常数项级数及审敛法
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(整理)常数项级数的审敛法
n 1n 1§ 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0⑴n 1显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2Sn . s n1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和V n 都是正项级数，且U n V . (nn 1n 1则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.n 1 n 1 分析: V nn 1，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,),即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。
反之，设n 1U n 发散，则n 1V n n 1必发散.因为若V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾n 11解「sin 2 22221 1 I 2n1 1 22Sin 2n1 1 1 2n2 222n1有上界 级数收敛1,2,).若 V n 收敛,n 12.比较审敛法推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n Nn 1n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.注：比较审敛法的：必须有参考级数。
常用：几何级数， p —级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.n 1例2讨论p —级数⑵的收敛性，其中常数p>0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n有1 n pIn 1n p2dxx(nn p 1n 2,3,考虑级数(n 1) 级数(3)的部分和sn1 2卩11 3p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.总之：p —级数(2)当p 1时发散，当p>1时收敛.(1).n n 121 n 5n 2U nn12 2^2n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散 n 1 n(2).1 . 1 sin — n〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 u n 和n 1V n 都是正项级数,n 10 或 lim 土nV n例4判别下列级数的敛散性.4. 比值审敛法能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:(1)3 n n lim U n 1 - 1,级数收敛n 13n U n 3⑵n!nlim U n 1 lim n 1 级数发散n 1 2n U nn 2⑶n 1 nxn 1x 0lim U n 1 x0 x 1收敛,x 1 发散x 1发散n U n5.根值审敛法----柯西判别法(1)如果 lim unnV n(0 I）,且级数V n 收敛，则级数 U n 收敛;n 1n 11(1) si nn 1 n.1 sinlim n n 10,丄发散 原级数发散n 1 n⑵ 2nta nn 13li mn1 2ntan]3nn2 3n2收敛收敛3，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散n 1n 1(2)如果 limU nnV n 定理4设 u n 为正项级数，如果n 1lim 山 nU n则当1级数收敛;U n 11 (或 limnU n）时级数发散； 1时级数可能收敛也可例7判别下列级数的敛散性二、交错级数及其审敛法)；(2) limu n 0,n则级数收敛，且其和S U 1,其余项r n 的绝对值r交错级数：U 1 U 2 U 3U 4(4)U 1 U 2 U 3U 4,其中U i ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1U n 满足条件:n 1定理5设 U n 为正项级数，如果lim n U nn 1n,则当 1时级数收敛， 1（或Hm nU n）时级数发散， 例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）nU n n11Zn-0(nnn）1,级数收敛—5‘n imn ,n 31,级数发散6根限审敛法（与p —级数作比较）定理6设 u n 为正项级数,n 1(1)如果 lim nu n l 0 或 lim nu nnn，则 U n 发散;n 1⑶如果p 1,而limn p u nl 0nU n 收敛。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
∞
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
第十二章 第2节常数项级数审敛法
o 1 234
x
1
2 1
dx xp
n dx 1
x n1 p
n dx 1 xp
7
1
1 (1 p1
1 n p1 )
1
1 p1
即Sn 有界, 则 P 级数 收敛.
P 级数
n1
1 np
当 当
p p
1时, 1时,
收敛; 发散.
重要参考级数: 几何级数, P -级数, 调和级数.
8
例4 判别级数
1
的敛散性.
n1 (n 1)(n 2)
解
un
(n
1 1)(n
2)
1 n2
,
而级数
1 收敛,
n2
n1
级数
1
收敛.
n1 (n 1)(n 2)
9
例5 判别级数 1! 2! n！的敛散性.
n3 (2n)!
解
un
1! 2! (2n)!
n!
n n! (2n)!
(n(2n1)！)! （n
1 2）(n
,
lim
n
n
.
也采用反证法
4
例1 判别级数
1 的敛散性
n1 n 2n
解
un
1 n2n
1 2n
,
而级数
1 收敛.
2n
n1
级数
1 收敛.
n1 n 2n
5
例2 证明级数
1
是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 ,
n(n 1) n 1
而级数
1 1 发散,
n1 n 1 k 2 k
级数
n1
n1
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
应用举例
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
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该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
6-2 常数项级数的审敛法
即 s ≤ s1 = a1 .其余项
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rn = (−1) an+1 + (−1) an+2 +L= (−1) (an+1 − an+2 + L)
n n
n= ( −1) a n +1 − a n + 2 + L ≤ a n +1 ;
n
因为an+1 ≥ 0, 所以 rn ≤ an+1 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法
因此, 级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 收敛. n
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三、绝对收敛与条件收敛
以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性, 以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性. 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性 形如
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类似地还可得到： 类似地还可得到： 一个正项级数(6-1), 如果对每一个 都有 如果对每一个n都有 一个正项级数
an+1 ≥ g > 1, an
那么这个正项级数是发散的. 那么这个正项级数是发散的
an+1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 如果在正项级数 中 比值 n
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1 1 1 n−1 1 +L 例6-13 判别级数 1 − + − +L+ (−1) 2 3 4 n
的敛散性. 的敛散性.
