正弦定理和余弦定理 (共35张PPT)

[拓展练]——(着眼于迁移应用) 6．(2016· 浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； a2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 ，求角 A 的大小．
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3．(2017· 合肥模拟)在△ABC 中，A＝60° ，AB＝2，且△ABC 3 的面积为 2 ，则 BC 的长为( ) 3 A. 2 B. 3 C．2 3 D．2 1 1 3 3 解析：因为 S＝2×AB×ACsin A＝2×2× 2 AC＝ 2 ，所以 AC＝1， 所以 BC2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos 60° ＝3， 所以 BC＝ 3. 答案：B
考向一 应用正弦、余弦定理解三角形 [自主练透型] [例 1] (2016· 山东，16)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 tan A tan B 别为 a，b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝cos B＋cos A. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
—[悟· 技法]— 三角形面积公式的应用原则 1 1 1 (1)对于面积公式 S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，一般是已 知哪一个角就使用含哪个角的公式． (2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般 要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
—[通· 一类]— [同类练]——(着眼于触类旁通) 4．(2017· 武汉市调研测试)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边 1 分别为 a，b，c，a＋a＝4cos C，b＝1. (1)若 A＝90° ，求△ABC 的面积； 3 (2)若△ABC 的面积为 2 ，求 a，c.
1 1 3 3 (2)∵S△ABC＝2absin C＝2asin C＝ 2 ，∴sin C＝ a ， 1 3 ∵a＋a＝4cos C，sin C＝ a ， 1 1 2 32 ∴[4(a＋a)] ＋( a ) ＝1，化简得(a2－7)2＝0， ∴a＝ 7，从而 c＝2.
[变式练]——(着眼于举一反三) 5．(2017· 河北省三市第二次联考)在△ABC 中，a，b，c 分 π 别为内角 A，B，C 的对边，且 asin B＝－bsin(A＋3)． (1)求 A； 3 2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 c ，求 sin C 的值．
2 2 2 2 2
考向二 判断三角形的形状[互动讲练型] [例 2] 在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c， c－a 2B 若 sin 2 ＝ 2c ，则△ABC 的形状一定是________． 1－cos B c－a a [解析] 由题意，得 ＝ 2c ，即 cos B＝ c，又由余 2 2 2 2 a ＋ c － b a 弦定理，得c ＝ 2ac ，整理，得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为 直角三角形． [答案] 直角三角形
[小题热身] π 1．在△ABC 中，a＝3 3，b＝3，A＝3，则 C 为( π π π 2π A.6 B.4 C.2 D. 3 3 3 3 1 解析：由正弦定理得sin B＝ π，∴sin B＝2， sin3 π π ∵a>b,0<B<3，∴B＝6. π π π ∴C＝π－(A＋B)＝π－3＋6＝2. 答案：C )
[解析]
(1)证明：由题意知
sin A sin B sin A ＋ 2 cos A cos B ＝cos Acos
B＋
sin B cos Acos B， 化简得 2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B， 即 2sin(A＋B)＝sin A＋sin B. 因为 A＋B＋C＝π， 所以 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 从而 sin A＋sin B＝2sin C， 由正弦定理得 a＋b＝2c.
2．(2017· 辽宁五校联考)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的 长分别为 a， b， c， 若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B， 则角 C 等于( ) 2π π 3π 5π A. 3 B.3 C. 4 D. 6 解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b. 3 7 因为 b＋c＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos 1 2π C，解得 cos C＝－2，所以 C＝ 3 . 答案：A
π 解析：(1)∵asin B＝－bsin(A＋3)， π ∴由正弦定理得 sin A＝－sin(A＋3)， 1 3 3 即 sin A＝－2sin A－ 2 cos A，化简得 tan A＝－ 3 ， 5π ∵A∈(0，π)，∴A＝ 6 .
5π 1 (2)∵A＝ 6 ，∴sin A＝2， 3 2 1 1 由 S＝ 4 c ＝2bcsin A＝4bc，得 b＝ 3c， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则 a＝ 7c， csin A 7 由正弦定理得 sin C＝ a ＝ 14 .
3．三角形面积公式 1 1 1 abc 1 S△ABC＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· r(r 是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R、r.
