弹性力学简明教程第四版徐芝纶专题培训课件
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【9A文】徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版-全部章节课后答案详解
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学徐芝纶版第一章ppt
• 应力边界条件：物体边界上应力和剪应力的限制条件，包括在物体内无穷远处 应力为零、在物体内表面上的应力与外力相平衡等。
03
应变分析
应变状态和应变分量
应变状态
描述物体在受力后形状的变化，包括 线应变和角应变。
应变分量
根据直角坐标系或极坐标系的选取， 将应变状态量分解为具体的应变分量 ，如正应变和剪应变。
土木工程
桥梁、隧道、高层建筑等土木 工程的设计和施工都需要考虑 材料的弹性和结构的稳定性。
弹性力学的基本假设和概念
连续性假设
均匀性假设
假设物质没有空隙或裂 纹，整个物质是连续的。
假设物质在各个方向上 的性质是均匀的，没有
局部变化。
各向同性假设
假设物质在各个方向上 假设
变形梯度和变形速率
变形梯度
描述物体在受力后形状变化的程度和 方向，由物质导数和变形梯度张量表 示。
变形速率
描述物体在单位时间内形状变化的程 度，由变形梯度的导数表示。
几何方程和应变边界条件
几何方程
描述物体在受力后形状变化的规律，包 括连续性方程、运动方程和几何方程。
VS
应变边界条件
描述物体在边界处的应变状态，包括位移 边界条件、应力边界条件和应变边界条件 。
弹性力学徐芝纶版第一章
• 引言 • 应力分析 • 应变分析 • 弹性本构关系 • 弹性力学的基本方程
01
引言
弹性力学的发展历程
古代弹性理论的萌芽
古希腊和中国的学者开始研究材料的弹性和 结构。
弹性力学理论的完善和发展
19世纪，科学家们开始深入研究弹性力学， 并取得了一系列重要成果。
弹性力学理论的初步形成
来。
弹性力学问题的求解方法
03
应变分析
应变状态和应变分量
应变状态
描述物体在受力后形状的变化，包括 线应变和角应变。
应变分量
根据直角坐标系或极坐标系的选取， 将应变状态量分解为具体的应变分量 ，如正应变和剪应变。
土木工程
桥梁、隧道、高层建筑等土木 工程的设计和施工都需要考虑 材料的弹性和结构的稳定性。
弹性力学的基本假设和概念
连续性假设
均匀性假设
假设物质没有空隙或裂 纹，整个物质是连续的。
假设物质在各个方向上 的性质是均匀的，没有
局部变化。
各向同性假设
假设物质在各个方向上 假设
变形梯度和变形速率
变形梯度
描述物体在受力后形状变化的程度和 方向，由物质导数和变形梯度张量表 示。
变形速率
描述物体在单位时间内形状变化的程 度，由变形梯度的导数表示。
几何方程和应变边界条件
几何方程
描述物体在受力后形状变化的规律，包 括连续性方程、运动方程和几何方程。
VS
应变边界条件
描述物体在边界处的应变状态，包括位移 边界条件、应力边界条件和应变边界条件 。
弹性力学徐芝纶版第一章
• 引言 • 应力分析 • 应变分析 • 弹性本构关系 • 弹性力学的基本方程
01
引言
弹性力学的发展历程
古代弹性理论的萌芽
古希腊和中国的学者开始研究材料的弹性和 结构。
弹性力学理论的完善和发展
19世纪，科学家们开始深入研究弹性力学， 并取得了一系列重要成果。
弹性力学理论的初步形成
来。
弹性力学问题的求解方法
徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版,全部章节课后答案详解
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程 第四 徐芝纶PPT学习教案
确定 uo , vo。,
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定 义
§2－5 物理方程
物理方程─表示（微分体上）应力和形变 之间的物理关系。
利用广义胡克定律：
x
1 E
(σ
x
σ
y
σ
z
),
y
1 E
(σ
y
σ
z
σ
x
),
z
1 E
(σ
z
σ
x
σ
y
),
yz
1
G
yz
,
zx
G1
zx
,
xy G1 xy ,
第44页/共195页
所以弹力的平衡条件是严格的、精确的 。
第24页/共195页
V
理力（ V ）
h
材力（
）
dx dy
弹力（
）
dx
V hdxb
dV dxd y1
第25页/共195页
思考题 1.试检查，同一方程中的各项，其量纲
必然相同（可用来检验方程的正确性）。 2.将条件 M,c改0为对某一角点的 ，将得M 出0什么结果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，
：
σ x x
yx
y
f
x
0.
