抛物线中的三角形问题
抛物线内的三角形问题-
抛物线内的三角形问题近年来中考数学试题中，经常出现以函数、几何知识为背景的探究性问题，特别是有关抛物线内的三角形问题，此类问题综合性强，往往涉及一次函数、二次函数、一元二次方程、三角形、相似三角形等多方面的知识，既考查学生基本运算的能力，又考查学生对函数、方程、数形结合、分类和待定系数法等思想方法的掌握情况，具有很好的选拔功能．本文举例分析如下：例1 （2005·孝感市）如图1，开口向下的抛物线C：y=a（x-2）（x+3），与x•轴交于A、B两点，y有最大值258．（1）求实数a的值；（2）在抛物线C上是否存在点P，使△APB为直角三角形？若存在，求出P点坐标；•若不存在，说明理由．分析本题是一道中考压轴题，综合性较强．第（1）•问由抛物线顶点坐标直接求得a的值．第（2）问由△APB为直角三角形及相似知识可得△APB内的线段关系，再由方程思想求解．解（1）∵当x=-12时取最大值，∴258=a（-52）·（52）．∴a=-12．（2）由图1可知：A、B处不可能为直角，只可能∠APB=90°，且点P不能在x轴及x轴下方．设存在满足条件的点P（x0，y0），（y0>0）．作PM⊥AB于M，而A（-3，0），B（2，0），则AM=3+x0，BM=2-x0，PM=y0，由∠APB=90°，PM⊥AB，∴PM 2=AM ·BM ．则有y 02=（3+x 0）（2-x 0），即y 02=-x 02-x 0+6． ①∵P （x 0，y 0）在抛物线上，∴y 0=-12x 02-12x 0+3， 即2y 0=-x 02-x 0+6． ②由①、②得y 02=2y 0．∵y 0>0，∴y 0=2，代入②得：x 0=-2或x 0=1．故存在这样的点P 满足题意，P 点坐标为P （-2，2）或P （1，2）．注 有关抛物线内直角三角形的问题往往要考虑运用勾股定理或直角三角形相似等知识，并由此得到与所求点的坐标相关的方程．例2 （2005·耒阳市）如图2，二次函数y=13x 2-73x+a 经过点A （3，0）与y 轴交于点B ．（1）求二次函数的解析式；（2）在x 轴的负半轴上是否存在一点C ，使△ABC 成为以AB 为腰的等腰三角形，若存在，请求出C 点的坐标，若不存在，请说明理由．分析 以AB 为腰的等腰三角形△ABC 要分两种情况：一是以∠BAC 为底角，另是以∠BAC 为顶角．解 （1）由二次函数y 过（3，0）得a=4．∴y=13x 2-73x+4． （2）∵B （0，4）、A （3，0）．∴OB=4，OA=3．当∠BAC 为△ABC 的底角时，则OA=OC ，此时C 的坐标为（-3，0）．当∠BAC 为△ABC 的顶角时，则AB=AC ．∵2234 ，∴OC=5-3=2，∴C 的坐标为（-2，0）．故C点的坐标为（-3，0）或（-2，0）．注抛物线内等腰三角形问题通常要分情况讨论，•通过讨论弄清等腰三角形的底和腰，再由两腰相等来解答．例3 （2005·成都市）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴的正半轴交于点C，如果x1，x2是方程x2-x-6=0的两个根（x1<x2），且△ABC的面积为152．（1）求此抛物线的解析式；（2）求直线AC和BC的方程；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线y=m（m 为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标，若不存在，请说明理由．分析第（1）问由面积先求C点坐标，再由待定系数法求得抛物线解析式．第（3）•问要分P、Q分别为直角顶点两种情况讨论，再由两直角边相等来处理．解（1）由题意知A（-2，0）、B（3，0），抛物线与y轴的正半轴交于点C．∴C（0，c）且c>0．∵S△ABC=12·│AB│·│c│=152，而│AB│=5，∴│c│=3，∴C（0，3）．再由待定系数法求得抛物线解析式为：y=-12x2+12x+3．（2）由（1）可知：A（-2，0），B（3，0），C（0，3）．∴直线AC的方程为y=32x+3，直线BC的方程为y=-x+3．（3）假设存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点为E（0，m）．由（1）知│AB│=5，│OC│=3．∵点P不与A、C重合，∴点E（0，m）不与点Q、C重合．∴0<m<3．由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，过点P作PR1⊥x轴于点R1（如图3），则∠R1PQ=90°．∵│PQ│=│PR1│=│OE│=m，PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴||||||||PQ ECAB QC=，即353m m-=．∴m=158．∴P（x p，158），Q（x Q，158）．∵点P在直线AC上，∴32x p+3=158,∴x p=-34,∴P（-34-,158）.∴R1(-34,0).过Q作QR2⊥x轴于R，则∠R2QP=90°。
抛物线阿基米德三角形二级结论推广
抛物线阿基米德三角形问题是一个数学领域的经典问题，在本文中，我们将结合相关数学理论和实际运用进行深入探讨、分析及推广。
一、抛物线阿基米德三角形概念及原理抛物线阿基米德三角形是通过将一个抛物线分成若干小等分，然后将每个小等分的顶点与该小等分所在的位置上的斜率相连，将所有这些相连的线段所形成的图形，称为抛物线的阿基米德三角形。
该问题的提出是为了研究曲线上的直线与曲线的交点及其有关性质。
二、抛物线阿基米德三角形的基本性质及特点1. 抛物线的阿基米德三角形具有三条相交于一个点的特点，该点即为抛物线的焦点。
2. 抛物线的阿基米德三角形形状具有一定的规律性，不同抛物线的阿基米德三角形形状可能有所不同，但都具备三条相交于一个点的共同特点。
3. 抛物线的阿基米德三角形结构清晰简洁，可以通过数学方法进行精确的构造。
三、抛物线阿基米德三角形的实际应用1. 数学教育领域：抛物线阿基米德三角形可以作为数学教学中的经典案例，通过该案例的讲解和分析，可以帮助学生更深入地理解曲线与直线的交点问题，增强他们的数学思维和分析能力。
2. 工程设计领域：在工程设计中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以应用于某些特定的曲线结构问题的求解和设计，为工程设计师提供一种新的思路和方法。
3. 计算机图形学领域：在计算机图形学中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以帮助程序设计师更好地理解和处理曲线与直线的交点问题，提高程序设计的精确度和效率。
四、抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广1. 根据抛物线阿基米德三角形的相关理论，可以进行进一步的推广和拓展，将抛物线阿基米德三角形的概念和原理应用于更加复杂和多样化的曲线和图形结构中，发现新的数学规律和特点。
2. 抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广可以帮助人们更深入地理解曲线与直线的交点问题，并在实际问题的解决中更加灵活地运用相关数学理论和方法。
五、结语通过对抛物线阿基米德三角形问题的深入探讨、分析及推广，我们可以更好地理解曲线与直线的交点问题，并将相关数学理论和方法应用于实际问题的解决中，为促进数学理论和实际应用的结合做出更大的贡献。
第五讲+抛物线中三角形的面积问题
第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。
⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。
2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。
S△ABC。
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。
练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。
抛物线中的等腰三角形问题
抛物线中的等腰三角形问题
在数学中，抛物线广泛被研究和探讨。
而抛物线中的等腰
三角形问题是其中一个经典的问题。
抛物线是一个二次方程的图像，具有对称性质。
而等腰三
角形是指三边长度相等的三角形。
那么，抛物线中是否存在等腰三角形呢？
答案是肯定的。
事实上，抛物线上的任何一点都可以构成
一个等腰三角形。
这是因为抛物线的性质决定了在对称位置上的两个点关于焦点的距离相等，从而满足等腰三角形的定义。
具体来说，我们可以选择抛物线上的一个点P，并且连接P 点与抛物线的焦点F。
然后，从P点向下垂直引一条垂线，与
抛物线的切线交于点Q。
这样，三角形PFQ就是一个等腰三
角形，因为PF和QF的长度相等。
值得注意的是，抛物线上的每个点都可以成为等腰三角形
的顶点，因此存在无数个等腰三角形。
抛物线中的等腰三角形问题不仅有理论上的意义，而且在
实际应用中也有一定的应用。
例如，在物体抛出运动中，抛物线的形状对于确定物体的落点和轨迹起到重要作用。
对于特定起始条件，等腰三角形在抛物线上能够提供更多的信息。
总结而言，抛物线中存在无数个等腰三角形，这是由抛物
线的对称性质所决定的。
这个问题不仅仅是数学理论上的问题，也有着实际应用中的意义。
通过研究抛物线中的等腰三角形，我们可以更深入地了解抛物线的性质和特点。
抛物线中的直角三角形(安松)
解:存在点M,使得∠ADM=90°. 理由如下： 由抛物线y=X2+2x-3,得C(0,-3), ∵CD∥x轴, ∴D的纵坐标为-3, 把y=-3代入y=X2+2x-3，得
X2+2x-3=-3， 解得:x1=-2,x2=0, ∴D的坐标为(-2,-3),
设直线AD的解析式为y1=k1x+b1,则：
k1 b1 0 2k1 b1 3
解得：
b1k1
1 -1
∴直线AD的解析式为y1=x-1.
