正弦定理和余弦定理 (共35张PPT)
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高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
正弦定理和余弦定理课件PPT
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
正弦定理与余弦定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
正弦定理与余弦定理时PPT课件
第15页/共28页
• 解法二：已知等式变形为
• b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝ 2bccosB·cosC，
• ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋ 2bccosB·cosC，
• ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC • ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， • ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
得aab2＋ ＝b62－ab＝7 ⇒aab2＋ ＝b62.＝13 7 分
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4，a2＝9.9 分
所以ab＝ ＝23 或ab＝ ＝32.
故 a＋b＝5.12 分 第19页/共28页
•变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，
试求“△ABC内切圆的半径r”．
由bcb30bcsin303由正弦定理sinccsinbc60或120c60a90c120a30abc为等腰三角形abca3b4c373743边c最大则角c最大bc2ababcsinasinbsincsinasinbsinccosc2ab9t25t49t3t5t1201203ab2cosasinbsincabc180sincsina2cosasinbsinc2cosasinbsinacosbcosasinbsina根据余弦定理上式可化为coscabc为等边三角形由2cosasinbsinc得cosa2sinb2b3ab4bsinb2bccosbcoscabcsinccsinb2bccosbcoscb2sinbsinccosbcoscsinbsincsinbsinccosbcosccosbc0cosa02bccosbcosc2bccosbcoscbcoscccosbabc2csina
形，且角C为____直__角；a2＋b2>c2⇔△ABC是
• 解法二：已知等式变形为
• b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝ 2bccosB·cosC，
• ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋ 2bccosB·cosC，
• ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC • ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， • ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
得aab2＋ ＝b62－ab＝7 ⇒aab2＋ ＝b62.＝13 7 分
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4，a2＝9.9 分
所以ab＝ ＝23 或ab＝ ＝32.
故 a＋b＝5.12 分 第19页/共28页
•变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，
试求“△ABC内切圆的半径r”．
由bcb30bcsin303由正弦定理sinccsinbc60或120c60a90c120a30abc为等腰三角形abca3b4c373743边c最大则角c最大bc2ababcsinasinbsincsinasinbsinccosc2ab9t25t49t3t5t1201203ab2cosasinbsincabc180sincsina2cosasinbsinc2cosasinbsinacosbcosasinbsina根据余弦定理上式可化为coscabc为等边三角形由2cosasinbsinc得cosa2sinb2b3ab4bsinb2bccosbcoscabcsinccsinb2bccosbcoscb2sinbsinccosbcoscsinbsincsinbsinccosbcosccosbc0cosa02bccosbcosc2bccosbcoscbcoscccosbabc2csina
形，且角C为____直__角；a2＋b2>c2⇔△ABC是
3-6第六节 正弦定理和余弦定理(55张PPT)
备考这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用． 2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数 性质相结合.
D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点
课 本 导 读 1．正弦定理 b c a sinB ＝ sinC ＝2R. sinA＝ 其中 2R 为△ABC 外接圆直径． 变式：a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC . A：b：c＝
●两个注意点 A B C 1．应熟悉掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ π 2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数． 2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理 结合得 sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB· sinC· cosA，可以进行化简或证 明．
答案 C
4．已知△ABC 三边满足 a2＋b2＝c2－ 3ab，则此三角形的最 大内角为__________．
解析
2 2 2 a ＋ b － c 3 ∵a2＋b2－c2＝－ 3ab，∴cosC＝ 2ab ＝－ 2 ，
故 C＝150° 为三角形的最大内角．
答案 150°
π 5．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，A＝ ，则 C 的大小为 3 ________．
听 课 记 录
(1)sinA ＝ sin75° ＝ sin(30° ＋ 45° ) ＝ sin30° cos45°
2＋ 6 ＋sin45° cos30° ＝ 4 . 由 a＝c＝ 6＋ 2可知，C＝A＝75° ， 1 所以 B＝30° ，则 sinB＝2. 2＋ 6 1 a 由正弦定理得 b＝sinA· sinB＝ × ＝2. 2＋ 6 2 4
3．三角形常用面积公式 1 (1)S＝2a· ha(ha 表示 a 边上的高)． 1 1 1 abc (2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R . 1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
正弦定理余弦定理的运用PPT优秀课件
2 20 21 1 4 3 sin 7 7 A C D s in sin (6 0 )
C
21
D
1 3 5 3 21 A D3 1 s in c o s 2 2 1 4 sin60 sin
20
14
B
6 . A B C 中 , B C C A 7 . 5 , C A A B 3 2 . 5 , A B B C 1 6 . 5 .求 A B C 最 大 的 内 角 .
