初复习案：极差方差与标准差——数据的离散程度
极差、方差与标准差学案
极差、方差与标准差学案
一、概念题
4．我们可以用一组数据中的__________减去__________所得的差来反映这组数据的变化范围．用这种方法得到的差称为________．
5．方差实际上是一种表示一组数据的_________的量，我们可以用“先平均，_________，然后_________，最后再________”的方法得到．
6．标准差与方差有什么关系？这二者与原数据在单位上有什么关系？
二、读图题
1．观察下面的折线图，回答问题：
（1）__________组数据的极差较大．
（2）__________组数据的方差较大．
2．下图中两组数据哪一组离散程度较大？用什么样的数可以反映它们的离散程度的大小？
3．比较下面两幅频数分布图中的数据，哪组的平均值较大？哪组的标准差较大？。
6.4 数据的离散程度
6.4 数据的离散程度1．极差定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差，即极差＝最大值－最小值．极差反映了这组数据的波动范围．谈重点 极差(1)极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量，极差能够反映一组数据的波动范围；(2)在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差；(3)极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大；(4)一组数据的极差越小，这组数据就越稳定．【例1】 在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170,162,155,160,168(单位：cm)，则这组数据的极差是__________cm.解析：根据极差的概念，用最大值减去最小值即可，170－155＝15(cm)．答案：152．方差(1)定义：设有n 个数据x 1，x 2，x 3，…，x n ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x 1－x )2，(x 2－x )2，(x 3－x )2，…，(x n －x )2，用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．(2)方差的计算公式：通常用s 2表示一组数据的方差，用x 表示这组数据的平均数．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋…＋(x n －x )2]． (3)标准差：标准差就是方差的算术平方根．谈重点 方差(1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；(3)一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；(4)一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k 2倍．【例2】 已知两组数据分别为：甲：42,41,40,39,38；乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5.计算这两组数据的方差．解：x 甲＝15×(42＋41＋40＋39＋38)＝40， s 2甲＝15×[(42－40)2＋…＋(38－40)2]＝2. x 乙＝15×(40.5＋40.1＋40＋39.9＋39.5)＝40， s 2乙＝15×[(40.5－40)2＋…＋(39.5－40)2]＝0.104.3．极差与方差(或标准差)的异同相同之处：(1)都是衡量一组数据的波动大小的量； (2)一组数据的极差、方差(或标准差)越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定．不同之处：(1)极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差(或标准差)反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)极差的计算最简单，只需要计算数据的最大值与最小值的差即可，而方差的计算比较复杂．【例3】 已知甲、乙两支仪仗队队员的身高如下(单位：cm)：甲队：178,177,179,178,177,178,177,179,178,179乙队：178,179,176,178,180,178,176,178,177,180(1)将下表填完整：(2)；(3)这两支仪仗队队员身高的极差、方差分别是多少？解：(1)甲队从左到右分别填：0,3，乙队从左到右分别填：4,2；(2)178,178；(3)经过计算可知，甲、乙两支仪仗队队员身高数据的极差分别为2 cm和4 cm，方差分别是0.6和1.8.4.运用方差解决实际问题方差是反映一组数据的波动大小的统计量，通过计算方差，可以比较两组数据的稳定程度，进而解决一些实际问题．对于一般两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比较，平均数反映一组数据的一般水平，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小，因此从平均数看或从方差看，各有长处．方差的计算可用一句话“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的程度．方差的单位是原数据的平方单位，方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，例如长得是否整齐一致、是否稳定等都是波动体现．点技巧方差反映波动情况在实际问题中，如果出现要求分析稳定性的问题，因为方差是反映数据的波动大小的量，所以一般就要计算出各组数据的方差，通过方差的大小比较来解决问题．【例4】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：(1)(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．解：(1)x甲＝18(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85，x乙＝18(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.这两组数据的平均数都是85.这两组数据的中位数分别为83,84.(2)派甲参赛比较合适．理由如下：由(1)知x甲＝x乙，s2甲＝18[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，s2乙＝18[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41，∵x甲＝x乙，s2甲＜s2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．5．运用用样本估计总体的思想解决实际问题统计学的基本思想是用样本估计总体，它主要研究两个基本问题：一是如何从总体中抽取样本，二是如何通过对所抽取的样本进行计算和分析，从而对总体的相应情况作出推断．用样本估计总体是统计的基本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或考察本身带有破坏性，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差．方差是反映已知数据的波动大小的一个量．在日常生活中，有时只用平均数、中位数和众数难以准确地分析一组数据时，就要用方差来评判．但是并不是方差越小越好，要根据问题的实际情况灵活运用数据分析问题，作出正确的判断．注：在解决问题或决策时，应运用统计思想，搞清楚特殊和一般的关系，具体问题具体对待．全方位、多角度地分析与评判是关键．【例5】某运动队欲从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全省射击比赛，该运动队预先对这两名选手进行了87解：x 甲＝18(9.6＋9.7＋…＋10.6)＝10.0，x 乙＝18(9.5＋9.9＋…＋9.8)＝10.0.s 2甲＝0.12，s 2乙＝0.102 5. 结果甲、乙两选手的平均成绩相同，s 2甲＞s 2乙.乙的方差小，波动就小，似乎应该选乙选手参加比赛．但是就这个问题而言，我们不能仅看平均成绩和方差就妄下结论．在这里平均成绩和方差不是最重要的，重要的是看他们的发展潜力或比赛时的竞技状态．从甲、乙两选手的最后四次成绩看，甲的状态正逐步回升，成绩越来越好，而乙明显不如甲的状态好．所以从这个角度看，应选甲选手参加比赛更好．。
八年级数学《极差、方差和标准差》知识点教学文案