二、必明 2●个易误点 1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另 一边的对角时易忽视解的判断． 2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解．
5．△ABC 中，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状 为________三角形．
解析：由已知得 sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sin A＝sin2A， π 又 sin A≠0，∴sin A＝1，A＝2， ∴△ABC 为直角三角形． 答案：直角
—[悟· 技法]— 判断三角形形状的方法技巧 解决判断三角形的形状问题， 一般将条件化为只含角的三角 函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式； 或将条件化为只含有边的关系式， 然后利用常见的化简变形得出 三边的关系．另外，在变形过程中要注意 A，B，C 的范围对三 角函数值的影响．
2 2 2 a ＋ b － c 1 解 析 ： (1) ∵ b ＝ 1 ， ∴ a ＋ a ＝ 4cos C ＝ 4× ＝ 2ab 2a2＋1－c2 2 2 ，∴ 2 c ＝ a ＋1. a 又 A＝90° ，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1， ∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝ 2，a＝ 3， 1 1 1 2 ∴S△ABC＝2bcsin A＝2bc＝2×1× 2＝ 2 .
考向三 与三角形面积有关的问题[分层深化型] [例 3] (2016· 课标全国Ⅰ，17)△ABC 的内角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； 3 3 (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为 2 ，求△ABC 的周长．
[解析] (1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即 2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故 2sin Ccos C＝sin C. 1 π 可得 cos C＝2，C∈(0，π)，所以 C＝3. 1 3 3 (2)由已知得2absin C＝ 2 . π 又 C＝3，所以 ab＝6. 由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7，故 a2＋b2＝13， 从而(a＋b)2＝25. 所以△ABC 的周长为 5＋ 7.
a＋b (2)由(1)知 c＝ 2 ， a ＋b a2＋b2－c2 所以 cos C＝ 2ab ＝ 2ab 3a b 1 1 ＝8b＋a－4≥2， 当且仅当 a＝b 时，等号成立， 1 故 cos C 的最小值为2.
2 2
a＋b 2 － 2
—[悟· 技法]— 解三角形的方法技巧 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知 两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数 值的有界性和大边对大角定理进行判断．
sin A 3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin B a ＝c ，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC 的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 sin A a a a 解析：∵sin B＝c，∴b＝c，∴b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a2 bc 1 ∴cos A＝ 2bc ＝2bc＝2. π ∵A∈(0，π)，∴A＝3，∴△ABC 是等边三角形． 答案：C
—[通· 一类]— 1．(2017· 山东师大附中一模)设△ABC 的内角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，且 bsin A＝ 3acos B. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sin C＝2sin A，求 a，c 的值．
解析：(1)∵bsin A＝ 3acos B， 由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B. 在△ABC 中，sin A≠0， π 即得 tan B＝ 3，∴B＝3. (2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得 c＝2a， π 由余弦定理 b ＝a ＋c －2accosB 即 9＝a ＋4a －2a· 2acos3， 解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3.
(
4．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45° ，则此三角形有 ) A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定
a b 解析：∵sin A＝sin B， 24 2 2 b ∴sin B＝asin A＝18sin 45° ，∴sin B＝ 3 . 又∵a<b，∴B 有两个解， 即此三角形有两解． 答案：B
6．已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边， 4 若 cos B＝5，a＝10.△ABC 的面积为 42，则 c＝______. 3 1 解析：依题意可得 sin B＝5，又 S△ABC＝2acsin B＝42，则 c ＝14. 答案：14
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．正弦定理 a b c ①sin __________________ ， 其中 R 是三角形外接圆的半径． 由 A＝sinB＝sinC＝2R A∶sinB∶sin C(2)a ＝ 正弦定理可以变形为： (1)a ∶ b ∶ c ＝②sin ____________ ； a c ＝ 2 R sin C 2RsinA，b＝2RsinB，③__________________；(3)sinA＝2R，sinB c b ＝2R，sinC＝④__________ 等形式，以解决不同的三角形问题． 2R 2．余弦定理 b2＋c2－2bccosA， b2 ＝ ⑥ ______________ a2 ＝ ⑤ ______________ ， c2 ＝ ⑦ a2＋c2－2ac cos B 2 2 2 2 2 b ＋ c － a ____________. 余弦定理可以变形为： cos A2 ＝⑧ ________ ， cosB a＋ b －2abcos C2 2 2 2 2 a ＋c －b ，cosC＝⑩__________. a ＋b －c 2bc ＝⑨______________ 2ac 2ab
—[通· 一类]— π 2． △ABC 中， c＝ 3， b＝1， ∠B＝6， 则△ABC 的形状为( A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 )
解析：根据余弦定理有 1＝a2＋3－3a，解得 a＝1 或 a＝2， 当 a＝1 时， 三角形 ABC 为等腰三角形， 当 a＝2 时， 三角形 ABC 为直角三角形，故选 D. 答案：D