D
C
2 2 2 A B C A B A C B C 2 A C B C c o s A C B
3 2 3 3 . 9 5 A B 5 7 ( m )答 . ( 略 )
P20练习1
6
P 例 2某 渔 轮 在 航 行 中 不 幸 遇 险 , 发 出 呼 救 信 号 , 我 海 军 舰 1 8 艇 在 A 处 获 悉 , 测 出 该 渔 船 在 方 位 角 为 4 5, 距 离 为 1 0 n m i l e 的 C 处 , 并 测 得 渔 船 正 沿 方 位 角 1 0 5的 方 向 , 以 9 n m i l e /h 的 速 度 向 小 岛 靠 拢 , 我 海 军 舰 艇 立 即 以 2 1 n m i l e /h 的 速 度 前 去 营 救 , 求 舰 艇 的 航 向 和 靠 近 渔 船 所 用 的 时 间 ( 精 确 到 0 . 1, 时 间 精 确 到 1 m i n ) . P20练习3，4
N
方位角 60度
目标方向线
视 线
仰角
水平线
俯角
视 线
4
三角形中的计算问题
• • • • 面积计算公式： S=1/2ah S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB 海伦-秦九韶公式：
C
21
D
1 3 5 3 21 A D3 1 s in c o s 2 2 1 4 sin60 sin
20
14
B
6 . A B C 中 , B C C A 7 . 5 , C A A B 3 2 . 5 , A B B C 1 6 . 5 .求 A B C 最 大 的 内 角 .
D
C
2 2 2 A B C A B A C B C 2 A C B C c o s A C B
3 2 3 3 . 9 5 A B 5 7 ( m )答 . ( 略 )
P20练习1
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P 例 2某 渔 轮 在 航 行 中 不 幸 遇 险 , 发 出 呼 救 信 号 , 我 海 军 舰 1 8 艇 在 A 处 获 悉 , 测 出 该 渔 船 在 方 位 角 为 4 5, 距 离 为 1 0 n m i l e 的 C 处 , 并 测 得 渔 船 正 沿 方 位 角 1 0 5的 方 向 , 以 9 n m i l e /h 的 速 度 向 小 岛 靠 拢 , 我 海 军 舰 艇 立 即 以 2 1 n m i l e /h 的 速 度 前 去 营 救 , 求 舰 艇 的 航 向 和 靠 近 渔 船 所 用 的 时 间 ( 精 确 到 0 . 1, 时 间 精 确 到 1 m i n ) . P20练习3，4
N
方位角 60度
目标方向线
视 线
仰角
水平线
俯角
视 线
4
三角形中的计算问题
• • • • 面积计算公式： S=1/2ah S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB 海伦-秦九韶公式：
第六章6.4.3余弦定理、正弦定理PPT课件(人教版)
训练题
1.［2019·江西九江一中高一检测］若三角形的三边长之比是1∶ 3 ∶2，
则其所对角之比是（ A ） A.1∶2∶3 B.1∶ 3 ∶2 C.1∶ 2 ∶ 3 D. 2 ∶ 3 ∶2
2. ［2019·江西赣州五校高一联考］已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6 ∶
（ 3 +1），求△ABC中各角的度数.
训练题
1. 2019·江西九江一中高一检测］设△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且cos A＝ 3 ，cos B＝ 5 ，b＝3，则c＝
5
13
14 5
.
2. ［2019·北京东城区高三二模］在△ABC中，A＝ ，a2+b2-c2＝ab， 4
c＝3，则C＝
3 ，a＝
6.
3.已知两边及一边的对角解三角形 例5在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，求A，C，c.
【解】 ∵ A＝45°，C＝30°，∴ B＝180°-（A+C）＝105°.