1 1 1 解 因为 a n = , 所以a n + 1 = n + 1 < n = a n , 且有 n
常数项级数的概念和性质
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
R
即 A a1 a2 an
圆的面积
A a1 a2
n
an
即 A lim an
1 举例. 0.333 3 0.3 0.03 0.003 3 3 3 3 n 10 100 1000 10 3 n n 1 10
n 2 1+2 4 8 n 0
2, 收敛；
, 发散； 发散。
等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
举例
.
1 n 1 1 2 ( ) 1 ( ) ； 2 2 n 0 2 3 3 3 1 n 3 3( ) ； 2 4 8 2 n 0
当 x 1,2,3,, n, 1 1 1 y 1, , ,, , 2 3 n 1 1 1 sn 1 2 3 n
y
y 1 x
x o
1
2
3
4 n n1
n 1 dx 1
1 ln( n 1) lim sn 发散 n x n 1 n
1、常数项级数概念、性质及其审敛法； 2、幂级数的概念及其收敛性； 3、函数展开成幂级数及其幂级数展开式的应用； 4、傅里叶级数（正弦级数、余弦级数）的概念及函 数展开成傅里叶级数（正弦级数、余弦级数）；
基本要求：
1、理解常数项级数收敛、发散及和等概念；熟悉级 数收敛的必要条件，了解常数项级数的性质，熟悉 几何级数和P-级数的收敛性； 2、掌握正项级数收敛的充要条件及其审敛准则（比 较审敛法、比值审敛法和根值审敛法）； 3、掌握交错级数的莱布尼兹审敛法，熟悉绝对收敛 和条件收敛及一般项级数的审敛准则； 4、熟悉函数项级数的收敛域、和函数等概念；
第13章 无穷级数重点内容与练习
都收敛
（B）
un 与
un2 都发散
n 1
n 1
n 1
n 1
（C） un 收敛，而
u
2 n
发散（D）
un 发散，而
un2
n 1
n 1
n 1
n 1
收敛
6. 级数 sin( n2 1) （ ）．答案： B n1
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛 （D）敛散性无法判定
7.
级数
n1
sin n n2
( )．
（A） a ,b （B） a 2 ,b 2 2 +
2
2
2
2
(C) a ,b
22
答案： D ．
（D） a 2 ,b
2
2
x2 1, 0 x ,
25.设
f
(x)
x2
1,
则 f (x) 以周期为 2 的傅
x 0.
里叶级数在点 x 处收敛于
．
答案： 2 ．
1 n
（
）．答案： C
（A）条件收敛 （B）绝对收敛
（C）发散
（D）无法确定
8. 设正项数列{an }单调减少，且级数 (1)n an 发散， n1
试讨论
(1)n (1 an1 ) 的敛散性．
n1
an
解：依题知
lim
n
an
存在，设
lim
n
an
a
则
a
0
，且
an a, n 1, 2,
而 (1)n (1 an1 ) an an1 an an1
ln
2
2
x
．当
常数项级数的审敛法
根据不同的标准，审敛法可以分为多种类型，如比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等。
原理
原理
审敛法的原理基于无穷级数的性质和极限理论。通过分析级数的各项和其极限之间的关系，我们可以 判断级数的收敛性。
极限的存在性
审敛法通常涉及到分析级数的各项和其极限之间的关系。如果级数的各项趋于一个有限的数，则级数 收敛；如果级数的各项趋于无穷大，则级数发散。
条件收敛
如果常数项级数的每一项取绝对值后不收敛，但原级数收敛，则 称为条件收敛。
性质
绝对收敛的级数一定是收敛的，但条件收敛不一定是绝对收敛。
判别方法
1 2
比值法
比较相邻两项的比值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
根值法
比较相邻两项的根值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
应用
应用
审敛法在数学、物理、工程等多个领域 都有广泛的应用。例如，在解决物理问 题时，我们经常需要用到审敛法来判断 无穷级数的和是否存在，从而得到物理 量的精确解。
VS
实例
在求解量子力学中的薛定谔方程时，我们 经常需要用到审敛法来判断无穷级数的和 是否存在，从而得到波函数的精确解。
03 正项级数的审敛法