八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．一、定义理解1、极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．极差＝最大值－最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义．2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据． 方差计算公式是： s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出2S 的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差． 标准差＝方差，方差＝标准差2．一组数据的标准差计算公式是S =，其中x 为n 个数据12n x x x ，，…，的平均数． 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况．二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102（1） 求甲、乙两队的平均分和极差？（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：（1）3.100100101101104103102969997100101）＝（＝甲+++++++++⨯x 3.10010210310410410010295999797101）＝（＝乙+++++++++⨯x甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9（2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(1012222＝甲-++-+-=S 21.9])3.100102()3.10097()3.10097[(1012222＝乙-++-+-= S 甲队的标准差：37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25，23，28，22，27乙组：27，24，24，27，23（1）10盆花的花期最多相差几天？（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？（3）施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！解：（1）28－22＝6（天） 所以，10盆花的花期最多相差6天．（2）由平均数公式得：252722282325(51）＝＝甲++++x 252327242427(51）＝＝乙++++x得乙甲＝x x ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．（3）由方差公式得：2.5])2527()2522()2528()2523()2525[(101222222＝甲-+-+-+-+-=S8.2])2523()2527()2524()2524()2527[(51222222＝乙-+-+-+-+-=S得22S 乙甲<S 故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1.一组数据5，8，x，10，4的平均数是2x，则这组数据的方差是________．2.五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：2，－2，－1，1，0，则这组数据的极差为______cm．方差是_______，标准差是______3.若样本1，2，3，x的平均数为5，又样本1，2，3，x，y的平均数为6，则样本1，2，3，x，y的极差是_______，方差是_______，标准差是______．4.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____，标准差为________．5.一组数据－8，－4，5，6，7，7，8，9的极差是______，方差是_____，标准差是______．6.若样本x1，x2，……，x n的平均数为＝5，方差S2＝0.025，则样本4x1，4x2，……，4x n 的平均数x＇＝_____，方差S＇2＝_______．。
极差方差标准差
极差、方差和标准差在统计学中，极差、方差和标准差是用来衡量数据分布离散程度的重要指标。
它们能够帮助我们了解数据的变异程度，从而更好地理解和分析数据。
本文将介绍极差、方差和标准差的概念、计算方法以及在实际应用中的意义。
1. 极差极差是最简单的衡量数据分布离散程度的指标，它是数据集中最大值与最小值之间的差值。
极差可以帮助我们判断数据的取值范围，并了解数据的变化幅度。
1.1 计算方法假设有一个包含n个观测值的数据集，极差可通过以下公式计算：Range = Max - Min其中，Max表示数据集中的最大值，Min表示数据集中的最小值。
1.2 例子下面以一个数据集为例来计算极差。
数据集：1, 3, 5, 7, 9最大值为9，最小值为1，因此极差为9 - 1 = 8。
2. 方差方差是衡量数据分布离散程度的常用指标，它能够帮助我们了解数据的分散程度。
方差的值越大，数据集的离散程度就越高。
方差可以帮助我们比较不同数据集之间的差异。
2.1 计算方法假设有一个包含n个观测值的数据集，方差可通过以下公式计算：Variance = (Σ(xi - x̄)^2) / n其中，xi表示第i个观测值，x̄表示数据集的均值，Σ表示求和。
2.2 例子下面以一个数据集为例来计算方差。
数据集：1, 3, 5, 7, 9首先，计算数据集的均值：(1 + 3 + 5 + 7 + 9) / 5 = 5。
然后，计算每个观测值与均值的差的平方，并求和：(1 - 5)^2 + (3 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (7 - 5)^2 + (9 - 5)^2 = 32。
最后，将求和结果除以观测值的个数：32 / 5 = 6.4。
因此，方差为6.4。
3. 标准差标准差是方差的平方根，它是衡量数据分布离散程度的常用指标之一。
标准差能够帮助我们了解数据的分散程度，并与均值进行比较。
标准差的值越大，表示数据的离散程度越高。
3.1 计算方法假设有一个包含n个观测值的数据集，标准差可通过以下公式计算：Standard Deviation = √(Σ(xi - x̄)^2 / n)其中，xi表示第i个观测值，x̄表示数据集的均值，Σ表示求和。
乐安县四中八年级数学上册第六章数据的分析4数据的离散程度第1课时极差方差和标准差教案新版北师大版
4 数据的离散程度 第1课时 极差、方差和标准差1．了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值．2．经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养学生的数学应用能力．3．通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系．重点理解方差和标准差的概念． 难点应用方差和标准差分析数据，并作出决策．一、情境导入课件出示教材第149页图6－5及其题目．在学生讨论交流的基础上，教师结合实例给出极差的概念：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．它是刻画数据离散程度的一个统计量．注意事项：当一组数据的平均数与中位数相近时，学生在原有的知识与遇到问题情境产生知识碰撞时，才能较好地理解概念．二、探究新知课件出示教材第150页“做一做”．学生独立完成，教师点评．引出方差和标准差的概念． 数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画． 方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即：s 2＝1n[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋...＋(x n －x)2]．注：x 是这一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数，s 2是方差，而标准差就是方差的算术平方根．一般说来，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．说明：标准差的单位与已知数据的单位相同，使用时应当标明单位；方差的单位是已知单位的平方，使用时可以不标明单位．三、举例分析1．用计算器求下列一组数据的标准差：98 99 101 102 100 96 104 99 101 100请你使用计算器探索求一组数据的标准差的具体操作步骤． 具体操作步骤是(以CZ 1206为例)：(1)进入统计计算状态，按2ndf STAT ；(2)输入数据然后按DATA ，显示的结果是输入数据的累计个数；(3)按σ即可直接得出结果．2．分别计算从甲、丙两厂抽取的20只鸡腿质量的方差．根据计算结果，你认为哪家的产品更符合要求？通过用计算器能计算出甲、丙两厂抽取的20只鸡腿的方差，得出方差较小的甲厂的产品更符合要求．四、练习巩固教材第151页“随堂练习”．学生在正确计算出两队的方差后，可判断出方差较小的仪仗队更为整齐．五、小结本课主要学习了用方差与标准差表示出一组数据与其平均值的离散程度，即稳定性．方差越小，稳定性越好．注意：用先平均，再求差，然后平方，最后再平均得到方差的结果．六、课外作业教材第151～152页习题6.5第1，2，3题．方差与标准差都是用来衡量一个样本波动大小的统计量，对一组数据的变化情况起着至关重要的作用．因此，在教学中，对于如何引入这两个基本概念可采用灵活多变的方法，切忌将这些概念与公式直接教给学生．要让学生在体会仅有平均水平还难以准确地刻画一组数据时，使学生的现有知识与现实矛盾产生碰撞而产生一种急于解决问题的心情，从而探索出这两个概念，使学生在解决实际问题的过程中认识到“波动状况”的意义和影响，形成一定的统计意识和解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值．第3课时 用待定系数法求一次函数的表达式【知识与技能】 使学生理解待定系数法. 【过程与方法】能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题. 【情感与态度】1.感受待定系数法是求函数解析式的基本方法,体会用“数”和“形”结合的方法求函数式；2.