由 a ＝ c 得a＝ csinA ＝10 sin45 ＝10 2 .
sinA sinC
sinC
sin30
由 b ＝ c 得b＝ csinB ＝10 sin105 ＝20sin 75°.
sinB sinC
sinC
sin30
∵ sin 75°＝sin （30°+45°）＝sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°＝
【解】 由正弦定理及已知条件，有 3 ＝ 2 ，得sin A＝ 3 .
sinA sin45
2
∵ a>b，∴ A>B＝45°.∴ A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°-45°-60°＝75°，
《正弦定理余弦定理》课件
THANKS
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REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
第4章 第6节 正弦定理、余弦定理 课件(共47张PPT)
a2＋b2－c2
(3)sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A＝2R
cos C＝____2_a_b_____
提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时， 使用余弦定理比使用正弦定理简洁．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(2)若 2a＋b＝2c，求sin C. [解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理
得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
第六节 正弦定理、余弦定理
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
已知B＝150°.
①若a＝ 3c，b＝2 7，求△ABC的面积；
②若sin A＋ 3sin C＝ 22，求C.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c.
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理sina A＝sinb B可
正弦定理和余弦定理 课件(53张)
a≥b 一解
a>b 一解
上表中,若A为锐角,当a<bsin A时无解;若A为钝角或直角,当a≤b时无解.
3.三角形面积
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.
(1)S=
1 2
ah(h为BC边上的高).
1
(2)S= 2 absin C=
1
1
2 acsin B = 2 bcsin A.
1∶13.
由余弦定理得cos
C=
52
112 132 2 511
<0,所以C为钝角,即△ABC一定是钝角
三角形.
2-2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos
A,则△ABC的形状为 ( D )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
A. 6 B. 3 C. 6
D. 3
4.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2cos Asin B=b2sin Acos B,
则△ABC的形状为 ( D )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
5.若满足条件C=60°,AB= 3 ,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是
1 2
absin
C≤
3
3 4
,又S△
ABC>0,所以S△ABC∈
0,
3
3 4
.
解法二:因为 a = b = c =2,
sin A sin B sin C
所以a=2sin A,b=2sin B.
又A+B=
2
3
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2 2 2 2 2
考向二 判断三角形的形状[互动讲练型] [例 2] 在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c， c－a 2B 若 sin 2 ＝ 2c ，则△ABC 的形状一定是________． 1－cos B c－a a [解析] 由题意，得 ＝ 2c ，即 cos B＝ c，又由余 2 2 2 2 a ＋ c － b a 弦定理，得c ＝ 2ac ，整理，得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为 直角三角形． [答案] 直角三角形
2．(2017· 辽宁五校联考)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的 长分别为 a， b， c， 若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B， 则角 C 等于( ) 2π π 3π 5π A. 3 B.3 C. 4 D. 6 解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b. 3 7 因为 b＋c＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos 1 2π C，解得 cos C＝－2，所以 C＝ 3 . 答案：A
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 6．(2016· 浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； a2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 ，求角 A 的大小．
考向一 应用正弦、余弦定理解三角形 [自主练透型] [例 1] (2016· 山东，16)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 tan A tan B 别为 a，b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝cos B＋cos A. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
π 解析：(1)∵asin B＝－bsin(A＋3)， π ∴由正弦定理得 sin A＝－sin(A＋3)， 1 3 3 即 sin A＝－2sin A－ 2 cos A，化简得 tan A＝－ 3 ， 5π ∵A∈(0，π)，∴A＝ 6 .
5π 1 (2)∵A＝ 6 ，∴sin A＝2， 3 2 1 1 由 S＝ 4 c ＝2bcsin A＝4bc，得 b＝ 3c， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则 a＝ 7c， csin A 7 由正弦定理得 sin C＝ a ＝ 14 .
a＋b (2)由(1)知 c＝ 2 ， a ＋b a2＋b2－c2 所以 cos C＝ 2ab ＝ 2ab 3a b 1 1 ＝8b＋a－4≥2， 当且仅当 a＝b 时，等号成立， 1 故 cos C 的最小值为2.
2 2
a＋b 2 － 2
—[悟· 技法]— 解三角形的方法技巧 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知 两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数 值的有界性和大边对大角定理进行判断．
sin A 3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin B a ＝c ，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC 的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 sin A a a a 解析：∵sin B＝c，∴b＝c，∴b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a2 bc 1 ∴cos A＝ 2bc ＝2bc＝2. π ∵A∈(0，π)，∴A＝3，∴△ABC 是等边三角形． 答案：C
1 1 3 3 (2)∵S△ABC＝2absin C＝2asin C＝ 2 ，∴sin C＝ a ， 1 3 ∵a＋a＝4cos C，sin C＝ a ， 1 1 2 32 ∴[4(a＋a)] ＋( a ) ＝1，化简得(a2－7)2＝0， ∴a＝ 7，从而 c＝2.
