不定方程解应用题
中考专题训练——不定方程的应用题
中考专题训练——不定方程的应用题不定方程是指未知数满足一定条件的方程，其解可以是整数、有理数、实数或复数。
不定方程的应用题在数学问题中具有重要的实际意义。
下面我们来讨论一些中考中常见的不定方程应用题。
一、鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是一类经典的不定方程应用题。
假设鸡和兔子的总数量为n，总脚数为m。
已知鸡的脚数为2，兔子的脚数为4、问题是如何确定鸡和兔子的数量。
我们可以设鸡的数量为x，兔子的数量为n-x（因为鸡和兔子总数为n）。
根据题意可以列出方程：2x+4(n-x)=m化简方程得到：2x+4n-4x=m整理得到：2n-2x=m将n看作常数，此时方程为一元一次方程。
我们可以通过解方程来确定鸡和兔子的数量。
例题：一共有20只鸡和兔子，它们的总脚数为56、求鸡和兔子的数量分别是多少？解答：设鸡的数量为x，兔子的数量为20-x。
根据题意可得方程：2x+4(20-x)=56化简得方程：2x+80-4x=56整理得：-2x=-24解得：x=12所以鸡的数量为12，兔子的数量为20-12=8二、汉诺塔问题汉诺塔问题是另一个经典的不定方程应用题。
问题是如何将一堆盘子从起始柱子移动到目标柱子，过程中需要满足以下条件：(1)每次只能移动一个盘子；(2)大盘子不能放在小盘子上面。
假设有n个盘子，设解为f(n)，可以将其分解为三个步骤：(1)将n-1个盘子从起始柱子移动到过渡柱子；(2)将第n个盘子从起始柱子移动到目标柱子；(3)将n-1个盘子从过渡柱子移动到目标柱子。
根据上述分解可得递推公式：f(n)=2f(n-1)+1其中f(1)=1为初始条件。
例题：有3个盘子，问最少需要多少步才能将它们从起始柱子移动到目标柱子？解答：根据递推公式可得：f(3)=2f(2)+1=2(2f(1)+1)+1=7所以最少需要7步才能将3个盘子从起始柱子移动到目标柱子。
三、梯子问题梯子问题是另一个常见的不定方程应用题。
问题是如何确定梯子的总长度。
小学数学列不定方程解应用题(含答案)
列不定方程解应用题知识框架一、知识点说明 历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
重难点（1） 根据题目叙述找到等量关系列出方程 （2） 根据解不定方程方法解方程 （3） 找到符合条件的解例题精讲一、不定方程与数论【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11132001x y +=，要让x 取最小值，y 取最大值． 可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可见12213x+是整数，满足这一条件的x 最小为7，且当7x =时，148y =． 则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题【解析】 设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12． 6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【答案】甲比乙搬得多，多24块【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题【解析】 若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。
小升初专练-数论问题-不定方程的分析求解通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-不定方程的分析求解【知识点归纳】1．不定方程的定义：不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组．2．一般是求解一次不定方程：关于ax+by=c的不定方程，（a，b）为a，b的最大公约数，如果有整数特解（x0，y0），则该方程所有整数解为：x=x0-kb÷（a，b），y=y0+ka÷（a，b），k为整数．例如：37x+107y=25的一组整数特解为（-8，3），（37，107）=1则其所有整数解：x=-8-107ky=3+37k．【经典题型】例1：某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元．若要求每种广告播放不少于两次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是（ ）A、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次B、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放4次C、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次D、15秒的广告播放3次，30秒的广告播放2次分析：本题中的等量关系：15秒×次数+30×次数=2×60，根据这个等量关系列出方程，然后再根据“要求每种广告播放不少于2次，则电视台在播放时收益最大”这个要求分析解的情况．解：设15秒的广告播x次，30秒的广告播y次．则15x+30y=120，因为每种广告播放不少于2次，所以x=2，y=3，或x=4，y=2；当x=2，y=3时，收益为：2×0.6+3×1=4.2（万元）；当x=4，y=2时，收益为4×0.6+1×2=4.4（万元），所以电视台在播放时收益最大的播放方式是：15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次．故选：A．点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，合理分析得出结论．一．填空题1．假期时，22名同学相约去划船，小船限乘4人，大船限乘6人，如果每条船都坐满，可以租 条小船和 条大船．2．现在有5角和1元硬币若干枚，面值总和共10元，5角和1元硬币各有 、 枚（写出所有可能）．3．有127个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装13个，小盒每盘装5个至少需要 个大盒子才能恰好把这些球装完4．小名准备去商店买3支装和5支装的铅笔64支，共有 种不同的买法．5．、都是自然数，如果，则 ．6．两位老师带着40位同学去公园划船，大船每条坐4人，小船每条坐3人．租 条大船和 条小船正好坐满．（两种船都租）．7．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽不计，问：剩余部分的管子最少是 厘米．8．二元一次方程有 个解，则正整数范围内的解是 ．9．旅游团有29人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有 种不同的安排．10．一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于200，这两个质数的和是 ．11．如果一个长方形的长、宽都是整数（长与宽不相等）．且周长与面积的数值相等，那么这个长方形的面积的数值等于 ．12．数学测试卷有20道题．做对一道得7分；做错一道扣4分；不答得0分．张红得了100分，她有 道题没答．13．1分、2分、5分的硬币共20枚，总值0.50元，其中2分的硬币至少有 枚．14．每张方桌放有12个盘子，每张圆桌放有13个盘子，若共有盘子122个，则圆桌和方桌共有 张．15．晶晶有5元和2元两种人民币若干张．她要拿37元，有 种不同的拿法．16．若和均为质数，且，则 ， ．17．小强买彩色笔枝，付元，都是非0自然数），营业员说：“你如果多买8枝，我就总共收你8元，这相当于每买10枝你就可以便宜1元．”那么 枝， 元．18．月季花每盆5元，茉莉花每盆3元，如果两种花都买，买 盆月季花和 盆茉莉花共用27元．..x y 133515x y +=x y +=27x y +=p q 3513135p q +=p =q =a m (a m a =m =19．某电视台在每天晚上黄金时段的3分钟内插播时长为20秒和40秒的两种广告，20秒广告每次收费7000元，40秒广告每次收费12000元，若要求每种广告播放不少于2次，且电视台选择益最大的播放式式，则在这一天黄金时段3分钟内插播广告的最大收益是 元．20．现有2元和5元的人民币，要凑成100元钱，有 种凑法．二．解答题21．16名同学去划船，可以怎样租船？先借助表格思考，再按要求填空．方案序号座位数正好坐满14条0条16234522．有19人到宾馆住宿，有三人间和两人间两种房型，本着节约的原则，每个房间不能有空床位，请你在如表中填写具体的安排．三人间间两人间间23．你玩过抱团游戏吗？游戏规则：可6人抱一堆，也可4人抱一堆．如果有38人，怎样抱团刚好一人也不剩下．请用自己的方式找出所有可能的方案，做到不重复、不遗漏．24．学校28名学生去公园划船，有两种船可供选择，小船每条可坐4人，大船每条可坐6人，如果每条船都坐满，可以怎样租船？请设计租船方案，并填入下表．租船方案大船小船方案一 条 条方案二 条 条//方案三 条 条25．解方程．①；②求方程的正整数解．26．小明要买一本49元的书，他手上有贰元和伍元的纸币各10张．请问他有几种付钱方法？（不用找钱）27．一群林场工人与学生一起在去年冬天挖好的坑中植树，平均1名林场工人1小时可植树15棵，1名学生1小时可植树11棵．但是，当树苗与肥料运来时，林场工人的五分之一和学生的五分之一必须停止植树去帮助卸运树苗和肥料．这天，共植树8小时，其中第一小时和最后一小时有树苗，肥料运来，结果共植树3382棵．那么林场工人和学生的人数分别是多少？28．晓丽有50元和20元的纸币若干张，她要拿出270元，有多少种不同的拿法？29．点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长为的蜡烛，六点燃10分钟，还剩下，设点燃分钟，蜡烛还剩下，求：（1）与之间的表达式；（2）此蜡烛点燃20分钟后还剩下多少？（3）几分钟能燃烧完？30．某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环．