结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化. 【教学重点】重点是待定系数法确定一次函数解析式. 【教学难点】难点是待定系数法确定一次函数解析式.一、提出问题，创设情境一次函数关系式y ＝kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)，如果知道了k 与b 的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k 和b 呢？二、导入新课例1如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5;当x=5时，y=2.写出函数表达式并画出它的图象.【解】因为y 是x 的一次函数，设其表达式为y=kx+b. 由题意，得45,5 2.k b k b +=+=⎧⎨⎩ 解方程组，得3,17.k b =-=⎧⎨⎩所以函数表达式为y=-3x+17. 图象如上图中的直线.例2已知弹簧的长度y（cm）在一定的限度内是所挂物体质量x（kg）的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6cm，挂4kg质量的重物时，弹簧的长度是7.2cm,求这个一次函数的关系式.【分析】这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6cm和挂4kg质量的重物时，弹簧的长度7.2cm,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？具体来看，我们可以作如下分析.【解】设所求函数的关系式是y＝kx＋b(k≠0),由题意，得6,7.24.bk b==+⎧⎨⎩解这个方程组，得0.3,6. kb=⎧⎨=⎩所以所求函数的关系式是y＝0.3x＋6.(其中自变量有一定的范围)【教学说明】教师应向学生阐明两点：（1）本题中把两对函数值代入解析式后，求解k和b的过程，转化为关于k和b的二元一次方程组的问题.（2）这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围.【归纳结论】先设待求函数的关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.例3 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(-1, 1)和点(1， -5),求当x＝5时，函数y的值.【分析1】图象经过点(-1, 1)和点(1， -5)，即已知当x＝-1时，y＝1；x＝1时，y ＝-5.代入函数解析式中，求出k与b.【分析2】虽然题意并没有要求写出函数关系式，但因为要求x＝5时，函数y的值，仍需从求函数解析式着手.【解】由题意，得1,5.－－k bk b =+=+⎧⎨⎩解这个方程组，得3,2.－－kb==⎧⎨⎩这个函数解析式为y＝-3x-2.当x＝5时，y＝-3×5-2＝-17.三、运用新知，深化理解1.（黑龙江牡丹江中考）已知函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象与y轴交点的纵坐标为-2，且当x=2时，y=1.那么此函数的解析式为 .2.（湖南怀化中考）设一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过A（1，3），B（0， -2）两点，试求k，b的值.3.已知一次函数的图象如图，写出它的关系式.4.如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1， -2），求kb.1.课本第40页练习1、2、3、4.2.完成练习册中的相应作业.以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手、动脑探究为主，加以小组合作讨论，充分调动学生学习的积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.通过学习能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题，感受待定系数法是求函数解析式的基本方法,体会用“数”和“形”结合的方法求函数式.章末复习一、复习导入1。
海州区第五中学八年级数学上册 第六章 数据的分析 4 数据的离散程度第1课时 极差、方差和标准差教案
4 数据的离散程度 第1课时 极差、方差和标准差【知识与技能】通过分析数据，知道描述数据的不同方法. 【过程与方法】通过极差和方差的计算方法，体会对数据的不同描述方法，并利用极差与方差求知量，激发学生们对学习的兴趣. 【情感态度】培养学生对数据的集中趋势和波动大小的理解. 【教学重点】理解极差和方差的计算方法. 【教学难点】 理解极差与方差的意义.一、创设情境，导入新课 教材第149页问题【教学说明】应用实例并提问启发思考,导入极差的概念，自然而又有探索性. 【归纳结论】实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况.一组数据中最大数据与最小数据的差（称为极差）,就是刻画数据离散程度的一个统计量.二、思考探究，获取新知 方差的计算和应用.问题1：教材第150页“做一做”【教学说明】通过问题的分析以及阅读指导的再认识，让学生认识到方差是衡量一组数据的离散程度的常用方法.【归纳结论】数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画.方差（variance ）是各个数据与平均数差的平方的平均数,即2222121（）（）（）n s x x x x x x .n=-+-+⋯+- 其中,x 是x 1,x 2,…,x n 的平均数,s 2是方差.而标准差（standard deviation ）就是方差的算术平方根.一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 三、运用新知，深化理解1.数学课上,小明拿出了连续五天最低气温的统计表.那么,这组数据的平均数和极差分别是 .2.一个样本为1,3,2,2,a,b,c已知这个样本的众数为3,平均数为2,那么这个样本的方差为 .3.五个数1,3，a，5，8的平均数是4，则a= ，这五个数的方差是 .4.某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：根据上表解答下列问题：（1）完成下表：（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含 80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含 80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含 90分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由.【教学说明】通过极差与方差的计算，加深对极差与方差的理解，熟练掌握对数据的描述方法.【答案】1. 24，4; 2. 8/7; 3. 3， 5.64.解：（1）从左到右依次是20，80，80，80，40;（2）成绩比较稳定的同学是小李，小王的优秀率是40%,小李的优秀率是80%.（3）若为了获奖，选取小李，因为小李的优秀率高，有4次得80分以上（含80分），成绩比较稳定，获奖机会大.若想得一等奖，选小王，因为小王的成绩获得一等奖的概率较高，有2次90分以上（含90分），因此更有可能获得一等奖.（注：答案不唯一，可任选其中一人，只要分析合理即可，若选两人都去参加，不合题意）四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾极差，方差的概念和计算公式等知识点.2.通过本节课的学习，你已经掌握了哪些知识？还有哪些疑问？与同学们交流.【教学说明】通过回顾与思考巩固本节课所学知识，让学生体会进步与成功的喜悦，有信心更好的学下去.完成练习册中本课时相应练习.本节主要是学习极差、方差的概念并能进行计算，理解极差、方差在描述数据时的意义.16.3 可化为一元一次方程的分式方程（2）教学目标：①、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程. ②、通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识. 教学重点：让学生学习审明题意设未知数，列分式方程. 教学难点：在不同的实际问题中，设元列分式方程.（一）复习并问题导入1、复习练习 解下列方程：（1）34211x xx x -+=-++ （2）6272332+=++x x 2、列方程解应用题的一般步骤？[概括]这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用.这节课，我们将学习列分式方程解应用题.讨论后回答.（二）实践与探索1：列分式方程解应用题[例1] 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致. 两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？[分析]（1）如何设元（2）题目中有几个相等关系？（3）怎样列方程 解 设乙每分钟能输入x 个数据，则甲每分能输入2x 个数据，根据题意得x 22640＝6022640⨯-x .解得x ＝11.经检验，x ＝11是原方程的解.并且x ＝11，2x ＝2×11＝22，符合题意. 答：甲每分钟能输入22个数据，乙每分钟能输入11个数据.