量子统计 第1章

ˆ n = φ n φn ρ
平均值：
2
ˆ n ψ (t ) = Cn (t ) ρ n (t ) = ψ (t ) ρ
2、量子系综百度文库定义
由 N （N → 无穷）个“相同”且彼此独立的 系统构成的集合称为系综。—人为、抽象，理想
其中“相同”是指每个系统宏观约束条件 宏观约束条件相同， 宏观约束条件 注意：微观量子状态 微观量子状态可以不同。 微观量子状态
Kronecker Delta
= ∑ ρ i ψ i (t ) n anδ n,m m ψ i (t ) = ∑ ρ i ψ i (t ) n an n ψ i (t )
i,n i , n, m
⇒ δ n,m
1，n = m = 0，n ≠ m
= ∑ ρ i n ψ i (t ) ψ i (t ) n an
2
7、密度算符的时间演化——刘维方程
∂ ψ i (t ) ∂ ψ i (t ) ˆ ∂ρ ψ i (t ) + ψ i (t ) ih ih = ∑ ρi ih ∂t ∂t ∂t i
ˆ ∂ρ ˆ ψ i (t ) ψ i (t ) − ψ i (t ) ψ i (t ) H ˆ ih = ∑ ρi H ∂t i ∂ ψ i (t ) ˆρ ˆ ˆ−ρ ˆH =H ˆ ψ i (t ) ih =H ∂t ∂ ψ i (t ) ˆ 刘维方程： ˆ − ih = ψ i (t ) H ∂ρ ˆ ˆ] ih = [H , ρ ∂t ∂t
ˆ+ = ρ ˆ 或者 ρ
3）
* ρ mn = ρ nm
ˆ = tr ( ρ ˆ )在表象变换下不变性 ˆA A
4） 投影算符 φ φ 的系综平均值代表系统处于 φ 状态的概率
ˆφ φ )= φ ρ ˆ φ = ∑ ρ i φ ψ i (t ) tr ( ρ
推论： ρ ˆ的对角元 ≥ 0
i
2
5）
ˆ 的矩阵元是有界的 ρ
t +τ
t
,…,
系综
t
5、密度算符(density operator)的定义
ˆ 的一组基 : { φ } ≡ { n } 对应力学量A n 力学量的系综 平均值：
∑ m m =1
m
ˆ ψ (t ) A t = ∑ ρ i ψ i (t ) A i
i
∑ n n =1
n
A
t
=
i ,n,m
ˆ m m ψ (t ) ∑ ρi ψ i (t ) n n A i
系综 : N个系统的集合
,.., ,…, ,.., ,…, ,.., ,…,
N1个处于 ψ 1
N 2个处于 ψ 2
N i 个处于 ψ i
Ni N1 N2 ρ1 = ，ρ 2 = ， ...，ρi = ， ... N N N
ρ i 给出组成系综的任一个系统处于 ψ i
的概率
系综 的构成:
1) 系统的宏观约束条件 2) 系统的量子状态 { ψ i } 3) 系综的状态分布 {ρ i }
ˆ − E) k k = C ∑ Θ( H
k
ˆ − E) Θ( H = Γ( E , N ,V )
4） 微正则系综的熵：
ˆ = tr ( ρ ˆη ˆ ) = −tr ( ρ ˆ ln ρ ˆ) S= η = −∑ ρ ( Ek ) ln ρ ( Ek ) = −∑'k C ln C
i
量子力学平均 两种平均： 统计平均
4、统计力学的基本假设
力学量的 宏观观测值
力学量的 时间平均值
力学量的 系综平均值
time
At= ∫
1
τ：仪器的特征时间
ˆ ψ (t ) A t = ∑ ρ i ψ i (t ) A i
i
t2 t1
...
...
ti
...
