二次函数与几何图形结合练习
第八讲 二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)
第八讲 二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。
(完整版)二次函数与几何图形综合题
二次函数与几何图形综合题类型1二次函数与相似三角形的存在性问题1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P为线段BC上的一个动点，过P作PE垂直于x轴与抛物线交于点E，设P点横坐标为m，PE长度为y，请写出y与m的函数关系式，并求出PE的最大值；(3)D为抛物线上一动点，是否存在点D使以A、B、D为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与坐标轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当DE＝4时，求四边形CAEB的面积；(3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．3．(2015·襄阳)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD 于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型2 二次函数与平行四边形的存在性问题1．(2014·曲靖)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与坐标轴分别交于A (－3，0)，B (1，0)，C (0，3)三点，D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)F 是抛物线对称轴上一点，且tan ∠AFE ＝12，求点O 到直线AF 的距离； (3)点P 是x 轴上的一个动点，过P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ，F ，P ，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2．(2013·昆明)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2015·昆明西山区二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．类型3二次函数与直角三角形的存在性问题1．(2015·云南)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5.(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2015·自贡)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求线段BC所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．(2015·益阳)已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比．类型4 二次函数与等腰三角形的存在性问题1．(2015·黔东南)如图，已知二次函数y 1＝－x 2＋134x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A (4，0)，与y 轴的交点为B ，过A 、B 的直线为y 2＝kx ＋b .(1)求二次函数y 1的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y 1<y 2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，直线y＝kx－1与抛物线交于A，C两点，其中A(－1，0)，B(3，0)，点C的纵坐标为－3.(1)求k值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．3．(2015·昆明官渡区二模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交于x轴于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；(3)连接AC，在x轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形；若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型5二次函数与图形面积问题1．(2014·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？(3)当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求K点坐标．2．(2015·云南二模)如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＜0)与双曲线y ＝k x相交于点A 、B ，点A 的坐标为(－2，2)，点B 在第四象限内，过点B 作直线BC ∥x 轴，直线BC 与抛物线的另一交点为点C ，已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的4倍，记抛物线的顶点为E .(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ABC 与△ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8倍？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型6二次函数与最值问题1．(2015·昆明盘龙区一模)如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当a＝1时，求四边形MEFP的面积最大值，并求此时点P的坐标；(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．2．(2013·玉溪)如图，顶点为A的抛物线y＝a(x＋2)2－4交x轴于点B(1，0)，连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD.(1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)求点A，B所在的直线的解析式(关系式)；(3)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，四边形ABOP分别为平行四边形？(4)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接PQ.问：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．类型7二次函数与根的判别式问题1．(2015·衡阳)如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM.(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ABM的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型8二次函数与圆1．(2015·昆明盘龙区二模)如图，已知以E(3，0)为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于点A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，顶点为F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标；(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合)．试探究：①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．2．(2015·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A为OB的中点，以A 为顶点的抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴分别交于C、D两点，且CD＝4.点P为抛物线上的一个动点，以P 为圆心，PO为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；(3)判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．。
第22章二次函数 知识点过关练习题 二次函数与几何图形面积问题2021-2022人教九年级上册数学
人教版九年级上册数学《二次函数》知识点过关精准练（二次函数与几何图形面积问题）知识储备：1.对于二次函数y=-2x2+4x-5,当x=______时,y有最_______值,最_______值是_______.2.应用二次函数解决面积最值问题的步骤1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.2.找出等量关系,建立函数模型.3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,常采用配方法求出,或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值.知识点过关精准练一、选择题。
1.用长40 m的篱笆围成一个矩形菜园,则围成的菜园的最大面积为( )A.400 m2B.300 m2C.200 m2D.100 m22. 如图,小明想用长为12 m的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是( )A.16 m2B.18 m2C.20 m2D.24 m23.已知在直角三角形中两条直角边的和为18,则当三角形的面积最大时,其中一条直角边长为( )A.8B.9C.10D.124.如图所示,在矩形ABCD的各边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H(不与A,B,C,D各点重合),使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,那么四边形EFGH的最大面积是( )A.1 350B.1 300C.1 250D.1 2005. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为( )A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定6.如图,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm.点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s 的速度向点C运动,其中一个动点到达终点时则另一个动点也停止运动,则△APQ 的最大面积是( )A.0 cm2B.8 cm2C.16 cm2D.24 cm27. 用长为12 m的篱笆,一边利用足够长的墙围出一块苗圃.如图,围出的苗圃是五边形ABCDE,AE⊥AB,BC⊥AB,∠C=∠D=∠E.设CD=DE=x m,五边形ABCDE的面积为S m2.则S的最大值为 ( )A.12√3 m2B.12 m2C.24√3 m2D.没有最大值二、填空题。
二次函数与几何图形结合题及问题详解
1.如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标;（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45o∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45o过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴P E =3……………………………………………………………………………5分∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯=………………………………6分 2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由已知得：A （-1，0） B （4，5）…………………1分∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （-1，0）B(4,5)∴101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩…………………………………………………2分 解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分（2）如２６题图：∵直线AB 经过点A （-1，0） B(4,5)∴直线AB 的解析式为：y=x+1……………………………………4分∵二次函数223y x x =--∴设点E(t ， t+1),则F （t ，223t t --）………………………5分∴EF= 2(1)(23)t t t +---………………………………………6分 =2325()24t --+∴当32t =时，EF 的最大值=254∴点E 的坐标为（32，52）………………………………7分 （3）①如２６题图：顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形ＥＢＦＤ．