他命中10环、7环和5环各几发？31．38人去划船，有两种船可租．一种小船限坐4人，另一种小船可坐6人，有多少种不同的安排？（正好坐满）32．王老师在新华书店购买《童话精选》和《科学家的故事》一共用了116元钱．这两种书各买了多少本？33．取哪些整数时，关于的方程的解介于2和5之间？34．已知、是正整数，的度数等于，的度数等于，且、互为补角，求、所能取的所有值的和．35．某地收取电费的标准是：每月用电不超过50度，每度收5角；如果超过50度，超出部分按每度411154220x ⨯-=7543x y +=21cm 18cm x ycm y x k x 332x k x -=+x y 1∠35x +2∠32y -1∠2∠x y8角收费．某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？36．有两轮车和三轮车，共有31个轮子，两轮车和三轮车各几辆？小升初专练-数论问题-不定方程的分析求解参考答案一．填空题1．解：，即可以租1条大船和4条小船；，即可以租3条大船和1条小船；答：可以租1条大船和4条小船，或可以租3条大船和1条小船．答案：4（或（或．2．解：设5角硬币有枚，1元硬币有枚，为偶数，如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；答案：、2、4、6、8、10、12、14、16、18、；、9、8、7、6、5、4、3、2、1、．3．解：设大盒有个，小盒有个，226144=⨯+⨯226341=⨯+⨯1)13)x y 0.510x y +=100.5y x=-x 0x =10y =2x =9y =4x =8y =6x =7y =8x =6y =10x =5y =12x =4y =14x =3y =16x =2y =18x =1y =20x =0y =(020)(100)x y 135127x y +=127513yx -=因为都是整数，所以必须是13的倍数，所以，是这个方程的整数解，即大盒有9个，小盒有2个。
列不定方程解复杂的应用题
年 级六年级 学 科 奥数 版 本 内容标题列不定方程解较复杂的应用题（一）编稿老师石翠花 【本讲教育信息】一. 教学内容：列不定方程解较复杂的应用题（一）同学们好！这周和同学研究如何列不定方程解较复杂的应用题。
什么是不定方程？怎样列不定方程解应用题呢？下面先通过实例让同学们在教与学的过程中掌握思路，学会方法。
（一）思路指导：例1. 李丽新年用13元买2元一张和3元一张的两种贺年片，请你算一算李丽两种贺年片各买了几张？分析与解答：根据题目的条件和问题，可做出如下解答：解：设买2元一张的贺年片x 张，买3元一张的贺年片y 张，于是可得方程为： 2313x y +=2133x y =-x y =-1332然后进行讨论，为了使x 是整数，y 都可以取哪些整数呢？当y =1时，x =-⨯=133125 y =3时，x =-⨯=133322 所以原不定方程有两个整数解：x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩2351 答：李丽买来2元一张贺年片2张、3元一张贺年片3张，或者买来2元一张贺年片5张，3元一张贺年片1张。
像例1这样题目中有两个未知数，但是却只有一个等量关系，也就是说只能列出一个方程，如2313x y +=，这样，一个方程中含有两个或两个以上的未知数的方程，叫做不定方程，所谓不定方程，是指这个方程的解是不固定的。
任意给x 一个值，都可以得出相应y 的值。
因此不定方程一般都有无数组解。
如2313x y +=，可以有如下组解：当y x y x y x y x ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩1523535405.. 但结合题目实际的情况买贺年片的张数应该是整数才可以，所以只有上述两组解符合题意。
通过上面的研究，你知道什么是不定方程了吗？又怎么样用不定方程解应用题吗？请看例2，边阅读边思考用不定方程解应用题的思路和步骤是怎样的。
例2. 大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现在有378人，问要大小汽车几辆才能使每个人都上车，且每个车正好坐满？分析与解答：根据题意，此题用不定方程解较为简捷。
奥数不定方程解应用题(例题讲解)
不定方程解应用题例1、55人去游园划船，小船每只坐4人，大船每只坐7人，问要租大、小船各多少只？解：列不定方程，设大船x只，小船y只。
7x＋4y=55。
55-7x≡0（mod 4）；因此 7x≡55（mod 4）≡3（mod 4），但7≡3（mod 4），所以x≡1（mod 4），因此x＝1，或x=5。
所以有 x=1，y=12以及x=5，y＝5两组解。
例2、王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问他每种各买了多少包？解：设买油菜籽x包，西红柿种子y包，则萝卜籽（100-x-y）包，列28y+10 0-x-y＝700，也即20x+27y＝600。
因此y≤22.由于600≡0（mod 20），所以27y≡0（mod 20）；但（27，20）=1，所以y≡0（mod 20）。
因此y＝20，x=3，100-x-y＝77。
答：购油菜籽3包，西红柿种子20包，萝卜籽77包。
例3、100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐.问大、中、小马各多少？解：设大、中、小马的匹数依次为x、y、z，由题意，列不定方程为：因此y≤33.由于5|100，所以5|3y.y＝0，5，10，…，30.相应地可以得到x和z.但（3，5）=1，所以5|y.因此把结果列出：以上讲了6个例子，解不定方程（组）的一般思路和步骤都体现在其中了.这讲介绍的是最基本的整系数整式不定方程求整数解.总之，它要调用解方程时的常用的方程变形公共原则，又时时巧用未知数是整数这一“约定”.当然还有许多其他技巧.至于其他形式的不定方程，如x2＋y2=25；奇质数p，。
18题不定方程专题汇总(答案)
1．小明今年五一节去三峡广场逛水果超市，他分两次购进了A 、B 两种不同单价的水果．第一次购买A 种水果的数量比B 种水果的数量多50%，第二次购买A 种水果的数量比第一次购买A 种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，且第二次购买A 、B 水果的总费用比第一次购买A 、B 水果的总费用少10%（两次购买中A 、B 两种水果的单价不变），则B 种水果的单价与A 种水果的单价的比值是______． 【答案】12【分析】根据水果数量的等量关系，可设第一次购买B 种水果数量为x 个，用x 分别表示第一次购买A 种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为a 元和b 元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方程中x 是可以约去的，化简即得到a 与b 的数量关系． 【详解】解：设第一次购买B 种水果数量为x ，∴第一次购买A 种水果的数量为：3(150%)2x x +=， ∴第二次购买A 种水果数量为：3323(160%)2255x xx -==， ∴第二次购买水果的总数量为：356()(120%)3225x x xx ++==， ∴第二次购买B 种水果个数为：312355x x x -=，设A 种水果单价为a 元，B 种水果单价为b 元，依题意得：3312()(110%)255a x bx a xb x +-=+， 化简得：2a b =∴12b a =， B ∴水果的单价与A 水果的单价的比值是12，故答案为：12． 【点睛】本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简求值．2．为了适合不同人群的口味，某商店对苹果味、草莓味、牛奶味的糖果混合组装成甲、乙两种袋装进行销售.甲种每袋装有苹果味、草莓味、牛奶味的糖果各10颗，乙种每袋装有苹果味糖果20颗，草莓味和牛奶味糖果各5颗.甲、乙两种袋装糖果每袋成本价分别是袋中各类糖果成本之和.已知每颗苹果味的糖果成本价为0.4元，甲种袋装糖果的售价为23.4元，利润率为30%，乙种袋装糖果每袋的利润率为20%.若这两种袋装的销售利润率达到24%，则该公司销售甲、乙两种袋装糖果的数量之比是__________. 【答案】5:9 【分析】根据题意，先求出1颗草莓味和1颗牛奶味糖果的成本之和，然后求出乙种糖果的成本价，然后设甲种糖果x 袋，乙种糖果y 袋，通过利润的关系，列出方程，解方程，即可求出甲、乙两种糖果数量之比. 【详解】解：设1颗草莓味糖果m 元，1颗牛奶味糖果n 元，则，10(0.4)(130%)23.4m n ++⨯+=，解得： 1.4m n +=，∴甲种糖果的成本价：10(0.4 1.4)18⨯+=元∴乙种糖果的成本价：200.45()85 1.415m n ⨯++=+⨯=元， 设甲种糖果有x 袋，乙种糖果有y 袋，则，1830%1520%(1815)24%x y x y •+•=+•，解得：59x y =；∴该公司销售甲、乙两种袋装糖果的数量之比是59. 故答案为59. 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键． 3．“八月十五月儿圆，中秋月饼香又甜”，每中秋，皓月当空，阖家团聚，品饼赏月，谈天说地，尽享天伦之乐．今年中秋节前夕某商场结合当地情况，决定启动一笔专项资金用于月饼进货，经过一段时间，该商场已购进的京式、广式、苏式月饼总价之比为2:3:4，根据市场需求，将把余下的资金继续购进这三种月饼，经测算需将余下资金的13购买京式月饼，则京式月饼的总价将达到这三种月饼总价的415．为了使广式月饼总价与苏式月饼的总价达到9:13，则该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是_____． 