τ
t +τ t
ˆ ψ dt ψt A t
{ρ i }满足：
ρi ≥ 0 ∑ ρi = 1
i
纯系综 ：一种特殊的系综
给定 { ψ i }, 如果{ρ i } :
1, ρi = 0,
i=I i≠I
这一状态，
即：组成系综的所有系统均处在
ψ I (t )
反之，称为 “混合系综”
3、力学量的系综平均
ˆ ψ (t ) A t = ∑ ρ i ψ i (t ) A i
量子统计物理学
理工楼716 Phone: 62514011 Email: hanqiang@ruc.edu.cn
前言： 前言：
一、教材与参考书
1、《量子统计物理学》杨展如编，高教出版社2007； 2、《量子统计力学》（第二版），张先蔚编著，科学出版社2008； 3、 《量子统计物理学》（第一版），北大编，北大出版社1987； 4、Statistical Mechanics (2nd edition), R.K. Pathria，世图2001。 注：以课堂讲述为主
C , ρ ( Ek ) = 0,
E ≤ Ek ≤ E + ∆E Ek < E或Ek > E + ∆E
C ∑'k 1 = 1
C由归一化确定
ˆ = ∑ ρ ( Ek ) = 1 trρ
k
1 C= ' = ∑ k 1 Γ( E , N ,V )
1
Γ( E , N ,V )代表能量界于E , E + ∆E之间的状态总数
i,n
ˆn = ∑ ∑ ρ i n ψ i (t ) ψ i (t ) A
i n
ˆ ≡ ∑ ρ i ψ i (t ) ψ i (t ) ρ
i
ˆn = ∑ n ∑ ρ i ψ i (t ) ψ i (t ) A
n i
(
)
ˆ n = tr ( ρ ˆ) ˆA ˆA =∑ nρ
n
tr：求迹trace， 矩阵的对角元之和
ρ 45
o
1 1 1 = 2 1 1
混合系综密度算符
所有可能的微观状态： { ψ α } ,以及分布{ρα }
ˆα = ∑ ρα ψ α ψ α ρ
α
特例1： 50% x偏振光与50% y偏振光的混合
1 1 1 0 1 0 0 2 ρ= + = 2 0 0 2 0 1 0
作为一个特殊的定态：平衡态统计！
第一节作业：
1. 2.
纯系综的熵为0，混合系综的熵大于零 请证明密度算符的正定性质，即 对任意一组复数{cn } ，有
∑
n, m
3.
* ρ nm cn cm
≥0
假设热灯丝蒸发出的电子其自旋方向是完全 无规的，求该混合系综的密度矩阵
ˆ z的本征态矢{ ↑ , ↓ }作为基 提示：可以取σ
第一章、 第一章、量子系综理论
第一节、 第一节、量子系综理论基础
1、系统微观状态的量子力学描述
微观状态用态矢量描述： ψ (t ) 态矢量满足薛定谔方程： 力学量用算符描述： ˆ { φn } A 态矢量按照本征 矢量展开：
∂ ψ (t ) ˆ ψ (t ) ih =H ∂t
ˆφ =a φ , A n n n
n m n
ˆ ) n n = ρ (H ˆ) = ∑ ρ (H
n
ˆ 的函数 ˆ是H 结论：ρ
2）能量本征态简并
En , → { n,... }
力学量完全集：
对应某一能量存在一组量子态， 量子数不只n一个
ˆ ,P ˆ, M ˆ ,N ˆ ,...} {H
密度算符是力学量完全集的函数：
ˆ ,P ˆ, M ˆ ,N ˆ ,...) ˆ = ρ (H ρ
∑ m m =1
m
ˆ2 = ∑ n ρ ˆρ ˆn 证明： trρ
=
n, m
∑ ρ nm ρ mn = ∑ ρ nm
n, m
n
2
ˆ的厄密性，存在对角表象{ α } 另一方面： 再次利用ρ ˆ α = ρα α , ρ
2 2 2 ˆ 2 = ∑ ρα α α 从而 ρ
α
2 ˆ = ∑ ρα ≤ ˆ ( ) trρ ρ = tr ρ =1 ∑ α α α
α
x
ψ α = cos α x + sin α y
α ∈ [0, π )
纯系综密度算符：
ˆα = ψ α ψ α ρ = cos 2 α x x + cos α sin α x y + cos α sin α y x + sin 2 α y y
ˆα = ψ α ψ α ρ cos 2 α = ( x , y ) cos α sin α
(
)
8、刘维方程的定态解
ˆ ∂ρ ˆ ,ρ ˆ] = 0 若 = 0，则称为定态 ⇔ [ H ∂t
1）能量本征态非简并 { n }, 量子数n与本征能量En一一对应
ˆ n = En n , H

ˆ n = ρn n ρ

ρ n = ρ ( En )
ˆ = ∑ n n ρ ˆ ∑ m m = ∑ ρ ( En ) n n ρ
二、纲要
1. 2. 3. 4. 5. 6.