可求出点F 的坐标（32，154-）,点D 的坐标为（1，-4） S EBFD 四边行 = S BEF V + S DEF V=12531253(4)(1)242242⨯-+⨯- =758 ………………………………………………10分 ②如２６题备用图：ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m ,223m m --)则有：25232m m --= 解得:1226m =－,2226m += ∴12265(,)2p －, 22265(,)2p + ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ，设3P （n ，223n n --）则有：215423n n --=- 解得：112n = ，232n =（与点F 重合，舍去） ∴3P 11524（，－） 综上所述：所有点P 的坐标：12265(,)2p －，22265(,)2p +3P （11524（，－）. 能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．…………………………………… 13分3.如图,已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （1，－2）.（1）求此函数的关系式；（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D.若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；（1）∵c bx x y ++=2的顶点为C （1，－2），∴2)1(2--=x y ，122--=x x y ． ……………2分（2）设直线PE 对应的函数关系式为b kx y +=由题意，四边形ACBD 是菱形.２６题备用图故直线PE 必过菱形ACBD 的对称中心M ． ………3分由P (0，－1)，M （1，0），得⎩⎨⎧=+-=01b k b ．从而1-=x y ， …5分设E (x ，1-x )，代入122--=x x y ，得1212--=-x x x ．解之得01=x ，32=x ，根据题意，得点E (3，2) …………………………………7分．4如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为Q （2，－1）∴设()122--=x ay 将C （0，3）代入上式，得()12032--=a1=a ∴()122--=x y ， 即342+-=x x y …（3分）（2）分两种情况：①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图)令y =0, 得0342=+-x x解之得11=x , 32=x∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P 1(1,0) （5分）②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图)∵OA=OC, ∠AOC=ο90, ∴∠OAD 2=ο45当∠D 2AP 2=ο90时, ∠OAP 2=ο45, ∴AO 平分∠D 2AP 2又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称设直线AC 的函数关系式为b kx y +=将A(3,0), C(0,3)代入上式得⎩⎨⎧=+=b b k 330, ∴⎩⎨⎧=-=31b k ∴3+-=x y ……………（7分） ∵D 2在3+-=x y 上, P 2在342+-=x x y 上,∴设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x )∴(3+-x )+(342+-x x )=0 0652=+-x x , ∴21=x , 32=x (舍)∴当x =2时, 342+-=x x y =32422+⨯-=－1 ∴P 2的坐标为P 2(2,－1)(即为抛物线顶点)∴P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,－1) …………………………………………………（9分）(3)解: 由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形……………………（10分）当点P 的坐标为P 2(2,－1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形∵P(2,－1), ∴可令F(x ,1)∴1342=+-x x 解之得: 221-=x , 222+=x ∴F 点有两点,即F 1(22-,1), F 2(22+,1) ……………（13分）3. （2011，25，10分）如图，抛物线212y x x a =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y =－2x 上.(1)求a 的值；(2)求A ,B 两点的坐标;(3)以AC ,CB 为一组邻边作□ABCD ,则点D 关于x 轴的对称点D ´是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。
专题：二次函数与几何图形综合——图形面积问题(后附答案)【精品】
专题二次函数与几何图形综合——图形面积问题类型1 已知三角形的面积，求点的坐标
1．如图所示，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A(－4，0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点P，满足S△AO P＝8，请求出点P的坐标．
2．如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于点A，B，交y轴于点C，P为抛物线上在第二象限内的一点．若△PAC的面积为3，求点P的坐标．
类型2 已知三角形面积之间的数量关系，求点的坐标
3．如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB＝5
4
S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型3 求三角形面积的最值
4．如图，直线l：y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4(a＜0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM，BM.设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值．。
北师版九年级数学下册作业课件 第二章 二次函数 专题训练(七) 二次函数与几何图形的综合
1 2
x－2＝－2，∴
16a－2＋c＝0， 点A(－4，0)，点C(0，－2)，∴ c＝－2，
解得 a＝14， c＝－2，
∴抛物线的表达
式为y＝14 x2＋12 x－2
(2)显然∠PMC≠90°，∴可分如下两种情况讨论：①当∠MPC＝90°时，PC∥x
轴，∴yP＝yC＝－2，即
1 4
xP2＋
1 2
xP－2＝－2时，解得xP＝－2或0(舍去)，∴此时点
解：(1)根据题意可知抛物线的表达式为 y＝－2 (x＋1)(x－5)，即 y＝－2 x2＋8 x＋10
9
999
(2) ∵y＝－2 x2＋8 x＋10 ＝－2 (x－2)2＋2，∴点 C(2，2)，可设点 P(2，m)，∴
9 99
9
易得直线 BP 的函数表达式为 y＝－13
mx
＋5 3
m.又∵CE⊥PB，∴易得直线 CE 的函数表达
【思路点拨】(2)先设出点D的坐标为(m，am2＋bm＋c)，则可用字母m表示出 点F的坐标，进而可用m表示出线段DF的长，再结合二次函数的性质即可求出线段 DF长度的最大值；(3)根据Rt△DFG中DF与DG的关系可表示出DG的长．
a－b＋c＝0， 16a＋4b＋c＝0
a＝－12， b＝32，
解：(1)根据题意，得 c＝2，
，解得 c＝2， ∴该抛物线的函数表达
式为 y＝－1 x2＋3 x＋2 22
(2)易得直线 BC 的函数表达式为 y＝－1 x＋2，设点 D(m，－1 m2＋3 m＋2)，
2
2
2
0<m<4，则点 F(m，－1 m＋2)，∴DF＝－1 m2＋3 m＋2－(－1 m＋2)＝－1 m2＋
二次函数与几何图形综合(压轴题)-含答案
二次函数与几何图形综合题类型一 线段数量关系/最值问题1. (2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点．①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．第1题图2. 如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，c )． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上的动点，设点P 的横坐标为n ，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，交x 轴于点M .①当点P 在线段AB 上运动时(点P 不与点A ，B 重合)，是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；②点P 在直线AB 上自由移动，当点C 、P 、M 中恰有一点是其他两点所连线段的中点时，请直接写出n 的值．第2题图类型二面积数量关系/最值问题1. (2019成华区一诊)如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(－4，0)，且经过点B(4，8)．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y＝kx＋4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，当1x2－1x1＝22时，求k的值；(3)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC、OP，当S△POC∶S△BOC＝1∶2时，求点P的坐标．第1题图2. (2019武侯区一诊)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx ＋3与抛物线交于点A (9，－6)，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D 是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD 的面积为812，求点D 的坐标； (3)在y 轴上是否存在一点P ，使∠APC ＝45°？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数与几何综合(习题及部分答案)
二次函数与几何综合（习题）➢例题示范例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，且OA=OC，连接AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．yA OB xC第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，可以求解A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)可知A(-3，0)，B(1，0)，∵OA=OC，∴C(0，-3)，将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，解得，a=1，∴y=x2+2x-3．1第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S△ACP的最大值，分析A，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即-3＜x P＜0；（2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S△ACP．第三问：平行四边形的存在性【思路分析】分析不变特征：以A，B，E，F 为顶点的四边形中，A，B 为定点，E，F 为动点，定点A，B 连接成为定线段AB．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB 既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定EF 和AB 之间应满足的条yA Q OB xPC23件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB 作为边时，依据平行四边形的判定，需满足 EF ∥AB 且 EF =AB ，要找 EF ，可借助平移．点 E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段 AB 拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点 E 在对称轴上，来找抛物线上的点 F ．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上 E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上 F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足 AB ， EF 互相平分，先找到定线段 AB 的中点，在旋转过程中找到 EF 恰好被 AB 中点平分的位置，因为 E 和 AB 中点都在抛物线对称轴上，说明 EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为 F 点坐标．画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形． 【过程示范】（3）①当 AB 为边时，AB ∥EF 且 AB =EF ， 如图所示，设 E 点坐标为(-1，m )， 当四边形是□ABFE 时，由 A (-3，0)，B (1，0)可知，F 1(3，m )， 代入抛物线解析式，可得，m =12， ∴F 1(3，12)；当四边形是□ABEF 时，由 A (-3，0)，B (1，0)可知，F 2(-5，m )， 代入抛物线解析式，可得，m =12， ∴F 2(-5，12)．