(a)
Fy0 ，同理可得：
σ y y
xy
x
f
y
0.
(b)
第20页/共195页
平衡条件
Mc0, 得
xy
1 2
xy
x
d
x
yx
1 2
yx
y
d
y,
当 d x, d y时，0得切应力互等定理,
第43页/共195页
定 义
§2－5 物理方程
物理方程─表示（微分体上）应力和形变 之间的物理关系。
利用广义胡克定律：
x
1 E
(σ
x
σ
y
σ
z
),
y
1 E
(σ
y
σ
z
σ
x
),
z
1 E
(σ
z
σ
x
σ
y
),
yz
1
G
yz
,
zx
G1
zx
,
xy G1 xy ,
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所以弹力的平衡条件是严格的、精确的 。
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V
理力（ V ）
h
材力（
）
dx dy
弹力（
）
dx
V hdxb
dV dxd y1
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思考题 1.试检查，同一方程中的各项，其量纲
必然相同（可用来检验方程的正确性）。 2.将条件 M,c改0为对某一角点的 ，将得M 出0什么结果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，
：
σ x x
yx
y
f
x
0.
(a)
Fy0 ，同理可得：
σ y y
xy
x
f
y
0.
(b)
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平衡条件
Mc0, 得
xy
1 2
xy
x
d
x
yx
1 2
yx
y
d
y,
当 d x, d y时，0得切应力互等定理,
弹性力学(徐芝纶四版)-第3章
—— 与材力中结果相同
（2）悬臂梁
边界条件
u x l 0 v x l 0
h y 2
h 2
由式（f）可知，此边界条件无法满足。 边界条件改写为：
M u xy y u0 EI (f) M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
第三章
平面问题的直角坐标解答
力学问题。
要点 —— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性
主要内容
§3-1 多项式解答
§3-2 位移分量的求出
§3-3 简支梁受均布载荷
§3-4 楔形体受重力和液体压力
§3-5 级数式解答
§3-6 简支梁受任意横向载荷
§3-1 多项式解答
适用性：由一些直线边界构成的弹性体。 目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ，能解决什么样的 力学问题。 ——逆解法
说明： （1） 求位移的过程：
（a）将应力分量代入物理方程
xy 1 1 x ( x y) y ( y x) xy E G E
（b）再将应变分量代入几何方程
u x x
v y y
xy
u v y x
（c）再利用位移边界条件，确定常数。
M
l
M y
x
1
h
y 0 xy 0
M y My x I h3 / 12
(a)
1 My My xy 0 x y E I E I
(b)
（2）位移分量
将式（b）代入几何方程得：
平面应力情况下的物理方程：
x 1 ( x y)
E y 1 ( y x) E xy xy
徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版__全部章节课后答案详解
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程_第四版_徐芝纶第五章学硕xin
maxσx 0.75q, minσx 0.75q;
弹性力学解─AM上 σx 为曲线分布，
maxσx 1.84q, minσx 0.24q.