强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；读题、审题、设元、找相等关系列方程.本题有两个相等关系：（1）甲速=2乙速 （2）甲时+120=乙时其中（1）用来设，（2）用来列方程 注意如何检验.2、概括列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； （5）写出答案（要有单位）. 练习：求解本章导图中的问题.（三）实践与探索2：例2 A ，B 两地相距135千米，两辆汽车从A 开往B ，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度.解析：设大车的速度为2x 千米/时，小车的速度为5x 千米/时，根据题意得21551352135-=-x x 解之得x=9 经检验x=9是原方程的解 当x=9时，2x=18，5x=45答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时 练习：（1）甲乙两人同时从 地出发，骑自行车到地，已知两地的距离为，甲每小时比乙多走 ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走，则可列方程为（ ）A ．；B ．；C ．；D ．（2）我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度. 读题、审题、设元、找相等关系列方程（四）实践与探索3： 自编一道可列方程为的应用题52010+=x x （五）小结与作业本课小结：列分式方程与列一元一次方程解应用题的差别是什么？你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗？（六）板书设计列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）.（七）教学后记平行四边形的性质一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·襄阳中考)如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( )A.18B.28C.36D.462.如图,在平行四边形ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为( )A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm3.如图,在周长为20cm的▱ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,在平行四边形ABCD中,AD=5cm,AB⊥BD,点O是两条对角线的交点,OD=2 cm,则AB= cm.5.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为.6.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,如果AC=14,BD=8,AB=x,那么x的取值范围是.三、解答题(共26分)7.(8分)在平行四边形ABCD中,∠BAD=150°,AB=8cm,BC=10cm,求平行四边形ABCD的面积.8.(8分)如图,▱ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O.(1)图中有哪些三角形是全等的?(2)选出其中一对全等三角形进行证明.【拓展延伸】9.(10分)已知,如图,O为▱ABCD的对角线AC的中点,过点O作一条直线分别与AB,CD交于点M,N,点E,F在直线MN上,且OE=OF.(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来.(2)求证:∠MAE=∠NCF.答案解析1.【解析】选C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=5,∵△OCD的周长为23,∴OD+OC=23-5=18.∵BD=2DO,AC=2OC,∴平行四边形ABCD的两条对角线的和为BD+AC=2(DO+OC)=36.2.【解析】选A.∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10cm,BD=6cm,∴OA=OC=AC=5(cm),OB=OD=BD=3(cm).∵∠ODA=90°,∴AD==4(cm).3.【解析】选D.根据平行四边形的性质得OB=OD,又EO⊥BD,根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得BE=DE.故△ABE的周长为AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10(cm).4.【解析】∵OB=OD,∴BD=2OD=4cm,∵AB⊥BD,∴AB===3(cm).答案:35.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠CAD=∠ACB,OA=OC,而∠AOM=∠NOC,∴△CON≌△AOM,∴S△AOD=S△DOM+S△AOM=S△DOM+S△CON=4+2=6,又∵OB=OD,∴S△AOB=S△AOD=6.答案:66.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,AC=14,BD=8,∴OA=AC=7,OB=BD=4,∴7-4<x<7+4,即3<x<11.答案:3<x<117.【解析】过点A作AE⊥BC交BC于点E,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,∵∠BAD=150°,∴∠B=30°,在Rt△ABE中,∠B=30°,∴AE=AB=4cm,∴平行四边形ABCD的面积S▱ABCD=4×10=40(cm2).8.【解析】(1)△AOB≌△COD,△AOD≌△COB,△ABD≌△CDB,△ADC≌△CBA.(2)以△AOB≌△COD为例证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.在△AOB和△COD中,∴△AOB≌△COD.9.【解析】(1)有4对全等三角形.分别为△AOM≌△CON,△AOE≌△COF,△AME≌△CNF,△ABC≌△CDA.(2)∵OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF,∴△OAE≌△OCF,∴∠EAO=∠FCO.又在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,∴∠MAE=∠NCF.。
统计数据的离散程度计算
统计数据的离散程度计算统计学中的离散程度是用来衡量一组数据的分散程度。
离散程度的计算对于数据分析和解释具有重要的意义。
本文将介绍几种常见的离散程度计算方法，包括极差、方差和标准差。
极差（Range）极差是最为简单的离散程度计算方法之一。
它是通过计算一组数据中的最大值与最小值之间的差来衡量数据的离散程度。
公式如下所示：极差 = 最大值 - 最小值然而，极差只考虑了数据集的最大值和最小值，没有考虑整个数据集的分布情况。
方差（Variance）方差是衡量数据分散程度的一种更加全面的方法。
它考虑了数据集中每个数据点与数据集平均值之间的差异。
方差的计算公式如下所示：方差= ∑(数据点 - 平均值)² / 数据点个数其中，∑表示对所有数据点求和。
标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根。
它用于度量数据集的离散程度，通常与平均值一起使用。
标准差的计算公式如下所示：标准差= √方差在实际应用中，标准差是常用的离散程度计算方法之一，因为它不仅考虑到了数据的分布情况，还具有较好的可解释性。
变异系数（Coefficient of Variation）变异系数是标准差与平均值的比值，用于衡量数据分布的相对离散程度。
它是一个无单位的指标，可以用于比较不同数据集的相对离散程度。
变异系数 = (标准差 / 平均值) × 100%变异系数通常用于比较两个或多个具有不同均值的数据集之间的离散程度。
总结在统计学中，离散程度是衡量数据集分散程度的重要指标。
本文介绍了几种常见的离散程度计算方法，包括极差、方差、标准差和变异系数。
这些方法可以帮助我们更好地理解和解释数据的分布情况，为后续的数据分析和决策提供依据。
需要注意的是，在使用时应根据具体问题和数据特点选择合适的离散程度计算方法。
不同的方法适用于不同类型的数据和分析目的。
此外，离散程度的计算只是数据分析的一部分，结合其他统计指标和数据可视化技术，我们可以更加全面地了解数据的特点和规律，做出更准确的分析和决策。
初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度
初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度【学习目标】 一. 教学内容： 数据的离散程度 二. 学习目标：1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。
2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。
三. 重点：极差的定义，方差、标准差的应用。
四、难点：会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。
【学习内容】 （一）知识要点知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。