如图，过点D作直线DM⊥直线 DA交抛物线于点M,
设直线MD的解析式为
y2=-x+b2,
把D(-2,-3)代入y2=-x+b2,得
b2=-5，
∴直线MD的解析式为y1=-x-5.
1
10 39
10
F( 1 , 39) 10 10
综上所述，.....
B
C
范例学习
例题1:如图，抛物线y ＝x2-2x-3与x轴交 于A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于C(0，-3),且对称 轴为x＝1.设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动 点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．
分析：设P(3,m),先 用两点间的距离公式表示 出PC2,PB2及BC2,程 有实数根,则存在;否则不 存在．
当PF⊥PB时，
∵点P(1,4.5)、B(4,0),
∴设直线PB的解析式为 y=-1,5x+6,
∴设直线PF的解析式为
y = 2 x + b, 3
把P(1,4.5)代入y=2/3x+b,得
b = 23，
∴根据题意6得：y
y = -x = 2x
例谈抛物线中三角形面积最值问题的解法
知识导航三角形面积的最值问题一般比较简单，但抛物线中的三角形面积最值问题却较为复杂，这类三角形的面积常与动点的坐标有关，因而此类问题的难度一般较大.解题时需灵活运用平面几何知识、函数的图象和性质、基本不等式、三角形的性质和面积公式、抛物线的定义和性质等知识.那么，如何解答此类问题呢？一般可运用构造法和分割法来求解.下面我们结合实例来进行探讨.一、构造法构造法是指通过添加辅助线，构造出三角形的底或高，以能直接利用三角形的面积公式求得问题的答案.通常，可过三角形的一个顶点作x 轴或y 轴的垂线，使其与三角形的一条边相交，从而确定三角形的底或高，这样就可以根据三角形的面积公式进行计算了.例1.如图1所示，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（-3，-4），线段OB 绕原点逆时针旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为A ，如果点P 是抛物线上的一个动点且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？解析：由于点P 是抛物线上的一个动点，所以我们无法确定△PAB 的形状，也就无法确定三角形的高和底，不能直接利用三角形的面积公式来求解，需要构造出三角形的高和底.可过点P 作PE 垂直x 轴交AB 于点E ，则S △ABP =S △APE +S △BPE ，此时△APE 的底为PE ，高为A 到PE 的距离；△BPE 的底为PE ，高为B 到PE 的距离，而A 、B 到PE 的距离之和为A 、B 的横坐标之差.当|PE |最大时，△PAB 的面积最大.借助两点间的距离公式和二次函数的性质便可顺利求得△PAB 面积的最值.解：过P 点作PE ⊥x 轴交AB 于点E ，如图1所示，设点P 坐标为(m ，-16m 2+56m )，可得到点E 的坐标为（m ，-12m -52）.所以S △ABP =S △APE +S △BPE =12|PE |×8=4|PE |=4×(-16m 2+56m -12m +52)=-23m 2+43m +10，当m =-b 2a=1，S △ABP 取最大值，即S △ABP =（43）2-4×(-23)×104×(-23)=323.所以，当P 点坐标为（1，23）时，S △ABP 取最大值，且最大面积是323.一般地，当三角形底边的长为定值时，三角形的高与面积成正比，高越大其面积越大，只要求得高的最大值，便可求得面积的最大值.二、分割法当求三角形的面积遇到困难时，我们可以运用分割法，将三角形分割为两个或者两个以上的简单几何图形，借助简单几何图形的面积公式求得三角形的面积.当求抛物线中三角形面积的最值时，我们也可以将三角形分割为几个小三角形、平行四边形、梯形等，然后分别利用三角形、平行四边形、梯形面积公式求出各图形的面积，最后综合所得的结果即可求得三角形面积的表达式，借助函数的性质、基本不等式来求得最值.例2.如图2，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与直线相交于A （-1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ，若点P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，试求△APC 面积的最大值.解：，如图2，过点P 作PQ 垂直x 轴于点H ，交AC 于点Q ，过点C 作CG 垂直x 轴于点G .设Q （x ,x +1），则P （x ,-x 2+2x +3），则S △APC =S △APE +S 直角梯形PHGC -S △AGC=12(x +1)(-x 2+2x +3)+12(-x 2+2x +3)(2-x )-12×3×3=-32(x -12)2+278所以△APC 面积的最大值为278.由于点P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，所以我们无法确定△APC 的形状，可以采用分割法来求解.将△APC 分割成两个小三角形△APE 、△AGC 和一个直角梯形形PHGC ，从而把三角形分割成几个规则的简单几何图形，运用三角形的面积公式和梯形的面积公式便可快速求得△APC 面积的表达式，将其视为关于x 的二次函数，借助二次函数的性质就能求得△APC 面积的最大值.总之，同学们在解答抛物线中三角形面积最值问题时，可根据三角形的特点和已知条件合理添加辅助线，构造出三角形的底或高，也可以将三角形分割为几个简单的几何图形，借助简单几何图形的面积公式来求解.在求得三角形面积的表达式后，可借助函数的性质或基本不等式来求得最值.（作者单位：江苏省盐城中学）陈巧巧图1图238。
抛物线与直角三角形结合的解题方法(二)
抛物线与直角三角形结合的解题方法(二)
抛物线与直角三角形结合的解题方法
1. 介绍
在解题过程中，经常会遇到抛物线与直角三角形的结合问题。
本
文将介绍一些常见的解题方法，帮助读者更好地理解和应用相关概念。
2. 方法一：求解焦点位置
•首先，根据已知条件，确定抛物线的形式方程。
,0)，其中p是抛物线•确定抛物线的焦点坐标，用公式F=(p
2
的焦距。
•把焦点坐标带入方程，可以得到p的值。
•求得焦点坐标后，可以进一步应用直角三角形的相关知识，解题过程会更加简洁明了。
3. 方法二：利用直角三角形的性质
•首先，根据已知条件，确定直角三角形的两个已知边长和一个已知角度。
•利用三角函数的定义，求解出与已知角度相对应的弧度值。
•然后，利用三角函数的性质，得出抛物线的焦点坐标。
•最后，将焦点坐标带入方程，得到抛物线的具体形式。
4. 方法三：应用直角三角形的特殊性质
•首先，根据已知条件，判断是否可以构成一个直角三角形。
•如果可以构成直角三角形，利用勾股定理求解出第三条边长。
•然后，利用已知条件和已求得的边长，应用三角函数的基本关系，求解出其余相关角度和边长。
•最后，利用焦点的定义和直角三角形的特殊性质，得到抛物线的焦点坐标。
5. 小结
抛物线与直角三角形的结合是解题过程中常见的情况之一。
通过
应用已知条件和相关概念，可以有效地求解出抛物线的焦点坐标和具
体形式。
希望本文介绍的方法能够帮助读者更好地应用数学知识解决
实际问题。
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题 -- 思考与探索面积篇例 1:已知抛物线 y=－x 2+2x+3与 x 轴交于 A,B 两点，其中 A 点位于 B 点的左侧，与 y 轴交于 C 点，顶点为 P ， 半轴交于点 C ，M 为抛物线的顶点，那么△ ACM 与△ ACB 的面积比不变，请你求出这个比值。
2例 2、如图，一元二次方程 x 2 2x 3 0的二根 x 1，x 2（ x 1 x 2 ）是抛物线 y ax bx c 与 x 轴 的两个交点 B,C 的横坐标，且此抛物线过 A （3，6）点．（1）求此二次函数的解析式．（2）设此抛物线的顶点为 p ，对称轴与线段 AC 相交于点 Q ，求点 P 和点 Q 的坐标．（3）在 X 轴上有一动点 M ，当 MQ+MA 取得最小值时，求点 M 的坐标（4）设 AC 与Y 轴交与 D 点， E 点坐标为（0,1），在 X 轴上找一点 F ，抛物线对称轴上找一点 G ，使四 边形 AFGE 的周长最短，并求出当四边形周长最短时的点 F 、G 点坐标，并求出四边形 AFGE 的周长。
S △COP S△PABy轴负 S △ AOC = _______ S △ BOC 例：在平面直角坐标系中，有两点 小敏发现所有过 A ，B 两点的抛物线如果与形状篇1、已知抛物线y =ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y 轴负半轴交于点C。
若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
A(-1,0)和B( 3，0),顶点为C,若∠ ACB=90度.问2：在抛物线的解析式中，b2 4ac3. 若题设中的A、B 两点的坐标未知，而已知∠ACB有关，那么如果△ ACB是等边三角形，则△是多少？最后, ①思因果; ②思规律; ③思多解; ④思变通;⑤思归类;⑥思错误．ACB=90度，你能求出b2 4ac 吗？4. 从上面的探索中我们看到解析式中的△与∠问1： C 点的坐标是多少？。
抛物线中的三角形问题
抛物线中的三角形问题在数学中，抛物线是一种二次曲线，其形状类似于开口朝上的弧线。
抛物线与三角形之间有着紧密的联系，本文将探讨抛物线中的三角形问题。
一、抛物线的定义与性质抛物线是指平面上满足平方差关系的点的集合。
一般来说，抛物线可以由二次方程的图像表示，常见的抛物线方程形式包括标准型、顶点型等。
根据方程的不同形式，可以得到抛物线的不同性质，如焦点、顶点、对称轴等。
二、抛物线中的三角形问题抛物线与三角形之间存在着丰富的几何关系，其中一些经典问题如下：问题一：抛物线上的三点确定一个三角形，该三角形的面积如何计算？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，并选取抛物线上三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