由此也说明，材料力学解法只适用于杆件。
差分法评价
差分法优点：
（1）是解微分方程边值问题和弹性力学问 题的有效方法；
（2）简便易行，且总能求出解答； （3）可配合材料力学、结构力学解法，精
确地分析结构的局部应力状态。
缺点：
差分法评价
（1）对于曲线边界和不等间距网格的计算 较麻烦；
（2）比较适用于平面问题或二维问题； （3）凡是近似解，在求导运算时会降低精
度。如 Φ 的误差为 o(x3)，则应力的
误差为 o(x) 。
变分法─是研究泛函及其极值的求解方法。
泛函─是以函数为自变量（宗量）的一种 函数。
因此，弹性力学问题属于微分方程的 边值问题。通过求解，得出函数表示的精 确解答。
近似解法
对于工程实际问题，由于荷载和边界 较复杂，难以求出函数式的解答。为此， 人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有变分法、差分法和有限单元法。
差分法
差分法是微分方程的一种数值解法。
它不是去求解函数 f (x)，而是求函数在一
于是，求解微分方程的问题化为求解差分
方程的问题。
导数差分公式
导数差分公式的导出： 在平面弹性体上划分等间距h 的两组网
格，分别∥x 、y 轴。网格交点称为结点，
h 称为步长。
应用泰勒级数公式 将f (x)在 xo点展开，
f
(x)
f
(
xo
)
(
f x
)o
(
x
xo )
弹性力学解─AM上 σx 为曲线分布，
maxσx 1.84q, minσx 0.24q.
由此也说明，材料力学解法只适用于杆件。
差分法评价
差分法优点：
（1）是解微分方程边值问题和弹性力学问 题的有效方法；
（2）简便易行，且总能求出解答； （3）可配合材料力学、结构力学解法，精
确地分析结构的局部应力状态。
缺点：
差分法评价
（1）对于曲线边界和不等间距网格的计算 较麻烦；
（2）比较适用于平面问题或二维问题； （3）凡是近似解，在求导运算时会降低精
度。如 Φ 的误差为 o(x3)，则应力的
误差为 o(x) 。
变分法─是研究泛函及其极值的求解方法。
泛函─是以函数为自变量（宗量）的一种 函数。
因此，弹性力学问题属于微分方程的 边值问题。通过求解，得出函数表示的精 确解答。
近似解法
对于工程实际问题，由于荷载和边界 较复杂，难以求出函数式的解答。为此， 人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有变分法、差分法和有限单元法。
差分法
差分法是微分方程的一种数值解法。
它不是去求解函数 f (x)，而是求函数在一
于是，求解微分方程的问题化为求解差分
方程的问题。
导数差分公式
导数差分公式的导出： 在平面弹性体上划分等间距h 的两组网
格，分别∥x 、y 轴。网格交点称为结点，
h 称为步长。
应用泰勒级数公式 将f (x)在 xo点展开，
f
(x)
f
(
xo
)
(
f x
)o
(
x
xo )
弹性力学(徐芝纶版)PPT演示课件
（2）能阅读和应用弹力文献； （3）能用弹力近似解法（变分法、差分法和有限单元法） 解决工程实际问题； （4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。
2021/1/10
E
14
第一章 绪论
第一节 弹性力学的内容
参考教材：
《弹性力学简明教程》（第三版）徐芝纶 ；
弹性理论, 高等教育出版社,(1990).铁摩辛柯 古地尔著, 徐芝纶译；
《弹性力学教程》（王敏中、王炜、武际可）（北京大学出版社, 2002 年）；
《弹性理论基础》（陆明万、罗学富）（清华大学出版社，1990年）。
2021/1/10
E
15
第一章 绪论
第一节 弹性力学的内容
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？
三方面条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条
件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上述方程，得出较 精确的解答。
2021/1/10
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10
第一章 绪论
第一节 弹性力学的内容
取微小的分离体作为隔离体
由分离体的平衡条件 由微单元的几何条件
平衡方程 几何方程
由广义虎克定律 物理方程
还考虑边界条件
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12
第一章 绪论
第一节 弹性力学的内容
弹性力学在力学学科和工程学科中,具有重要的地位：
弹性力学是其他固体力学分支学科的基础；
弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性 和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进 行分析。
2021/1/10
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13Biblioteka 第一章 绪论第一节 弹性力学的内容
弹性力学简明教程_第四版_徐芝纶第五章
（4）求出边界外一行虚结点的 Φ 值； （5）按式(d)求各结点的应力。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
思考题
1、将应力函数 Φ 看成是覆盖于区域A和边
界s上的一个曲面，则在边界上，各点
的 Φ 值与从 A（基点）到B面力的合力
距有关， Φ 的一阶导数值与A到B的面力
的合力（主矢量）有关；而在区域内，
(f)
第五章
用差分法和变分法解平面问题
边界条件
