完全平方公式之恒等变形

平方差公式和完全平方公式“变形记”.

2 4
(3)x 12 x m是完全平方式, 则m _____ 可以添加____________.
(4)请把4 x 1添加一项后是完全平方式，
6.计算：
(1)(a b c) (2)(a b c)(a b c) (3)(a b c)(a b c)
2 2
（3）已知(x y ) 25, ( x y ) 16,
2 2
则xy ________ 。
（4）已知x2＋y2 ＝13，xy＝6，求 x＋ y
5.完全平方式 2 （1）已知，x ax 16是完全平方式，
则a _______ 。
2 2
（2）已知， 4 x kxy 25 y 是完全平方式，则k __ b)(a b) 2b 1 其中a 3, b 3
2
2
3、在横线上添上适当的代数式，使等式成立
(1)a b (a b) _____
2 2 2
(2)a b (a b) _____
2 2 2
(3)(a b) (a b) _______
2 2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式变形1：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
a +b =(a+b) -2ab
a +b = (a-b) +2ab
( a b) ( a b) a b 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式变形2：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2

完全平方公式的变形与应用

完全平方公式的变形与应用完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形：(1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+(2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-(3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 22221[()()]2a b a b a b +=++- (5) 221[()()]2ab a b a b =+-- (6) 2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75.由公式(1)，有：α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250.(答略，下同)例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.解设长方形长为α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64.例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64.设两正方形的面积之和为S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116(x 2+y 2) =132[(x+y)2+(x-y)2] =132[642+(x-y)2]. ∵(x-y)2≥0，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.解设这两数分别为α、b ，则α+b=10，α2+b 2=52.由公式(5)，有：αb=12[(α+b)2-(α2+b 2)] =12(102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.求：α2+b 2+c 2-αb -bc-cα的值.解由公式(6)有：α2+b 2+c 2-αb -bc-αc=12[(α-b)2+(b-c)2+(c-α)2] =12[(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.。

完全平方公式的变形公式

完全平方公式的变形公式完全平方公式的变形公式在我们的考试中经常遇到，很多同学对此很苦恼，今天咱们一起来学习完全平方的变形公式。

一、通过移项变形1、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为a²+b²=（a+b）²-2ab2、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为2ab=（a+b）²-（a²+b²）用法：以上变形适用于已知a+b、ab、a²+b²中的两项求另一项的值，知二求一。

第二个变形也有记ab=½{（a+b）²-（a²+b²）}的，我们不需要这么记，记住上面第2个就行！例1：已知a+b=7，ab=10，求下列各式的值：（1）a²+b²；（2）a²-ab+b²解=（a+b）²-2ab 解= a² +b²-ab先移项因为a+b=7，ab=10 =（a+b）²-2ab-ab所以a²+b²=49-20=29 =（a+b）²-3ab因为a+b=7，ab=10所以a²+b²=49-30=19二、a+b与a-b的转换（1）（a+b）²=（a-b）²+4ab（由a-b变为a+b）（2）（a-b）²=（a+b）²+4ab （由a+b变为a-b）（3）（a+b）²-（a-b）²=4ab（4）（a+b）²+（a-b）²=2（a² +b²）用法：已知a+b、a-b、ab中的两项，求另一项，知二求一.例2、已知（a+b）²=9，（a-b）²=5，求（1）a² +b²，（2）ab的值.解：（1）2（a² +b²）=（a+b）²+（a-b）²2（a² +b²）=9+5=14a² +b²=7（2）4ab=（a+b）²-（a-b）²4ab=9-5=4ab=1特殊的小结：总的来说（a+b）²、（a-b）²、ab、a² +b²、a+b、a-b这六个项，我们通过题目给出的已知项把它们进行加或减就能够求出其它的项。

完全平方公式变形的应用

完全平方公式变形的应用完全平方公式是解二次方程的重要基础工具，可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式。

在实际应用中，完全平方公式变形主要用于简化计算、求解函数极值、确定函数性质等方面。

下面我们将具体介绍完全平方公式变形的应用。

一、解析几何中的应用1.完全平方公式变形常用于求解平面上的曲线的性质，如拟合圆弧、确定形状等。

例如，在平面几何中，如果已知一个椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，要求椭圆上两点之间的距离，可以利用完全平方公式将方程变形为$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$，即$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$。

然后，通过参数方程求解两点之间的距离。

2.完全平方公式变形也常用于解决计算几何中的问题。

例如，在计算几何中，如果已知一个长方形的面积为$8$平方单位，要求长方形的长和宽的和，可以利用完全平方公式将面积写成方程$x^2+lx-8=0$，其中$l$为长方形的长和宽的和。