②当 AB 为对角线时，AB 与 EF 互相平分， AB 的中点 D (-1，0)，设 E (-1，m )，则 F (-1，-m )， 代入抛物线解析式，可得，m =4， ∴F 3(-1，-4)．综上：F 1(3，12)，F 2(-5，12)，F 3(-1，-4)．结果验证：➢巩固练习1.如图，直线y =-1x 与抛物线y =-1x2 + 6 交于A，B 两点，2 4C 是抛物线的顶点．（1）在直线AB 上方的抛物线上有一动点P，当△ABP 的面积最大时，点P 的坐标为．（2）若点M 在抛物线上，且以点M，A，B 以及另一点N 为顶点的平行四边形ABNM 的面积为240，则M，N 两点的坐标为．yCBO xAyCBO xA42.已知抛物线y=-mx2+4x+2m 与x 轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且1+1=-2 ．抛物线的对称轴为直线l，与y 轴的交点为点αβC，顶点为点D，点C 关于l 的对称点为点E．（1）抛物线的解析式为．（2）连接CD，在直线CD 下方的抛物线上有一动点G，当S△CDG=3，点G 的坐标为．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，点Q 的坐标为．53.已知抛物线y=ax2-4ax+b 的对称轴为直线x=2，顶点为P，与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q，使△BCQ 与△BCP 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E 是抛物线上一动点，点F 是x 轴上一动点，是否存在以B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．64.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y=ax2-ax-b 与y 轴交于点D，且经过点C，连接AD，可得AB=AD．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点P 是抛物线上一动点，点Q 是抛物线对称轴l 上一动点，是否存在点P，使以P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．75．如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO＝∠OED，求点D的坐标；（3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．6．已知关于二次函数y＝x2﹣（4k+2）x+4k2+3k的图象与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）若二次函数与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0），并满足（a﹣b）2＝2，求k的值，并写出二次函数的表达式；（3）如图所示，由（2）所得的抛物线与一次函数y＝﹣3x +的图象相交于点C、点D，求三角形CDP的面积．7．如图1，二次函数y＝a（x2﹣x﹣6）（a≠0）的图象过点C（1，﹣），与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴上），且A，C两点关于正比例函数y＝kx（k≠0）的图8象对称．（1）求二次函数与正比例函数的解析式；（2）如图2，过点B作BD⊥x轴交正比例函数图象于点D，连接AC，交正比例函数的图象于点E，连接AD，CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连接PQ，QE，PE，设运动时间为t秒，是否存在某一刻，使PE，QE分别平分∠APQ和∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE＝∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．9．小明在学习时遇到这样一个问题：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，9b，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函2数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；（3）已知函数y ＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函1数y ＝﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C （0，4）（1）求抛物线的解析式．（2）点P为抛物线上一动点，满足S△PBC ＝S△ABC，求P点的坐标．（3）点D为抛物线对称轴上一点，若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标n的取值范围．1012．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x ＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（4）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．13．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为．（2）如图1，点P为直线y＝﹣2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y＝3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，11①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y＝ax2+2ax﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a 的取值范围．14．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（n，1）（n＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、A′、C′三点．（1）求此抛物线的解析式（a、b、c可用含n的式子表示）；（2）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点D （x1，y1）、E（x2、y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点D和E 的坐标；（3）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q 关于直线CM对称，连接MQ′、PQ′，当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的时，求平行四边形APQM的面积．1215．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x2﹣x﹣2分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D．（1）判定△ABC的形状；（2）在线段BC下方的抛物线上有一点P，当△BCP面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值；（3）如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤90°），∠DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当△KET为等腰三角形时，求此时KT的值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一13点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；（3）在（2）中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM 平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B 1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】1415。
2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
中考数学复习专题十一 二次函数与几何图形综合题
【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得 P1C 和 P2A 的解析式是解答问题(2) 的关键，求得点 P 的纵坐标是解答问题(3)的关键．
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[对应训练] 1．(2016·遵义)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(－8，3)，B(－
4，• 0单)，•击C第(此－二4处级，3编)，辑∠A母BC版＝文α°本.抛样物式线 y＝12x2＋bx＋c 经过点 C，且对称轴为 x＝－45，并与
证：PH＝GH.
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•
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• 第二级
12×（－4）2－4b＋c＝3，
解：(1)根• 第据•三题第级意四• 得级第：五级－2×b 12＝－45，
解得
b＝45， c＝－95，∴抛物线的解析式为：y
Hale Waihona Puke ＝12x2＋45x－95，点 G(0，－95)
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标为(－2，5)．综• 第上五所级述，P 的坐标是(1，－4)或(－2，5)
单击此处编辑母版标题样式 (3)如图 2 所示：连接 OD.由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD＝EF.根据垂线
段最短，可得当 OD⊥AC 时，OD 最短，即 EF 最短．由(1)可知，在 Rt△AOC 中，∵OC
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• 单三击个此步处骤 编辑母版文本样式
•解第二二次级函数与几何图形综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻
译并转化• 为第显三性级条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于 联想和转化，• 将第四以级上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的
人教版九年级数学上册作业课件 第二十二章 二次函数 专题训练(五) 二次函数与几何图形综合
(3)如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可 得N(－2，－3)或N′(0，－3)，当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝ 2时，y＝4＋4－3＝5，∴N″(2，5).综上所述，满足条件的点N的坐标为 (－2，－3)或(0，－3)或(2，5)
＋2x－3＝0，解得 x＝－3 或 1，∴A(－3，0)
(2)如图 1 中连接 AD，CD.∵点 D 到直线 AC 的距离取得最大，∴此 时△DAC 的面积最大，设直线 AC 解析式为：y＝kx＋b，∵点 A(－3，0)， C(0，－3)， ∴b－＝3－k＋3，b＝0， 解得kb＝＝－－13，，
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x－3，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于点 G，设点 D 的坐标为(x，x2＋2x－3)，则 G(x，－x－3)，∵点 D 在第三象限，∴DG＝－x －3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，∴S△ACD＝12 DG·OA＝12 (－x2－3x)×3＝－32 x2 －92 x＝－32 (x＋32 )2＋287 ，∴当 x＝－32 时，S 最大＝287 ，此时点 D(－32 ，－145 )， ∴点 D 到直线 AC 的距离取得最大时，D(－32 ，－145 )
(1)若点 A 的横坐标为 8. ①用含 m 的代数式表示 M 的坐标； ②点 P 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 m 的值；若不能，请 说明理由． (2)当 m＝2 时，若点 P 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满 足条件的所有直线 OA 的函数解析式．
解：(1)①∵点 A 在 y＝14 x2 的图象上，横坐标为 8，∴A(8，16)，∴ 直线 OA 的解析式为 y＝2x，∵点 M 的纵坐标为 m，∴M(12 m，m)
3．(2020·武汉)将抛物线 C：y＝(x－2)2 向下平移 6 个单位长度得到抛物 线 C1，再将抛物线 C1 向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2.