常数项级数是数学分析中研究无穷序 列的一种工具，其研究内容包括级数 的收敛性、和的求解等。
分类
按照项的正负性，常数项级数可以分 为正项级数、负项级数和交替级数。
正项级数是指所有项都为正数的级数 ，负项级数是指所有项都为负数的级 数，交替级数是指项的正负号交替变 化的级数。
收敛与发散
01
收敛性是常数项级数的一个重要属性，如果一个级数的和存在， 则称该级数收敛。
原理
原理
审敛法的原理基于无穷级数的性质和极限理论。通过分析级数的各项和其极限之间的关系，我们可以 判断级数的收敛性。
极限的存在性
审敛法通常涉及到分析级数的各项和其极限之间的关系。如果级数的各项趋于一个有限的数，则级数 收敛；如果级数的各项趋于无穷大，则级数发散。
条件收敛
如果常数项级数的每一项取绝对值后不收敛，但原级数收敛，则 称为条件收敛。
性质
绝对收敛的级数一定是收敛的，但条件收敛不一定是绝对收敛。
判别方法
1 2
比值法
比较相邻两项的比值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
根值法
比较相邻两项的根值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
应用
应用
审敛法在数学、物理、工程等多个领域 都有广泛的应用。例如，在解决物理问 题时，我们经常需要用到审敛法来判断 无穷级数的和是否存在，从而得到物理 量的精确解。
VS
实例
在求解量子力学中的薛定谔方程时，我们 经常需要用到审敛法来判断无穷级数的和 是否存在，从而得到波函数的精确解。
03 正项级数的审敛法
常数项级数是数学分析中研究无穷序 列的一种工具，其研究内容包括级数 的收敛性、和的求解等。
分类
按照项的正负性，常数项级数可以分 为正项级数、负项级数和交替级数。
正项级数是指所有项都为正数的级数 ，负项级数是指所有项都为负数的级 数，交替级数是指项的正负号交替变 化的级数。
收敛与发散
01
收敛性是常数项级数的一个重要属性，如果一个级数的和存在， 则称该级数收敛。
高等数学同济大学版10.2 常数项级数的审敛法
n
1
1,
1
而级数
发散,
n1 n 1
级数
1
发散.
n1 n(n 1)
完
例5
判别级数
2n 1
n1 (n 1)2 (n 2)2
的敛散性.
解 运用比较判别法. 因
(n
2n 1 1)2(n
2)2
(n
2n 2 1)2(n
2)2
(n
2 1)3
2 n3
,
而
1 n3
n1
是收敛的,
所以原级数收敛.
,
1
1
而级数 n1 2n
(| q | 1)收敛, 2
1 级数 n1 2n 1
收敛.
1
例3 判断级数
的收敛性.
n1 n(n 1)
解
1
1
n(n 1) n2 ,
1
而级数
n2
n1
收敛,
1
级数
收敛.
n1 n(n 1)
完
例4 判断级数
1
的收敛性.
n1 n(n 1)
解
1 n(n 1)
从而得到下述重要定理:
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和 n1
正项级数
定理1 正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和 n1
数列 {Sn }有界.
证: “
” 若 收敛 ,
故有界.
“
”
∴部分和数列
单调递增,
又已知
有界, 故
收敛 , 从而
也收敛.
完
比较审敛法
定理2 设 un , vn均为正项级数, 且 un vn(n 1,2,).
4-1 常数项级数审敛
设 un 是正项级数,
n1
lim n
n
un
(为数或 ),
则 1时,收敛; 1时,发散.（ 1时失效）
比值审敛法的优点:
两点注意:
不必找参考级数.直接从级数本 身的构成——即通项来判定其 敛散性
1.当 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
n1
(1)n1 np
解 (1) | un |
(
1 np
p
0); (2)
n1
0 收敛.
(1)n n1
n
.
(2)
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故 x 单调递减, x 1
| un || un1 | ;
又
lim
n
|
un
|
lim
n
n n1
0.
收敛.
3.1课前回顾
一、级数收敛的必要条件：一般项不趋于零级数发散;
(2) 当0 l 时， un收敛 vn收敛;
(3) 当0 l 时， un收敛 vn收敛.
注: 比较审敛法的不方便—— 须有参照级数.