然后，通过求解这个方程，即可得到长方形的长和宽的和的值。

二、实际问题中的应用1.完全平方公式变形可用于优化问题中的求解。

例如，在生产实践中，工厂生产其中一种产品，设产量为$x$件/天。

已知每件产品的销售价格为$p$元/件，每件产品的生产成本为$c$元/件，则销售收入$R$与生产成本$C$之间的关系可以表示为$R=px$，$C=cx$。

要使得利润最大化，即$R-C$最大化，可以通过完全平方公式变形求得产量$x$的最优值，进而计算出最大利润。

2.完全平方公式变形可用于求解抛物线的最值问题。

例如，在物理学中，一个抛体的运动轨迹为抛物线，设该抛物线的方程为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数。

要求抛物线的顶点坐标，可通过完全平方公式将方程变形为$y=a(x-\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$，即可得到顶点坐标$(\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。

完全平方公式变形公式专题

完全平方公式变形公式专题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形拓展五：立方和与立方差二．常见题型：（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。

(1)1=+y x ，则222121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式变形 (1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=(2)若()()x y x y a-=++22，则a 为 (3)如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于(4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（三）“知二求一”1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy+y 2的值．3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b ）2（2）a 2﹣6ab+b 2的值．（四）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。

例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是．（五）杨辉三角请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b ）6= ．（六）首尾互倒1．已知m 2﹣6m ﹣1=0，求2m 2﹣6m+= ．2．阅读下列解答过程：已知：x ≠0，且满足x 2﹣3x=1．求：的值．解：∵x 2﹣3x=1，∴x 2﹣3x ﹣1=0∴，即． ∴==32+2=11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a ≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2=14a ﹣7，求：（1）的值；（2）的值．（七）数形结合1．如图（1）是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．2．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．（八）规律探求15．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．。

完全平方公式的变形及其应用

完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。

下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。

一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。

例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。

解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。

二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。

例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。

解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。

三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。

例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。

解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。

完全平方公式的知识点及题目

完全平方公式的知识点及题目奋战百日，让七彩的梦在六月放飞。

让我们拼搏，用行动实现青春的诺言;让我们努力，用汗水浇灌理想的花蕾。

下面是作者给大家带来的完全平方公式的知识点及题目，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!完全平方公式的公式特点(一)学会推导公式：(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随便“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。

叫做完全平方公式.为了区分，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

(三)这两个公式的结构特点：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内).3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也能够表示单项式或多项式等数学式.完全平方公式运用公式常规四变运用公式常规四变一、变符号：例1：运用完全平方公式运算：(1)(2y+3x)^2 (2)3(3x+4y)^2分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法一：把两式分别变形为再用公式运算(反思得：)方法二：把两式分别变形为：后直接用公式运算方法三：把两式分别变形为：后直接用公式运算(此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于知道不会混淆)。

二、变项数：例2：运算：分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中显现了三项，故应推敲将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。

所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行运算。

三、变结构例3：运用公式运算：(1)(x+y)(2x+2y)(2)(a+b)(-a-b)(3)(a-b)(b-a)分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特点，但仔细视察易发觉，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)^2(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)^2四、简便运算例4：运算：(1)999^2(2)100.1^2分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式运算。

完全平方差公式的变式

完全平方公式的所有变形公式一. 完全平方公式常见的变形有a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=（a-b）2+2ab，（a+b）2-（a-b）2=4ab，a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）二. 乘法公式变形的应用例1：已知：x2+y2+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求xy的值。

分析：逆用完全乘方公式，将x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y的值即可。

解：∵x2+y2+4x-6y+13=0，（x2+4x+4）+（y2-6y+9）=0，即（x+2）2+（y-3）2=0。

∴x+2=0，y=3=0。

即x=-2，y=3。

∴xy=（-2）3=-8。

分析：本题巧妙地利用例3 已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。

分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）2002的值，可利用（a-b）2=（a +b）2-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）2002的值。

解：（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4（16+c2）=-4c2。

即：（a-b）2+4c2=0。

∴a-b=0，c=0。

∴（a-b+c）2002=0。

例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。

求证：a=b=c=d。

分析：从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。

证明：∵a4+b4+C4+D4=4abcd，∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0。

a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0又∵a、b、c、d为正有理数，∴a=b，c=d。

代入ab-cd=0，得a2=c2，即a=c。

所以有a=b=c=d。

完全平方公式变形公式及常见题型

完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形及常见题型是数学学习中最基本的内容，在考试中也是经常出现的题型。