【答案】3:5 【分析】由题意设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】解：设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，由题意可得：可得：①()1429315m n m n +=+，解得：n=6m ， ②23a b n +=，可得：a+b=4m ， ③1349(2)113m a m b m n m n m +++=+-+=， ④（3m+a ）：（4m+b ）=9：13，93135342222m a m a m m b m b m +==+==，，，，∴a ：b=3：5，答：该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是3：5． 故答案为：3：5． 【点睛】本题考查多次方程问题，解题的关键是根据题意列出多个方程得出其关系式解答．4．为了适合不同人群的需求，某公司对每日坚果混合装进行改革．甲种每袋装有10克核桃仁，10克巴旦木仁，10克黑加仑；乙种每袋装有20克核桃仁，5克巴旦木仁，5克黑加仑．甲乙两种袋装干果每袋成本价分别为袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加仑的成本价之和．已知核桃仁每克成本价0.04元，甲每袋坚果的售价为5.2元，利润率为30%，乙种坚果每袋利润率为20%，若这两种袋装的销售利润率达到24%，则该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是____． 【答案】13∶30 【分析】根据题意，先求出1克巴旦木和1克黑加仑的成本之和，然后求出乙种干果的成本，再设甲种干果x 袋，乙种干果y 袋，通过利润的关系，列出方程解方程即可求出甲、乙两种干果数量之比． 【详解】解：设1克巴旦木成本价m 元，和1克黑加仑成本价n 元，根据题意得 10(0.04 +m+n) ×(1+30%)=5.2 解得：m+n=0.36甲种干果的成本价：10×(0.04+0.36)=4 乙种干果的成本价：20×0.04+5×0.36=2.6乙种干果的售价为：2.6×(1+20 %)=3.12设甲种干果有x袋，乙种干果有y袋，则(4x+2.6y)(1+24 %)=5.2x+3.12y解得：1330 xy=故答案为：该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是13∶30．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，利用利润、成本价与利润率之间的关系列出方程，理解题意得出等量关系是解题的关键．5．某科技公司推出一款新的电子产品，该产品有三种型号.通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售(三种型号的成本相同).经过一个季度的经营后，发现C型产品的销量占总销量的37，且三种型号的总利润率为35%.第二个季度，公司决定对A型产品进行升级，升级后A产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B、C产品的销量和成本均不变，且三种产品在二季度成本基础上分别加价20%，30%，45%出售，则第二个季度的总利润率为______.【答案】34%【分析】由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得13x zy z⎧=⎪⎨⎪=⎩；第二个季度A产品成本为(1+25%)a＝54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝65x，B产品销量为y，C产品销量为z，则第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645a x ay aza x ay az⨯⨯++⨯++＝34%.【详解】解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意得：20%ax30%ay45%az35%a(x y z)3(x y z)z7++=++⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得：13x z y z⎧=⎪⎨⎪=⎩，第二个季度A产品的成本提高了25%，成本为：(1+25%)a＝54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝65x，B产品销量为y，C产品销量为z，∴第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645a x ay aza x ay az⨯⨯++⨯++＝0.30.30.451.5x y zx y z++++＝10.30.30.45311.53z z zz z z⨯++⨯++＝34%，故答案为：34%.【点睛】本题考查了利用二元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键.6．某商店新进一批衬衣和数对暖瓶（一对为2件），暖瓶的对数正好是衬衣件数的一半，每件衬衣的进价是40元，每对暖瓶的进价是60元（暖瓶成对出售），商店将这批物品以高出进价10%的价格售出，最后留下了17件物品未卖出，这时，商店发现卖出物品的总售价等于所有货物总进价的90%，则最初购进这批暖瓶_____对．【答案】22．【分析】设购进暖瓶x对，则有2x只暖瓶，衬衫2x件，留下的17件物品中有a只暖瓶，（17﹣a）件衬衫，根据这批物品的售价数恰好等于买进这批物品所花的钱数的90%可列出方程，根据x、a的取值范围分别讨论求适合题意的解即可．即可得到这17件物品是什么及它们的价值．【详解】设购进暖瓶x对，则有2x只暖瓶，衬衫2x件，留下的17件物品中有a只暖瓶，（17﹣a）件衬衫，∵每件衬衣的进价是40元，每对暖瓶的进价是60元，商店将这批物品以高出进价10%的价格售出，∴暖瓶每只售价为30×（1+10%）＝33（元），衬衫每件售价为40×（1+10%）＝44（元），∴总售价为＝33×（2x﹣a）+44（2x﹣17+a）＝154x+11a﹣748（元），根据题意得：154x+11a﹣748＝90%（40×2x+60x），整理得：28x+11a＝748，∵a为偶数，且17﹣a≥0，∴a为2，4，6，8，10，12，14，16，当a＝2，x的值为分数，不合题意；当a＝4，x的值为分数，不合题意；当a＝6，x的值为分数，不合题意；当a＝8，x的值为分数，不合题意；当a＝10，x的值为分数，不合题意；当a＝12，x＝22，当a＝14，x的值为分数，不合题意；当a＝16，x的值为分数，不合题意；∴即只有当a＝12，x＝22时符合题意．答：最初购进这批暖瓶22对，故答案为：22．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再根据实际情况求解．7．小明同学为筹备缤纷节财商体验活动，准备在商店购入小商品A和B，已知A和B的单价和为25元，小明计划购入A的数量比B的数量多3件，但一共不超过28件．现商店将A的单价提高20%，B打8折出售，小明决定将A、B的原定数量对调，这样实际花费比原计划少6元．已知调整前后的价格和数量均为整数，求小明原计划购买费用为_____元．【答案】311【分析】设小商品A的单价为x元/件，则B商品的单价为（25-x）元/件，计划购买小商品Aa件，则B商品为（a-3）件，根据等量关系：实际花费只比计划少6元，列出方程，再根据整数的性质求解即可．【详解】解：设小商品A的单价为x元/件，则B商品的单价为（25﹣x）元/件，计划购买小商品Aa件，则B商品为（a﹣3）件，（1+20%）x（a﹣3）+0.8a（25﹣x）+6＝xa+（25﹣x）（a﹣3），解得x＝77.4 3.8 30.8aa-+，由题意得：a+a﹣3≤28a≤16.5，∵x和a都是整数，∴当a＝14时，x＝12，小明原计划购买费用为：xa+（25﹣x）（a﹣3）＝14×12+13×11＝311．故答案为311【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意列出方程是解题的关键.8．今年年初，受新冠肺炎疫情的影响，人们对病毒的防范意识加强，市面上的洗手液也备受欢迎，小王计划购进A型、B型、C型三种洗手液共50箱，其中B型洗手液数量不超过A型洗手液数量，且B型洗手液数量不少于C型洗手液数量的一半．已知A型洗手液每箱60元，B型洗手液每箱80元，C型洗手液每箱100元．在价格不变的条件下，小王实际购进A型洗手液是计划的56倍，C型洗手液购进了12箱，结果小王实际购进三种洗手液共35箱，且比原计划少支付1240元，则小王实际购进B型洗手液_____箱．【答案】8【分析】设小王计划购进A型洗手液x箱，B型洗手液y箱，则计划购进C型洗手液（50﹣x﹣y）箱，实际购进A型洗手液5 6x箱，B型洗手液（35﹣12﹣56x）箱，根据实际比原计划少支付1240元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，结合x，y均为正整数即可得出x，y的值，再由y≤x，y≥12（50﹣x﹣y）可确定x，y的值，将其代入（35﹣12﹣56x）中即可求出结论．【详解】解：设小王计划购进A型洗手液x箱，B型洗手液y箱，则计划购进C型洗手液（50﹣x﹣y）箱，实际购进A型洗手液56x箱，B型洗手液（35﹣12﹣56x）箱，依题意，得：60x+80y+100（50﹣x﹣y）﹣[60•56x+80（35﹣12﹣56x）+100×12]＝1240，整理，得：7x+6y＝216，∴y＝36﹣76x．∵x，y均为正整数，∴x为6的倍数，∴629xy=⎧⎨=⎩，1222xy=⎧⎨=⎩，1815xy=⎧⎨=⎩，248xy=⎧⎨=⎩，301xy=⎧⎨=⎩．又∵y≤x，y≥12（50﹣x﹣y），∴1815 xy=⎧⎨=⎩，∴35﹣12﹣56x＝8．故答案为：8．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用及整数解的情况，根据题意列出等量关系和整数解的情况判断解得情况．9．国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调查表，且只选了一个景点），統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有_______人. 【答案】48 【分析】设选洪崖洞的有a 人，选长江索道的有b 人，选李子坝轻轨站的有c 人，选磁器口的有d 人，根据题意可列出4个方程，然后整理得到不含c 的两个方程，再分情况讨论整数倍x 的值，得到符合题意的解即可. 