[变式练]——(着眼于举一反三) 5．(2017· 河北省三市第二次联考)在△ABC 中，a，b，c 分 π 别为内角 A，B，C 的对边，且 asin B＝－bsin(A＋3)． (1)求 A； 3 2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 c ，求 sin C 的值．
(
4．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45° ，则此三角形有 ) A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定
a b 解析：∵sin A＝sin B， 24 2 2 b ∴sin B＝asin A＝18sin 45° ，∴sin B＝ 3 . 又∵a<b，∴B 有两个解， 即此三角形有两解． 答案：B
3．三角形面积公式 1 1 1 abc 1 S△ABC＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· r(r 是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R、r.
二、必明 2●个易误点 1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另 一边的对角时易忽视解的判断． 2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解．
—[通· 一类]— π 2． △ABC 中， c＝ 3， b＝1， ∠B＝6， 则△ABC 的形状为( A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 )
解析：根据余弦定理有 1＝a2＋3－3a，解得 a＝1 或 a＝2， 当 a＝1 时， 三角形 ABC 为等腰三角形， 当 a＝2 时， 三角形 ABC 为直角三角形，故选 D. 答案：D
—[悟· 技法]— 三角形面积公式的应用原则 1 1 1 (1)对于面积公式 S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，一般是已 知哪一个角就使用含哪个角的公式． (2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般 要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
—[通· 一类]— [同类练]——(着眼于触类旁通) 4．(2017· 武汉市调研测试)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边 1 分别为 a，b，c，a＋a＝4cos C，b＝1. (1)若 A＝90° ，求△ABC 的面积； 3 (2)若△ABC 的面积为 2 ，求 a，c.
5．△ABC 中，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状 为________三角形．
解析：由已知得 sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sin A＝sin2A， π 又 sin A≠0，∴sin A＝1，A＝2， ∴△ABC 为直角三角形． 答案：直角
2 2 2 a ＋ b － c 1 解 析 ： (1) ∵ b ＝ 1 ， ∴ a ＋ a ＝ 4cos C ＝ 4× ＝ 2ab 2a2＋1－c2 2 2 ，∴ 2 c ＝ a ＋1. a 又 A＝90° ，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1， ∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝ 2，a＝ 3， 1 1 1 2 ∴S△ABC＝2bcsin A＝2bc＝2×1× 2＝ 2 .
—[通· 一类]— 1．(2017· 山东师大附中一模)设△ABC 的内角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，且 bsin A＝ 3acos B. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sin Cin A＝ 3acos B， 由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B. 在△ABC 中，sin A≠0， π 即得 tan B＝ 3，∴B＝3. (2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得 c＝2a， π 由余弦定理 b ＝a ＋c －2accosB 即 9＝a ＋4a －2a· 2acos3， 解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3.
[小题热身] π 1．在△ABC 中，a＝3 3，b＝3，A＝3，则 C 为( π π π 2π A.6 B.4 C.2 D. 3 3 3 3 1 解析：由正弦定理得sin B＝ π，∴sin B＝2， sin3 π π ∵a>b,0<B<3，∴B＝6. π π π ∴C＝π－(A＋B)＝π－3＋6＝2. 答案：C )
3．(2017· 合肥模拟)在△ABC 中，A＝60° ，AB＝2，且△ABC 3 的面积为 2 ，则 BC 的长为( ) 3 A. 2 B. 3 C．2 3 D．2 1 1 3 3 解析：因为 S＝2×AB×ACsin A＝2×2× 2 AC＝ 2 ，所以 AC＝1， 所以 BC2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos 60° ＝3， 所以 BC＝ 3. 答案：B
6．已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边， 4 若 cos B＝5，a＝10.△ABC 的面积为 42，则 c＝______. 3 1 解析：依题意可得 sin B＝5，又 S△ABC＝2acsin B＝42，则 c ＝14. 答案：14
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．正弦定理 a b c ①sin __________________ ， 其中 R 是三角形外接圆的半径． 由 A＝sinB＝sinC＝2R A∶sinB∶sin C(2)a ＝ 正弦定理可以变形为： (1)a ∶ b ∶ c ＝②sin ____________ ； a c ＝ 2 R sin C 2RsinA，b＝2RsinB，③__________________；(3)sinA＝2R，sinB c b ＝2R，sinC＝④__________ 等形式，以解决不同的三角形问题． 2R 2．余弦定理 b2＋c2－2bccosA， b2 ＝ ⑥ ______________ a2 ＝ ⑤ ______________ ， c2 ＝ ⑦ a2＋c2－2ac cos B 2 2 2 2 2 b ＋ c － a ____________. 余弦定理可以变形为： cos A2 ＝⑧ ________ ， cosB a＋ b －2abcos C2 2 2 2 2 a ＋c －b ，cosC＝⑩__________. a ＋b －c 2bc ＝⑨______________ 2ac 2ab