再将式(f )对s 积分，从固定的基点A到边
界任一点B，得
B Φ Φ ( ) B ( ) A f x ds, A y y B Φ Φ ( ) B ( ) A f y ds. A x x
(g)
2
第五章
用差分法和变分法解平面问题
抛物线差分公式
1、抛物线差分公式─ 略去式(a)中 x3以上 项，分别用于结点1、3， 结点1：x1 x0 h, f h2 2 f f 1 f o h( ) o ( 2 )o ; x 2 x 结点3：x3 x0 h, f h2 2 f f 3 f 0 h( ) 0 ( 2 ) 0。 x 2 x
第五章
用差分法和变分法解平面问题
抛物线差分公式
应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一
的格式，避免任意性，并可估计其误差量
级，式(b)的误差为 o(x 3 )。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
线性差分公式
2、线性差分公式 ─ 在式(a)中仅取一、二 项时，误差量级为 o( x 2 ) 。 对结点1， 得：
例2
稳定温度场问题的差 分解。设图中的矩形 域为6m×4m ，取网 格间距为h = 2m，布 置网格如图，各边界 点的已知温度值如图 所示，试求内结点a 、b的稳定温度值。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
思考题
1、将应力函数 Φ 看成是覆盖于区域A和边
界s上的一个曲面，则在边界上，各点
的 Φ 值与从 A（基点）到B面力的合力
距有关， Φ 的一阶导数值与A到B的面力
的合力（主矢量）有关；而在区域内，
(f)
第五章
用差分法和变分法解平面问题
边界条件
再将式(f )对s 积分，从固定的基点A到边
界任一点B，得
B Φ Φ ( ) B ( ) A f x ds, A y y B Φ Φ ( ) B ( ) A f y ds. A x x
(g)
2
第五章
用差分法和变分法解平面问题
抛物线差分公式
1、抛物线差分公式─ 略去式(a)中 x3以上 项，分别用于结点1、3， 结点1：x1 x0 h, f h2 2 f f 1 f o h( ) o ( 2 )o ; x 2 x 结点3：x3 x0 h, f h2 2 f f 3 f 0 h( ) 0 ( 2 ) 0。 x 2 x
第五章
用差分法和变分法解平面问题
抛物线差分公式
应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一
的格式，避免任意性，并可估计其误差量
级，式(b)的误差为 o(x 3 )。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
线性差分公式
2、线性差分公式 ─ 在式(a)中仅取一、二 项时，误差量级为 o( x 2 ) 。 对结点1， 得：
例2
稳定温度场问题的差 分解。设图中的矩形 域为6m×4m ，取网 格间距为h = 2m，布 置网格如图，各边界 点的已知温度值如图 所示，试求内结点a 、b的稳定温度值。
弹性力学ppt课件
x
y
z
o
图1-5
*
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为σy,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。
σy
x
y
z
o
图1-6
（2）符号规定：
平行于单元体面的应力称为切应力，用 、 表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图1－6所示的 、 。
*
其它x、z正面上的应力分量的表示如图1－7所示。
凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。
图1-7
x
y
z
o
平行于单元体面的应力如图示的τyx、τyz，沿x轴、z轴的负向为正。
图1-8
图1－8所示单元体面的法线为y的负向，正应力记为 ,沿y轴负向为正。
x
y
01
弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
02
1-4 弹性力学的学习方法
理解：偏微分方程组的直接求解是十分困难的，理解基本方程的意义。
做题：适当做题。
记忆：不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的主要过程，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。
化简：善于利用小变形略去高阶小量，要分清主要边界和次要边界。
变形状态假定：
小变形假定--假定位移和形变为很小。
＜＜1弧度（57.3°）.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1,
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
*
b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。
y
z
o
图1-5
*
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为σy,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。
σy
x
y
z
o
图1-6
（2）符号规定：
平行于单元体面的应力称为切应力，用 、 表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图1－6所示的 、 。
*