【详解】解：设选洪崖洞的有a 人，选长江索道的有b 人，选李子坝轻轨站的有c 人，选磁器口的有d 人， 根据题意可列方程： c=d ﹣8，a=xd （x ＞1，且为整数）， d+a=5（b+c ）， b+a=c+d+24， 整理可得：283727d ba b=-⎧⎨=-⎩， 当x=2时，解得b=16，d=﹣20，不符合题意，舍去；当x=3时，解得b=6，d=10，a=30，c=2，则旅行团共有6+10+30+2=48人； 当x ＞3时，求得的b 均为负数，不符合题意. 故答案为48. 【点睛】本题主要考查列方程，解多元一次方程，解此题的关键在于根据题意准确列出方程.10．某中学去年举办竞赛，颁发一二三等奖各若干名，获奖人数依次增加，各获奖学生获得的奖品价值依次减少（奖品单价都是整数元），其中有3人获得一等奖，每人获得的奖品价值34元，二等奖的奖品单价是5的倍数，获得三等奖的人数不超过10人，并且获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同.今年又举办了竞赛，获得一二三等奖的人数比去年分别增加了1人、2人、3人，购买对应奖品时发现单价分别上涨了6元、3元、2元.这样，今年购买奖品的总费用比去年增加了159元.那么去年购买奖品一共花了__________元. 【答案】257 【分析】根据获奖人数依次增加，获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同，以及二等奖奖品单价为5的倍数，可知二等奖的单价为10或15，分别讨论即可得出答案. 【详解】设二等奖人数为m ，三等奖人数为n ，二等奖单价为a ，三等奖单价为b ，根据题意列表分析如下：∵今年购买奖品的总费用比去年增加了159元∴()()()()4402332343=159⨯++++++-⨯--m a n b ma nb 整理得322389+++=m a n b∵310<<≤m n ，m n a +=，a 为5的倍数 ∴a 的值为10或15 当=10a 时，4m =，6n =代入322389+++=m a n b 得3421026389⨯+⨯+⨯+=b ， 解得15=>b a 不符合题意，舍去； 当=15a 时，有3种情况：①5m =，10n =，代入322389+++=m a n b 得35215210389⨯+⨯+⨯+=b ，解得8=<b a ，符合题意此时去年购买奖品一共花费334515108257⨯+⨯+⨯=元 ②6m =，9n =，代入322389+++=m a n b 得3621529389⨯+⨯+⨯+=b ，解得233=b ，不符合题意，舍去 ③7m =，8n =，代入322389+++=m a n b 得3721528389⨯+⨯+⨯+=b ，解得223b =，不符合题意，舍去 综上可得，去年购买奖品一共花费257元 故答案为：257. 【点睛】本题考查了方程与不等式的综合应用，难度较大，根据题意推出a 的取值，然后分类讨论是解题的关键.11．一年之计在于春，春天，是万物复苏的开始，是播种的季节，小刘准备在自家农田种植一批新鲜蔬菜，经过市场调研，他了解到，丝瓜籽每包3元，茄子籽每包4元，白菜籽1元7包，且蔬菜籽必须整包购买，小刘计划购买这三种蔬菜籽共100包（三种均有购买），经过计算，恰好需要m 元．其中购买丝瓜籽的数量不少于3包且不超过6包，购买茄子籽的数量不超过19包．实际购买时，由于商家储存的蔬菜籽数量有限，小刘并末购满100包，其中购买白菜籽支付10元，购买丝瓜籽的实际数量是计划数量的两倍，购买茄子籽若干包，这样小刘实际支付比计划少12元，则小刘实际购买三种蔬菜籽共_____包．【答案】84．【分析】设计划买丝瓜籽数量为a包，茄子籽b包，白菜籽c包，则3≤a≤6，0≤b≤19，c为7的倍数，且均为整数，根据题意，a+b+c=100，分情况列出所有可能的a，b，c，再分别计算出各种条件下的计划支付价格m，设实际购买丝瓜数量为x包，茄子籽y包，则实际：6≤x≤12，0≤y≤19，且x仅能为6、8、10、12（对应的a分别为3、4、5、6），进而求出符合条件的整数x和y的值，最后求出共计买的包数．【详解】设计划买丝瓜籽数量为a包，茄子籽b包，白菜籽c包，则3≤a≤6，0≤b≤19，c为7的倍数，且均为整数，根据题意，a+b+c＝100，分情况列出所有可能的a，b，c，具体如下：①a＝3时，b＝13，c＝84或b＝6，c＝91，②a＝4时，b＝12，c＝84或b＝5，c＝91，③a＝5时，b＝11，c＝84或b＝4，c＝91，④a＝6时，b＝10，c＝84或b＝3，c＝91，再分别计算出各种条件下的计划支付价格m，设实际购买丝瓜数量为x包，茄子籽y包，则：实际：6≤x≤12，0≤y≤19，且x仅能为6、8、10、12（对应的a分别为3、4、5、6），∵10元买白菜籽，∴10×7＝70（包），又∵实际支付比计划少12元，3x+4y+70＝m﹣12，⑤∴将x＝6、8、10、12分别代入⑤式，计算得符合条件的整数y，经计算，x＝10，y＝4时，符合上述所有不等式，∴共计买10+4+70＝84（包）．故答案为：84．【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意求整数解．12．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元．【答案】1230．【分析】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，b ，c ，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a ，2b ，4c ，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，4b ，2c ．根据题意得到关于a ，b ，c 方程组，根据a ，b ，c 均为正整数，求解即可．【详解】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，b ，c ，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a ，2b ，4c ，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，4b ，2c ．由题意得()()2502107025105012020503010420a b c a b c a b c ++=⎧⎪⎨++-++=⎪⎩， 即25217251942a b c b c ++=⎧⎨+=⎩， 其整数解为42372521231225a n b n c n =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（其中n 为整数），又∵a ，b ，c 均是正整数，易得n =1.所以546a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴150a +60b +40c =150×5+60×4+40×6=1230．故答案为：1230．另解：由上9b +c =42，得知b =1，2，3，4.列举符合题意的解即可．【点睛】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意得到方程组，求出方程组的整数解是解题关键．解题时注意题目中隐含条件a ，b ，c ，均为正整数．13．已知每件A 奖品价格相同，每件B 奖品价格相同，老师要网购A,B 两种奖品16件，若购买A 奖品9件、B 奖品7件，则微信钱包内的钱会差230元；若购买A奖品7件、B奖品9件，则微信钱包的钱会剩余230元，老师实际购买了A奖品1件，B奖品15件，则微信钱包内的钱会剩余__________元.【答案】1610【解析】【分析】设A奖品价格为x元/个，B奖品价格为y元/个，微信钱包金额为z元，根据题意可得9x+7y=z+230,7x+9y=z-230,从而得到8x+8y=z,x-y=230,从而得到结论.【详解】设A奖品价格为x元/个，B奖品价格为y元/个，微信钱包金额为z元，根据题意得：{9x+7y=z+230①7x+9y=z−230②,由①+②得：16x+16y=2z,即8x+8y=z,则微信钱包金额刚好可以买8个A产品和8个B产品，由①－②得：2x-2y=460,即x-y=230,则A的价格比B的价格多230元,∴x+15y=8x+8y-7(x-y)=z-7×230=z-1610,∴微信钱包内的钱会剩余1610元.【点睛】考查了方程组的应用，解题关键是求得微信钱包金额刚好可以买8个A产品和8个B产品和A的价格比B的价格多230元，再将x+15y变形成=8x+8y-7(x-y)的形式.14．2019年秋，重庆二外初2021级将开启“大阅读”活动，为了充实书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持.同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去699元；语文组购买了A、B两种文学书籍若干本，用去6138元，已知A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多7元，则乙种书籍比甲种书籍多买了__________本．【答案】777【分析】设乙种书与A种书的单价为x元，则甲种书与B种书的单价为(x+7)元，甲种书与A种书的数量为a本，乙种书与B 种书的数量为b本，根据单价乘以数量等于总价，建立方程组，整理即可得出b-a的值．【详解】设乙种书与A种书的单价为x元，则甲种书与B种书的单价为(x+7)元，设甲种书与A种书的数量为a本，乙种书与B种书的数量为b本，由题意得：()()()()76991761382 a x bxax b x⎧++=⎪⎨++=⎪⎩()()21-得775439-=b a∴777-=b a故答案为：777．【点睛】本题考查方程组的应用，熟练掌握单价乘以数量等于总价，建立方程组是解题的关键．15．某厂家以A 、B 两种原料，利用不同的工艺手法生产出了甲、乙两种袋装产品，其中，甲产品每袋含1.5千克A 原料、1.5千克B 原料；乙产品每袋含2千克A 原料、1千克B 原料．甲、乙两种产品每袋的成本价分别为袋中两种原料的成本价之和．