二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练
二次函数与几何图形的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题【题型二】 二次函数与角度数量关系问题【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题【题型四】 二次函数与特殊三角形问题【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题【题型七】 二次函数与代数或几何综合问题二、最新模考题组练1.热点题型归纳题型一：二次函数与图像面积的数量关系及最值问题1【典例分析】1如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0两点，点C为二次函数的图象与y轴，B1,0的交点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为二次函数图象上的一点，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．2【提分秘籍】对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.3【变式演练】1如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．(1)求抛物线的函数关系式．(2)设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．题型二：二次函数与角度数量关系问题1【典例分析】1如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点(与点B、C不重合)，作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请求出点Q的坐标．2【提分秘籍】探究两个角相等的方法：①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.3【变式演练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c过点A-2,0,B4,0，x轴上有一动点P t,0，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接CE．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段OB上运动时(不与点O，B重合)当△CDE∽△BDP时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使∠DCE=∠DEC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(5,0)两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)设P为x轴下方抛物线上一点，M为对称轴上一点，N为该抛物线对称轴与x轴交点，若∠MNP=∠OCA，求点P的坐标．题型三：二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题1【典例分析】1如图，已知经过A1,0两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．，B4,0(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若线段BC上有一动点M(不与B、C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．求当线段MN的长度最大时点M的坐标；2【提分秘籍】探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax2+bx+c上点的坐标为(x，ax2+bx+c)；双曲线y=k x上的点的坐标为y=x，k x③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=(x-m)2+(y-n)2。
初三数学家庭作业 二次函数和几何图形相结合
初三数学家庭作业6.3 二次函数与几何图形相结合一、知识要点1、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是＿＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿＿（1）当a ＞0时，抛物线开口＿＿＿＿＿＿当x ＿＿＿＿＿＿时，y 随x 的增大而增大当x ＿＿＿＿＿＿时，y 随x 的增大而减小当x ＿＿＿＿＿＿时，y 有最＿＿＿＿值为＿＿＿＿＿（2）当a ＜0时，抛物线开口＿＿＿＿＿＿当x ＿＿＿＿＿＿时，y 随x 的增大而增大当x ＿＿＿＿＿＿时，y 随x 的增大而减小当x ＿＿＿＿＿＿时，y 有最＿＿＿＿值为＿＿＿＿＿2、二次函数的关系式有以下几种形式：（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）（2）顶点式：y ＝a （x －h ）2＋k （a ≠0，h 、k 为常数）（3）交点式y ＝a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标.二、基础训练1、已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 2的对称轴和x 轴相交于点（m ，0），则m 的值为＿＿＿2、已知抛物线y ＝x 2＋（m －1）x ＋（m －2）与x 轴相交于A 、B 两点，且线段AB ＝2，则m 的值为＿＿＿＿＿＿3、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过A （－2，0），B （0，－4），C （2，－4）三点，且与x 轴的另一个交点为E.（1）求抛物线的关系式；（2）用配方法求抛物线的顶点D 的坐标和对称轴；（3）求四边形ABDE 的面积.4、如图，已知反比例函数xk y 1=的图象与一次函数b x k y +=2的图象交于A 、B 两点，)2,1(),,2(--B n A ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)在直线AB 上是否存在一点P ，使APO ∆∽AOB ∆，若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．5、已知抛物线22y ax x c =-+与它的对称轴相交于点(14)A -，，与y 轴交于C ，与x 轴正半轴交于B ．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线AC 交x 轴于D P ，是线段AD 上一动点（P 点异于A D ，），过P 作PE x ∥轴交直线AB 于E ，过E 作EF x ⊥轴于F ，求当四边形OPEF 的面积等于72时点P 的坐标．图1三、能力提升如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒（0≤x ≤8），△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米． ⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长； ⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6），过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ．①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．。
题型五二次函数和几何图形综合题
目录题型五二次函数与几何图形综合题 (2)类型一与特殊三角形形状有关 (2)类型二与特殊四边形形状有关 (8)类型三与三角形相似有关 (19)类型四与图形面积函数关系式、最值有关 (24)类型五与线段、周长最值有关 (30)题型五二次函数与几何图形综合题类型一与特殊三角形形状有关针对演练1. (’16原创)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为（0,3），与x轴交于点A、B，顶点为D.（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B、D的坐标，并确定四边形ABDC的面积；（3）点P是x轴上的动点，连接CP，若△CBP是等腰三角形，求点P的坐标.2. （’15长沙模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点M（），顶点为N（），与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C. （1）求抛物线解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点Q是抛物线对称轴上一点，当△QBC是直角三角形时，求点Q的坐标.3. （’16原创）如图，抛物线y = -12x2+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1,0），C（0,2）.（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.4. 如图，已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),顶点为P.①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.答案1. 解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 的对称轴为112bx =-=-⨯， 解得b =2，∵抛物线过点C （0,3），∴c =3， ∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；（2）由抛物线y =-x 2+2x +3，令y =0得，-x 2+2x +3=0， 解得x 1=-1,x 2=3，∴点A （-1,0），点B （3,0）， 当x =1时，y =-12+2+3=4,∴点D 的坐标为（1,4）.如解图，过D 作DM ⊥AB 于M ，则OM =1，DM =4， ∴S 四边形ABDC =S △AOC +S 四边形OMDC +S △BMD=12AO ·OC +12（OC +MD ）·OM +12BM ·DM =12×1×3+12×（3+4）×1+12×4×2 =9.（3）设点P 的坐标为（t ,0），则PC 2=t 2+32，PB 2=(3-t )2， ∴BC 2=32+32=18， 若△PBC 是等腰三角形，则有①PC 2=PB 2，即t 2+9=(3-t )2，解得t =0，此时点P 的坐标为（0,0）； ②PC 2=BC 2，则t 2+9=18，解得t =3（舍）或t =-3，此时点P 的坐标为（-3,0）；③PB 2=BC 2则(3-t )2=18，解得t =3+t =3-此时点P 的坐标为（3+）或（3-）.2. 