其它x、z正面上的应力分量的表示如图1－7所示。
凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。
图1-7
x
y
z
o
平行于单元体面的应力如图示的τyx、τyz，沿x轴、z轴的负向为正。
图1-8
图1－8所示单元体面的法线为y的负向，正应力记为 ,沿y轴负向为正。
x
y
01
弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
02
1-4 弹性力学的学习方法
理解：偏微分方程组的直接求解是十分困难的，理解基本方程的意义。
做题：适当做题。
记忆：不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的主要过程，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。
化简：善于利用小变形略去高阶小量，要分清主要边界和次要边界。
变形状态假定：
小变形假定--假定位移和形变为很小。
＜＜1弧度（57.3°）.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1,
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
*
b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。
弹性力学讲义(徐芝纶版)-PPT
换，
E
1
E
2
,
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
平面应力问题在极坐标下的基本方程
1
f
0
1
2
f
0
4 1
u
,
1
u
u
,
u
1
u
u
。
1 E
(
),
1 E
(
),
x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
Φ φ
φy .
一阶导数
而
cos,
x
sin , x
sin;
y
y
cos 。
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ cosφ Φ sin Φ (cosφ sinφ )Φ
x
ρ ρ φ
ρ ρ φ
，
(e)
Φ sinφ Φ cos Φ (sinφ cosφ )Φ。
σ x σ ρ cos2 φσφsin2 φ2τ ρφ cosφsinφ,
而
σ
x
2Φ y 2
2Φ ρ2
sin
2
φ(
1 ρ
Φ ρ
1 ρ2
2Φ ρ2
)cos2
φ
2[ ( 1 Φ )]cosφsinφ, ρ ρ
比较两式的 cos2 φ,sin2 φ,cosφsinφ 的系数，便 得出 σ ρ,σφ,τ ρφ 的公式。
2(1 E
)
。
4 2
物理方程
物理方程
对于平面应变问题，只须将物理方程作如下 的变换即可。
弹性力学简明教程第四版徐芝纶专业知识讲座
弹性力学在力学学科和工程学科中,具
有重要的地位：
弹性力学是其他固体力学分支学科的基 础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤 其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工 程结构，须用弹力方法进行分析。
本第文一节档所弹提性供力的学信的息内仅容当供之参处考，之请用联，系不能本作人为或科网学站依删据除，。请勿模仿。文学档习如目有的不
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学─研究弹性体由于受外力、边界
约束或温度改变等原因而发生的应力、形变 和位移。 研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、
弹性力学。它们的研究对象分别如下：
本文第档一所节提供弹的性信力息学的仅内供容参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文研档究对如象有不 当之处，请联系本人或网站删除。
内力─假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
本文第档二所节提弹供性的力信学息中仅的当供几之参个处考基，之本请用概念联，系不能本作人为或科网学站依删据除，。请勿模仿。文档如有不
应力─截面上某一点处，单位截面面积上的 内力值。
（量纲） ML1T2. 力/长度²
（表示） σ x ─ x面上沿 x向正应力， xy ─ x面上沿 y向切应力。
（符号）坐标正向为正 。
本文第档二所节提弹供性的力信学息中仅的当供几之参个处考基，之本请用概念联，系不能本作人为或科网学站依删据除，。请勿模仿。文档如有不
例：表示出下图中正的体力和面力
O(z)
y
x
fx
fx
fyfyຫໍສະໝຸດ O(z)fy fx
fy
y
x
fx
本文第档二所节提弹供性的力信学息中仅的当供几之参个处考基，之本请用概念联，系不能本作人为或科网学站依删据除，。请勿模仿。应文力档如有不
有重要的地位：
弹性力学是其他固体力学分支学科的基 础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤 其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工 程结构，须用弹力方法进行分析。
本第文一节档所弹提性供力的学信的息内仅容当供之参处考，之请用联，系不能本作人为或科网学站依删据除，。请勿模仿。文学档习如目有的不
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学─研究弹性体由于受外力、边界
