润y＝－(x－6)2＋11， 则营运的年平均利润yx＝－x－2x5＋12，
题型分类·深度剖析
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例1 (2)若跳水运动员在区域 EF内入水时才能达到压水花 的训练要求，求达到压水花 的训练要求时h的取值范围.
令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝
－h12 [x－(2＋h)]2＋4，
则f(5)＝－h12 (3－h)2＋4≥0， 且f(6)＝－h12 (4－h)2＋4≤0.
题型分类·深度剖析
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∴AA12＝104＝10 000， ∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍. 答案 6 10 000
题型分类·深度剖析
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一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分 裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解.求解 时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的 影响以及实际问题中的条件限制.
基础知识·自主学习
以上过程用框图表示如下：
知识梳理
基础知识·自主学习
知识梳理
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( × ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (3)不存在x0，使 ax0 <xn0 <logax0.( × ) (4)美缘公司2013年上市的一种化妆品，由于脱销，在2014年 曾提价25%,2015年想要恢复成原价，则应降价25%.( × )
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(1)求该市旅游日收益p(x)(万元) 与时间x(1≤x≤30，x∈N*)的 函数关系式；
(2) 构 造 分 段 函 数 时 ， 要力求准确、简洁， 做到分段合理，保证 不重不漏．
题型分类·深度剖析
(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的
税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资.
题型分类·深度剖析
例1 (2)若跳水运动员在区域 EF内入水时才能达到压水花 的训练要求，求达到压水花 的训练要求时h的取值范围.
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解得 1≤h≤43. 所以达到压水花的训练 要求时 h 的取值范围为 [1，43].
题型分类·深度剖析
例1 (2)若跳水运动员在区域 EF内入水时才能达到压水花 的训练要求，求达到压水花 的训练要求时h的取值范围.
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题型分类·深度剖析
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例1 (2)若跳水运动员在区域 EF内入水时才能达到压水花 的训练要求，求达到压水花 的训练要求时h的取值范围.
解 将点A(2,3)代入y＝ a[x－(2＋h)]2＋4， 得ah2＝－1，所以a＝－h12 . 由 题 意 ， 得 方 程 a[x － (2 ＋h)]2＋4＝0在区间[5,6] 内有一解.
题型分类·深度剖析
跟踪训练2 某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒
的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，
y表示病毒个数)，则k＝__2_l_n_2___，经过5小时，1个病毒能
繁殖为__1_0_2_4___个.
解析
当t＝0.5时，y＝2，∴2＝
e
1 2
k
，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，
题型分类·深度剖析
题型二 指数函数模型
例2 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上
升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每
小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道
路交通安全法》规定：驾驶员Hale Waihona Puke Baidu液中的酒精含量不得超过
0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开
题型分类·深度剖析
例2 (2)里氏震级M的计算公式：M＝lg A－lg A0，其中A是 测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震 的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1
000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为
________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的
x 的函数关系近似满足g(x)＝104－|x－23|.
题型分类·深度剖析
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(1)求该市旅游日收益p(x)(万元) 与时间x(1≤x≤30，x∈N*)的 函数关系式；
思维升华
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
(1)求该市旅游日收益p(x)(万元) 与时间x(1≤x≤30，x∈N*)的 函数关系式；
解 由题意知p(x)＝f(x)g(x) ＝4(1＋1 )(104－|x－23|)
现为与 y轴 平行 现为与 x轴 平行 各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
基础知识·自主学习
知识梳理
2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.
题型分类·深度剖析
题型分类·深度剖析
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
思维升华 实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、 产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二 次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定要注 意函数的定义域.
题型分类·深度剖析
解析
例1 (2)若跳水运动员在区域 EF内入水时才能达到压水花 的训练要求，求达到压水花 的训练要求时h的取值范围.
数学 苏（理）
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.9 函数模型及其应用
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
基础知识·自主学习
知识梳理
1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)
________倍.
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思维升华
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
(2)由M＝lg A－lg A0知，M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3) ＝6， ∴此次地震的震级为6级.
