九年级圆基础知识点,(圆讲义)
初三圆的知识点
初三圆的知识点圆是初中数学中的一个重要内容，也是中考的必考知识点之一。
在初三阶段，我们对圆的认识会更加深入和全面。
接下来，让我们一起系统地学习一下初三圆的相关知识点。
一、圆的基本概念1、圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点称为圆心，定长称为半径。
2、圆的表示方法通常用符号“⊙”表示圆，后面加上圆心的字母，如⊙O 表示以 O 为圆心的圆。
3、弦与直径连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最长的弦。
4、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧分为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）和半圆。
5、等圆与等弧能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
二、圆的基本性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP ＝ d，则有：点 P 在圆外⇔ d ＞ r；点 P 在圆上⇔ d ＝ r；点 P 在圆内⇔ d ＜ r。
2、直线与圆的位置关系设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则有：直线 l 和⊙O 相离⇔ d ＞ r；直线 l 和⊙O 相切⇔ d ＝ r；直线 l 和⊙O 相交⇔ d ＜ r。
九年级圆的知识点讲义
九年级圆的知识点讲义1. 什么是圆？圆是平面上所有到一个固定点距离都相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
2. 圆的基本要素圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弧和弦。
- 圆心：圆的中心点，用字母O表示。
- 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
- 直径：穿过圆心的线段，并且两个端点都在圆上，直径的长度是半径的两倍，用字母d表示。
- 弧：圆上两点间的一段弯曲部分。
- 弦：圆上任意两点间直线段。
3. 圆的性质（1）半径相等性质：圆上任意两点之间的半径都相等。
（2）直径长为两倍性质：圆的直径长等于其半径的两倍，即d=2r。
（3）弧长和弧度性质：圆的弧长与圆心角的度数成正比，弧长等于圆周率π乘以半径的长度，用公式l = πr表示。
（4）圆周率π：π是一个无理数，大约等于3.14，用来计算圆的周长和面积。
4. 圆的坐标系表示圆可以在平面直角坐标系中表示为一个方程。
以圆心坐标为（h，k），半径为r的圆表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²5. 圆的相关公式和定理（1）周长计算公式：圆的周长等于直径乘以π，或等于2倍半径乘以π，用公式C = πd或C = 2πr表示。
（2）面积计算公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，用公式A = πr²表示。
（3）相交弧的性质：当两个圆相交时，它们的相交弧的度数之和等于360度。
（4）切线和半径垂直定理：切线和半径之间的夹角是直角。
6. 圆的应用圆在生活和科学中有广泛的应用，例如建筑结构中的圆形拱门、运动学中的圆周运动、天文学中的星体运动轨迹等等。
以上就是九年级圆的知识点讲义。
希望这份讲义能够帮助你更好地理解和掌握圆的相关知识。
九年级圆基础知识点
圆知识点复习一、圆的概念1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；A相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理图4图5BD圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
九年级圆数学知识点
九年级圆数学知识点【九年级圆数学知识点】一、定义和性质在几何学中，圆是由平面上距离给定点（圆心）的所有点的集合所形成的图形。
以下是九年级学生需要了解的圆的相关知识点：1. 圆的定义：圆是平面上距离圆心相等的点的集合。
2. 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
3. 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
4. 直径：通过圆心的两个点之间的距离，是圆的最长线段，等于半径的两倍。
5. 弦：在圆上任意两点间的线段。
