应力与变形分析
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(a)
用一个与横截面成角的斜截面m-m假想地将杆截分为两段，并研究左段的平衡，运用截面法,可求得斜截面m-m上的内力（图6-5b）为
FN=FN(b)
由图6-5a的几何关系可知，斜截面m-m的面积为 ，仿照横截面上正应力均匀分布的讨论，可知斜截面m-m上的总应力p亦为均匀分布，于是，可得斜截面上各点的应力为
FN1=F1=120 kN
FN2=F1－F2=120 kN－220 kN =－100 kN
FN3=F4=160 kN
（2）作轴力图由各横截面上的轴力值，作出轴力图（图6-3b）。
（3）求最大应力根据式（6-3）得
AB段 （拉应力）
BC段 （压应力）
CD段 （拉应力）
由计算可知，杆的最大应力为拉应力，在CD段内，其值为178 MPa。
第
本章通过对四种基本变形时构件截面上的应力分布规律的分析，介绍研究材料力学的基本方法；讨论其应力和变形的计算问题；重点研究构件的强度计算；介绍常温、静载下材料的机械性质。
6.1
6.1.1应力的概念
同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。这说明单凭轴力FN并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关，图6-1
应力的单位为“帕”，用Pa表示。1Pa=1N/m2,常用单位为兆帕MPa，
1MPa=106Pa=1MN/mm2=1N/mm2，1GPa=109Pa。
6.1.2轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力
取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab和cd，然后在杆两端施加一对轴向拉力F使杆发生变形，此时直线ab、cd分别平移至a'b'、c'd'且仍保持为直线（图6-2a）。由此变形现象可以假设，变形前的横截面，变形后仍保持为平面，仅沿轴线产生了相对平移，并仍与杆的轴线垂直。这就是平面假设。根据平面假设，等直杆在轴向力作用下，其横截面间的所有纵向的变形伸长量是相等的。由均匀性假设，横截面上的内力应是均匀分布的(图6-2b)。即横截面上个点处的应力大小相等，其方向与FN一致，垂直于横截面，故横截面上的正应力可以直接表示为
CD段：
DE段：
由以上计算可知，在BC段应力最大为100 MPa，故BC段各截面为危险截面。
例6-2一钢制阶梯杆如图6-3a所示。各段杆的横截面面积为：A1=1600 mm2，A2=625 mm2，A3=900 mm2，试画出轴力图，并求出此杆的最大工作应力。
图6-3
解:（1）求各段轴力
根据式（5-1）得
（6-3）
式中，—正应力，符号由轴力决定，拉应力为正，压应力为负；
FN—横截面上的内力（轴力）；
图6-2A—横截面的面积。
例6-1在例5-2中，设等直杆的横截面面积A=500 mm2，试求此杆各段截面上的应力，并指出此杆危险截面所在的位置。
解:根据前面已求得的各段轴力，各段截面上的应力为
AB段：
BC段：
（2）= 45时
45=cos245=
45= sin(2×45)= =max
上式说明，在45的斜截面上，切应力为最大，此时正应力和切应力相等，其值为横截面上正应力的一半。
（3）=90时
90=cos290= 0
90= sin(2×90)= 0
上式说明，杆件轴向拉伸和压缩时，平行于轴线的纵向截面上无应力。
(c)
将p分解为垂直于截面的正应力和沿斜截面的切应力(图6-5c)，则有
=pcos=cos2(6-4)
=psin=cossin= sin2(6-5)
由上两式可知,、都是角的函数，即截面上的应力随截面方位的改变而改变。
（1）= 0时
0=cos20==max
0= sin(2×0)= 0
上式说明，轴向拉（压）时，横截面上的正应力具有最大值，切应力为零。
例6-3圆杆上有一穿透直径的槽(图6-4a)。已知圆杆直径d=20 mm，槽的宽度为 ，设拉力F=30 kN，试求最大正应力（槽对杆的横截面积削弱量可近似按矩形计算）。
解:（1）求内力：杆的轴力图见（图6-4b）
FN=F=30 kN
（2）确定危险截面面积：
由轴力图可知，受力杆件任意截面上的轴力相等，但中间一段因开槽而使截面面积减小，故杆的危险截面图6-4