若甲产品每袋售价72元，则利润率为20%．某节庆日，厂家准备生产若干袋甲产品和乙产品，甲产品和乙产品的数量和不超过100袋，会计在核算成本的时候把A 原料和B 原料的单价看反了，后面发现如果不看反，那么实际成本比核算时的成本少500元，那么厂家在生产甲乙两种产品时实际成本最多为_____元．【答案】5750【解析】【分析】根据题意设甲产品的成本价格为b 元，求出b ，可知A 原料与B 原料的成本和40元，然后设A 种原料成本价格x 元，B 种原料成本价格(40﹣x )元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，列出方程组得到xn ＝20n ﹣250，最后设生产甲乙产品的实际成本为W 元，即可解答【详解】∵甲产品每袋售价72元，则利润率为20%．设甲产品的成本价格为b 元， ∴72-b b＝20%， ∴b ＝60，∴甲产品的成本价格60元，∴1.5kgA 原料与1.5kgB 原料的成本和60元，∴A 原料与B 原料的成本和40元，设A 种原料成本价格x 元，B 种原料成本价格(40﹣x )元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，根据题意得：10060(240)50060(802)m n m x x n m n x x +≤⎧⎨++-+=+-+⎩， ∴xn ＝20n ﹣250，设生产甲乙产品的实际成本为W 元，则有W ＝60m +40n +xn ，∴W ＝60m +40n +20n ﹣250＝60(m +n )﹣250，∵m +n ≤100，∴W ≤6250；∴生产甲乙产品的实际成本最多为5750元，故答案为5750；【点睛】此题考查不等式和二元一次方程的解，解题关键在于求出甲产品的成本价格16．王老师在期中考试过后，决定给同学们发放奖品．他到对面 one way 文具店看了一下，准备买一些钢笔和笔记本，再给班级购买一个中考倒计时电子显示屏，经预算总共需要1501元，其中电子显示屏的价格为41元．当他付款时才发现他把钢笔和笔记本的单价弄反了，由于王老师购物金额超过1000元，文具店免费赠送了一个电子显示屏．这样实际付款后预算资金还剩余100多元（剩余资金为整数），正好能再购买1支钢笔和1个笔记本，王老师计划购买__________件奖品．【答案】20【分析】首先设购买x 支钢笔和y 个笔记本，每支钢笔a 元，每个笔记本b 元，然后根据题意列出方程组，根据整数解即可得解.【详解】设购买x 支钢笔和y 个笔记本，每支钢笔a 元，每个笔记本b 元，4115011501bx ay ax by a b ++=⎧⎨+++=⎩①② +①②，得()()2961a b x a b y a b +++++=29611x y a b+=-+ ∴100200a b +＜＜∴x y +可取的整数为14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28∵()(),x y a b ++为整数∴20x y +=即王老师计划购买20件奖品.【点睛】此题主要考查列二元一次方程组解实际问题的运用，解题关键是找到等量关系建立方程.17．近日天气晴朗，某集团公司准备组织全体员工外出踏青．决定租用甲、乙、丙三种型号的巴士出行，甲型巴士每辆车的乘载量是乙型巴士的3倍，丙型巴士每辆可乘坐36人．现在旅游公司有甲、乙、丙型巴士若干辆，预计给该集团公司安排申型、丙型巴士共计8辆，其余员工安排乙型巴士，每辆巴士均满载，这样乘坐乙型巴士和丙型巴士的员工共296人．临行前，突然有若干人因特殊原因请假，这样一来刚好可以减少租用一辆乙型包士，且有一辆乙型巴士多出两个空位，这样甲、乙两种型号巴士共计装载178人；则该集团公司共有________名员工．【答案】416【分析】设甲型巴士a 辆，乙型巴士b 辆，丙型巴士（8-a ）辆，乙型巴士乘载量为x 人，由题意列出方程，由整数解的思想可求解．【详解】解：设甲型巴士a 辆，乙型巴士b 辆，丙型巴士（8-a ）辆，乙型巴士乘载量为x 人，由题意可得：36(8)2963(1)1782xb a xa x b +-=⎧⎨+-=+⎩， 解得：x=1723631a a --， ∵1≤a ≤7，且a 为整数，∴168a x =⎧⎨=⎩（不合题意舍去），220a x =⎧⎨=⎩，38a x =⎧⎨=⎩（不合题意舍去）， ∴2036(82)296b +⨯-=，∴b=4，∴总人数=2×60+4×20+36×6=416（人）故答案为：416．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意，正确列出方程，利用整数解的思想解决问题是本题的关键． 18．某餐厅以A 、B 两种食材，利用不同的搭配方式推出了两款健康餐，其中，甲产品每份含200克A 、200克B ；乙产品每份含200克A 、100克B ．甲、乙两种产品每份的成本价分别为A 、B 两种食材的成本价之和，若甲产品每份成本价为16元．店家在核算成本的时候把A 、B 两种食材单价看反了，实际成本比核算时的成本多688元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么餐厅每天实际成本最多为______元．【答案】824【分析】先求出100克A 原料和100克B 原料的成本和，再设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为(8)m -元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意列方程求出【详解】解：∵甲产品每份含200克A 、200克B ，甲产品每份成本价为16元∴100克A 原料和100克B 原料的成本为8元设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为(8)m -元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意可得出：。
不定方程的求解技巧例题
不定方程的求解技巧例题求解不定方程是数学中的重要内容之一，在数学的应用中经常会出现各种各样的不定方程，因此掌握不定方程的求解技巧是非常必要的。
下面以一些例题来介绍不定方程的求解技巧。
例题1：求解不定方程x + y = 10，其中x和y都是正整数。
解法：首先我们可以观察到，当x = 1时，y = 10 - 1 = 9；当x = 2时，y = 10 - 2 = 8；当x = 3时，y = 10 - 3 = 7……因此我们可以得到一组解：{1, 9}，{2, 8}，{3, 7}，{4, 6}，{5, 5}。
但这并不是唯一的解，我们可以继续观察，当x = 6时，y = 10 - 6 = 4；当x = 7时，y = 10 - 7 = 3；当x = 8时，y = 10 - 8 = 2；当x = 9时，y = 10 - 9 = 1。
因此我们可以得到另一组解：{6, 4}，{7, 3}，{8, 2}，{9, 1}。
所以这个不定方程的解是：{1, 9}，{2, 8}，{3, 7}，{4, 6}，{5, 5}，{6, 4}，{7, 3}，{8, 2}，{9, 1}。
例题2：求解不定方程x^2 + y^2 = 25，其中x和y 都是正整数。
解法：对于这个问题，我们可以采用穷举法来求解。
我们可以从0开始往上穷举，看看哪些正整数满足方程。
当x = 0时，y = ±5；当x = 1时，y = ±√(25 - 1) = ±4；当x = 2时，y = ±√(25 - 4) = ±3；当x = 3时，y = ±√(25 - 9) = ±√16 = ±4；当x = 4时，y = ±√(25 - 16) = ±√9 = ±3；当x = 5时，y = ±√(25 - 25) = 0。
综上所述，满足条件的正整数解有：{(0，5)，(0，-5)，(1，4)，(1，-4)，(2，3)，(2，-3)，(3，4)，(3，-4)，(4，3)，(4，-3)，(5，0)}。
第七讲 不定方程解应用题
第七讲不定方程解应用题一、基础知识：1、根据等量关系列方程；2、最大值与最小值二、例题：例1、解不定方程：（1）求2x+3y=18的自然数解；（2）求5x-3y=16的最小自然数解；（3）若（A、B都是整数）（4）求（5）6x+3y+2z=22 例2、一位同学把他生日的月份数乘以31，日期数乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于几月几日吗？例3、有一堆积木（两种颜色），红色积木个数是蓝色积木个数的3倍，每次拿出7个红色积木，4个蓝色积木，经过若干次（不到十次）后，剩下的红色积木是蓝色积木的11倍，原来蓝色积木有多少个？例4、有一个最简分数，把分子加上分母，分母也加上分母，所得到的新分数是原分数的10倍。
这个最简分数是多少？例5、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和90毫米的两种规格的小铜管，每锯一次都要损失1毫米的铜管，那么，只有当锯得的38毫米和90毫米的铜管分别为多少段时，所损耗的铜管才能最少？例6、两位数ab减去两位数ba的差为某自然数的平方，这样的两位数共有多少个？例7、一百马,一百瓦,大马驮三,中马驮两,两个小马驮一瓦,最后不剩马和瓦,问有多少大马,中马,小马?例8、商店的白糖有4千克,3千克,1千克三种包装.一位顾客要买15千克白糖,问:付给这位顾客的白糖可以有多少种不同方法?三、练习：1、解不定方程。
求4x+5y=37的自然数解；求3x-7y=40的最小自然数解2、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内，问：需要大、小盒子个多少个？3、小华和小强各自用6角钱买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种,而且小华买来的铅笔比小强多.小华比小强多买来铅笔多少支?4、有一堆积木(两种颜色),红色积木个数是蓝色的4倍,每次拿出5块红色积木,3块蓝色积木,经过若干次(不到十次)后,剩下的红色积木是蓝色积木的9倍,原来蓝色积木和红色积木各有多少块?5、某工厂有三个车间共有75人报名参加冬季长跑,其中第一车间人数最多,第三车间人数最少,如果第一车间报名人数是第三车间报名人数的2．5倍，那么第二车间报名人数是第三车间报名人数的多少倍？四、作业：1、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数2、要把一根长36.9厘米的木料锯成长3.9厘米和6.9厘米两种规格的小木料,每锯一次要损耗0.1厘米的木料.问:这两种规格的木料各锯几段才能使浪费最小?。