6. 弧：在圆上两点间的曲线部分。
二、圆的相关公式九年级学生需要了解和掌握以下与圆相关的公式：1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径。
3. 弧长公式：L = 2πr(θ/360°)，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
4. 扇形面积公式：S = (θ/360°)πr²，其中S表示扇形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
5. 弓形面积公式：S = (θ/360°)πr² - (1/2)bh，其中S表示弓形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数，h表示弓形的高度。
三、圆的性质和定理九年级学生需要了解和掌握以下与圆相关的性质和定理：1. 弧度制：圆心角的度数可以用弧度来表示，1弧度对应的角度为180/π度。
2. 切线和半径垂直定理：切线和通过切点的半径垂直相交。
3. 切线定理：切线和半径的关系是垂直关系，切点在圆上。
4. 弦弧定理：如果两条弦在圆上的弧上所对应的角相等，则这两条弦相等。
5. 弧角定理：位于同一圆周上的两条弧所对应的圆心角相等。
四、习题示例以下是几个九年级圆相关习题的示例，供学生参考和练习：1. 若一个圆的周长为24π cm，则该圆的半径是多少？2. 一个圆的直径为14 cm，求其面积和周长。
3. 圆的半径为6 cm，弦的长度为8 cm，求该弦所对应的圆心角的度数。
九年级圆的知识点详细总结归纳
九年级圆的知识点详细总结归纳一、圆的定义和关键概念圆是一个平面上的简单闭曲线，由与一个固定点的所有点到该点的距离相等的点组成。
下面是一些重要的圆的关键概念：1. 圆心 (Center)：圆心是圆的中心点，标记为O。
2. 圆周 (Circumference)：圆的周长，也称为圆周，用C表示。
3. 直径 (Diameter)：直径是通过圆心的、连接圆上两点的线段。
直径的长度是圆直径的两倍。
直径用d表示。
4. 半径 (Radius)：半径是从圆心到圆上任意一点的线段。
半径的长度是直径的一半。
半径用r表示。
5. 弧 (Arc)：圆上两点之间的一段路径叫做弧。
6. 弦 (Chord)：圆上两点之间的线段叫做弦。
7. 切线 (Tangent)：切线是切于圆的一条直线，且与圆仅有一个交点。
二、圆的性质和定理圆的性质和定理是研究圆的重要基础，下面是一些常见的圆的性质和定理：1. 直径定理：直径是最长的弦，且它把一个圆分成两个半圆。
2. 弧长定理：一个圆的弧长是根据圆的半径和弧度来计算的。
弧长等于半径乘以弧的弧度。
3. 弧心角定理：圆心角是以圆心为顶点的角，它的弧度等于弧长与半径的比值。
4. 切线定理：切线与半径的关系是垂直。
5. 切线和半径的性质：当一条直线与圆相切时，与切点相连的半径垂直于切线。
6. 切割定理：如果一个弦垂直于一个半径，那么它将被切分成两个互为正方向的弧。
7. 切割角度定理：互不相交的弧它们对应的圆心角相等，相交的弧，它们对应切线切割的角相等。
8. 重合弧定理：在同一个圆上，两个重合的弧对应的圆心角相等。
三、圆的应用圆在日常生活和实际问题中有很多应用，下面是一些常见的圆的应用：1. 圆的测量：通过测量圆的直径或半径可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的构造：通过给定圆的半径或直径可以构造圆。
3. 圆的几何关系：圆与直线、圆与圆之间有各种几何关系，如相离、相切、相交等。
4. 圆的运动学：在物理学中，圆的运动学广泛应用于描述物体的圆周运动和周期性运动。
九年级圆基础知识点汇总
圆知识点复习一、圆的概念1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆⇒d r<⇒点C在圆；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE =④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它图4图5的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
九年级圆的相关知识点
九年级圆的相关知识点圆是几何中的重要概念之一，它拥有独特的性质和特点。
在九年级数学学习中，对圆的相关知识点的认识和理解至关重要。
本文将从圆的基本定义、元素与性质、弧长与扇形面积、切线与切点等几个方面，对九年级圆的相关知识点进行探讨和阐述。
一、圆的基本定义圆是由平面上任意一点与定点之间的距离相等的所有点的集合。
圆心是圆上的一个点，离圆上任意一点的距离都相等。
半径是连接圆心和圆上任一点的线段，它的长度即为圆的半径长度。