—[悟· 技法]— 判断三角形形状的方法技巧 解决判断三角形的形状问题， 一般将条件化为只含角的三角 函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式； 或将条件化为只含有边的关系式， 然后利用常见的化简变形得出 三边的关系．另外，在变形过程中要注意 A，B，C 的范围对三 角函数值的影响．
考向二 判断三角形的形状[互动讲练型] [例 2] 在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c， c－a 2B 若 sin 2 ＝ 2c ，则△ABC 的形状一定是________． 1－cos B c－a a [解析] 由题意，得 ＝ 2c ，即 cos B＝ c，又由余 2 2 2 2 a ＋ c － b a 弦定理，得c ＝ 2ac ，整理，得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为 直角三角形． [答案] 直角三角形
2．(2017· 辽宁五校联考)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的 长分别为 a， b， c， 若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B， 则角 C 等于( ) 2π π 3π 5π A. 3 B.3 C. 4 D. 6 解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b. 3 7 因为 b＋c＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos 1 2π C，解得 cos C＝－2，所以 C＝ 3 . 答案：A
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 6．(2016· 浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； a2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 ，求角 A 的大小．
考向一 应用正弦、余弦定理解三角形 [自主练透型] [例 1] (2016· 山东，16)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 tan A tan B 别为 a，b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝cos B＋cos A. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
π 解析：(1)∵asin B＝－bsin(A＋3)， π ∴由正弦定理得 sin A＝－sin(A＋3)， 1 3 3 即 sin A＝－2sin A－ 2 cos A，化简得 tan A＝－ 3 ， 5π ∵A∈(0，π)，∴A＝ 6 .
5π 1 (2)∵A＝ 6 ，∴sin A＝2， 3 2 1 1 由 S＝ 4 c ＝2bcsin A＝4bc，得 b＝ 3c， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则 a＝ 7c， csin A 7 由正弦定理得 sin C＝ a ＝ 14 .
a＋b (2)由(1)知 c＝ 2 ， a ＋b a2＋b2－c2 所以 cos C＝ 2ab ＝ 2ab 3a b 1 1 ＝8b＋a－4≥2， 当且仅当 a＝b 时，等号成立， 1 故 cos C 的最小值为2.
2 2
a＋b 2 － 2
—[悟· 技法]— 解三角形的方法技巧 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知 两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数 值的有界性和大边对大角定理进行判断．
sin A 3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin B a ＝c ，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC 的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 sin A a a a 解析：∵sin B＝c，∴b＝c，∴b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a2 bc 1 ∴cos A＝ 2bc ＝2bc＝2. π ∵A∈(0，π)，∴A＝3，∴△ABC 是等边三角形． 答案：C
1 1 3 3 (2)∵S△ABC＝2absin C＝2asin C＝ 2 ，∴sin C＝ a ， 1 3 ∵a＋a＝4cos C，sin C＝ a ， 1 1 2 32 ∴[4(a＋a)] ＋( a ) ＝1，化简得(a2－7)2＝0， ∴a＝ 7，从而 c＝2.
[变式练]——(着眼于举一反三) 5．(2017· 河北省三市第二次联考)在△ABC 中，a，b，c 分 π 别为内角 A，B，C 的对边，且 asin B＝－bsin(A＋3)． (1)求 A； 3 2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 c ，求 sin C 的值．
(
4．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45° ，则此三角形有 ) A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定
a b 解析：∵sin A＝sin B， 24 2 2 b ∴sin B＝asin A＝18sin 45° ，∴sin B＝ 3 . 又∵a<b，∴B 有两个解， 即此三角形有两解． 答案：B
3．三角形面积公式 1 1 1 abc 1 S△ABC＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· r(r 是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R、r.