知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。
知识点3：生活中与极差有关的例子 在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。
一家公司成员中最高收入与最低收入的差。
知识点4：平均差的定义在一组数据x 1，x 2，…，x n 中各数据与它们的平均数-x 的差的绝对值的平均数即T=|)x x ||x x ||x x (|n1n 21----+⋅⋅⋅+-+-叫做这组数据的“平均差”。
“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。
知识点5：方差的定义在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S 2=])x x ()x x ()x x [(n12n 2221----+⋅⋅⋅+-+-来描述这组数据的离散程度，并把S 2叫做这组数据的方差。
第2章 数据的离散程度：正确认识极差、方差与标准差
（ ２ ）
０
５
４ ． ４
由此 可 以看 出 ：平 均 数 相 同 的两 组 数
据． 极差大 的一组数据方差不一定大． 三 、灵 活 应 用 极 差 、 方 差 或 标 准 差 解 决 实 际 问题
条 支持 乙组 同 学观 点 的 理 由．
【 分析 】 应 用平均 数 、 中位 数 的 概 念 和
Ｖ ，
９ ８
９６
１ ２
来 描 述 一 组 数 据 的 离 散 程 度 ．并 把 它 叫 做 这 组数 据 的标 准 差 ． Nhomakorabea乙
９ ４ ． ５
９ ８
９ ６ ． ５
１ ３
１ ８ ． ６ ５
因此 ， 如 果 要从 甲 、 乙 两 名 选 手 中 选 择
一
二 、理 解 极 差 、 方 差 与 标 准 差 联 系 与
学们 更 加 全 面地认 识 数 据 ， 从 而 能够 对数 据做 进 一 步 的 处理 并做 出一 定 的推 断 、 评 论 和 预 测． 在 学 习本 章 时 ， 要 能够 理 解 一 组 数 据 极 差 、 方差 、 标 准 差 的含 义 ， 知 道 三 个 统 计 量 之 间 的 区 别 与联 系 ； 会 计 算极 差 、 方差、 标 准 差 并 践、 探 索活动 ， 体 会 用三 个统计 量表 示数
据 波 动 情 况 的合 理 性 ， 并 能 用 它们 解 决 有
关 实际 问题 ． 因此 ， 本 章 学习重点 ： 会 计 算
一
组数 据的极差 、 方差 、 标 准差 ； 本章 学 习
难点： 应 用极 差 、 方差 、 标 准 差 来 解 决 有 关
八年级数学数据的离散程度——极差、方差和标准差上海科技版知识精讲
初二数学数据的离散程度——极差、方差和标准差某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容： 数据的离散程度——极差、方差和标准差【知识点复习与典型例题】1、一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差。
2、一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数[]222212)()()(1x x x x x x nS n -++-+-=叫做这组数据的方差在样本容量相同的情况下，极差、方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 方差的算术平方根[]22221)()()(1x x x x x x n S n -++-+-=叫做标准差 注：1）极差、方差、标准差都是反映数据离散程度的量；2）极差、方差、标准差都应带单位（如果原题有单位）3）极差和标准差的单位是原单位，方差的单位是原单位的平方； 4）方差的意义：用来衡量一批数据的波动大小 5）取相同样本容量。
6）研究方差的前提之一：平均数相等或非常接近在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定【典型例题】问，甲、乙两人的成绩谁更稳定？ 分析：我们先计算他们的平均数，发现平均数相同都是8，可见平均数不能反映两个选手成绩是否稳定。
甲、乙两人成绩与平均数的偏差分别是： 甲：－1 0 0 0 1 乙：2 －2 2 －2 0则：甲的极差是2，乙的极差是4，由此我们可以知道甲稳定。
例2. 一个农科站在8个面积相等的试验点对甲，乙两个早稻品种进行栽培对比试验，两个品种在各试验点的产量如下（单位：kg ）乙：428，466，465， 426.5， 436， 455， 448.5，459 哪个品种的产量比较稳定？解：计算它们的平均数都是448kg ，再看偏差乙：－20 18 17 －21.5 －12 7 0.5 11从中可知乙品种比较稳定。
谁的成绩较为稳定？为什么？ 能通过计算回答吗?小明、小兵的体育平均成绩分别是：13、134.0525010105)1313()1312()1313()1314()1313(s 222222==++++=-+-+-+-+-=小明0.854511101513)(1213)(1413)(1213)(1313)(14s 222222==++++=-+-+-+-+-=小兵小明的成绩比较稳定小兵小明∴<,s s 22注：方差越大，说明这组数据偏离平均值的情况越严重,即数据的波动越大,数据也越不稳定。
极差方差和标准差说课稿
【同步教育信息】一. 本周教学内容：§21.3 极差、方差与标准差第21章数据的整理与初步处理小结与复习二. 重点、难点：1. 重点：⑴认识算术平均数、加权平均数，并能灵活计算、应用；⑵认识平均数、中位数和众数，会选择恰当的数据代表对数据进行评价；⑶会求一组数据的极差、方差与标准差，并会用它们表示一组数据的离散程序；⑷能借助计算器求平均数、标准差．2. 难点：⑴灵活计算算术平均数、加权平均数、极差、方差与标准差；⑵在理解平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差意义的基础上，对生活中的某些数据发表自己的看法，做出合理的判断和预测，解决一些实际问题，培养统计意识，提高数据处理能力．三. 知识梳理：（一）极差、方差与标准差：⑴极差用一组数据中的最大数据减去最小的数据所得到的差来反映这组数据的变化范围，这个差就称为极差．⑵方差①定义一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差．②方差的意义方差是反映一组数据波动大小的量，它表示的是一组数据偏离平均值的情况．方差越大，数据组的波动就越大．③方差的计算公式数据x1，x2，x3，…，x n的方差是S2＝（x1－）2＋（x2－）2＋（x3－）2＋…＋（x n－）注意：①上面的计算公式是一般情况下计算方差的办法；②当数据组中的数据个数比较少且绝对值比较小时，又可以采用下面的公式来计算方差：S2＝[（x12＋x22＋x32＋…＋x n2）－n2]③如果数据组中的每一个数比较接近于常数a时，也可以采用下面的公式计算方差：S＝[（x’12＋x’22＋x’32＋…＋x’x n2）－n’2]（其中x1’、x2’、x3’……x n’分别等于x1－a、x2－a、x3－a……x n－a，’是数据组x1’、x2’、x3’……x n’的平均数）⑶标准差方差的算术平方根叫做标准差．标准差和方差一样，也是反映一组数据波动大小的指标．同样，标准差越大，数据组的波动就越大．（二）本章知识回顾：1. 平均数、众数与中位数平均数、众数、中位数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”．⑴平均数：求个数，，…，的平均数为＝（＋＋…＋），当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化的平均数计算公式，其中是每个数值与a 的差的平均数，a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数．•当所给个数据中出现次，出现次，…，出现次，且＋＋…＋＝，则＝（＋＋…＋）这个平均数叫做加权平均数，其中，，…，叫做权．加权平均数的权：当一组数据中各数据分布情况（或者说比重大小）不同，分布情况（比重大小）称为各个数据的权．注意：这三种计算平均数的方法，在具体问题中要灵活使用．⑵众数：在一组数据中，出现次数最多的数据，叫做这组数据的众数．众数不唯一，可以有一个，也可以有几个，也可以没有．⑶中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．⑷平均数、中位数和众数的区别与联系：联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数最为重要．区别：①平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动．②中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．③众数主要研究各数据出现的情况的考查，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数．注意：在实际问题中，到底选择哪一个去说明一组数据的特征，要视情况而定．2. 扇形统计图⑴绘制扇形统计图的基本步骤：①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数＝ 100%×各部分数据/总体数据；②根据百分数计算出各部分扇形圆心角的度数＝部分总体的百分数×360°；③按比例，取适当半径画一个圆；④按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形圆心角的度数；⑤在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区别开来；⑥写上统计图的名称及制作日期等．