完全平方公式的变形和常见的题型可以大大提高学生在数学考试中的表现，也可以帮助学生更好地理解这些概念。

本文将对完全平方公式变形公式及常见题型进行讨论，包括它们的定义、变形公式以及常见题型。

完全平方公式是一类特殊的二次公式，其标准形式为：
ax2+bx+c=0
其中a、b和c分别为系数，可以为整数、分数或者其他数学表
示形式。

在完全平方公式中，b=0，a和c为正数或者负数，此时x2
的系数为a，而常数项的系数为c。

完全平方公式的一般形式为：
ax2+c=0
要将完全平方公式一般形式变形为标准形式，可以使用变形公式，其中b系数的变形公式为：
b=±√(ac)
通过使用变形公式，可以在给定的条件下变形完全平方公式，使其达到标准形式。

完全平方公式变形后常常会出现一些常见的题型，这些题型包括： 1.全平方公式求解题：此类题型一般要求学生使用完全平方公式求解某类问题，例如求解一元二次方程；
2.全平方公式变形题：此类题型要求学生运用变形公式将完全平方公式从一般形式变换到标准形式；
3.全平方公式的图像分析题：此类题型要求学生分析完全平方公式的图像特征，如顶点、极值、开口方向等；
4.全平方公式在实际问题中的应用题：此类题型要求学生将完全平方公式运用到实际问题中，如几何问题或投资问题，求解问题的最佳解。

以上就是完全平方公式变形公式及常见题型的基本内容，下面我们将对它们进行更深入的介绍。

初中数学完全平方公式公式变形讲解

中数学完全平方公式知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。

帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。

完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

（a+b）2=a^2+2ab+b^2，（a-b）2=a^2-2ab+b^2。

（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。

（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。

难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。

结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3..公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。

使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。

注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。

2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可以是数，单项式，多项式。

3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。

完全平方公式变形公式专题

完全平方公式变形公式专题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形拓展五：立方和与立方差二．常见题型：（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。

(1)1=+y x ，则222121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式变形 (1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=(2)若()()x y x y a-=++22，则a 为 (3)如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于(4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（三）“知二求一”1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy+y 2的值．3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b ）2（2）a 2﹣6ab+b 2的值．（四）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。

例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 ba b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是．（五）杨辉三角请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b ）6= ．（六）首尾互倒1．已知m 2﹣6m ﹣1=0，求2m 2﹣6m+= ．2．阅读下列解答过程：已知：x ≠0，且满足x 2﹣3x=1．求：的值．解：∵x 2﹣3x=1，∴x 2﹣3x ﹣1=0∴，即． ∴==32+2=11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a ≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2=14a ﹣7，求：（1）的值；（2）的值．（七）数形结合1．如图（1）是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗三个代数式：（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．2．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．（八）规律探求15．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．。

完全平方公式八个变形

完全平方公式八个变形完全平方公式，这可是数学里的“常客”，咱们今天就来好好聊聊它的八个变形，保证让你对它有全新的认识！我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这完全平方公式变来变去的，有啥用啊？”我笑了笑，没直接回答他，而是先在黑板上写下了完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²以及 (a - b)² = a² - 2ab + b²。

这两个公式是基础，接下来咱们看看它们的变形。

变形一：a² + b² = (a + b)² - 2ab 。

比如，已知 a + b = 5，ab = 3，那a² + b²就等于 5² - 2×3 = 19 。

变形二：a² + b² = (a - b)² + 2ab 。

假如 a - b = 4，ab = 2，那么 a² +b²就是 4² + 2×2 = 20 。

变形三：(a + b)² = (a - b)² + 4ab 。

就像 a - b = 3，ab = 5 时，(a + b)²就是 3² + 4×5 = 29 。

变形四：(a - b)² = (a + b)² - 4ab 。

假设 a + b = 7，ab = 6，那么 (a - b)²等于 7² - 4×6 = 1 。

变形五：ab = 1/4 [(a + b)² - (a - b)²] 。

比如说 a + b = 8，a - b = 2，那 ab 就是 1/4 （8² - 2²） = 15 。

变形六：a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)²。

完全平方式的变形公式

完全平方式的变形公式哎呀，今天咱们聊聊一个特别有趣的话题，叫“完全平方式的变形公式”。

别看名字长，听起来好像很复杂，其实它就像一把万能钥匙，能打开很多数学大门，轻轻松松搞定一些看似难搞的题目。

想象一下，就像我们在生活中遇到难题，常常需要换个角度去看，找到最佳解决方案。

这公式也是一样，让我们用一种全新的方式来思考问题。

先说说这个完全平方公式吧，简单来说，就是把一个二次多项式变成一个完全平方式。

你可能会想，这个到底是什么鬼？简单点说，就是把一个形状复杂的东西，转变成一个“完美”的样子。

就像做蛋糕，最开始的原料乱七八糟，经过一番努力，最后变成了一个外焦里嫩的美味蛋糕。

这个公式就像是烘焙时的秘方，把一些元素重新组合，最终呈现出完美的成果。

举个例子，咱们假设有一个二次方程 (x^2 + 6x + 9)。

听起来是不是有点吓人？但是只要咱们稍微动动脑筋，就能把它变得简单。

想想看，这个方程能不能写成一个完全平方的形式？没错，答案是可以的！你把它看成 ((x + 3)^2)，哇，这不就是一个完整的平方了吗？是不是瞬间感觉轻松多了？这就像你逛街，碰到一件心仪的衣服，价格一看却让你心跳加速。