根据三点确定一个三角形，可以利用三角形的高度与底边长度来计算面积。
首先，我们可以通过求解方程组得到顶点的坐标(xv, yv) = (-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)是抛物线的函数。
然后，利用向量的几何性质，求出三角形的高度h，再计算底边长度d，最后利用面积公式S = 0.5 * d * h计算出面积。
问题二：给定一个抛物线和一个点P，如何确定在抛物线上选择两个点形成的三角形，使其面积最大？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，设点P的坐标为(xp, yp)。
对于以点P为顶点的抛物线上的任意一条直线，其倾斜角为θ，直线的方程可以表示为y = tanθ * x + C，其中C是常数。
当直线与抛物线相交时，可将两个方程联立求解，得到交点的坐标(x1, y1)和(x2,y2)。
然后，利用这两个交点与点P形成的三角形面积公式S = 0.5 *|x1y2 - x2y1 - x1yp + xpy1 + x2yp - xpy2|，求解出最大的面积。
问题三：已知一个抛物线，如何确定两个定点，使其与抛物线上的另一个点形成的三角形周长最小？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
抛物线内接直角三角形的一个性质及应用
抛物线内接直角三角形的一个性质及应用抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理，它告诉我们：如果一个直角三角形的一个顶点在抛物线上，那么其它两个顶点的坐标也会在这个抛物线上。
本文将简要介绍抛物线内接直角三角形的定义、性质及其应用。
首先，抛物线内接直角三角形定义为：一个直角三角形，其中一个顶点在抛物线上，另外两个顶点也在抛物线上，且抛物线的准线和直角三角形的两条腰都相交。
因此，抛物线内接直角三角形的性质有以下三点：
1）直角三角形的一个顶点在抛物线上，另外两个顶点也在同一
条抛物线上；
2）抛物线的准线与直角三角形的腰相交；
3）抛物线内接直角三角形的面积小于等于抛物线面积的一半。
此外，抛物线内接直角三角形还有一些其它特性：抛物线内接直角三角形的高度等于抛物线的端点之间的距离；两点定理说明了任何一点到抛物线上的点的距离等于直角三角形的斜边的长度。
抛物线内接直角三角形有许多实际应用，其中最为重要的是在机械设计中，抛物线被用来设计螺旋形线路，使得机械运动更加均匀，减少了摩擦力，减少了损耗。
在建筑过程中，抛物线也被用来设计电梯的曲线，使其运行曲线十分柔和，降低了电梯的震动，减少了乘客的不适感受。
另外，抛物线内接直角三角形也被用于医学领域中的X 射线成像技术，使得X射线的扫描更加准确，精确诊断病症。
综上所述，抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理，它描述了三角形和抛物线之间的关系，它的定义、性质和应用在许多不同的领域中有广泛的应用，它能够减少摩擦力、降低震动，使X射线扫描更准确，为人类带来科学和技术上的进步。
抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略
抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略
抛物线中三角形面积最大值问题是很多数学教师都会遇到的问题。
求得抛物线中三角形面
积最大值，就先要分析抛物线的基本参数，因为抛物线是一种比较复杂的曲线，需要对其
有一定的了解才可以解答此问题。
抛物线的标准方程为y=ax2+bx+c，a为抛物线的系数，a>0，抛物线呈转弯向上，a<0，呈
转弯向下；b表示抛物线的开口方向，b>0，表示开口向右，b<0，表示开口向左。
因此，
得知抛物线在某一瞬间的顶点位置，以及抛物线的开口位置，就可以求出抛物线上三角形
的端点位置。
在定位了三角形端点位置后，只需要利用海伦公式就可以求出三角形面积：S=√[p(p-
a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，a,b,c分别为三角形的三边长。
最后，把求的所有的三角形面积按从大到小排列，那么最大的面积就是抛物线中三角形面
积最大值了。
抛物线中三角形面积最大值问题，要求求解者要完全把握和理解方程抛物线的特征，以及
三角形的基本定义，之后再结合海伦公式求出最大面积。
海伦公式和抛物线方程是相结合，那么广大教师和学生并不必对此感到困惑，只需要把这两个概念理解深入，就能在一定的
时间内得出满意的答案。
抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略
图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。
.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在 性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段， 并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的 解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既 要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和 数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多 方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很 好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问 题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围 绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精 心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以 帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得 以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同 方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决 问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提 高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质 之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初 三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结 合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高 频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积 及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公 式（底乘髙的一半）来求,在平面 直角坐标系中求斜三角形的面 积用这个公式难度大，那如何求 呢？那就需要运用转化的方法 把斜三角形分割成底与高分别 与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分 割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜 三角形的面积不仅可以运用分 割法，也可以转换思路，用补形 的方法把不规则图形转化成规 则图形，将斜三角形面积转化 成矩形面积减去三角形的面 积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (： 一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点 ，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点 所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的 面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我 们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点 由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需 使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化 思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点 作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设 出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确 角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是 变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基 础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ， 利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用 公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教 学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、 数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念， 是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度 学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引 领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并 在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的 过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在 学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价 值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层 面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。