用不定方程解应用题
不定方程
1.小明花4.5元钱买了0.14元一支的铅笔和0.67元一支的圆珠
笔，问：铅笔和圆珠笔各几支？
2.李根和布什二人植树，李根每天植树18棵，布什每天植21
棵，两人共植了135棵。
问：两人各植了几天？
3.大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客，
要使每位乘客都有座位且没有空座位，问：需大、小客车各几辆？
4.商店卖出若干2.3元和1.6元一支的钢笔，共收入500元，问
两种钢笔各卖出多少支？
5.有150个小球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装
7个，问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些小球装完？
6.有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能
装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。
问：大小油桶各几个？
7.参加围棋比赛的有八段和九段选手若干名，他们的段位数字
加在一起正好是100段。
问：八段和九段选手各几名。
8.一批布长36米，用此布做一件成人衣服用布3米，做一件儿
童衣服用布1.6米。
要把这批布刚好用完，应做多少件成人衣服和多少件儿童衣服？
9.工程队要做78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长
的两种管子。
问：可以有多少种不同的取法。
10.袋子里有三种球，分别标有数字2、3、5，小明从中摸出12
个球，它们的数字之和是43。
问：小明最多摸出几个标有数字2的球？
11.有煮蛋、茶蛋和皮蛋共30个，价值24元，煮蛋每个0.6元，
茶蛋每个1元，皮蛋每个1.2元。
问最多有几个皮蛋？
12.用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法。
小学数学列不定方程解应用题(含答案)
列不定方程解应用题知识框架一、知识点说明 历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
重难点（1） 根据题目叙述找到等量关系列出方程 （2） 根据解不定方程方法解方程 （3） 找到符合条件的解例题精讲一、不定方程与数论【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11132001x y +=，要让x 取最小值，y 取最大值． 可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可见12213x+是整数，满足这一条件的x 最小为7，且当7x =时，148y =． 则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题【解析】 设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12． 6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【答案】甲比乙搬得多，多24块【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题【解析】 若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。
不定方程解应用题
3.培养学生分析问题以及灵活运用数学 知识解决实际问题的能力
认真看例题，思考： 怎样找等量关系并列出不定方程？
例：在停车场有一些车，其中汽车有4个轮子，摩 托车有3个轮子，这些车共有20个轮子，那么三轮 摩托车有多少辆？
分析：根据题中条件得到等量关系式： 所有汽车的轮子+所有摩托车的轮子＝20个 解：设三轮摩托车有X辆，汽车有y辆 3x+4y=20 解得
解：设23元一枝的钢笔卖出x枝，16元一枝的 钢笔卖出y枝
23x+16y=500 解得
X=12 y=14
12+14＝26
答：这两种钢笔共卖出26枝。
2.大盒子每盒装11粒玻璃球，小盒子每盒装8粒玻璃球。 要把89个玻璃球装入盒内，要求每个盒子恰好装满， 需要大、小盒子各多少个？
解：设需要大盒x个，小盒子y个 11x+8y=89
提解：设这个学生出生那一年的年份末两位数字分别为x、y
升
98－（10x+y）=x+y
解得
x=8 y=5 x+y＝13
答：这个学生1998年13岁。
学会了“不定方程解应用题”，知道了解答这 类应用题的关键是找题中的等量关系，然后根 据等量关系列不定方程,解答并检验。
课本186页练习八第4、6、8题
解得
x=3 y=7
答：需要大盒子3个，小盒子7个。
小结
今天我们学习了“不定方程解 应用题”，知道了解答这类应用 题的关键是找题中的等量关系， 然后根据等量关系列不定方程,解 答并检验。
当堂训练
1.工人叔叔为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8 米的两种同样粗细的水管，问两种长度的水管各用多少根 （不截断）正好铺满158米的地段？（列式并说出计算过程）
不定方程问题(含答案)
不定方程问题【例1】求方程25=17的自然数解。
x y【练习1】求方程3x＋5y＝12的自然数解。
【例2】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？【练习2】小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少只兔，多少只鸡？【例3】将426个乒乓球装在三种盒子里. 大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个。
现共装了 24 盒，则用了多少个大盒。
【练习3】（1）每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？（2）实验小学的五年级学生租车去野外开展活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，每辆大巴车的载客多少人。
【例4】今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有2是坏的，其9他是好的；乙班分到的桃有3是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共16有多少个？【练习）不定方程问题【例1】求方程25=17x y +的自然数解。
因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16…… x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3， x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1， x ＝11时，17－2x ＝17－22，无解 所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【练习1】求方程3x ＋5y ＝12的自然数解。
由3x ＋5y ＝12，3x 是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y 也为3的倍数，所以y 为3的倍数即可，所以y 的取值为0、3、6、9、12…… y ＝0时，12－5y ＝12，x ＝4， x ＝3时，12－5y ＝12－15，无解 所以方程的解为：40x y =⎧⎨=⎩【例2】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？设有大油桶x 个，小油桶y 个．由题意得：8544x y +=可知844x ≤，所以012345x =、、、、、．由于x 、y 必须为整数，所以相应的将x 的所有可能值代入方程，可得3x =时，4y =这一组整数解．【练习2】小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少只兔，多少只鸡？设小峰养了x 只兔子和y 只鸡，由题意得： 4224x y += 即：212x y +=，122y x =-这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示：由题意x y >，且x ，y 均不为0，所以5x =，2y =，也就是兔有5只，鸡有2只．【例3】将426个乒乓球装在三种盒子里. 大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个。
用不定方程解应用题.doc
用不定方程解应用题用不定方程或不定方程组解具体的应用题时，要注意题中的条件限定或其它具体要求，根据实际情况给出符合题目的答案。
例1：求不定方程：6X+8Y=46的自然数解。
<分析与解答>1A、求不定方程的自然数解：3X+8Y=100 X1= X2= X3= X4=Y1= Y2= Y3= Y4=1B、不定方程：2X+5Y=80有（）组自然数解。
例2：求下列不定方程的自然数解：（1） 2/3X+1/5Y=10 （2） X+Y+Z=503X+2Y+1/2Z=502A、求下列各不定方程的自然数解：（1）1/3X+3/4Y=10X1= X2= X3=Y1= Y2= Y3=（2） X+Y+Z=257X+9Y+4Z=200X1= X2=Y1= Y2=Z1= Z2=2B、（1）不定方程：1.2X+0.4Y=20，有( )组自然数解。
（2）不定方程组：2X+3Y-4Z=34 的自然数解共有（）组， X+Y+Z和的最小值是（）。
X+2Y+4Z=66例3：学校准备安装一条42米长的自来水管道，可是仓库里只有3米长和5米长两种同样口径的钢管。
在不截断钢管的情况下，如果尽可能地使用5米长的钢管，那么两种钢管各需要多少根？3A、大桶能盛油5千克，小桶能盛油3千克。