（2）扇形统计图的特征：扇形统计图适合相对统计数据，可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比．3. 极差、方差与标准差⑴极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值．⑵方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：＝[（－）2＋（－）2＋…＋（－）2]．说明：这一公式可简单记忆为“方差等于差方的平均数”．⑶标准差：标准差＝⑷极差、方差与标准差异同点：共同点：极差、方差与标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．4. 实际应用通过计算平均数、方差来判断数据的集中或离散程度，从而对现实生活中的实例进行分析和判断，并做出评价或提出建议．注意评价要客观、合理，建议要符合实际．同时这部分知识还可以与方程、不等式等知识结合，出现一些综合题．解决这类题必须弄清基本概念，掌握一些典型题的解法，灵活运用题中的数据和信息，明确解题目标．【典型例题】例 1. 小明所在小组的12位学生身高如下（单位：cm）：160，160，l70，158，170，168，158，170，158，160，l60，168．求小明所在小组学生的平均身高（保留整数）．分析：求平均数有3种方法，可根据实际情况选择．解：方法一：＝（160＋160＋l70＋158＋170＋168＋158＋170＋158＋160＋l60＋168）÷12≈163cm；方法二：整理这组数据：＝（158×3＋160×4＋168×2＋170×3）÷12≈163cm；方法三：以160cm为基准，这12个数据为：0，0，10，－2，10，8，－2，10，－2，0，0，8．＝（10－2＋10＋8－2＋10－2＋8）÷12≈3.3＝160＋3.3≈163cm．例2. 经初赛选拔，我市参加省数学竞赛决赛的200人中，一中58人，二中47人，三中45人，四中30人，五中20人，请你绘制扇形统计图表示参赛学生的分布情况．分析：画扇形统计图之前要先计算每部分所占百分比，每部分扇形的圆心角度数．解：各中学人数占参赛总人数的百分比，占扇形圆心角的度数用下面的表格表示：根据数据画出扇形统计图，如下图所示：例 3. 某校学生报要招聘记者一名，小明、小凯和小萍报名进行了三项素质测试，成绩如下：（单位：分）⑴分别计算三人的素质测试的平均分，根据计算，那么谁将被录取？⑵学校把采访写作、计算机和创意设计成绩按5：2：3的比例来计算三人的测试平均成绩，那么谁将被录取？分析：注意算术平均数与加权平均数在实际问题中的应用．解：⑴小明平均分＝（70＋60＋86）÷3＝72（分），小凯平均分＝（90＋75＋51）÷3＝72（分），小萍平均分＝（60＋84＋78）÷3＝74（分），所以，小萍被录取．⑵按照5：2：3比例，则小明的平均分＝＝72.8（分）；小凯的平均分＝＝75.3（分）；小萍的平均分＝＝70.2（分）所以，小凯被录取．例4.用计算器求下列数据的平均数．91，189，37，98，103，103，107，86，97，99．分析：按键顺序为：例 5.有甲、乙、丙三种可混合包装的食品，它们的单价分别是：每千克 1.80元、2.50元、3.20元．现取甲种食品50千克，乙种食品40千克，丙种食品10千克，把这三种食品混合后，每千克的价格是多少？分析：混合后的单价不仅与每种食品的单价有关，而且还与每种食品的质量（千克）有关，应选加权平均数公式来计算．本题也可以理解为求混合后的单价．解：根据加权平均数公式，得＝2.22元．答：混合后每千克的价格是2.22元．例6.在一次数学知识竞赛中，某班20名学生成绩如下表所示：分别求这些学生成绩的众数、中位数、平均数．分析：20个数据中，50出现2次，60出现3次，70出现6次，80出现7次，90出现2次，所以由加权平均数公式可得平均数．又因为80出现的次数最多，所以众数是80．将20个数据从小到大排列，最中间的两个数据都是70，所以这组数据的中位数是70．解答：在这20个数据中，80出现了7次，出现的次数最多，即这组数据的众数是80．表中的20个数据可看成按从小到大的顺序排列，其中最中间的两个数据都是70，即这组数据的中位数是70．这组数据的平均数是：（50×2＋60×3＋70×6＋80×7＋90×2）÷20＝72故20名学生成绩的众数是80分，中位数是70分，平均数是72分．例7.某商场一天中售出运动鞋16双，其中各种尺码的鞋的销量如下表所示：则这16双鞋的尺码组成的一组数据中，⑴众数和中位数分别是多少？⑵通过以上计算，如果商场每10天进一次货，对以上尺码的运动鞋应怎样进货？说明理由．分析：运用所学知识对市场经济中某些问题进行科学预测，从而使其合理决策是十分重要的，对商场的销售情况进行了解，通过对数据的计算、处理，从而对以后的进货情况作出了相对准确地估算．解答：⑴众数是25，中位数是24.75．⑵由⑴知，25码的鞋销售量最大，一天销售了6双，其次是24.5码，24码，26码，23.5码．其一天的销售量分别为4双，3双，2双，1双．依此估计商场10天的销售量约为：25码60双，24.5码40双，24码30双，26码20双，23.5码10双．所以商场可以参照以上数据进货．例8. 杂交稻专家袁隆平院士为了考察甲、乙两种水稻，从甲、乙两块实验田中，各任意抽取了10株水稻，测得株高（单位：cm）如下：甲：78、79、89、82、79、9l、89、82、85、86乙：76、90、86、87、82、83、85、86、81、84请问：哪种水稻长得比较整齐？分析：要考察哪种水稻长得比较整齐，显然平均数不能反映，需要考察的应是两组数据的离散程度，故需要求方差．解答：＝（78＋79＋89＋…＋86）÷10＝84（cm）＝（76＋90＋86＋…＋84）÷1O＝84（cm）＝0.1×[（78－84） 2＋（79－84） 2＋…＋（86－84） 2]＝19.8＝0.1×[（76－84） 2＋（90＋84） 2＋…＋（84－84） 2]＝13.2因为S2甲>S2乙，所以乙种水稻长得比较整齐．例9.某校要从A、B两名优秀选手中送一名选手参加全市中学生田径百米比赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（单位：秒）如下：A：12.1、l2.5、l3.0、12.5、12.8、12.2、l2.4、12.5；B：12.０、12.9、l2.2、13.1、12.2、13.0、12.1、12.9.⑴他们的平均成绩分别是多少？⑵他们这8次比赛成绩的方差是多少？⑶这两名运动员的运动成绩各有什么特点？分析：方差是反映数据波动大小的特征数，当两组数据的平均数相等或比较接近时，方差越小（即越稳定）越好，这是一种思维定势，其实并不然，在实际应用中需结合具体情况具体分析．解答：⑴A＝a（12.1＋l2.5＋…＋12.5）÷8＝l2.5（秒），＝（12.0＋12.9＋…＋12.9）÷8＝12.55（秒）．B⑵S2A＝[（12.1－12.5） 2＋（12.5－12.5） 2＋…＋（12.5－12.5） 2] ÷8＝0.075，S2B＝[（12.0－l2.55）2＋（12.9－12.55） 2＋…＋（12.9－12.55） 2]÷8＝0.1875．⑶可从平均成绩，成绩的稳定性，运动员的潜力等方面去比较．因为A＜B，故A的平均成绩比B好．又因为S2A＜S2B，故A的成绩比B更稳定．又因为B的最好成绩比A的最好成绩要好，故B运动员的潜力较大．【模拟试题】（答题时间：80分钟）一、填空题1. 某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断该出租车公司五月份的总营业额约为5×31＝155万元．根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答：．（填“合理”或“不合理”）2. 为了缓解旱情，我省发射增雨火箭，实施增雨作业．在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表：那么该县这10个区域的平均降雨量为 mm．3. 学校举行歌咏比赛，分两场举行，第一场8名参赛选手的平均成绩为88分，第二场4名参赛选手的平均成绩为94分，那么这12名选手的平均成绩是分．4. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩是（单位：环）：7，8，9，8，6，8，10，7，这组数据的中位数是，众数是．5. 有5名同学目测同一本教科书的宽度，产生的误差如下（单位：cm）：0，2，－2，－1，1，那么这组数据的极差为 cm．6. 如图是双龙村的种植情况统计图．从图中可以看出，表示水稻种植面积的扇形的圆心角为．7. 小明骑自行车的速度是15千米／时，步行的速度是5千米／时，如果小明先骑车2小时，然后步行了3小时，那么他的平均速度为千米／时．8. 小张和小李练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小张和小李两人中新手是．9. 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次．他们的平均成绩均为7环，10次射击成绩的方差分别是S2甲＝3，S2乙＝1.2．那么成绩较为稳定的是．（填“甲”或“乙”）10. 数据l1，12，13，14，15的方差是，标准差是．二、选择题11. 数据13，19，35，97，96，26的极差为（）A. 6B. 13C. 83D. 8412. 有6个数，它们的平均数是12，如果在这组数中再添加一个数5，那么这7个数的平均数是（）A. 8.5B. 10C. 11D. 1213. 