（6-2）
上式p定义为C点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b），法向分量称为正应力，用表示；切向分量称为切应力，用表示。
将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。
应在开槽段，即最大应力应发生在该段，开槽段的横截ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ积为
（3）计算危险段上的最大正应力：
6.1.3轴向拉伸（或压缩）时斜截面上的应力
实验证明，拉伸或压缩杆件的破坏，不一定都是沿横截面，有时会沿斜截面发生。为全面分析杆件的强度，了解各种破坏发生的原因，需研究轴向拉伸（或压缩）时斜截面上的应力。
图6-5a表示一等截面直杆，受轴向拉力F的作用。由截面法知FN=F，若杆的横截面面积为A，显然，横截面的正应力为图6-5
应力符号规定如下：仍以拉应力为正，压应力为负；对杆内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负。
由（6-5）式可知，必有 ，说明杆件内部相互垂直的截面上，切应力必然成对出现，两者等值且都垂直于两平面的交线，其方向则同时指向或背离交线，即切应力互等定理。
6.2
轴向拉伸（或压缩）时，杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长（或缩短），即纵向变形。由实验可知，当杆沿轴向伸长（或缩短）时，其横向尺寸也会相应缩小（或增大），即产生垂直于轴线方向的横向变形。
而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。
要了解受力杆件在截面m-m上的任意一点C处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m处截开，在截面上围绕C点取微小面积ΔA，ΔA上分布内力的合力为Δp(图6-1a)，将Δp除以面积ΔA，即
（6-1）
pm称为在面积ΔA上的平均应力，它尚不能精确表示C点处内力的分布状况。当面积无限趋近于零时比值 的极限，才真实地反映任意一点C处内力的分布状况，即
用一个与横截面成角的斜截面m-m假想地将杆截分为两段，并研究左段的平衡，运用截面法,可求得斜截面m-m上的内力（图6-5b）为
FN=FN(b)
由图6-5a的几何关系可知，斜截面m-m的面积为 ，仿照横截面上正应力均匀分布的讨论，可知斜截面m-m上的总应力p亦为均匀分布，于是，可得斜截面上各点的应力为
FN1=F1=120 kN
FN2=F1－F2=120 kN－220 kN =－100 kN
FN3=F4=160 kN
（2）作轴力图由各横截面上的轴力值，作出轴力图（图6-3b）。
（3）求最大应力根据式（6-3）得
AB段 （拉应力）
BC段 （压应力）
CD段 （拉应力）
由计算可知，杆的最大应力为拉应力，在CD段内，其值为178 MPa。
第
本章通过对四种基本变形时构件截面上的应力分布规律的分析，介绍研究材料力学的基本方法；讨论其应力和变形的计算问题；重点研究构件的强度计算；介绍常温、静载下材料的机械性质。
6.1
6.1.1应力的概念
同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。这说明单凭轴力FN并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关，图6-1
应力的单位为“帕”，用Pa表示。1Pa=1N/m2,常用单位为兆帕MPa，
1MPa=106Pa=1MN/mm2=1N/mm2，1GPa=109Pa。
6.1.2轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力
取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab和cd，然后在杆两端施加一对轴向拉力F使杆发生变形，此时直线ab、cd分别平移至a'b'、c'd'且仍保持为直线（图6-2a）。由此变形现象可以假设，变形前的横截面，变形后仍保持为平面，仅沿轴线产生了相对平移，并仍与杆的轴线垂直。这就是平面假设。根据平面假设，等直杆在轴向力作用下，其横截面间的所有纵向的变形伸长量是相等的。由均匀性假设，横截面上的内力应是均匀分布的(图6-2b)。即横截面上个点处的应力大小相等，其方向与FN一致，垂直于横截面，故横截面上的正应力可以直接表示为