现有花生油50千克，需要大小桶总数最多是大（）只，小（）只。
3B、小刚问小亮：“你养了几只兔几只鸡？”小亮说：“我养的兔比鸡多，鸡兔一共24条腿，你猜我养了几只兔几只鸡？”小亮养了（）只兔和（）只鸡。
例4：图书馆王老师去书店购买文艺书，科技书和外语书共55本，其中文艺书比科技书的本数多1倍，外语书只买了十几本。
三种书王老师各买了多少本？<分析与解答>4A、龙游艺术小学组队参加舞蹈、唱歌、演奏比赛的共81人，其中舞蹈的学生比演奏的多1倍，唱歌的人数接近40人。
参加舞蹈比赛的有( )人，参加唱歌比赛的有( )人，参加演奏比赛的有( )人。
4B、水果商店运进苹果、梨和桔子总价值1000元，其中萍果每箱5元，桔子每箱8元，梨每箱10元，桔子的箱数是萍果的3倍，梨大约四十几箱。
不定方程和解不定方程应用题经典
不定⽅程和解不定⽅程应⽤题经典不定⽅程———研究其解法⽅程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很⼤的⼀个板块，许多题⽬都可以通过⽅程来得到答案，那么⾃然⽽然，它的解法就尤为重要了。
然⽽，我今天想为⼤家介绍的是⼀种特殊的⽅程——不定⽅程，因为它往往有多个或⽆数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定⽅程的⼀些问题。
⼀、不定⽅程是指未知数的个数多于⽅程个数的⽅程，其特点是往往有不唯⼀的解。
⼆、不定⽅程的解法 1、筛选试验法根据⽅程特点，确定满⾜⽅程整数的取值范围，对此范围内的整数⼀⼀加以试验，筛去不合理的值。
如：⽅程x ﹢y ﹢z = 100共有⼏组正整数解？解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。
当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。
……当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有⼀个解。
∵ 98﹢97﹢96﹢ (1)29998?= 4851 ∴⽅程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。
2、表格记数法如：⽅程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。
解：∴⽅程4x ﹢7 y =55的正整数解有x = 5x = 12y = 5 y = 1 3、分离系数法如：求7x ﹢2 y =38的整数解解： y =2738X -=19-3x-21x令 t=21x x =2 t则 y=22738t-=19-7t2t ＞019-7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 t=2，1当 t=2时， x =2×2=4 x =4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时， x =2×1=2 x =2y=19-7×1=12 y=12第四⼗周不定⽅程专题简析：当⽅程的个数⽐⽅程中未知数的个数少时，我们就称这样的⽅程为不定⽅程。
不定方程解应用题
不定方程解应用题(二)采购员用一张1万元支票去购物。
购单价590元的A 种物若干，又买单价670元的B 种物若干，其中B 种个数多于A 种个数，找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张)。
如把购A 种物品和B 种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反。
问购A 物几个，B 物几个？解：设购A 种物x 个，购B 种物为x ＋y 个，并设第一次购物找回r 张100元，s 张10元，则这是4个未知数，2个方程的不定方程组。
解方程时，方程变形的一些法则(方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变)仍适用。
先将(1) (2)两边约去10，得⎩⎨⎧=++++=++++(4) 100010675959)3(100010676759r s x y x s r y x x 由于(3) (4)式的右边都等于1000，因此它们相等，整理后得 8y ＋9r －9s ＝0，再在方程两边同时加上9s －9r ，得：8y ＝9(s －r )由于y 是大于0的整数，所以s －r 也是整数＞0。
因此8｜9·(s －r )，9｜8y 。
应有⎩⎨⎧•=-•=k r s k y 89，k 为大于0的整数。
但是s 是10元钱的张数，s ≤9，r 是100元钱的张数，所以k ＝1，因此y ＝9，s －r ＝8。
显然s ＝9，r ＝1。
代回(3)式：得到x ＝3。
所以：x ＝3，x ＋y ＝3＋9＝12，r ＝1，s ＝9。
采购员购A 物3件，B 物12件，找回1张100元，9张10元。
⎩⎨⎧=⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯++⨯(2)1000010100670590)((1) 1000010100670)(590r s x y x s r y x x1、有一捆树苗，每人种6棵还余4棵，每人种5棵还余3棵，这捆树苗最少多少棵？2、李家和王家共养521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有113是母牛，李家和王家各养多少头牛？3、一名学生去商店买足球，足球23元钱一只，若该生身上的钞票都是2元一张的，而商店的钞票都是5元一张的，试问学生应该怎么付钱？4、A、B、C三个微型机器人围绕一个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时同地出发后，A在2秒钟时追上B，2.5秒钟时追上C，当c追上B时，C和B的运动路程之比是3：2，问第一分钟时，A围绕这个圆形轨道运动了多少圈？5、设有一框苹果，把它们三等分后还剩1个苹果，取出其中两份后，将它们五等分后还剩4个苹果，然后再取出其中三份，将它们四等分后还剩2个苹果，问这框苹果至少有几个？6、某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m位男生和11位的捐款总数与乙班的9位男生和n位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数韩信点兵和不定方程和书的作者不详，但后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。
不定方程解应用题(答案)
2008年11月1日 六年级例1．求下列方程的所有自然数解。
（1）2x+5y=12解：x=6,y=0或x=1,y=2 （2）12x+17y=75 解：x=2,y=3例2．小华买圆珠笔若干支，正好付出10元钱，他所买的圆珠笔有两种，有1元1支的，也有1元5角一支的，他两种圆珠笔各买了多少支？解：设1元的买了x 支，1元5角的买了y 支x+1.5y=10解得x=7,y=2或x=4,y=4或x=1,y=6例3．甲班有42名学生，乙班有48名学生。
已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学总成绩相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班的平均成绩比乙班高多少分？解：甲、乙两班平均分分别为x 、y 分（x 、y 均大于80）42x=48y解得x=96,y=84 96-84=12（分）例4．有2角，5角和1元的纸制人民币共20张，共计12元，每种纸币至少一张。
则每种纸币分别有多少张？解：设三种纸币各有x 、y 、z 张（x 、y 、z 均不小于1）2x+5y+10z=120x+y+z=20可知x 为5的倍数，可以解得x=5,y=8,z=7例5．一个三位数与他的各个数位之和是182，求这个三位数。
解：设这个三位数为abc182=+++c b a abc101a+11b+2c=182 解得a=1,b=7,c=2 这个三位数为172。
例6．有些三位数：①它的各位数字不同；②这个数等于所有由它的各位数字所组成的两位数的和。
那么满足以上条件的所有三位数的和是多少？解：设这个三位数为abc （a 、b 、c 各不相同）若a 、b 、c 全不是0，则cc cb ca bc bb ba ac ab aa abc ++++++++=100a+10b+c = 33(a+b+c)解得a=5,b=9,c=4 若a 、b 、c 中有一个为0，则000b bb ba a ab aa ab +++++=或000b bb ba a ab aa b a +++++=100a+10b=32a+32b 或100a+b=32a+32b,显然无解所以只有594满足条件。
不定方程解应用题
六年级 2009年10月31日基础篇例1．不定方程的自然数解。
（1）2x+5y=12 解：x=6,y=0或x=1,y=2（2）12x+17y=75 解：x=2,y=3例2．用不定方程（组）解应用题。
1.采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋(盒子不能打开)，采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？解：设买了x大盒，y小盒。
23x+16y=500 解得：x=12,y=14;x+y=26.答：略。
2.新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。
问：搬书的老师，男生，女生各有多少人？解：设老师x人，男生y人，女生z人。
x+y+z=1412x+8y+5z=100解得：x=3,y=3,z=8答：略。
3.一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少？解：设大盒x个，小盒y个。
12x+5y=99且x+y>10解得：x=2,y=15.答：略。
4.有些三位数：①它的各位数字不同且没有数字0；②这个数等于所有由它的各位数字所组成的没有重复数字的两位数的和。