量子系综理论 理想（无互作用）全同粒子统计 相互作用量子体系－超流与超导 朗道费米液体理论 相变与临界现象 格林函数方法 由简到繁，由浅入深
掌握的方法：
1, 平均场方法 处理相互 2, 重整化群 作用的方法 3, 场论（Green函数）
掌握的概念：
0 1 2
特例2：自然光的密度矩阵 假设自然光为各种偏振的均匀混合 ρα =
1
π
ˆ = ∫0 ρα ψ α ψ α dα ρ
1 cos α sin α dα = 2 sin 2 α 0 0 1 2
π
ρ=
1
π
∫0
π
cos α cos α sin α
第二节、 第二节、平衡态量子统计系综
根据刘维方程（来自量子力学）推出的一般形式
ˆ,N ˆ,P ˆ, M ˆ) ˆ = ρ (H ρ
ˆ ＝0，M ˆ ＝0， 当体系宏观上保持静止，P ˆ = N0 ,则 且粒子数不变N ˆ) ˆ = ρ (H ρ
函数的具体形式，必须由统计力学来回答
1、微正则系综
1）
ρ ( Ek ) = Γ −1 ( E , N ,V )Θ( Ek − E )
其中：
1, Θ( x ) = 0, 0 ≤ x ≤ ∆E x < 0, 或x > ∆E
0
1
ΔE
x
3） 密度算符： ˆ = ∑ ρ ( E k ) k k = C ∑ Θ( E k − E ) k k ρ
k k
孤立系统的集合，满足微正则分布
孤立系统：与外界即没有能量交换，又没有物质交换的 体积为V的体系 宏观约束条件： ( E , N ,V ) 允许能量存在很小的涨落：
能量界于E到E＋∆E之间, ∆E << E
2） 微正则分布：来自等几率假设（原理）
孤立系（E,N,V）达到平衡时，系统处于任一允许量子态 的几率均相等 设对应N,V的体系所有能量本征态 { k }
2
ˆ2 = trρ
n, m
∑ ρ nm ≤ 1
2
6） 系综的熵算符与熵的定义
ˆ = − ln ρ ˆ, η ˆ = tr ( ρ ˆη ˆ ) = −tr ( ρ ˆ ln ρ ˆ ), S= η
注：k B = 1
容易证明：纯系综的熵为0， 混合系综的熵大于零。
7、密度算符举例
y
沿z轴方向传播的线偏振光 基： { x , y }
本征方程
ψ (t ) = ∑ Cn (t ) φn
n
Cn (t ) = φn ψ (t )
波函数的 统计解释：
Cn (t )
2
t 时刻 系统处于 φn 状态的概率
力学量的观测值即为算符的量子力学平均：
ˆ ψ (t ) = ∑ C (t ) 2 a A (t ) = ψ (t ) A n n
n
引入投影算符（也是一个力学量算符）：
总结以上：
ˆ ≡ ∑ ρ i ψ i (t ) ψ i (t ) ρ
i
⇒ 密度算符
ˆ = tr ( ρ ˆ) ˆA A
⇒ 系综平均
6、密度算符的主要性质
0）“密度矩阵” ——密度算符在任一组基下的表示
ρ
ˆm ρ mn＝ n ρ
{n }
1）归一性 2）厄密性
ˆ =1 trρ
或者
∑ ρ nn =1
n
cos 2 α ρ = cos α sin α
特例：
x cos α sin α y sin 2 α
cos α sin α sin 2 α
密度矩阵
1 0 ρ0 = 0 0
o
ρ 90
o
0 0 = 0 1
朗道费米液体理论 凝聚态物理的 两块基石 朗道二级相变理论
三、预修课程
热力学与统计物理学 量子统计量子力学 高等量子力学“二次量子化”
四、考试方式 平时作业占20％ 期中考试占20％（闭卷） 期末考试占60％（闭卷） 五、讲课方式
PPT与板书相结合 http://www.k65.net/u.php User name:qspruc Password:2008