CD段：
DE段：
由以上计算可知，在BC段应力最大为100 MPa，故BC段各截面为危险截面。
例6-2一钢制阶梯杆如图6-3a所示。各段杆的横截面面积为：A1=1600 mm2，A2=625 mm2，A3=900 mm2，试画出轴力图，并求出此杆的最大工作应力。
图6-3
解:（1）求各段轴力
根据式（5-1）得
（6-3）
式中，—正应力，符号由轴力决定，拉应力为正，压应力为负；
FN—横截面上的内力（轴力）；
图6-2A—横截面的面积。
例6-1在例5-2中，设等直杆的横截面面积A=500 mm2，试求此杆各段截面上的应力，并指出此杆危险截面所在的位置。
解:根据前面已求得的各段轴力，各段截面上的应力为
AB段：
BC段：
（2）= 45时
45=cos245=
45= sin(2×45)= =max
上式说明，在45的斜截面上，切应力为最大，此时正应力和切应力相等，其值为横截面上正应力的一半。
（3）=90时
90=cos290= 0
90= sin(2×90)= 0
上式说明，杆件轴向拉伸和压缩时，平行于轴线的纵向截面上无应力。
(c)
将p分解为垂直于截面的正应力和沿斜截面的切应力(图6-5c)，则有
=pcos=cos2(6-4)
=psin=cossin= sin2(6-5)
由上两式可知,、都是角的函数，即截面上的应力随截面方位的改变而改变。
（1）= 0时
0=cos20==max
0= sin(2×0)= 0
上式说明，轴向拉（压）时，横截面上的正应力具有最大值，切应力为零。
例6-3圆杆上有一穿透直径的槽(图6-4a)。已知圆杆直径d=20 mm，槽的宽度为 ，设拉力F=30 kN，试求最大正应力（槽对杆的横截面积削弱量可近似按矩形计算）。
解:（1）求内力：杆的轴力图见（图6-4b）
FN=F=30 kN
（2）确定危险截面面积：
由轴力图可知，受力杆件任意截面上的轴力相等，但中间一段因开槽而使截面面积减小，故杆的危险截面图6-4
（6-2）
上式p定义为C点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b），法向分量称为正应力，用表示；切向分量称为切应力，用表示。
将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。
应在开槽段，即最大应力应发生在该段，开槽段的横截ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ积为
（3）计算危险段上的最大正应力：
6.1.3轴向拉伸（或压缩）时斜截面上的应力
实验证明，拉伸或压缩杆件的破坏，不一定都是沿横截面，有时会沿斜截面发生。为全面分析杆件的强度，了解各种破坏发生的原因，需研究轴向拉伸（或压缩）时斜截面上的应力。
图6-5a表示一等截面直杆，受轴向拉力F的作用。由截面法知FN=F，若杆的横截面面积为A，显然，横截面的正应力为图6-5
应力符号规定如下：仍以拉应力为正，压应力为负；对杆内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负。
由（6-5）式可知，必有 ，说明杆件内部相互垂直的截面上，切应力必然成对出现，两者等值且都垂直于两平面的交线，其方向则同时指向或背离交线，即切应力互等定理。
6.2
轴向拉伸（或压缩）时，杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长（或缩短），即纵向变形。由实验可知，当杆沿轴向伸长（或缩短）时，其横向尺寸也会相应缩小（或增大），即产生垂直于轴线方向的横向变形。
而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。
要了解受力杆件在截面m-m上的任意一点C处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m处截开，在截面上围绕C点取微小面积ΔA，ΔA上分布内力的合力为Δp(图6-1a)，将Δp除以面积ΔA，即
（6-1）
pm称为在面积ΔA上的平均应力，它尚不能精确表示C点处内力的分布状况。当面积无限趋近于零时比值 的极限，才真实地反映任意一点C处内力的分布状况，即