例 1 讨论 p-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
解 (1)
p
1
时,
1 np
1, n
p 级数发散; y
(2)
p 1时,
(为数或 ) ,
三、交错级数：莱布尼茨定理 1、单调递减（可用微分学方法证明） 2、一般项极限为0
常数项级数审敛法探讨
职业技术教育 的屡遭重创原因很多。首先 ，现阶段 经济水平 的低下 ，我 国的经济建设 发展不平衡 ，富裕地 区的职业技术教育 自然有较多 的发展机会 ，贫 困地 区 的职业技术教育举 步维艰 。职业技 术教育往往得 不到 所需 的“硬件 ”，教材 “软件 ”建设严 重滞后 。近些年 来 ， 政府 相继制定 了一 些相关 的法令 、规章 ，但这些法 令仍 然难 以令 职业 技 术教 育所 需 的物质 上 的扶 持得 到 保 障。其次 ，就业状 况不景气。中等职业技术学校辛辛苦 苦培养 出来 的大批 学生到 了人才市 场却发现 “英 雄无 用 武之地 ”，给社会 造 成 中等 职业 技术 教育无 能 的表 象 。任何 经济 的发展都离 不开具有专 门技 术 的中高级 技术 人才 ，职业技术 教育 的普及 、发 展和完善对 国家经 济的发展起着直接性作用 。众所周知 ，职业技术教育作 为德 国经 济发 展的“秘 密武 器”，使 德 国经济在 世界 范 围内一直遥遥领先 ，为世界各国所 瞩 目。我 国的职业技 术教 育要能在经济 建设 过程 中充分发挥 巨大 的推 动作 用 ，就要做好 以下几方面工作。
≤ （ ＞０）成立，则∑ 收敛；若∑ 发散且当
ｎ ＝ ｌ
ｎ ＝ １
ｎ— ∞
ｎ ＝ １
三 、一 般 项 级 数 的 审 敛 法
ｎ≥Ｎ时有 ≤幻 （ ＞０）成立，则∑ 发散
ｎ ＝ １
对于取值正负没有规律的一般常数项级数 ，我们并 没有一个统一的审敛方法 ，但 绝对收敛与条件 收敛这两
次方 的用 根值法 ，有 ｎ次方 也有 ｎ！的用 比值法 ，当 ｐ＝ｌ
时根值法 与 比值 法失效 ，宜 用 比较审敛法或其他方法．
二 、交错 级 数 的 审敛 法
≤ （ ＞０）成立，则∑ 收敛；若∑ 发散且当
ｎ ＝ ｌ
ｎ ＝ １
ｎ— ∞
ｎ ＝ １
三 、一 般 项 级 数 的 审 敛 法
ｎ≥Ｎ时有 ≤幻 （ ＞０）成立，则∑ 发散
ｎ ＝ １
对于取值正负没有规律的一般常数项级数 ，我们并 没有一个统一的审敛方法 ，但 绝对收敛与条件 收敛这两
次方 的用 根值法 ，有 ｎ次方 也有 ｎ！的用 比值法 ，当 ｐ＝ｌ
时根值法 与 比值 法失效 ，宜 用 比较审敛法或其他方法．
二 、交错 级 数 的 审敛 法
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由自由落体运动方程
s
1 2
g
t 2知
t
2s g
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
T t1 2t2 2t3
2 g
1
2
1 2
(
1 2)2
(此式计算用到 后面的例1)
2 1 2 2 1 2.63 ( s )
g
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定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数 研究性质 数值计算
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第一节
第十二章
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
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一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Skn Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
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性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
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性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
l剩＝1－l丢 0
(此式计算用到后面的例1)
剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,
它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上, 人们称其为康托尔尘集.
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引例3. 小球从 1 m 高处自由落下, 每次跳起的高度减
少一半,问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
问丢弃部 分的总长和剩下部分的总长各是多少？
丢弃的各开区间长依次为
1 3
,
2 32
,
22 33
,
23 34
,
,
2n1 3n
,
故丢弃部分总长
l丢
1 3
2 32
22 3323 342n1 3n012 1
99 3
27 8 1
39 9
1 3
1
2 3
(32)2
(32)3
(32)n1
1 3
1 1
2 3
1
剩余部分总长
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2. 设有两个收敛级数
发散.
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim un lim Sn lim Sn1 S S 0
n
n
n
常用逆否命题: 若
, 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
S un, vn
n1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n (uk vk )
S ( n )
k 1
这说明级数 (un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
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次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数
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则称无穷级数发散 .
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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
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引例2. (神秘的康托尔尘集) 把[0,1]区间三等分, 舍弃中
间的开区间 (13, 32), 将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃 在中间的开区间, 如此反复进行这种“弃中”操作,
ln(n 1) ( n ） 技巧:
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “拆项相消” 求和
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(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而
lim Sn
n
a 1q
从而
lim
n
Sn
,
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2). 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
技巧: 利用 “拆项相消” 求和
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例3. 判别级数 解:
的敛散性 .
ln(n 1) ln(n 1) 2ln n
ln(1
1 n
)
ln
2
故原级数收敛 , 其和为
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二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但