解：（1）由抛物线的顶点为N （-1,），故设抛物线的顶点式为y =a (x +1)2，将点M （a ×(-2+1)2=3，解得a =3-,∴抛物线的解析式为y = -3 (x +1)2+3.即y =3-x 23-x（2）对于抛物线y =-2-y = 0,得2-x ， 解得x 1=1,x 2=-3，∴点A （1,0），点B （-3,0），令抛物线x =0,得y ，∴点C 的坐标为（）.∴AB 2=42=16,AC 2=12)2=4,BC 2=32)2=12, ∴AB 2=AC 2+BC 2, ∴△ABC 是直角三角形.(3)由抛物线顶点N （）知抛物线的对称轴为x =-1，设点Q 的坐标为（-1,t ），则BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t2=t 2-+4，BC 2=12. 要使△BQC 是直角三角形，(ⅰ) 当∠BQC ＝90°，则BQ 2+QC 2=BC 2, 即4+t 2+t 2-+4=12， 解得t 1,t 2Q 的坐标为（-1-1，2-2）；（ⅱ）当∠QBC ＝90°，则BQ 2+BC 2=QC 2，即4+t 2+12=t 2-+4，解得t=-Q 的坐标为（-1，-； （ⅲ）当∠BCQ = 90°时，则QC 2+BC 2=BQ 2，即t 2-+4+12=4+t 2，解得t=Q 的坐标为（-1, . 综上，当△QBC 是直角三角形时，点Q 坐标为（-1，2），（-1，± 3. 解：（1）∵点A （-1,0），C （0,2）在抛物线上，∴1022m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，解得322m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为y =-12x 2+32x +2； （2）△ACD 是等腰三角形. 理由：∵抛物线y =-12x 2+32x +2的对称轴为直线x =32， ∴点D （32,0）， ∵A （-1,0），C （0,2），∴AC ，AD =1+32=52,CD 52=，∴AD =CD ≠AC ，∴△ACD 是等腰三角形； （3）令抛物线y =-12x 2+32x +2=0，得x 1=-1,x 2=4,∴点B 的坐标为（4,0），则BC = 取BC 的中点为S ，则点S 的坐标为（2,1）； 设点P （32,t ），则PS =12BC (2-32)2+(t -1)2=5，解得t 1t 2∴存在这样的点P ，其坐标为（32）或（32，.4. 解：（1）当y =0时，x 2-4x +3=0， ∴x 1=1，x 2=3， 即：A (1，0),B (3，0);（2） ①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：（Ⅰ）对称轴都为直线x =2或顶点的横坐标都为2； （Ⅱ）都经过A (1，0),B (3，0)两点； ②存在实数k ，使△ABP 为等边三角形. ∵y =kx 2-4kx +3k =k （x -2）2-k , ∴顶点P （2，-k ）.∵A (1，0)，B (3，0)，∴AB = 2，要使△ABP 为等边三角形，必满足|-k |=3，∴k =±3；③线段EF的长度不会发生变化.∵直线y=8k与抛物线L2交于点E、F两点，∴kx2-4kx+3k=8k,∵k≠0,∴x2-4x+3=8,∴x1=-1，x2=5，∴EF =x2-x1=6，∴线段EF的长度不会发生变化且EF＝6.类型二与特殊四边形形状有关针对演练1. 抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，点D在x轴的正半轴. （1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由.2. 如图，已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点D在第二象限，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使AC =2BC，连接OA，OB，BD和AD.（1）若点A 的坐标为（-4,4），求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求直线BD 的解析式；（3）是否存在b 、c 使得四边形AOBD 是矩形，若存在，直接写出b 与c 的关系式；若不存在，说明理由.3. 如图，已知直线y =43-x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 是线段AB的中点，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)过O 、A 两点，且其顶点的纵坐标为43-.(1)分别写出A 、B 、C 三点的坐标； (2)求抛物线的函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4. （’15毕节16分）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M′.第4题图 （1）求抛物线的解析式;（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积;（3）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式;若不存在，请说明理由.5. (’15黄冈14分)如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA 所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.（1）求OE的长；（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，DP =DQ；（4）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.答案1. 解:（1）把A (0,2),B (3,2)代入y =x 2+bx +c ,得2932c b c =⎧⎨++=⎩，解得32b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y =x 2-3x +2, 当y =0时，x 2-3x +2=0，解得x 1=1，x 2=2， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)、(2,0). （2）存在.理由：∵A (0，2)，B (3，2)， ∴AB ∥x 轴，且AB =3,要使A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形， 则只要CD =AB =3.①当C 点坐标为（1，0）时，D 坐标为（4，0）； ②当C 点坐标为（2，0）时，D 坐标为（5，0）.∴存在点D ，使以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，D 点的坐标为（4，0）或（5，0）.2. 解：（1）∵CA ∥x 轴，点A 的坐标为（-4,4）， ∴点C 的坐标为（0,4）， 将点A 与点C 代入y =-x 2+bx +c 得16444b c c --+=⎧⎨=⎩，解得44b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y =-x 2-4x +4； （2）∵AC =2BC ，∴BC =2， ∴点B 的坐标为（2,4），由抛物线y =-x 2-4x +4得顶点D 的坐标为（-2,8）， 设直线BD 的解析式为y =kx +m ，则2824k m k m -+=⎧⎨+=⎩，解得16k m =-⎧⎨=⎩，∴直线BD 的解析式为y =-x +6.（3）存在，b 与c 的关系式为b c .【解法提示】∵点C 的坐标为（0，c ），抛物线的对称轴为x =2b＜0，即b ＜0，AC ∥x 轴，∴点A 的坐标为（b ,c ），∵AC =2BC ，∴点B 的坐标为（-2b,c ）， 则AB 的中点坐标为（4b,c ）， 若四边形AOBD 是矩形， 则需①OD 的中点坐标为（4b,c ）；②OD =AB ， 由①得点D 的坐标为（4b,2c ）， 由②得(32b )2=(4b )2+(2c )2，整理得2c 2=b 2，∵c ＞0，b ＜0, ∴bc .3. 解：（1）令y =0，即-43x +8=0，得x =6,∴A 点坐标为（6，0）， 令x =0,则y =8，∴B 点坐标为（0，8）， ∴C 点坐标为（3，4）.（2）∵点C 在抛物线的对称轴上， ∴抛物线顶点坐标为（3，-43）. 依题意有036604933c a b c a b c ⎧=⎪⎪++=⎨⎪++=-⎪⎩,解得427890a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩,∴抛物线的函数解析式为248279y x x =-； （3）存在.∵∠AOB ＝90°，A （6，0）、B （0，8），∴10AB ===, ∵C 是AB 的中点，∴OC =12AB =BC =5, ∵OB =8,∴OB ＞OC ，且OB ＞BC ，∴当以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形时，OB 是菱形的对角线， 连接PC ，则OB 是PC 的垂直平分线， ∴点P 与点C 关于y 轴对称， ∵C （3，4）， ∴P （-3，4），把点P （-3，4）代入抛物线解析式248279y x x =-得： 当x ＝-3时，y ＝427×（-3）2-89×（-3）＝4， ∴点P （-3，4）在抛物线上.故在抛物线上存在点P ，使以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形，且点P 的坐标是（-3，4）.4. 解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （-1,0），B (3,0),∴抛物线的解析式为y ＝（x +1）(x -3)＝x 2-2x -3；……………………（4分） （2）∵抛物线y ＝x 2-2x -3=(x -1)2-4， ∴点M 的坐标为（1,-4）. ∵点M 与点M′关于x 轴对称，∴点M′的坐标为（1,4），…………………………………………………（6分） 设直线AM′的解析式为y =kx +m ， 将点A （-1,0），点M′(1，4)代入得，4k m k m -+=⎧⎨+=⎩，解得22k m =⎧⎨=⎩，∴直线AM′的解析式为y ＝2x +2，…………………………………………（8分） 将直线AM′与抛物线y ＝x 2-2x -3联立得22223y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，22512x y =⎧⎨=⎩ ∴点C 的坐标为（5,12），……………………………………………………（10分） 又∵AB =3-（-1）＝4， ∴S △CAB =12×4×12＝24. ……………………………………………………（12分） （3）∵四边形APBQ 是正方形， ∴PQ 垂直且平分AB ，且PQ =AB ， 设PQ 与x 轴交点为N ，则PN =12AB ＝2, ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴点P 的坐标为（1,2）或（1，-2）. …………………………………（13分） 设过A 、B 两点的抛物线的解析式为y =a (x +1)(x -3)，将点（1,2）代入得a =-12， 此时抛物线解析式为y =-12 (x +1)(x -3)=- 12x 2+x +32；………………（15分）将点（1，-2）代入得a =12，此时抛物线解析式为2113(1)(3)222y x x x x =+-=--.