约束或温度改变等原因而发生的应力、形变 和位移。 研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、
弹性力学。它们的研究对象分别如下：
本文第档一所节提供弹的性信力息学的仅内供容参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文研档究对如象有不 当之处，请联系本人或网站删除。
内力─假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
本文第档二所节提弹供性的力信学息中仅的当供几之参个处考基，之本请用概念联，系不能本作人为或科网学站依删据除，。请勿模仿。文档如有不
应力─截面上某一点处，单位截面面积上的 内力值。
（量纲） ML1T2. 力/长度²
（表示） σ x ─ x面上沿 x向正应力， xy ─ x面上沿 y向切应力。
（符号）坐标正向为正 。
本文第档二所节提弹供性的力信学息中仅的当供几之参个处考基，之本请用概念联，系不能本作人为或科网学站依删据除，。请勿模仿。文档如有不
例：表示出下图中正的体力和面力
O(z)
y
x
fx
fx
fyfyຫໍສະໝຸດ O(z)fy fx
fy
y
x
fx
本文第档二所节提弹供性的力信学息中仅的当供几之参个处考基，之本请用概念联，系不能本作人为或科网学站依删据除，。请勿模仿。应文力档如有不
弹性力学(徐芝纶版)PPT演示课件
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
切应力的 互等性：
yz zy
zx xz
xy yx
E 24
第一章
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
材料力学(mechanics of materials)
弹性力学(theory of elasticity )：研究的范围更广，如 叶轮、地基，堤坝、桥梁等实体。（非杆状物体）
E
7
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
8
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
9
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
10
第一章
E
16
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？
E 17
第一章
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
§ 1－ 2
外力
弹性力学中的几个基本概念
—其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。
—截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。
F p A0 A lim
量纲：ML-1T -2 .
x 向正应力， x 轴的面上沿 表示： σ x —垂直于
xy
y x 轴的面上沿 —垂直于
向切应力。
符号：应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正；正面负向，负面正向为负。
E 23
第一章
弹性力学简明教程第四版徐芝纶
例2 二次式 Φ ax2 b，xy分c别y2表示常量
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例3 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
察应力函数 Φ
F 2h3
xy(3h2
4y2 )能解决什么
样的受力问题？
o
h/2
h/2
x
l y
f
x
x,
σ
y
2Φ x2
f
y
y,
(d)
τ
xy
2Φ xy
.
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ的解0 Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy;
⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy )s,
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）。 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-2 矩形梁的纯弯曲
问题提出
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单 宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问 题。
(e)
f y (mσ y lτ xy )s.
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解答， 就是上述 和应Φ力。
弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶电子教案简介与目录
三、《弹性力学简明教程》电子教案（邵国建、 王润富编），—供教师用。
四、《弹性力学简明教程》网络课程（邵国建、 王润富编），—供网上教学用。
五、 《有限单元法教学实习程序汇编》， —供上机实习用。
六、《弹性力学》（第三版，徐芝纶编）， —供参考和深入学习使用。
七、《Applied Elasticity》（徐芝纶编），
全书按照由浅入深的原则安排了平面问题的理论及解答空间则安排了平面问题的理论及解答空间问题的理论及解答和薄板弯曲理论并着问题的理论及解答和薄板弯曲理论并着重介绍了弹性力学的近似解法即差分重介绍了弹性力学的近似解法即差分法变分法和有限元法