设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2， 则 lgAA21＝lg A1－lg A2＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－lg A0) ＝9－5＝4.
题型分类·深度剖析
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
解 由题意知最高点为(2＋h,4)，h≥1， 设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4， 当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4， 将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1. ∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为 y＝－(x－3)2＋4.
跟踪训练1 某汽车运输公司购买了一批豪华 大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运 的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*) 为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运____5____年时， 其营运的年平均利润最大. 当且仅当x＝25 ，即x＝5时取“＝”.
x ∴x＝5时营运的年平均利润最大.
基础知识·自主学习
知识梳理
(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因 库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ ) (6)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒 有h(x)<f(x)<g(x).( √ )
基础知识·自主学习
题号
1 2 3 4
税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资.
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①当 1≤x≤23 时，p(x)＝4(1＋1x)(81＋x)＝4(82＋x＋8x1)≥
4(82＋2 x·8x1)＝400， 当且仅当 x＝8x1，即 x＝9 时 p(x)取得最小值 400.
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
基础知识·自主学习
aloga N
(2)三种函数模型的性质
知识梳理
函数 性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 单调 递增
上的增减性
单调 递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
随x的增大逐渐表 随x的增大逐渐表 随n值变化而 图象的变化
答案
p＋1q＋1－1
5 15,12 3.75
考点自测
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根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5) 分别代入函数关系式，
0.7＝9a＋3b＋c，
联立方程组得0.8＝16a＋4b＋c， 0.5＝25a＋5b＋c，
7a＋b＝0.1， 消去 c 化简得9a＋b＝－0.3，
a＝－0.2，
解得b＝1.5， c＝－2.0.
所以 p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－15(t2－125t＋21265)＋4156－2＝ －15(t－145)2＋1136， 所以当 t＝145＝3.75 时，p 取得最大值，即最佳加工时间
为 3.75 分钟.
题型分类·深度剖析
题型一 二次函数模型
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题型分类·深度剖析
(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的
税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资.
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解
由 p(x)＝4411＋＋11xx81217＋－xx1≤23x<≤x≤233，0，x∈x∈NN**，.
题型分类·深度剖析
(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的
反比例函数模型
f(x)＝kx＋b (k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0)
基础知识·自主学习
知识梳理
指数函数模型 对数函数模型
幂函数模型
f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
例1 某跳水运动员在一次跳水训练时 的跳水曲线为如图所示的抛物线的一 段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板 距水面CD的高BC为3 m，CE＝5 m， CF＝6 m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在 离起跳点h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以 CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系.
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
题型分类·深度剖析
题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
例3 中共十八届三中全会提出要努力建设社会主义文化强 国.为响应中央号召.某市2016年计划投入600万元加强民族 文化基础设施改造.据调查，改造后预计该市在一个月内 (以30天计)，民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函 数关系近似满足f(x)＝4(1＋1)，人均消费g(x)(元)与时间x(天)
x (1≤x≤30，x∈N*).
题型分类·深度剖析
(1)求该市旅游日收益p(x)(万元) 与时间x(1≤x≤30，x∈N*)的 函数关系式；
解析
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(1)分段函数的特征主
要是每一段自变量变化 所遵循的规律不同.分 段函数模型的最值问题， 应该先求出每一段上的 最值，然后比较大小.
题型分类·深度剖析
车.(精确到1小时)
解析
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题型分类·深度剖析
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设经过x小时才能开车. 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09， ∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19. ∴x最小为5. 答案 5
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题型分类·深度剖析
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一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分 裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解.求解 时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的 影响以及实际问题中的条件限制.
题型分类·深度剖析
跟踪训练1 某汽车运输公司购买了一批豪华 大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运 的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*) 为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运________年时， 其营运的年平均利润最大.
∵x∈N*，∴yx≤－2 x·2x5＋12＝2，
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