抛物线中的直角三角形
中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：例3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B 。
（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
同步训练：1、如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数()221y a x =--图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D 。
(1)写出点P 的坐标；(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；(3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E (0，b )在线段CD (端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．2（福建2009年宁德市）、如图，已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）3、如图14（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］（1）k =，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．图14（1） 图14（2） 图14（3）。
中考数学复习总结探究抛物线中特定三角形的存在性问题
探究抛物线中特定三角形的存在性以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题，是中考的热点和难点．解决这类问题的关键是，弄清函数与几何图形之间的联系，在解题过程中将函数问题几何化，几何问题数量化，数形统一，同时要学会将大题分解为小题，各个击破，本文选取“抛物线中特定三角形的存在性”为例，说明这类问题的解题策略．一、抛物线中等腰三角形的存在性例1（湖南湘西州中考题）如图1，已知抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点坐标为A （－2，0）．(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；(2)求C 点坐标，连结AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；(3)试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)易得抛物线解析式为配方得，y ＝()2125344x --+， 所以对称轴方程为x ＝3；(2)在213442y x x =-++中，令x ＝0， 则y ＝4，所以点C(0，4).令y ＝0，则2134042x x -++= 解得x 1＝8，x 2＝－2，∴A （－2，0），B(8，0).设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B(8，0)，C(0，4)的坐标分别代入解析式，解得直线BC 的解析式为142y x =-+； (3) △AOC ∽△COB ．理由：在△AOC 与△COB 中∵OA ＝2，OC ＝4，OB ＝8， ∴2141,4282OA OC OC OB ==== ∴OA OC OC OB =．又∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴△AOC ∽△COB ；(4)因为抛物线的对称轴方程为x ＝3，Q 点在对称轴x ＝3上，如图2．点评 本题点的移动贯穿始终，其中对于等腰三角形的确定需要分类讨论，在具体求点Q 坐标时，还要充分注意图形的几何特点，利用数形结合思想．二、抛物线中的直角三角形的存在性例2 （广州市中考题）如图3，抛物线y ＝－38x 2－34x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求点A 、B 的坐标；(2)设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；(3)若直线l 过点E(4，0)，M 为直线l 上一动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 解析式．解 (1)A （－4，0），B(2，0)（过程略）；(2)因为抛物线y ＝－38x 2－34x ＋3的对称轴为x ＝－1， 与y 轴交点C 的坐标为(0，3)，所以直线AC 的解析式为y ＝34x ＋3．且当x ＝－1时，有y ＝94，所以直线AC 与对称轴x ＝－1的交点H 的坐标为（－1，94）． 因为AB ＝6，CO ＝3，所以△ACB 的面积为，S △ACE ＝9．不妨设点D 的坐标为（－1，m ），如图4，则△ACD 的面积为S △ACD ＝12×DH ×AO ＝9．当点D 位于AC 上方时，DH ＝m －94， 代入解得m ＝274； 当点D 位于AC 下方时，DH ＝94－m ， 代入解得m ＝－94．所以点D 的坐标为 （－1，274），或（－1，－94） (3)如图5，以AB 为直径作⊙P ，当且仅当直线l 与⊙P 相切时符合题意．因为Rt △PME 中，∠PME ＝90°，PM ＝3，PE ＝5，所以由勾股定理，可得ME ＝4．利用三角形相似可以求得点M 的坐标M （45，125） 设直线l 的解析式为y=kx+b ，代入M （45，125），E(4，0)，解得 4125540k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，即343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线l 的解析式为y ＝－34x ＋3 同理可得直线l 的另一个解析式为y ＝34x －3． 点评 此题借助于几何图形的知识考查函数的综合应用，这是初中阶段的重点，解答这类题型时要注意数形结合、综合分析思考，第3问具有较高的区分度，对学生的能力要求特别高，学生必须具有较强的观察能力、分析能力和综合运用知识的能力．三、抛物线中相似三角形的存在例3 （山东日照中考题）已知，如图6，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（x1，0），B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE＝30°，128x x-=．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)连结AD、BD，在(1)中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；(3)如图7，点Q为弧EBF上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．(2)如图8，由抛物线的对称性可知：AD＝BD，△ADB为等腰三角形．若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似，必须有∠BAP＝∠BPA＝∠BAD．设AP交抛物线的对称轴于D’点，显然同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．所以在该抛物线上不存在点P，使得与△PAB与△ADB相似；点评解决存在性问题的基本思路是：先假设存在，然后根据问题的已知条件去探索，但对于按部分条件得出的结论，还需要验证是否满足题目的全部要求．。
抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题
抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题解析二次函数的图像与三角形的结合是代数与平面几何生成的综合性问题的一种重要形式.其呈现方式多以抛物线为载体、探索满足某种条件的三角形的存在性.这类试题旨在全面考查学生分析问题、解决问题的能力和创新思维能力.由于其涉及的知识面广,内容丰富,综合性和灵活性以及解题技巧性都较强,因而对大多数考生来说常感到束手无策.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之间的关系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一.一般步骤是：先假设其存在,再画出相应的图形,然后根据所画的图形进行解答,得出某些结论；最后,如果结论符合题目要求或定义、定理,则假设成立;如果出现与题目要求或定义、定理相悖的情况,则假设错误,所设不存在.一.由抛物线上的动点产生的等腰三角形用代数方法探求等腰三角形问题一般分三步：按腰相等分三种情况,再根据两点间距离列方程,解之并检验.有些等腰三角形当角度特殊时,三种情况下的动点可能会重合在一起.例1.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴相交于A,B 两点,点C 的坐标是(8,4),连接AC,BC ．(1)求过O,A,C 三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状；(2)动点P 从点O 出发,沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时,动点Q 从点B 出发,沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒,当t 为何值时,PA=QA ？(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)先确定出点A,B 坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；(2)根据运动表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判断出Rt△AOP ≌Rt△ACQ ,得到OP=CQ 即可；(3)分三种情况用平面坐标系内,两点间的距离公式计算即可.【解答】(1)∵直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点,∴A(5,0),B(0,10).∵抛物线过原点, ∴设抛物线解析式为y=ax 2+bx,∵抛物线过点B(0,10),C(8,4),∴2550,6484a b a b +=⎧⎨+=⎩ ∴16,56a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩图1∴抛物线解析式为y=16x 2﹣56x, ∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),∴AB 2=52+102=125,BC 2=82+(8﹣5)2=100,AC 2=42+(8﹣5)2=25, ∴AC 2+BC 2=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形．(2)如图2,当P,Q 运动t 秒,即OP=2t,CQ=10﹣t 时,由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,在Rt△AOP 和Rt△ACQ 中,,AC OA PA QA=⎧⎨=⎩ ∴Rt△AOP ≌Rt△ACQ , ∴OP=CQ, ∴2t=10﹣t, ∴t=103, ∴当运动时间为103时,PA=QA ； (3)存在,∵y=16x 2﹣56x, ∴抛物线的对称轴为x=52, ∵A(5,0),B(0,10), ∴AB=55 如图3,设点M(52,m), 按边相等分为三种情况： ①当BM=BA 时, ∴(52)2+(m ﹣10)2=125, ∴m 1=205192+,m 2=205192-, ∴M 1(52,205192+),M 2(52,205192-). ②当AM=AB 时, ∴(52)2+m 2=125, ∴m 3=5192, m 4=﹣5192, ∴M 3(52,5192),M 4(52,﹣5192). ③当MA=MB 时,∴(52﹣5)2+m 2=(52)2+(10﹣m)2, ∴m=5, ∴M 5(52,5),此时点M 恰为线段AB 的中点,构不成三角形,舍去. x OA 2M 1M C3M 4M B y 图3 图2∴综合上所述点M 的坐标为：M 1(52,205192+),M 2(52,205192-),M 3(52,5192),M 4(52,﹣5192) 【点评】本题作为压轴题,立意新颖,具有较强的综合性.试题主要考查一次函数、二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,三角形全等的性质和判定,等腰三角形、直角三角形的性质.解本题第三问的关键是分情况讨论,这也是本题的难点．二.由抛物线上的动点产生的直角三角形对于直角三角形问题,若用代数方法探求,也需先按直角分三种情况,再根据两点间的距离列方程,然后解方程并检验.但下面例题中已指明斜边,故不需讨论.例2.如图4,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线l 与抛物线y=mx 2+nx 相交于A(1,33),B(4,0)两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在,求出点D 的坐标；若不存在,说明理由；(3)点P 是线段AB 上一动点,(点P 不与点A 、B重合),过点P 作PM ∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M 作MC ⊥x 轴于点C,交AB 于点N,若△BCN 、△PMN 的面积S △BC N 、S △P MN 满足S △B C N =2S △PMN ,求出MN NC的值,并求出此时点M 的坐标． 【分析】(1)由A 、B 两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)分D 在x 轴上和y 轴上,分别向不同的坐标轴坐垂线段.用点D 的坐标表示出AD 、BD ，列出关于d 的方程,即可求得D 点的坐标；(3)过P 作PF ⊥CM 于点F,利用Rt △ADO ∽Rt △MFP 以及三角函数,可用PF 分别表示出MF 和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a 表示出CN,再利用S △BC N =2S △PMN ,可用PF 表示出a 的值,从而可用PF 表示出CN,可求得MN NC的值；借助a 可表示出M 点的坐标,代入抛物线解析式可求得a 的值,从而可求出M 点的坐标．【解答】(1)∵A(1,33),B(4,0)在抛物线y=mx 2+nx 的图象上,∴33,1640m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得3,43m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线解析式为y=﹣3x 2+43x ；图4(2)存在三个点满足题意,理由如下：①当点D 在x 轴上时,如图4,过点A 作AD ⊥x 轴于点D,∵A(1,33), ∴D 坐标为(1,0)；②当点D 在y 轴上时（图略）,设D(0,d),则AD 2=1+(33﹣d)2,BD 2=42+d 2,且AB 2=(4﹣1)2+(33)2=36,∵△ABD 是以AB 为斜边的直角三角形,∴AD 2+BD 2=AB 2, 即1+(33﹣d)2+42+d 2=36,解得d=33112±, ∴D 点坐标为(0, 33112+)或(0, 33112-)； 综上可知存在满足条件的D 点,其坐标为(1,0)或(0,33112+) 或(0,33112-)； (3)如图5,过P 作PF ⊥CM 于点F,∵PM ∥OA, ∴Rt △ADO ∽Rt △MFP,∴MF AD PF OA==33, ∴MF=33PF, 在Rt △ABD 中,BD=3,AD=33,∴tan ∠ABD=3,∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN=3a,在Rt △PFN 中,∠PNF=∠BNC=30°,∴tan ∠PNF=33PF FN =, ∴FN=3PF, ∴MN=MF+FN=43PF,∵S △BC N =2S △P MN , ∴32a 2=2××43PF 2, 图5∴a=22PF,∴NC=3a=26PF,∴4326MN PF NC PF==2, ∴MN=2NC=2×3a=6a, ∴MC=MN+NC=(6+3)a, ∴M 点坐标为(4﹣a,(6+3)a),又M 点在抛物线上,代入可得﹣3(4﹣a)2+43(4﹣a)=(6+3)a, 解得a=3﹣2或a=0(舍去), OC=4﹣a=2+1,MC=26+3, ∴点M 的坐标为(2+1, 26+3)．【点评】本题是二次函数综合题,主要考查待定系数法求函数解析式,相似三角形、全等三角形以及直角三角形的性质.本题已指明了直角三角形的斜边是线段AB,不需要讨论；但需按点D 的位置分类讨论,这是解本题（2）的关键,也是本题之难点所在.三.由抛物线上的动点产生的等腰直角三角形此类问题可仿问题一、二的方法讨论.例3.如图6,已知点A 的坐标为(﹣2,0),直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C,连接AC,顶点为D 的抛物线y=ax 2+bx+c 过A 、B 、C 三点．(1)请直接写出B 、C 两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2),设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E,P 是第一象限内抛物线上一点,过点P 作x 轴的垂线,交线段BC 于点F,若四边形DEFP 为平行四边形,求点P 的坐标；(3)设点M 是线段BC 上的一动点,过点M 作MN ∥AB,交AC 于点N,点Q 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在△QMN 为等腰直角三角形？【分析】(1)由 y=﹣34x+3易得B 和C 的坐标,然后设抛物线的交点式为y=a(x+2)(x ﹣4),把C 的坐标代入抛物线解析式即可求出a 的值和顶点D 的坐标；(2)若四边形DEFP 为平行四边形,则DP ∥BC,设直线DP 的解析式为y=mx+n,则m=﹣34,求出直线DP 的解析式后,联立抛物线解析式和直线DP 的解析式即可求出P 的坐标；(3)由题意可知,0≤t≤6,若△QMN 为等腰直角三角形,则共有三种情况,①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．【解答】(1)B(4,O),C(0,3)．抛物线的解析式为233 3.84y x x =++顶点D 的坐标为)827,1( .