《弹性力学简明教程》 编著 徐芝纶教授
此教程是国内较广泛使用的一本工科院 校弹性力学教科书，是教育部“十五”国 家级规划教材。全书按照由浅入深的原 则，安排了平面问题的理论及解答、空间 问题的理论及解答和薄板弯曲理论，并着 重介绍了弹性力学的近似解法，即差分 法、变分法和有限元法。
本教案由高教出版社授权河海大学工程力学系制作。最终解释 权归高教出版社。
编者 二零零四年五月
—供参考和深入学习使用。
八、《弹性力学的问题的有限单元法》（陈国荣 编），—供参考和深入学习使用。
关于《弹性力学简明教程电子教案》使用指南
本教案是以徐芝纶教授编著的《弹性力学简明教程》为主 教材编写的，为便于用户的使用，教案分为powerpoint教案（弹 性力学简明教程电子教案（正本））和打包后的教案（弹性力 学简明教程电子教案（副本） ）两种形式。其中powerpoint教案 使用officexp中的powerpoint软件编制而成；为防止与用户的 office版本不同，特意另外提供打包形式的教案，该部分包含该 教案的播放器等，用户在使用时，可以双击弹力教案副本中的 可执行文件将其解包。
四、《弹性力学简明教程》网络课程（邵国建、 王润富编），—供网上教学用。
五、 《有限单元法教学实习程序汇编》， —供上机实习用。
六、《弹性力学》（第三版，徐芝纶编）， —供参考和深入学习使用。
七、《Applied Elasticity》（徐芝纶编），
全书按照由浅入深的原则安排了平面问题的理论及解答空间则安排了平面问题的理论及解答空间问题的理论及解答和薄板弯曲理论并着问题的理论及解答和薄板弯曲理论并着重介绍了弹性力学的近似解法即差分重介绍了弹性力学的近似解法即差分法变分法和有限元法
《弹性力学简明教程》 编著 徐芝纶教授
此教程是国内较广泛使用的一本工科院 校弹性力学教科书，是教育部“十五”国 家级规划教材。全书按照由浅入深的原 则，安排了平面问题的理论及解答、空间 问题的理论及解答和薄板弯曲理论，并着 重介绍了弹性力学的近似解法，即差分 法、变分法和有限元法。
本教案由高教出版社授权河海大学工程力学系制作。最终解释 权归高教出版社。
编者 二零零四年五月
—供参考和深入学习使用。
八、《弹性力学的问题的有限单元法》（陈国荣 编），—供参考和深入学习使用。
关于《弹性力学简明教程电子教案》使用指南
本教案是以徐芝纶教授编著的《弹性力学简明教程》为主 教材编写的，为便于用户的使用，教案分为powerpoint教案（弹 性力学简明教程电子教案（正本））和打包后的教案（弹性力 学简明教程电子教案（副本） ）两种形式。其中powerpoint教案 使用officexp中的powerpoint软件编制而成；为防止与用户的 office版本不同，特意另外提供打包形式的教案，该部分包含该 教案的播放器等，用户在使用时，可以双击弹力教案副本中的 可执行文件将其解包。
弹性力学简明教程_第四版_徐芝纶_第八章
第八章
空间问题的解答
按应力求解
§8－4 按应力求解空间问题
按应力求解空间问题的方法：
1. 取σx … τyz…为基本未知函数。
2. 其他未知函数用应力表示: 形变可以通过物理方程用应力表示。 位移要通过对几何方程的积分，才能用形变 或应力表示，其中会出现待定的积分函 数。
第八章
空间问题的解答
因此,位移边界条件等用应力表示时， 既复杂又难以求解。所以按应力求解通常 只解全部为 应力边界条件 的问题。
( S S )
第八章
空间问题的解答
V内方程
3. 在V内导出求应力的方程 :
（1）平衡微分方程（三个）。
（2）相容方程（六个）: 从几何方程消去位移，导出六个相容方程：
y
2
2 z 2 2 z y
2 z 2 x 2 2 x z 2 2 y x 2 y x 2
其中拉普拉斯算子
(b)
2 2 2。 x y z
2 2 2 2
第八章
空间问题的解答
边界条件
4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位 移表示的应力边界条件：
E μ u m v u n w u f x。 l 1 μ 1 2 μ x 2 x y 2 x z s
2 y z yz zx xy 2 x , , x x y z yz yz 2 2 xy yz y zx zx , y y z x 2 zx , zx 2 z 2 xy xy yz zx 2 . ; z z x y xy xy
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
μ
0
1 0
0 。 12μ
(c)
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
虚功方程
(δ*)T F
(ε* )T σdx dy,t A
y
F
iy
,
v
* i
i
Fix ,ui*
F
* jy
,
v
j
j
F
jx
,u
* j
其中
δ * ——结点虚位移，o
图6-1
x
ε * ——对应的虚应变。
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分
结构离散化
结构力学的研究对象是离散化结构。如桁 架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没 有其他联系（图（a））。
弹性力学的研究对象，是连续体（图（b）)
(a) 桁架
图 6-2
(b) 深梁（连续体）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
将连续体变换为离散化结构（图（c））：
即将连续体划分为有限多个、有限大小的单
F Le(F Li F Lj F Lm e.