六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为2，3，3，5，10，13，这六个数的中位数为（）A. 4B. 5C. 6D. 714. 某鞋厂要确定一种运动鞋不同号码的生产数量，在做市场调查时，应向商家了解这种鞋不同号码的销售数量的（）A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差15. 在青年歌手大奖赛中，8位评委给选手打分，计算方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均分作为该选手的最后得分．已知8位评委给小红所评分数如下：9.8，9.5，9.7，9.9，9.8，9.7，9.4，9.8，那么小红的最后得分是（精确到0.01）（）A. 9.70B. 9.71C. 9.72D. 9.7316. 关于下面两个统计图，下列说法，不正确的是（）A. 甲校女生占全校学生总人数的50%；B. 乙校女生占全校学生总人数的三分之一；C. 甲校女生一定比乙校女生多；D. 甲、乙两校女生人数有可能一样多17. 甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400克的茶叶．从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示：根据表中数据，可以认为三台包装机中，包装的茶叶质量最稳定的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法判断18. 已知样本x l，x2，x3，x4的方差是2，那么样本x l＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的方差是（）A. 2B. 3C. 5D. 9三、解答题19. 某文具店销售甲、乙、丙三种品牌的计算器共360只．如图是该文具店销售计算器数量的扇形统计图．（1）分别求出购买各品牌计算器的人数；（2）如果你是文具店经理，这个统计图对你的决策有什么作用？20. 小谢家买了一辆小轿车，小谢连续记录了七天中每天行驶的路程：解答下列问题：⑴小谢家小轿车每月（每月按30天计算）要行驶多少千米？⑵如果每行驶100千米需汽油8升，汽油每升4.20元．请你求出小谢家一年（一年按12个月计算）的汽油费用为多少元？21. 某商场新进了一批直径12mm的螺丝，从中抽取了20个螺丝，并规定它们的标准差若大于0.2mm，就可以要求退货．这20个螺丝的直径（单位：mm）如下：11.8，11.7，12.0，12.1，12.3，12.2，12.0，11.5，12.3，12.1，12.0，12.2，11.9，11.7，11.9，12.1，12.3，12.2，11.8，11.9．该商场是否可以退货？22. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12．（1）求甲、乙、丙各厂家产品使用寿命的平均数、中位数、众数；（2）三个厂家在广告中都称自己的产品的使用寿命是8年，请你判断厂家在广告中分别运用了平均数、中位数、众数中哪一种特征数？【试题答案】一、填空题：1. 不合理2. 143. 904. 8，85. 46. 90°7. 98. 小李9. 乙10. 2，二、选择题：11～14. DCAB15～18. CCBA三、解答题：19. （1）甲72只，乙108只，丙180只；（2）略．20. （1）1500千米；（2）约6048元．21. 标准差为0.22，可以退货．22. （1）平均数：甲6.5，乙8，丙7.375；中位数：甲7，乙7，丙8；众数：甲8，乙6，丙3；（2）甲：众数，乙：平均数，丙：中位数．【励志故事】改变人生的一句话卡耐基小时候是个大家公认的非常淘气的坏男孩。
数据离散程度的度量复习高品质版
例题讲解
一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下：
分数
50 60 70 80 90 100
人 甲组
2
5 10 13 14
6
数 乙组
4
4
16
2
12 12
已知算得两个组的人均分都是80分，请根据你所学过的统 计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说 明理由.
解 :x 甲 =2+5+ 1 0+ 6 1 3+ 1 4+6=2 3 5, x乙 =4+4+16+ 62+12+12=2 3 5.
S 甲 2 = 1 6 [ ( 2 - 2 3 5 ) 2 + ( 5 - 2 3 5 ) 2 ++ ( 6 - 2 3 5 ) 2 ]= 1 7 9 0 ,
S 乙 2 = 1 6 [ ( 4 - 2 3 5 ) 2 + ( 4 - 2 3 5 ) 2 ++ ( 1 2 - 2 3 5 ) 2 ]= 2 9 4 5 ,
2日 4日 8日 10日 12日 14日 18日 20日
2002年 12 13 14 22 6 8 9 12
2003年 13 13 12 9 11 16 12 10
(1)2002年２月气温的极差是 16 ，2003年２月气温的极差 是 7 ．由此可知： 2002 年同期气温变化较大；
(2)2002年2月的平均气温是 12 ，2003年2月的平均气温是 12 ；
C.数据个数、平均数
D. 标准差、平均数
2.样本3, -4, 0, -1, 2的方差是___6_____.
3.一组数据的标准差是2，将这组数据都扩大为原来的 3倍，则所得的一组数据的标准差是___6_____.
八年级上册数学的知识点归纳数据的离散程度
八年级上册数学的知识点归纳数据的离散程度
关于八年级上册数学的知识点归纳数据的离散程度
1、极差：
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。
计算公式：极差=最大值-最小值。
极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。
一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。
2、方差
意义：
1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的`个数相等、平均数相等或比较接近的情况。
2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。
3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。
因此标准差同样反映数据的波动大小。
八年级数学《极差、方差和标准差》知识点教学文案
解： （ 1） 28－ 22＝6（天）
所以， 10 盆花的花期最多相差 6 天．
（ 2） 由 平 均 数 公 式 得 ：
x乙＝ 1 (27 24 24 27 23）＝25 5
1 x甲＝ (25
5
23 28
22 27）＝25
得 x甲＝x乙 ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．
（ 3）由方差公式得：
(102 100.3) 2 ]＝9.21
甲队的标准差：
5.61 2.37 ； 乙队的标准差：
9.21 3.03
所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发 挥更为稳定一些． 例 2、对 10 盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把 10 盆花分成两组，每组 5 盆，记录其 花期：
标准
差的单位与原数据的单位相同． 在解决实际问题时， 常用样本的方差来估计总体方差方法去
考察总体的波动情况．
二、例题讲析
例 1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行
10 次比赛得分如下：
甲队： 100， 97， 99， 96， 102， 103， 104，101， 101， 100
乙队： 97， 97，99， 95，102， 100， 104，104， 103， 102
2
S甲
1 [( 25 25) 2 (23 25) 2 (28 25) 2 ( 22 25) 2 (27 25)2 ]＝5.2
10
S乙 2 1 [( 27 25) 2 (24 25)2 (24 25) 2 5
得 S甲2 S乙2 故施用乙种花肥，效果比较可靠
(27 25)2
(23 25) 2 ]＝2.8
资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度【学习目标】 一. 教学内容： 数据的离散程度 二. 学习目标：1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。
2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。
三. 重点：极差的定义，方差、标准差的应用。
四、难点：会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。
【学习内容】 （一）知识要点知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。
知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。
知识点3：生活中与极差有关的例子 在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。
一家公司成员中最高收入与最低收入的差。
知识点4：平均差的定义在一组数据x 1，x 2，…，x n 中各数据与它们的平均数-x 的差的绝对值的平均数即T=|)x x ||x x ||x x (|n1n 21----+⋅⋅⋅+-+-叫做这组数据的“平均差”。