(2)如图6,把x=1代入,49343=+-=y x y 得， 9(1,),4E ∴,8949827=-=∴DE 因点P 为第一象限内抛物线上一点,所以可设点P 坐标为),34383,(2++-x x m 点F 的坐标为(m,-43m+3)． 若四边形DEFP 为平行四边形,则PF=DE. 即-83m 2+43m+3-(-43m+3)=89. 解之,得m 1=3,m 2=1(不合题意,舍去)．∴当点P 坐标为(3,815)时,四边形DEFP 为平行四边形. (3)设点M 的坐标为(m,-343+m ),MN 交y 轴于点G ． ,//AB MN ∴∆MNC ∽∆BAC, COCG AB MN =∴ ①如图图7-①,当∠QMN=90°,MN=MQ=OG 时,,336MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,⋅=)2,34(,34M m ⋅=-=∴38344),0.34(t Q 即 ②如图7-②,当∠QNM=90°,MN=NQ=OG 时∵,336MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,⋅=)2,34(,34M m ∴GM=43,NG=23, ⋅-)0,32(Q ⋅=--=∴314)32(4t ③如图7-③当∠MQN=90°,QM=QN 时,OG= QK= 21NM, ,32136MN MN -=∴解之,得MN=3．⋅=∴23OG ,23343=+-∴x 解之,得x=2,即).23.1(),23,2(-N M MN 的中点K 的坐标为⋅⋅)2321().0,21(Q ∴即.27214=-=t ∴当t 为38或314或27时,存在△QMN 为等腰直角三角形． 图7-① G 图7-② G 图7-③ K G【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式,及一次函数中k 值和点的坐标的求法,抛物线的对称性,相似三角形、等腰直角三角形等知识. 是一道综合性较强的试题.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系．由于本题未指明三角形的直角,故需按直角分类讨论.例4.如图8,抛物线y=﹣53[(x﹣2)2+n]与x轴交于点A(m﹣2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连结BC．(1)求m、n的值；(2)如图9,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；(3)如图10,点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM、PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)易知抛物线的对称轴为直线x=2,由对称性得2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m的值,即得A(﹣1,0),B(5,0),然后把A点坐标代入y=﹣35 [(x﹣2)2+n]可求n的值；(2)作ND∥y轴交BC于D,如图9,由抛物线解析式确定C(0,3),再利用待定系数法求出BC的解析式为y=﹣35x+3,设N(x,﹣35x2+125x+3),则D(x,﹣35x+3),根据三角形面积公式,利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣32x2+152x,然后利用二次函数的性质求解；(3)先由勾股定理求出BC=34,再分类讨论:当∠PMB=90°,则∠PMC=90°,△PMC为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,证明△BMP∽△BOC,利用相似比可求出BP的长,再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°,则MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,证明△BMP∽△BCO,利用相似比求出BP的长,再计算OP后可得P点坐标．【解答】解：(1)∵抛物线的解析式为y=﹣35[(x﹣2)2+n]=﹣35(x﹣2)2﹣35n,∴抛物线的对称轴为直线x=2,∵点A和点B为对称点, ∴2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m=1, ∴A(﹣1,0),B(5,0),把A(﹣1,0)代入y=﹣35[(x﹣2)2+n]得9+n=0,解得n=﹣9；图8(2)作ND ∥y 轴交BC 于D,如图9,抛物线解析式为y=﹣35[(x ﹣2)2﹣9]=﹣35x 2+125x+3, 当x=0时,y=3,则C(0,3),设直线BC 的解析式为y=kx+b,把B(5,0),C(0,3)代入得 50,3k b b +=⎧⎨=⎩ 解得3,53k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为y=﹣35x+3, 设N(x,﹣35x 2+125x+3),则D(x,﹣35x+3), ∴ND=﹣35x 2+125x+3﹣(﹣35x+3)=﹣35x 2+3x, ∴S △NBC =S △NDC +S △NDB =12•5•ND=﹣32x 2+152x=﹣(x ﹣52)2+758, 当x=52时,△NBC 面积最大,最大值为758； (3)存在．∵B(5,0),C(0,3),∴BC=223534,+=①如图10,当∠PMB=90°时,亦有∠PMC=90°,而MP=M,故△PMC 为等腰三角形,∴△PMC 为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,∵∠MBP=∠OBC, ∴△BMP ∽△BOC ,∴,PM BM BP OC OB BC == 即 34,3534t t BP -== 解得 334,8t =17,4BP = ∴OP=OB ﹣BP=5﹣174=34, 此时P 点坐标为(34,0)； ②如图11,当∠MPB=90°时,则MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,∵∠MBP=∠CBO, ∴△BMP ∽△BCO ,∴ ,MP BM BP OC BC BO == 即34,3534t t BP -== 图10 M 图11M解得10225t -= 345BP -=∴OP=OB ﹣BP=5 , 此时P 点坐标为,0). 综上所述,P 点坐标为(34,0)或 (34,0). 评析：本题中虽然有“△PCM 为等腰三角形”, 但结合”△PCM 为等腰三角形,△PMB 为直角三角形同时成立”进行分析, 故不需对“等腰”分类,只需对“直角”讨论,解题过程迅速得以简化.通过对以上例题的分析与解答,我们对这类问题有了新的认识与了解,对解决抛物线中的等腰三角形及直角三角形问题寻求到了有效的解题途径,为今后九年级师生解决同类问题起到了抛砖引玉的作用.。
专题01 抛物线中的三角形面积问题-高中数学破题致胜微方法(抛物线中的面积、角度及参数范围问题)
专题01 抛物线中的三角形面积问题本内容主要研究抛物线中的面积问题.直线和抛物线相交，围成的平面图形种类很多，尤其以三角形最为常见，三角形面积的计算是重点，其他平面图形的面积可以转化为三角形面积的计算.直线和抛物线相交时联立方程，利用弦长公式，或者点线距公式，结合韦达定理解决问题.先看例题：例：已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=12,P 为C的准线上一点,则△ABP 的面积为( )A.18B.24C.36D.48解：由题意可知,|AB |是该抛物线的通径,即|AB |=2p =12,且准线上的点到AB 的距离即为焦准距,即为p =6,所以△ABP 的面积为1126362⨯⨯=. 所以本题选C整理：三角形面积（1）过x 轴上一定点H 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- （2）过y 轴上一定点H 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- （3）弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注意：要着正确的画出图形，进而求解.再看两个例题，加深印象例：在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________. 解：据题意可知直线AB 方程为3(1)y x =-,与抛物线方程联立消元得243403y y --=, 解得23A y =,故11||123322AOF A S OF y =⨯=⨯⨯=△.再看一个例题：例：已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________.解；本小题主要考查抛物线的方程及有关性质.由题意知a＞0,C(0,－1),原方程变形为21 (1)x ya=+,所以1||4OCa=,即14a=,则||4ABa==,所以14122ABCS=⨯⨯=△.总结：1.根据直线和抛物线的位置关系，如果弦任意，选择公式12S∆=弦长×点线距.2.根据直线和抛物线的位置关系，如果直线过x轴上一定点H，设直线方程x my t=+，代入抛物线方程计算弦长.3.根据直线和抛物线的位置关系，如果直线过y轴上一定点H，设直线方程y kx m=+，代入抛物线方程计算弦长.练习：1. O 为坐标原点,F 为抛物线C :2y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =则△POF的面积为( )A.2B.C.D.42. 连接抛物线x 2=4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ,设点O 为坐标原点,则三角形OAM 的面积为( )A.1-B.32-C.1D.32+3. 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.y 2=±4xB.y 2=±8xC.y 2=4xD.y 2=8x。
中考数学复习：专题3-11 抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略
抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略【专题综述】动态问题是近几年来中考数学的热点题型，常与存在性问题结合，这类问题综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解题时要特别关注运动和变化过程中的不变量、不变关系和特殊关系．本文以中考题为例，对二次函数背景下，一些特殊三角形存在性问题的解题策略进行探究．【方法解读】一、探究等腰三角形的存在性例1 如图1，已知抛物线y＝ax2＋b x＋c经过A（－1，0）、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)易得y＝－x2＋2x－3；(2)分析由图知，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，那么根据对称性以及两点之间线段最短可知，若连结BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．易求得BC的函数关系式为y＝－x＋3，当x＝1时，y＝2，所以P(1，2)；评注例1(3)中，由于△MAC的腰和底不明确，因此要分上述三种情况来讨论．可先设出M的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再分别按三种情况列式求解．同学们可根据上述解题思路分析解决下题：如图2，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒53个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t>0)．(1)当t＝3秒时，直接写出点Ⅳ的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；(2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？二、探究直角三角形的存在性例2 如图3，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段PQ＝34AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．评注例2(3)②中直角三角形的存在性问题有三部曲：先罗列三边，再分类列方程，后解方程检验．罗列三边时，应将三边由同一变量的表达式进行表示，分类列方程的分类标准为直角顶点的不同，求解后注意取舍．三、探究相似三角形的存在性例3 如图4，已知二次函数y＝148(x＋2)（a x＋b）的图象过点A（－4，3），B(4，4)．(1)求二次函数的解析式：(2)求证：△ACB是直角三角形；(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直戈轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．评注由动点产生的相似三角形问题的一般解题途径为：①若两个三角形各边均未给出，则应先设所求点的坐标，进而用变量表达式来表示各边的长度，再利用相似关系列方程求解．②求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出其是否为特殊三角形，再根据未知三角形中，已知边与已知三角形中边的对应情形分类讨论．【强化训练】1.（2017辽宁省辽阳市）如图，抛物线223y x x =--与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（ ）A ．12+B ．12-C ． 21-D ．12-或12+2.（2017山东省莱芜市）二次函数2y ax bx c =++（a ＜0）图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣3，1，与y 轴交于点C ，下面四个结论： ①16a ﹣4b +c ＜0；②若P （﹣5，y 1），Q （52，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＞y 2；③a =﹣13c ；④若△ABC 是等腰三角形，则b =﹣273．其中正确的有 （请将结论正确的序号全部填上） 3.如图，二次函数2y ax bx c =++（a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ）A ．2a ﹣b =0B ．a +b +c ＞0C ．3a ﹣c =0D ．当a =12时，△ABD 是等腰直角三角形 4.已知直线33y x =-+与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线21(3)43y x =--+上，能使△ABP为等腰三角形的点P 的个数有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5. 如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 ．6. 如图1，抛物线23[(2)]5y x n =--+与x 轴交于点A （m ﹣2，0）和B （2m +3，0）（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连结BC ． （1）求m 、n 的值；（2）如图2，点N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值； （3）如图3，点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点，连接PM 、PC ，是否存在这样的点P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 7.（2017辽宁省盘锦市）如图，直线y =﹣2x +4交y 轴于点A ，交抛物线212y x bx c =++ 于点B （3，﹣2），抛物线经过点C （﹣1，0），交y 轴于点D ，点P 是抛物线上的动点，作PE ⊥DB 交DB 所在直线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE 为等腰直角三角形时，求出PE 的长及P 点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB ，将△PBE 沿直线AB 翻折，直接写出翻折点后E 的对称点坐标．8.（2017四川省雅安市）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点A （l ，0），B （-3，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ． （1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE =PC 时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF ⊥x 轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．9.（2017四川省眉山市）如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知A （3，0），且M （1，83-）是抛物线上另一点． （1）求a 、b 的值；（2）连结AC ，设点P 是y 轴上任一点，若以P 、A 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标； （3）若点N 是x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O 、A 重合），过点N 作NH ∥AC 交抛物线的对称轴于H 点．设ON =t ，△ONH 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．10.（2017内蒙古包头市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线232y x bx c =++与x 轴交于A （﹣1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式；（2）直线y =﹣x +n 与该抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且BE =4EC ． ①求n 的值；②连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，△AGF 与△CGD 是否全等？请说明理由；（3）直线y =m （m ＞0）与该抛物线的交点为M ，N （点M 在点N 的左侧），点 M 关于y 轴的对称点为点M '，点H 的坐标为（1，0）．若四边形OM 'NH 的面积为53．求点H 到OM '的距离d 的值．。
抛物线中的直角三角形存在性问题
P1 x
A
PC
y
P2
P3 A
P1 x
例2、（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ， ）
和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物
线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若
中考压轴题分类专题 抛物线中的直角三角形
科目：初中数学
基本题型
已知线段AB，抛物线 y ax2 bx ca 0，点P在抛物线上（或坐标
轴上，或抛物线的对称轴上）,若 ABP 为直角三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论：
所需知识点
一、任意两点的斜率公式：
已知两点 P（x1, y1）, Q（x2 , y2）， 则直线PQ的斜率：
kPQ
y1 y2 x1 x2
二、（与坐标轴不垂直的）两直线垂直的斜率关系：
y1 k1x b1， y2 k2 x b2， 若y1 y1,则k1 k2 -1.