……………………（16分）5. 解:(1)∵四边形OABC 为矩形， ∴BC ＝OA ＝5，OC ＝AB ＝4，∠COA ＝90°，又∵△CED 是△BCD 沿直线CD 折叠得到的，点B 的对应点为点E ， ∴CE ＝BC ＝5，在Rt△COE 中，OE 2＝CE 2-OC 2， ∴OE∴OE＝3. ………………………………………………………………………(2分) （2）设AD =m,则DE=BD=4-m.∵OE＝3，∴AE＝OA-OE＝5-3＝2.在Rt△ADE中，AD2+AE 2=DE 2,即m 2+22=(4-m)2,∴m＝32，∴D（-32，-5）. ………………………………………………………………（4分）又∵C（-4，0），O（0，0），∴设过O，D，C三点的抛物线的解析式为y=ax(x+4)，∴-5＝-32a·（-32+4），∴a＝43，∴经过O，D，C三点的抛物线的解析式为y=43x2+163x. …………………（6分）（3）①由于运动时间为t秒，则EQ＝t，CP＝2t，如解图①，∵△BCD沿直线CD折叠得到△ECD, ∴BD＝DE,若DP＝DQ，则Rt△P BD≌Rt△QED（HL）,∴PB＝QE,即CB-CP＝EQ.∴5-2t＝t,解得t＝53 .………………………………………………………………………(8分)（4）（ⅰ）如解图②，当M 点在对称轴右侧，即为M1点，M 1N ∥CE 且M 1N =CE 时，四边形ECNM 1为平行四边形，过M 1作M 1F 垂直对称轴于点F ，则△M 1FN ≌△COE ， ∴FM 1＝OC ，∵对称轴为直线x ＝-2， ∴此时，点M 1的横坐标为2， 对于y =43x 2+163x ，当 x ＝2时，y =16， ∴点M 1的坐标为（2，16）. ………………………………………………(10分) (ⅱ)如解图③，当M 点在对称轴左侧，即为M2，M 2N ∥CE 且M 2N =CE 时，四边形ECM 2N 为平行四边形，过M 2作 M 2F 垂直对称轴于点F ，则△M 2FN ≌△COE ， ∴FM 2＝OC ，∵对称轴直线x ＝-2， ∴此时，点M 2的横坐标为-6. 对于y =43x 2+163x ，当x ＝-6时，y =16， ∴点M 2的坐标为（-6，16）. ………………………………………………(12分) （ⅲ）如解图④，当M 点在抛物线的顶点上，即为点M 3，CN ∥ M 3E 且CN = M 3E 时,四边形EM 3CN 为平行四边形,CE 与NM 3相交于点O′，则O′为线段CE 的中点， 又∵点M 3在对称轴上，则M 3的横坐标为-2，对于y =43x 2+163x ，当 x ＝-2时，y =-163， ∴点M 3的坐标为（-2，-163 ）.综上所述，当点M 的坐标为（2，16）、（-6，16）、（-2，-163）时，以M ,N ,C ,E为顶点的四边形为平行四边形. ……………………………………………(14分)类型三与三角形相似有关针对演练1. （’15黔南州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-16x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y 轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b、c的值；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由.2. （’15常德模拟）已知抛物线y =ax2-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x =1，顶点为E，直线y =-13x+1交y轴于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△BCE∽△BOD；（3）点P是抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？答案解：（1）由抛物线y =-16x 2+bx +c 过点A （0，4）和C （8，0）可得， ∴4164806c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩,解得564b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故b 的值为56，c 的值为4；………………………………………………（3分） （2）∵∠AOP ＝∠PEB ＝90°，∠OAP ＝∠EPB ＝90°-∠APO ，∴△AOP ∽△PEB ，则2OA AP PE PB==, ∵AO =4,P （t ,0）,∴PE =2,OE =OP +PE = t +2,又∵DE =OA =4,∴点D 的坐标为（t +2,4）, ∴点D 落在抛物线上时，有-16(t +2)2+56(t +2)+4=4, 解得t =3或t =-2,∵t ＞0,∴t =3.故当t 为3时，点D 落在抛物线上；…………………………………………（6分）（3）存在，理由：由（2）知△AOP ∽△PEB ， 则2OP AP BE PB==，∵P (t ,0),即OP ＝t .∴BE ＝2t . ①当0＜t ＜8时，若△POA ∽△ADB ，则OP AO AD BD =， 即41242t t t =+-, 整理得t 2+16=0,∴t 无解；若△POA ∽△BDA ，则PO AO BD AD =,即41242t t t =+-， 解得t 1= -2+t 2= -2-舍去)；②当t ＞8时，如解图.若△POA ∽△ADB ，则PO AO AD BD =， 即41242t t t =+-, 解得t 1= 8+t 2= 8-负值舍去)；若△POA ∽△BDA ，同理可得t 无解.综上可知，当t=-2+8+A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似. …………………………………………………………………………（12分） 2. 解：（1）由抛物线y =ax 2-2x +c 得，对称轴2122b x a a-=-=-=,∴a =1， 将点A （-1，0）及a ＝1，代入y =ax 2-2x +c 中，得1+2+c =0，c =-3，∴抛物线的解析式：y =x 2-2x -3；（2）由抛物线的解析式y =x 2-2x -3=(x -1)2-4 =(x +1)(x -3),得点C （0，-3）、B （3，0）、E （1，-4）.易知点D （0，1），则有：OD ＝1，OB ＝3，BDCE，BC＝BE＝ ∴OD OB BD CE BC BE==， ∴△BCE ∽△BOD ；（3）S △BOE =12×BO ×|y E |=12×3×4＝6， ∴S △BDP ＝12×BD ×h =S △BOE ＝6，即h, 在y 轴上取点M ，过点M 作MN 1⊥BD 于N 1，使得MN 1=h, 在Rt△MN 1D 中，sin∠MDN 1＝sin∠BDO＝OB BD =， 且MN 1则MD ＝11sin MN MDN ∠=4; ∴点M （0，-3）或（0，5）.过点M 作直线l ⊥MN 2，如解图，则直线l :y =-13x -3或y =-13x +5. 联立抛物线的解析式有：213323y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩或215323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩ , 解得：1103x y =⎧⎨=-⎩,2235329x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3356x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,4456x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴当点P 的坐标为（0，-3），（53，329-），），，）时，△BDP的面积等于△BOE的面积.类型四与图形面积函数关系式、最值有关针对演练1.（’15安顺26题14分）如图，抛物线y=ax2+bx+52与直线AB交于点A(-1,0),B(4,52).点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点（不与点A,B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD,BD.(1)求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标.2. （’15岳阳模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．3. （’15永州模拟）如图，已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为x=0，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB．（1）求证：mn=-6；（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB 交y 轴于点F ，过点F 作直线l 交抛物线于P ，Q 两点，问是否存在直线l ，使S △POF ∶S △QOF =1∶3？若存在，求出直线l 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由.答案1.解：（1）由题意得5025516422a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，……………………………………（2分） 解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，…………………………………………………………………（4分）∴215222y x x =-++.…………………………………………………………（6分） (2)设直线AB 为y kx b =+，则有0542k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，……………………………………………………………………（7分） ∴直线AB 的解析式为1122y x =+.…………………………………………（8分） 则21511(,2),(,)2222D m m m C m m -+++，…………………………………（9分）21511(2)()2222CD m m m =-++-+ 213222m m =-++.