（ e）
第六章 用有限单元法解平面问题
(7) 对每一结点建立平衡方程。
结力法求解
作用于结点i上的力有：
各单元对i 结点的结点力 Fi ,
各单位移置到i 结点上的结点荷载 F Li ,
结点力列阵 F(Fix Fiy FjxFjy )T。
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
FEM中应用的方程：
几何方程 ε ( u v u v)T。 (a)
x y x y
物理方程σ D ε, Nhomakorabea(b )
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题
是
1 μ 0
D1Eμ2
元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结
起来，构成所谓‘离散化结构’。
(c) 深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。
图（c）与图（a）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而
图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
1.有限元法(Finite Element Method，简称
FEM) —是弹力的一种近似解法。首先将
连续体变换为离散化结构，然后再应用
结构力学方法或变分法进行求解。
2. FEM的特点 （1）具有通用性和灵活性。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。
第六章 用有限单元法解平面问题
导出方法
4. FEM的两种主要导出方法: 应用结构力学方法导出。 应用变分法导出。
5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问 题来表示。
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。
量,并均用δi(i1,2,)来表示。
（2) 应用插值公式, 由单元结点位 移 δe(δ i δ i δ m)T，求单元的位移函数
d(u(x,y),v(x,y)T )。
这个插值公式称为单元的位移模式，表示为
d Νδe。 （ a ）
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（3）应用几何方程，由单元的位移函数d，
方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：用结构力学 方法求解弹性力学问题。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结构力学方法进行求解。
FEM求解过程。 1. 结构离散化——将连续体变换为离散 化结构；
第六章 用有限单元法解平面问题
3. FEM简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发
展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的
概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节 结构的整体分析结点平衡方程组 第八节 解题的具体步骤 单元的划分 第九节 计算成果的整理 第十节 计算实例 第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程
例题 习题的提示与答案 教学参考资料
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解 平面问题
概述
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
2.应用结构力学方法(位移法)进行求解:
仿照桁架的结构力学位移法，来求解
图（c）的平面离散化结构。其中应注意，
三角形单元内部仍是连续体，应按弹性力 学方法进行分析。
分析步骤如下：
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（1）取各结点位移 δi(ui vi)T(i1,2, )为基 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理
Fi(Fix FiyT
——单元对结点 的作用力，与 F i 数 值相同,方向相反， 作用于结点。
F iy v i
Fix i
ui
Fiy
y
vj
F jy
i
uj
j
F jx
Fix
v m Fmy u m
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
基本物理量：
体力
f ( fx fy)T。
面力 位移函数
f ( fx fy)T。 d(u(x,y),v(x,y)T )。
应变 应力
ε(εx εy γxy)T。
σ(σx σy τxy)T。
结点位移列阵 δ(ui vi uj vj )T。
求出单元的应变，表示为ε Bδe。（ b ）
（4）应用物理方程，由单元的应变ε，求 出
单元的应力，表示为
σ Sδe。
（ c）
（5）应用虚功方程，由单元的应力 σ，求出
单元的结点力，表示为
Fe(Fi Fj Fmkδe。（ d ）
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
Fi (Fix FiyT——结点对单元的作用力，作用 于单元，称为结点力，以正标向为正。