例1、（2009•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交
于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为
c=﹣3，那么要求抛物线的解析式还缺少一个点的坐标，可根据OC=3，
以及∠BCO的余弦值在直角△BCO中运用勾股定理求出OB的长，也就
得出了B的坐标，进而可求出抛物线的解析式．
1 O1
（2）假设存在这样的点P，那么要分两种情况进行讨论： x ①当PN是另外一条直角边时，可先求出直线MC的函数解析式，再求出
抛物线内正三角形结论
抛物线内正三角形结论
抛物线内正三角形的结论是一个几何学中非常有趣且重要的主题。
当我们考虑一个正三角形位于一个抛物线内部时，这个三角形的一些特性与抛物线的性质紧密相关。
首先，让我们明确一点，正三角形是一个所有边都相等且所有内角都为60度的多边形。
而抛物线则是一个二次函数图像，其定义是平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹。
当正三角形位于抛物线内部时，其顶点通常位于抛物线的对称轴上。
此时，正三角形的两边与抛物线相交，形成两个交点。
这两个交点与正三角形的顶点共同确定了三角形在抛物线内的位置。
一个重要的结论是，这两个交点与正三角形的顶点之间的线段（即三角形的两边）与抛物线的切线有关。
具体来说，这些线段与抛物线在交点处的切线垂直。
这是因为抛物线在任意一点的切线是与该点到焦点的连线垂直的。
此外，正三角形的边长也可以通过抛物线的方程和焦点、准线的位置来确定。
这涉及到一些复杂的几何计算和代数运算，但结果是，正三角形的边长与抛物线的参数之间存在一种确定的关系。
综上所述，抛物线内正三角形的结论涉及到三角形的位置、边长与抛物线的性质之间的关系。
这些结论不仅在数学和几何学中有着重要的应用价值，也为我们提供了一种理解和探索抛物线及其内部图形特性的有趣视角。
抛物线中的直角三角形存在性问题一对一教案
年级九科目数学班型一对一学生第次课课题名称抛物线中的直角三角形存在性问题授课老师授课时间2018年3月20日8:00——10:00教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧；体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。
教学重点.能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题2.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养教学难点能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题教学过程：一、课前小测：1.直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是2.已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,动点P、Q分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上向点B移动，速度是2单位每秒；点Q在线段BC上向点C运动，速度是1单位每秒。
设运动时间为t〔秒〕，当t= 秒时，△BPQ是直角三角形。
二、新课学习：〔一〕经典模型模型再现：已知：定点A(2, 1) 、B(6, 4)和动点M〔m, 0〕, 存在直角三角形ABM,求点M的坐标。
两线一圆找直角模型：在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下列图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。
具体有以下三种情况：比方：〔1〕当以点A为直角顶点时，过点A作AB的垂线交x轴的点即为所求；〔2〕当以点B为直角顶点时，过点B 作AB的垂线交x轴的点即为所求；〔3〕当以点M为直角顶点时，只需要以AB为直径作辅助圆与x轴的交点〔一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点〕即为所求。
〔二〕解法：1.“K型相似”〔一线三直角〕提示：竖直型，上减下；水平型，右减左。
遇直角，构矩形，得相似，求结果。
2.勾股定理〔暴力法---两点间距离公式〕利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。
其基本解题思路是列点.列线.列式。
第一步，列出构建所求直角三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标；第二步，采用分类讨论思想，列出构建所求直角三角形的三个边，并分类讨论两两垂直的三种可能性；第三步，把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式，利用勾股定理的逆定理列出等式求解。
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抛物线中的三角形问题
一、教学目标：
1、知识、能力目标：
通过复习，使学生了解将抛物线与三角形有机地结合在一起的综合题。
2、情感目标：
感受数形结合的优美与和谐。
二、教学过程：
近年来在各地中考数学试题中出现了一类新的热点题型，将抛物线与三角形有机地结合在一起。
这类题目综合性强，难度较大，本节来归纳这类试题的基本类型与求解。
一、根据已知条件判定或证明抛物线中三角形的形状
例1、已知二次函数y=(a+c)x 2
+2bx-(c-a),其中a,b,c,是△ABC 的三边，且a b ≥,a c ≥, a+c=2b,若这个二次函数的图象过原点，试证△ABC 是等边三角形。
证明 抛物线y=(a+b)x 2
+2bx-(c-a)过原点，将原点坐标（0，0）代入解得：a=c. 又a+c=2b ， ∴a=b=c ， 故△ABC 是等边三角形。
二、已知抛物线中三角形的形状，求解（证）有关二次函数问题
例2、已知抛物线y=x 2
+kx+1与x 轴的两 个交点A,B 都在原点右侧，顶点是C ，△ABC 是等腰直角三角形。
求证：（1）
；(2)求k 的值。
分析：本题要沟通函数与方程的关系，方程的根即为抛物线与x 轴交点的横坐标。
运用这一解题思想比较简捷。
解 （1）设A ，B 两点的坐标分别是（1x ,0）,(2x 0),则 ：
121
12x x k x x +=-=
∴AB=
21X X -=
=
(2) 抛物线y=2
x +kx+1的顶点C 的坐标是（-2
k ，2
44k -）。
△ABC 是等腰直角三角形的性质得：
244k -=12
k=±.
A,B 两点在原点的右侧， ∴k=-(12x x +)<0,从而 k=-
三、已知抛物线中三角形的面积。
求抛物线上点的坐标
例３、已知二次函数y=x 2
-(m-2)x+m 的图象经过（－１，１５），设此二次函数的图象与x 轴的交点是A,B,图象上的点C 使△ABC 的面积等于1，求点C 的坐标。
分析：根据题设条件易求得A 、B 两点的坐标，然后由面积公式确定C 点的坐标。
解：∵函数2(2)y x m x m =--+的图像过（-1，15）， ∴15=2
(1)(2)(1)m m ----+， ∴m=8。
∴二次函数的解析式为2
68x y x -+=令y=0，则2
68x x -+=0。
解得122,4x x ==。
从而求得A(2,0),B(4,0)。
设图象上一点C(x,y)，则S △ABC=1
12AB y ⋅⋅=,
∵2x x B A AB -==, ∴1y =，1y =±。
①当y=1时，268x x -+=1，得3x =±y=-1时，2
68x x -+=-1，得312x x ==
故所求C 点的坐标是(3或(3或（3，-1）。
四、已知抛物线中三角形的面积，求函数解析式
例4、已知抛物线2
y x bx c =++的对称轴在y 轴右侧，且抛物线与y 轴交于Q （0，-3），与x 轴交于点A ，B ，顶点是P ，△PAB 的面积是8，求函数的解析式。
解：∵抛物线与y 轴交于Q （0，-3）
∴c=-3，∴2
3y x bx =+-。
设抛物线与x 轴交点坐标是(,0),(,0)12A x B x ，则,31212x b x x x +=-=-。
∴21AB x x =-
∵函数2
3y x bx =+-的顶点P 的坐标是2
12(,)2
4
b
b +--
，∴△PAB 底边AB 上高是
214
b +。
12(12)84
b +=，即2b =±， ∵抛物线在y 轴右侧，∴b=-2， ∴所求函数解析式是2
23y x x =--。
五、探索抛物线中三角形的面积
例5、已知抛物线过M （0，-3），N （2，-3），P （4，5）三点。
在第二象限内抛物线上有一点A 到两坐标轴的距离相等，且抛物线与x 轴交于B 、C 两点，求△ABC 的面积。
解：由题意知：
16a+4b+c=5， a=1， 4a+2b+c=-3，⇒ b=-2， c=-3， c=-3。
∴函数的解析式为2
23y x x =--。
设(-m ，m)，则2
23m m m =+-，即2
30m m +-=，得11
2
12
2
m m
-=
-=
∵点在第二象限，∴舍去122m -=
， ∴11(
22
A -，令y=0得： 2
230x x --=⇒3,112x x ==-，∴抛物线与x 轴的交点是（3，0），（-1，0）。
∴BC=4，S △ABC =
114122
-⨯⨯
=。