………………………………………………………（10分） ∴11(1)(4)22ACD BCD S S S m CD m CD =+=+⋅+-⋅△△ 21521135(2)222CD m m =⨯⨯=⨯⨯-++ 2515544m m =-++. …………………………………………………（11分） ∵54-＜0, ∴抛物线开口向下故当m ＝32时，S 有最大值. ………………………………………………（12分） 当m ＝32时，111315222224m +=⨯+=, ∴点C （32，54）. 当S 取最大值时的点C 坐标为（32，54）.…………………………………（14分） 2. 解：（1）将A （1，0），B （-3，0）代入y =-x 2+bx +c 中，得10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩,∴23b c =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线解析式为:y =-x 2-2x +3；（2）存在.理由如下：由题意知A 、B 两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，∴直线BC 与x =-1的交点即为Q 点，此时△AQC 的周长最小，∵y ＝-x 2-2x +3,∴C 的坐标为（0，3），∴直线BC 的解析式为y =x +3.将x =-1代入y =x +3中，解得y =2,∴Q (-1,2).（3）存在.理由如下：∵B (-3,0),C (0,3)，∴水平宽a =x C -x B =0-(-3)=3.设点P （x ,-x 2-2x +3）(-3<x <0)，过P 点作PE ⊥x 轴交x 轴于点E ，交BC 于点F ，则F 点坐标为（x ，x +3）， ∴铅垂高h=y P -y F ＝-x 2-2x +3-(x +3)=-x 2-3x ，∴S =12ah = 32(-x 2-3x )=- 32(x 2+3x +94-94) =-32（x +32）2+278， ∴当x =-32时，△BPC 的面积最大，最大为278， 当x =-32时，-x 2-2x +3 =154, ∴点P 的坐标为（-32，154）. 3. （1）证明：作BC ⊥x 轴于点C ，AD ⊥x 轴于点D ，∵A ，B 点坐标分别为（m ,6）,(n ,1),∴BC =1,OC =-n ,OD =m ,AD =6,又OA ⊥OB ，易证△CBO ∽△DOA ， ∴CB CO DO DA=, ∴16n m -=， ∴mn =-6.（2）解：由（1）知，△CBO ∽△DOA ， ∴1OB BC OA OD m==,即OA ＝m BO ， 又∵S △AOB ＝10， ∴32OB ·OA ＝10，即OB ·OA ＝20， ∴mBO 2=20,又OB 2=BC 2+OC 2=n 2+1,∴m (n 2+1)=20,又∵mn =-6,∴m =2,n =-3,∴A 坐标为（2，6），B 坐标为（-3，1），易得抛物线解析式为y =-x 2+10.(3)解：存在.理由如下：直线AB 的解析式为y =x +4，且与y 轴交于点F （0，4），∴OF ＝4，假设存在直线l 交抛物线于P ，Q 两点，使S △POF ∶S △QOF =1∶3,如解图所示，则有PF ∶FQ =1∶3，作PM ⊥y 轴于点M ，QN ⊥ y 轴于点N ，设P 坐标为（x ,-x 2+10），∴PM ＝-x ,OM ＝-x 2+10，则FM =OM -OF =(-x 2+10)-4=-x 2+6,易证△PMF ∽△QNF , ∴13PM MF PF QN FN QF ===, ∴QN ＝3PM =-3x ,NF =3MF =-3x 2+18,∴ON =NF –OF =-3x 2+18-4=-3x 2+14,∴Q点坐标为（-3x,3x2-14）,∵Q点在抛物线y=-x2+10上，∴3x2-14=-9x2+10,解得：x1x2∴P 1,8）,Q 1P 2,8),Q 2∴易得直线PQ的函数关系式为y x+4或y x+4.类型五与线段、周长最值有关针对演练1. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于O、B两点,其中O为原点,且OB=6,抛物线的顶点为A,若点M(1,209)是抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式;(2)若N为抛物线对称轴上一个动点,当NO +NM的值最小时,求点N的坐标.2. （’15枣庄10分）如图，直线y ＝x +2与抛物线y ＝ax 2+bx +6（a ≠0）相交于A （12，52）和B （4，m ）两点，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C . （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△PAC 为直角三角形时，求点P 的坐标.3. （’15沈阳14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D . (1)填空：点A 的坐标为(___，___)，点B 的坐标为(___，___),点C 的坐标为(___，___)，点D 的坐标为(___，___);(2)点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合).①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE =PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合)，点R是线段AC上的动点(点R不与点A、C重合)，请直接写出△PQR周长的最小值.温馨提示：可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.答案解：(1)由对称性得抛物线与x轴的交点为O(0，0)，B(6，0)，设抛物线的解析式为y=a(x-0)(x-6)，∵M(1，209)是抛物线上一点，∴209=a ×1×(-5)，∴a =-49， ∴抛物线的解析式为y =-49x 2+83x .(2)抛物线对称轴为：x =3，∵点O 、B 关于对称轴对称， ∴连接MB 交对称轴于N ，如解图，这时NO +NM 的值最小. 设MB 的解析式为：y =k 1x +b 1， 将B （6，0），M (1，209)代入MB 的解析式中， 得11110620=9k b k b =+⎧⎪⎨+⎪⎩，解得114-983k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，易得直线MB 的解析式为48-93y x =+，当x =3时，y =43，∴N (3，43).2.解：（1）∵B (4,m )在直线y =x +2上， ∴m =4+2=6, ∴B (4,6)， ∵点A (12,52),B (4,6)在抛物线y =ax 2+bx +6上， ∴22115()62224466b a b ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，解得28a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为y =2x 2-8x +6. …………………………………………（3分） (2）设动点P 的坐标为（n ,n +2），则点C 的坐标为(n ，2n 2-8n +6)， ∴PC =(n +2)-(2n 2-8n +6)=-2n 2+9n -4=-2(n -94)2+498. ∴当n =94时，线段PC 取得最大值498. ∴存在这样的点P ,使线段PC 的长有最大值，PC 最大值为498.……………（6分） (3)如解图①，显然，∠APC ≠90°，当∠PAC =90°时，直线AB 的解析式为y =x +2， 设直线AC 的解析式为y =-x +b , 把A (12，52)代入得52＝-12+b ，解得b =3. ∴直线AC 的解析式为y =-x +3. 由-x +3=2x 2-8x +6, 解得x = 3或x =12（舍去）， 当x =3时，x +2=3+2=5,此时，点P 坐标为P 1(3,5)；………………………（8分） 当∠PCA =90°时，如解图②，由A (12,52)知，点C 的纵坐标为y =52. 由2x 2-8x +6=52,得x 1＝12（舍去），x 2=72, 当x =72时，x +2=72+2=112.此时，点P 坐标为P 2(72,112).综上所述，满足条件的点P 有两个,分别为P 1(3,5)，P 2（72，112）. …（10分） 3. 解：（1）A （0,2）,B （-3,0）,C （1,0），D （-1，83）【解法提示】∵抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点，∴2242033x x --+=，解得x 1=-3,x 2 =1,∵点B 在点C 的左侧，∴B (-3，0)，C (1，0)，又∵抛物线与y 轴交于点A ，∴当x =0时，y =2，∴A (0，2).∵431222()3ba --==-⨯-，且当x =-1时，2248(1)(1)2333y =-⨯--⨯-+=.∴顶点D 的坐标为（-1，83）.（2）①设点P 的坐标为（n ,0），-3＜n ＜1. ∵EP ⊥x 轴，点E 在抛物线上，∴点E 的坐标为（n , 224233n n --+），又∵PE =PC ，∴2242133n n n --+=-，∴n 1=-32,n 2=1(不符合题意，舍去)，当n=-32时，2224224252()()23333332n n --+=-⨯--⨯-+=，∴E (-32,52)，…………………………………………………………………（7分）②32或52.…………………………………………………………………… (10分) 【解法提示】如解图①，设直线DE 与x 轴交于M ，与y 轴交于N ，直线EA 与x轴交于点K ，根据E 、D 的坐标求得直线ED 的解析式为y =13x +3，根据E 、A 的坐标求得直线EA 的解析式为y =-13x +2，∴△MEK 是以MK 为底边的等腰三角形，△AEN 是以AN 为底边的等腰三角形，∵到EA 和ED 的距离相等的点F 在顶角的平分线上，根据等腰三角形的性质可知，EF 的长是E 点到坐标轴的距离，∴EF =32或52.③. ………………………………………………………………(14分)【解法提示】根据题意得：当P与O重合时，周长最小，如解图②，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于点Q，交AC于点R，此时△PQR的周长＝PQ +QR +PR =EF，∵A(0，2)，B(-3，0)，C(1，0)，∴AB=AC=∵S△AOB=12×12OE×AB =12OA·OB，∴OE，易得△OEM ∽△ABO，∴OM EM OEOA OB AB==，即23OM EM==，∴OM =2413，EM =3613，∴E(-2413，3613)，同理可求F(85，45)，∴△PQR周长的最小值为65EF==.。