“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。
知识点5：方差的定义在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S 2=])x x ()x x ()x x [(n12n 2221----+⋅⋅⋅+-+-来描述这组数据的离散程度，并把S 2叫做这组数据的方差。
知识点6：标准差方差的算术平方根，即用S=])x x ()x x ()x x [(n12n 2221----+⋅⋅⋅+-+-来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。
知识点7：方差与平均数的性质若x 1，x 2，…x n 的方差是S 2，平均数是-x ，则有①x 1+b ， x 2+b …x n +b 的方差为S 2，平均数是-x +b②ax 1， ax 2，…ax n 的方差为a 2s 2，平均数是a -x③ax 1+b ， ax 2+b ，…ax n +b 的方差为a 2s 2，平均数是a -x +b 【典型例题】例1. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对使用寿命进行跟踪调查，结果如下：（单位：年） 甲：3、4、5、6、8、8、8、10 乙：4、6、6、6、8、9、12、13 丙：3、3、4、7、9、10、11、12三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年。
请根据结果判断厂家在广告中分别运用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。
甲： 乙： 丙： 解：众数、平均数、中位数例2. 下表是南京2005年2月下旬和2006年同期的每日最高气温（单位：℃）如何对解：2005年2月下旬和2006年2月下旬的气温的极差（即温差）分别是： 2005年2月下旬：22－6=16（℃） 2006年2月下旬：16－9=7（℃）可以看出，2005年2月下旬最高气温与最低气温之间差距较大，相差16℃，即极差为16℃，2006年2月下旬气温的极差为7℃，气温变化的范围不大。
例3. 某班四个小组的人数如下：10，10，x ，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。
解：平均数是4x2848x 1010+=+++ 中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数（1）当x ≤8时，98x 94x2892108中位数为∴=∴=+∴=+ （2）当8＜x ≤10时，8x 4x28210x =∴+=+（舍去）（3）当x ＞10时，104x281021010=+∴=+∴x=12，此时中位数为10例4. 从甲、乙两种棉花中各抽取10株，测得它们株高分别如下（单位：cm ）甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42； 乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。
（1）哪种棉花长得较高？ （2）哪种棉花长得较齐？ 解：（1）101x =-甲（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42）=30 101x =-乙（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=31∵-甲x ＜-乙x∴乙种棉花长得高（2）2.104])3042()3041()3025[(101S 2222=-+⋅⋅⋅+-+-⨯=甲 8.128])3140()3116()3127[(101S 2222=-+⋅⋅⋅+-+-⨯=乙 ∵2S 甲＜2S 乙∴甲种棉花长得整齐例5. 小李参加体育项目训练，近期5次的测试成绩为13，14，13，12，13。
求测试成绩的极差、方差和标准差。
（精确到0.01） 解：极差=14－12=263.04.0S 4.0])1313()1312()1313()1314()1313[(51S 13)1312131413(51x 222222≈==-+-+-+-+-⨯==++++⨯=-例6. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑回答下列问题：（1）甲学生成绩的众数是 分，乙学生成绩的中位数是 分。
（2）若甲学生成绩的平均数为-甲x ，乙学生成绩的平均数为-乙x ，则-甲x 与-乙x 的大小关系是 。
（3）经计算知2S 甲=13.2，2S 乙=26.36，这说明 。
（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为 ，乙的优秀率为 。
解：（1）86，83（2）-甲x ＞-乙x（3）甲学生的成绩比乙学生的成绩稳定 （4）50%， 40%。
例7. 已知： x 1，x 2，…x n 的平均数是-x ，标准差是S x 。
3x 1+5，3x 2+5，…，3x n +5的平均数是-y ，标准差是S y ，试说明： （1）-y =3-x +5 （2）S y =3S x解：（1）5x 35)x x x (n 3]n 5)x x x (3[n1)]5x 3()5x 3()5x 3[(n 1y n 21n 21n 21+=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++=--（2）])y y ()y y ()y y [(n1S 2n 22212y ----+⋅⋅⋅+-+-=2x 2n 22212n 2221n 221S 9])x x ()x x ()x x [(n 19])x x (9)x x (9)x x (9[n 1)]5x 35x 3()5x 35x 3()5x 35x 3[(n1=-+⋅⋅⋅+-+-⨯=-+⋅⋅⋅+-+-=--++⋅⋅⋅+--++--+=---------x y S 3S =∴【模拟试题】（答题时间：30分钟）一、选择题1. 6个数据的平均数为10，其中的一个为5，那么其余5个数的平均数是（ ） A. 10 B. 9 C. 11 D. 122. 甲、乙两个样本中，2.0S ,4.0S 22==乙甲则两个样本的波动情况是（ ）A. 甲的波动比乙大B. 乙的波动比甲大C. 甲、乙波动一样大D. 无法比较3. 如果10个数的平方和是370，方差是33，那么平均数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 能反映一组数据与其平均数的离散程度的是（ ）A. 极差和方差B. 极差和标准差C. 方差和标准差D. 以上都不对5. 一组数据的方差为S 2，将这组数据中的每个数据都乘2，所得到的一组新数据的方差是（ ）A. 2S 2 B. S 2 C. 2S 2 D. 4S26. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，他们射击的环数的方差分别为：2S 甲=2.4 ，2S 乙=3.2，则射击的稳定程度是（ ）A. 甲高B. 乙高C. 一样高D. 不能确定 二、填空题7. 某次考试5个班级的平均成绩如下（单位：分）53，62，63，48，54则这5个班级的平均成绩的极差是 。
8.已知某班第8小组8位男生的身高如下（单位：m ）： 1.78， 1.68， 1.72，1.80， 1.64，1.69，1.71，1.82则他们的平均身高是 。
9.一组数据的方差为S 2，将这组数据中的每个数据都乘以2，再减去3，则所得新数据的方差为 。
10.已知样本4，2，x 的方差S 2=32，则x 的值 。
11.一组数据为1，－1，0，－1，1，则这组数据的极差、方差、标准差分别为 ， ， 。
12. 若1，2，3，a 的平均数是3，且4，5，a ，b 的平均数是5，则样本0，1，2，3，4，a ，b 的方差是 。
13. 已知甲、乙两名学生5次考试数学成绩如下：甲：97，103，95，110，95 乙：90，110，95，115，90（1）=-甲x ，S 甲≈ （精确到0.01），2S 甲 = （2）=-乙x ，S 乙≈ （精确到0.01），2S 乙=三、解答题14. 甲、乙两名学生各进行了5次立定跳远测试，两人平均成绩相同，其中甲的成绩的方差是0.005，乙的成绩如下：2.20m ，2.30m.2.30m ， 2.40m ，2.30m ，那么甲、乙的成绩谁更稳定些？说说你的理由。
请你根据所学的统计知识，分别从平均数和方差的角度判断这两个班的成绩谁优谁次？ 16. 某校初三（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩如下表所示：（1）请你对下面一段话，给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算上游了！”（2）请你根据表中的数据对这两个班的测验情况进行评价，并提出建议。
【试题答案】1. C2. A3. B4. C5. D6. A7. 15 8. 1.73m 9. 4S 210. 3 11. 2 0.8 0.89 12. 413. （1）100，5.80，33.6 （2）100，10.49，110 14. 解：乙的成绩更稳定些。
因为 004.0S 30.2)30.240.230.230.220.2(51x 2==++++=-乙乙 22S S 甲乙而< 所以乙的成绩更稳定些。
15. 解：平均成绩均为80分，故两班成绩一样好。
244S 21= 108S 22= ∵>21S 22S ∴（2）班成绩较为整齐。