不过呢，转念一想，找到合适的折扣或者优惠券，心情立刻大好，买下它的感觉就像捡到宝一样。

数学也是如此，运用完全平方式的变形公式，很多看似复杂的方程在你手里就会变得简单起来，轻轻松松，没什么好怕的。

再说说“完全平方式”的妙处。

它不仅能帮助我们简化问题，还能给我们提供更深层次的理解。

很多时候，数学里的图形和公式就像是一幅幅画，越看越让人着迷。

完全平方的变化就像是把模糊的图案变得清晰，细节一目了然。

咱们可以看到，如何从原始的方程出发，一步步找到更完美的表达，感觉就像在追逐一个艺术家的灵感，真的让人兴奋！这个公式在解题时就像是一个绝招，让你在考试中游刃有余。

面对那些让人抓狂的题目，运用它就能轻松拿下。

你可以想象一下，当你在考场上看到一个复杂的二次方程，心中一紧，脑子里却突然闪过“哎，这不就是可以用完全平方公式的吗？”于是你心中一喜，顺利写下答案，简直就是神助攻！别忘了，数学不仅仅是数字和公式的堆砌，更是一种思维方式。

七下完全平方公式变形

七下完全平方公式变形完全平方公式是数学中一个重要的概念，它在解决一些特定类型的方程时起到了关键的作用。

这个公式的变形有时也能给我们带来一些启示，让我们对数学的世界有更深入的认识。

在我们的日常生活中，有时会遇到一些问题，比如需要求解一个方程，或者计算一个数的平方根。

这时候，完全平方公式就能派上用场。

它的原始形式是这样的：对于任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。

这个公式的应用非常广泛，可以解决各种各样的问题。

但是，我们也可以将完全平方公式进行一些变形，以适应不同的情况。

比如，我们可以将(a+b)²展开为a²+b²+2ab，或者将a²+2ab展开为(a+b)²-b²。

这样的变形虽然看起来很简单，但却能给我们带来一些启示。

通过变形，我们可以更好地理解完全平方公式的本质。

它其实是一种将平方求和的方法，通过将一个数的平方和两倍乘积相加，得到一个完全平方的和。

这个过程既简单又巧妙，让我们能够更好地理解数学的世界。

除了解决方程和计算平方根之外，完全平方公式还可以应用于其他领域。

比如，在几何学中，我们可以利用完全平方公式求解一些与平方有关的问题。

在物理学中，完全平方公式也有广泛的应用，可以帮助我们解决一些复杂的物理方程。

完全平方公式是数学中一个重要的概念，它的变形能够帮助我们更好地理解数学的世界。

通过灵活运用完全平方公式，我们可以解决各种各样的问题，从而更好地应对现实生活中的挑战。

希望大家能够充分理解完全平方公式的变形，将它应用到实际问题中，发现数学的美妙之处。

完全平方公式变形公式专题

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五：立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型：（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。

(1)1=+y x ，则222121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式变形(1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (3)如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（三）“知二求一”1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy+y 2的值．3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2 （2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b ）2（2）a 2﹣6ab+b 2的值．创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*（四）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。

完全平方公式变形公式专题

半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形拓展五：立方和与立方差二．常见题型：（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。

(1)1=+y x ，则222121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式变形(1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=(2)若()()x y x y a-=++22，则a 为 (3)如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于(4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（三）“知二求一”1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy+y 2的值．3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b ）2（2）a 2﹣6ab+b 2的值．（四）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。

例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 ba b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是．（五）杨辉三角请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b ）6= ．（六）首尾互倒1．已知m 2﹣6m ﹣1=0，求2m 2﹣6m+= ．2．阅读下列解答过程：已知：x ≠0，且满足x 2﹣3x=1．求：的值．解：∵x 2﹣3x=1，∴x 2﹣3x ﹣1=0 ∴，即． ∴==32+2=11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a ≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2=14a ﹣7，求：（1）的值；（2）的值．（七）数形结合1．如图（1）是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？三个代数式：（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．2．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就可以用图1或图2的面积来表示．（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．（八）规律探求15．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

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