那么满足以上条件的所有三位数的和是多少？解：设这个三位数为abc（a、b、c各不相同）=+++++则abc ab ba ac ca bc cb100a+10b+c = 22(a+b+c)解得a=1,b=3,c=2或a=2,b=6,c=4或a=3,b=9,c=6和为：132+264+396=792提 高 篇例3．设有一筐苹果，把它们三等分后还剩1个苹果，取出其中两份，将剩下五等分后还剩4个苹果，然后再取出其中三份，将剩下的四等分后还剩2个苹果，问这框苹果至少有几个？解：设最后剩下（4x+2）个。
则 所有苹果数为：3[5×（4x+2-4）÷2+4-1]+1=30x-5所以最少 30×1-5=25个。
列不定方程解较复杂的应用题
列不定方程解较复杂的应用题（一）同学们好！这周和同学研究如何列不定方程解较复杂的应用题。
什么是不定方程？怎样列不定方程解应用题呢？下面先通过实例让同学们在教与学的过程中掌握思路，学会方法。
（一）思路指导：例1. 李丽新年用13元买2元一张和3元一张的两种贺年片，请你算一算李丽两种贺年片各买了几张？分析与解答：根据题目的条件和问题，可做出如下解答：解：设买2元一张的贺年片张，买3元一张的贺年片张，于是可得方程为：然后进行讨论，为了使是整数，都可以取哪些整数呢？当时，时，所以原不定方程有两个整数解：答：李丽买来2元一张贺年片2张、3元一张贺年片3张，或者买来2元一张贺年片5张，3元一张贺年片1张。
像例1这样题目中有两个未知数，但是却只有一个等量关系，也就是说只能列出一个方程，如，这样，一个方程中含有两个或两个以上的未知数的方程，叫做不定方程，所谓不定方程，是指这个方程的解是不固定的。
任意给一个值，都可以得出相应的值。
因此不定方程一般都有无数组解。
如，可以有如下组解：当但结合题目实际的情况买贺年片的张数应该是整数才可以，所以只有上述两组解符合题意。
通过上面的研究，你知道什么是不定方程了吗？又怎么样用不定方程解应用题吗？请看例2，边阅读边思考用不定方程解应用题的思路和步骤是怎样的。
例2. 大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现在有378人，问要大小汽车几辆才能使每个人都上车，且每个车正好坐满？分析与解答：根据题意，此题用不定方程解较为简捷。
（1）解：设大汽车有辆，小汽车有辆。
（2）列方程根据等量关系（3）整理变形（4）讨论符合题意的解当答：1辆大汽车和9辆小汽车或3辆大汽车和6辆小汽车或5辆大汽车和3辆小汽车。
例3. 学校打算安装一条42米长的自来水管道，准备使用3米和5米长的两种自来水管，在不截断自来水管的情况下，要尽可能多地使用5米长的管子，两种水管各需几根？分析与解答：根据题意，该题可用列不定方程的方法求解。
五数第四章(第二节)列不定方程解应用题
• 例4：甲乙两人搬砖，甲搬得块数是18的倍 数，乙搬得块数是23的倍数，两人共搬了 300块，问甲乙两人搬得多的比搬得少的多 搬了多少块？
• 例5：一年轻人2000年的岁数正好等于出生 年份数字之和，那么这年轻人2000年的岁 数是多少？
• 某青年1997年的年龄等于出生年份各数字 的和，那么，他是哪年出生的？
• 求下列不定方程的整数解。 • 5x+3y=30 2x+5y=40
• 列出的方程的个数少于未知数的个数，而 且方程的解是不定的，这类方程称不定方 程。
小学阶段涉及的这类方程，主要是整系数不定方程 的整数。
利用简单的不定方程的知识可以解答一些实际问题。
• 例1：在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只， 共有46只脚，问盒里的蟋蟀和蜘蛛各有多 少只？（蟋蟀6只脚，蜘蛛8只脚）
• 小王在邮局买了若干张5角和13角的邮票， 如果她恰好用了10元，求她买了多少张5角 的邮票？
• 例2：房间里有凳子和椅子若干，每张凳子 有3条腿，每把椅子有4条腿，当他们都被 人坐上后，共有35条腿（包括人腿在内）。 问房间里有凳子、椅子、人各多少？
• 例3：一个两位数除以7,所得的商和余数相 等。求适合条件的这些两位数。
例1求不定方程5x
例1求不定方程5x例1 求不定方程5x+3y=22的解，这里x,y为自然数。
解析由5x+3y=22可知x≤4，这样可以依次试出方程的解：当x=l时，3y=17，y= 3 17与y为自然数矛盾。
当x=2时，3y=l2，y=4。
当x=3时，3y=7，y= 3 7，与y为自然数矛盾。
当x=4时, 3y=2，y=3 2，与y为自然数矛盾。
先确定一个未知数的取值范围，再依次试出这些未知数的值。
练一练1 求不定方程5x+9y=104的整数解。
答案：X=19,Y=1; X=10,Y=6; X=1,Y=11例2 一个工人将99颗弹子装人两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，这两种盒于各有多少个?解析设大盒子有x个，小盒子有y个，x与y为自然数，x+y>10，所以列不定方程如下：12x+5y=99 5y=99-12x因为99-12x≥0，所以x≤8，又99-12x是5的倍数，个位数字只能为0或5，那么12x的个位数字只能为4,x可取2或7。
当x=2时，y=15,当x=7时，y=3，但7+3=10，不符合题意。
大盒子有2个、小盒子有15个。
本题关键是先列出相应的不定方程，再判断x的范围。
练一练2 装水瓶的盒子有大小两种，打得能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需大，小盒子各多少个？答案：大盒子3个，小盒子5个。
例3 甲种商品7元一份，乙种商品3元一份，小明用60元恰好买两种商品共多少份?解析设小明买甲种商品x份，乙种商品y份，可以列不定方程如下：7x+3y=60，由于3、60均为3的倍数，且60-7x≥0，x≤8，又因为7x一定能被3整除，所以：当x=3时，y=13，此时3+13=16；当x=6时，y=6，此时6+6=12。
所以小明用60元买两种商品16份或12份。
本题关键是确定7x的取值范围。
练一练3 用5米和3米的管道铺设一段42米长的下水道，最少需要管道多少根？答案：5x+3y=42 解得x=6,y=4例4 某种考试已举行24次，共出了426道题，每次出的题目有25题、或者16题、或者20题，那么其中考25题的有多少次。
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不定方程解应用题
六年级 2009年10月31日
基础篇
例1．不定方程的自然数解。
（1）2x+5y=12 解：x=6,y=0或x=1,y=2
（2）12x+17y=75 解：x=2,y=3
例2．用不定方程（组）解应用题。
1.采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋(盒子不能打
开)，采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？
解：设买了x大盒，y小盒。
23x+16y=500 解得：x=12,y=14;x+y=26.
答：略。
2.新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老师和学生共
14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。
问：搬书的老师，男生，女生各有多少人？
解：设老师x人，男生y人，女生z人。
x+y+z=14
12x+8y+5z=100
解得：x=3,y=3,z=8
答：略。
3.一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装
完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少
解：设大盒x个，小盒y个。
12x+5y=99且x+y>10
解得：x=2,y=15.
答：略。
4.有些三位数：①它的各位数字不同且没有数字0；②这个数等于所有由它的各位数字
所组成的没有重复数字的两位数的和。
那么满足以上条件的所有三位数的和是多少？
解：设这个三位数为abc（a、b、c各不相同）
=+++++
则abc ab ba ac ca bc cb
100a+10b+c = 22(a+b+c)
解得a=1,b=3,c=2或a=2,b=6,c=4或a=3,b=9,c=6
和为：132+264+396=792
提 高 篇
例3．设有一筐苹果，把它们三等分后还剩1个苹果，取出其中两份，将剩下五等分后还剩4
个苹果，然后再取出其中三份，将剩下的四等分后还剩2个苹果，问这框苹果至少有几个？
解：设最后剩下（4x+2）个。
则 所有苹果数为：3[5×（4x+2-4）÷2+4-1]+1=30x-5
所以最少 30×1-5=25个。
例4．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共
套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？
解：设套中小鸡x 次，小侯y 次，小狗z 次。
则 x+y+z=10
9x+5y+2z=61
解得：x=5,y=2,z=3
所以小鸡至多被套中5次。
例5．（选讲）某地水费，不超过10度时，每度0.45元，超过10度时，超出部分按每度0.80
元，张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元？
解：设张家用了x 度，李家用了y 度。
因为3.3 ÷0.45和3.3÷0.8均不为整数，所以x>10,y<10
10×0.45+0.8(x-10)-0.45y=3.3
解得：x=13,y=8
李家：8×0.45=3.6元，李家：3.6+3.3=6.9元。
例6．（选讲）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 位男生和11位女生的捐款总数
与乙班的9位男生和n 位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数。
(其中：22)11(12122+=++m m m ) 解：设每人的捐款数是x 元。
11+m=9+n,所以n=m+2
且 （11+m ）x=mn+9m+11n+145
所以 461111
x m m =+++ 因为x 是整数,m 为正整数，所以m+11=23或46，
所以 x=25或47。