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3.2 与几何图形结合3.2.1 与等腰三角形结合1、如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由2、如图，已知直线y=x 与交于A 、B 两点．（1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数的函数值为y 2．若y 1＞y 2，求x 的取值范围；（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB 构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P 的坐标．y =x2y =x23、如图，已知二次函数的图象经过点A （3，3）、B （4，0）和原点O 。
P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D （m ，0），并与直线OA 交于点C ．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；（3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3.2.2 与直角三角形结合1、二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．(1)试求，所满足的关系式；(2)设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的倍时，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．2yaxbxc a b 542、已知一次函数的图象与x 轴交于点A ．与y 轴交于点B ；二次函数图象与一次函数的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 的坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．3、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A 和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．y =12x +1y =12x 2+bx+c y =12x +112,52?è???÷3.2.3 与等腰直角三角形结合1、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴y=ax2+ax-2上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，抛物线-（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，-m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3、已知抛物线y ax 2bx c a 0与x 轴的两个交点分别为A(-1,0)、B(3,0),与y 轴的交点为点D,顶点为C,(1)求出该抛物线的对称轴;?(2)当点 C 变化,使60°≤∠ACB≤90°时,求出 a 的取值范围;?(3)作直线CD 交x 轴于点E,问:在y 轴上是否存在点F,使得△CEF 是一个等腰直角三角形?若存在,请求出 a 的值,若不存在,请说明理由。
3.2.4 与特殊四边形结合1、（2014?大港区一模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）A．ab=﹣2 B．ab=﹣3 C．ab=﹣4 D．ab=﹣52、（2014秋?广水市校级月考）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A 点在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2016?贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．4．（2015?德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．6．（2015?毕节市）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．8．（2015?鄂尔多斯）如图，抛物线y=x 2﹣x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧），与y 轴交于点C ，M 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）连接MO 、MC ，并把△MOC 沿CO 翻折，得到四边形MO M ′C ，那么是否存在点M ，使四边形MO M ′Ｃ为菱形？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点M 运动到什么位置时，四边形ABMC 的面积最大，并求出此时M 点的坐标和四边形ABMC 的最大面积．3.2.5 线段和差最值1、在直角坐标系XOY 中，定点A （-2，5）、B （3，-2），动点P 在x 轴上，则PA+PB 的最小值是；|PA-PB|最大值是2、（2013?贵港）如图，点A （a ，1）、B （﹣1，b ）都在双曲线y=上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是（）A ．y=xB ．y=x+1C ．y=x+2D ．y=x+33(x 0)xp3、如图，抛物线y=--x+2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA-PB ≤AB ；（3）当PA-PB 最大时，求点P 的坐标．5、（2014学年?文澜月考）如图，已知抛物线与x 轴交于点B 、C ，y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．抛物线过点M （-2，-2），（1）求实数a 的值；（2）求出四边形CEMB 的面积；（3）在抛物线的对称轴上找一点H ，使的值最大，直接写出点H 的坐标．若不存在，请说明理由。
6、如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；412x124yx x a CHEH 7397、（2010?绵阳）如图，抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴的两个交点分别为A （﹣4，0）、B（2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．8、（2015?贵阳模拟）如图，二次函数的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，顶点为D ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）把△ABC 绕AB 的中点M 旋转180°，得到四边形AEBC ，求出四边形AEBC 的面积；（3）试探索：在直线BC 上是否存在一点P ，使得△PAD 的周长最小？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由？2323333yx x9、已知二次函数．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由10、（2015?绵阳模拟）如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 点左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线，OA=2，OD 平分∠BOC 交抛物线于点D （点D 在第一象限）；（1）求抛物线的解析式和点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，在x 轴上存在一点N ，使得A 、D 、M 、N 四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出点M 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BPD 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11、（2014春?西湖区校级月考）如图，已知△OAB 的顶点A （3，0），B （0，1），O 是坐标原点．将△OAB 绕点O 按逆时针旋转90°得到△ODC ．（1）写出C ，D 两点的坐标；（2）求过C ，D ，A 三点的抛物线的解析式，并求此抛物线的顶点M 的坐标；（3）在对称轴上找一点P ，使得PB+PD 最小，求出最小值和P 点坐标．2221y x mx m 2m 212yx bx c 12x3.2.6 与面积结合问题1、如图，抛物线与x 轴交于O 、B 两点，C 为顶点，点P 为抛物线上一点，使得求P 点坐标．2、已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，在抛物线上有一点C ，其横坐标为2，则△ABC 面积为____________．3、如图，一小球从斜坡OA 的O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球的落点是A ，连接抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA ，求△POA 的面积．224y x x OBC OCP S S V V 223y x x 24y x x y =12x4、如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数的图象与x 轴相交于O 、A 两点，在这条抛物线的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A ．B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，顶点为D ．求△CBD 的面积．6、如图，抛物线过点O （0，0），A （3，3）和B （4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M ，求四边形OMAB 的面积．7、如图，抛物线与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，此抛物线的对称轴与抛物线相交于点P ，与直线BC 相交于点M ，连接PB ．抛物线上是否存在点Q ，使△QMB 与△PMB的面积相等？23y x x 223y x x 223y x x11、如图，在直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A （1，0）、C （-4，0）两点（点C 在点A 的左侧），与y 轴交于点B ．已知点P 是抛物线上的一个动点，且在B 、C 两点之间，（1）试求直线BC 的解析式；（2）问当点P 运动到什么位置时，△PBC 的面积最大？并求出此时点P 的坐标和△PBC 的最大面积．21325()228y x。