二、必明 2●个易误点 1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另 一边的对角时易忽视解的判断． 2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解．
—[通· 一类]— π 2． △ABC 中， c＝ 3， b＝1， ∠B＝6， 则△ABC 的形状为( A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 )
解析：根据余弦定理有 1＝a2＋3－3a，解得 a＝1 或 a＝2， 当 a＝1 时， 三角形 ABC 为等腰三角形， 当 a＝2 时， 三角形 ABC 为直角三角形，故选 D. 答案：D
—[悟· 技法]— 三角形面积公式的应用原则 1 1 1 (1)对于面积公式 S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，一般是已 知哪一个角就使用含哪个角的公式． (2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般 要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
—[通· 一类]— [同类练]——(着眼于触类旁通) 4．(2017· 武汉市调研测试)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边 1 分别为 a，b，c，a＋a＝4cos C，b＝1. (1)若 A＝90° ，求△ABC 的面积； 3 (2)若△ABC 的面积为 2 ，求 a，c.
5．△ABC 中，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状 为________三角形．
解析：由已知得 sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sin A＝sin2A， π 又 sin A≠0，∴sin A＝1，A＝2， ∴△ABC 为直角三角形． 答案：直角
2 2 2 a ＋ b － c 1 解 析 ： (1) ∵ b ＝ 1 ， ∴ a ＋ a ＝ 4cos C ＝ 4× ＝ 2ab 2a2＋1－c2 2 2 ，∴ 2 c ＝ a ＋1. a 又 A＝90° ，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1， ∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝ 2，a＝ 3， 1 1 1 2 ∴S△ABC＝2bcsin A＝2bc＝2×1× 2＝ 2 .
—[通· 一类]— 1．(2017· 山东师大附中一模)设△ABC 的内角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，且 bsin A＝ 3acos B. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sin Cin A＝ 3acos B， 由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B. 在△ABC 中，sin A≠0， π 即得 tan B＝ 3，∴B＝3. (2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得 c＝2a， π 由余弦定理 b ＝a ＋c －2accosB 即 9＝a ＋4a －2a· 2acos3， 解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3.
[小题热身] π 1．在△ABC 中，a＝3 3，b＝3，A＝3，则 C 为( π π π 2π A.6 B.4 C.2 D. 3 3 3 3 1 解析：由正弦定理得sin B＝ π，∴sin B＝2， sin3 π π ∵a>b,0<B<3，∴B＝6. π π π ∴C＝π－(A＋B)＝π－3＋6＝2. 答案：C )
3．(2017· 合肥模拟)在△ABC 中，A＝60° ，AB＝2，且△ABC 3 的面积为 2 ，则 BC 的长为( ) 3 A. 2 B. 3 C．2 3 D．2 1 1 3 3 解析：因为 S＝2×AB×ACsin A＝2×2× 2 AC＝ 2 ，所以 AC＝1， 所以 BC2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos 60° ＝3， 所以 BC＝ 3. 答案：B
6．已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边， 4 若 cos B＝5，a＝10.△ABC 的面积为 42，则 c＝______. 3 1 解析：依题意可得 sin B＝5，又 S△ABC＝2acsin B＝42，则 c ＝14. 答案：14
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．正弦定理 a b c ①sin __________________ ， 其中 R 是三角形外接圆的半径． 由 A＝sinB＝sinC＝2R A∶sinB∶sin C(2)a ＝ 正弦定理可以变形为： (1)a ∶ b ∶ c ＝②sin ____________ ； a c ＝ 2 R sin C 2RsinA，b＝2RsinB，③__________________；(3)sinA＝2R，sinB c b ＝2R，sinC＝④__________ 等形式，以解决不同的三角形问题． 2R 2．余弦定理 b2＋c2－2bccosA， b2 ＝ ⑥ ______________ a2 ＝ ⑤ ______________ ， c2 ＝ ⑦ a2＋c2－2ac cos B 2 2 2 2 2 b ＋ c － a ____________. 余弦定理可以变形为： cos A2 ＝⑧ ________ ， cosB a＋ b －2abcos C2 2 2 2 2 a ＋c －b ，cosC＝⑩__________. a ＋b －c 2bc ＝⑨______________ 2ac 2ab
—[悟· 技法]— 判断三角形形状的方法技巧 解决判断三角形的形状问题， 一般将条件化为只含角的三角 函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式； 或将条件化为只含有边的关系式， 然后利用常见的化简变形得出 三边的关系．另外，在变形过程中要注意 A，B，C 的范围对三 角函数值的影响．