直径是连接圆上任意两点的线段，并通过圆心，它的长度是圆的直径长度，也是半径的两倍。
二、圆的元素与性质1. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两个点的弧段。
圆上弧有无数种，简单的弧是指一段虽然属于圆上的弧，但又不包含整个圆。
弦：圆上两点之间的弦是连接这两个点的直线段。
直径是一个特殊的弦，它通过圆心。
2. 弧度制：在数学中，我们常用度数来衡量角的大小，但对于圆周而言，角的大小可以用弧度制来度量。
一个完整的圆周对应的弧度为2π弧度。
弧度制与度数的转换关系为：180°=π弧度。
3. 弧长与扇形面积：圆的周长称为圆的弧长，弧长的计算公式为L = 2πr，其中L表示弧长，r表示圆的半径。
扇形是圆形扇面和圆心所圈的一部分，圆的面积是πr²，扇形面积可以通过扇形的弧长和半径计算得到，记作S = 1/2L·r。
三、切线与切点切线是与圆相切并且与圆心相连的直线。
圆上有无数个与该圆相切的切线，切线与圆的切点是圆与直线交于一点，且该交点与圆心间的线段垂直于切线。
圆的切线性质有着广泛的应用，如在建筑设计、机械加工等领域中，我们经常需要利用切线来进行相关的计算和测量。
在九年级的数学学习中，我们除了要掌握圆的基本定义、元素与性质、弧长与扇形面积、切线与切点等知识点之外，还要学会灵活运用这些知识解决问题。
例如，当给定圆的面积时，可以根据面积公式求得圆的半径或直径；当给定圆上某一点的坐标时，可以通过距离公式判断其是否在圆上；当给定一个线段与一个圆的位置关系时，可以利用切线性质找到切点等。
数学中学九年级圆知识点
数学中学九年级圆知识点圆是数学中重要的几何形状之一，广泛应用于各个领域。
本文将重点讨论九年级学生需要掌握的圆的相关知识点，包括圆的定义、圆的性质、弧的性质以及与圆相关的定理。
让我们系统地学习圆的知识，为解决数学问题打下坚实的基础。
1. 圆的定义圆是由平面上任意一点到另一点距离相等的所有点的集合。
通常，以大写字母O表示一个圆，以小写字母o表示圆上的点。
圆上的每个点到圆心的距离称为半径，通常用字母r表示。
圆的直径是通过圆心的两个点之间的距离，通常用字母d表示。
圆的周长是圆上任意一点到该点相邻两点之间的曲线长度，通常用字母C表示。
圆的面积是圆内部所有点构成的区域，通常用字母A表示。
2. 圆的性质（1）圆的半径相等，即圆上的任意两点到圆心的距离相等。
（2）圆的直径是半径的两倍，即d=2r。
（3）圆的周长与直径之间的关系是C=πd，其中π是一个无理数，约等于3.14。
（4）圆的面积与半径之间的关系是A=πr²。
3. 弧的性质在圆上，两个点之间的曲线段成为弧。
弧的长度是弧上两点之间的距离。
根据弧的位置和角度，弧可以分为三种类型：圆心角、弦长、扇形面积。
（1）圆心角：圆心角是由圆心和弧上任意两点构成的角。
圆心角的度数等于弧所对应的圆周角的度数。
圆心角的度数范围是0°到360°。
（2）弦长：弦是连接圆上任意两点的线段，弦的长度称为弦长。
弦长与其所对应的圆心角的度数之间存在正比关系。
（3）扇形面积：扇形是由圆心、弧和两条半径组成的图形。
扇形的面积等于其所对应的圆心角的度数与圆的面积的比例。
4. 圆的相关定理（1）圆周角定理：位于同一个圆上的圆心角所对应的弧相等。
（2）弧长定理：位于同一个圆上的圆心角所对应的弧的弧长与圆心角的度数成正比。
（3）切线定理：一条直线与圆相切的必要条件是此直线与通过圆切点的半径垂直。
（4）正切定理：一条直线与圆相切的切点处的切线垂直于该切点处的半径。
通过学习圆的定义、性质、弧的性质以及相关定理，我们可以运用这些知识解决各种与圆相关的数学问题。
初中数学九年级圆的知识点
初中数学九年级圆的知识点圆是初中数学中的一个重要的图形，它具有独特的性质和应用。
在九年级的数学学习中，我们需要掌握圆的基本知识和相关的定理。
本文将依次介绍圆的定义、圆的性质、弦与弧、切线与切点、圆内接四边形以及圆的应用等内容。
一、圆的定义圆是指平面上到一个定点距离相等的所有点的集合。
定点称为圆心，所有到圆心距离等于半径的点构成圆。
圆通常用字母O表示圆心，字母r表示半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的距离等于半径的长度。
2. 圆心角是位于圆上两条半径的夹角，它的度数等于所对的弧上的角度。
3. 弧度制中，一个圆的弧长等于圆心角的弧度数乘以半径。
三、弦与弧1. 弦是圆上两点之间的线段，它等于弧的直径。
2. 弧是圆上两点之间的一段曲线，它的度数等于对应的圆心角的度数。
四、切线与切点1. 切线是与圆相切于圆上一点的直线。
2. 切点是切线与圆的交点，切线与半径的夹角为90度。
五、圆内接四边形1. 圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在圆上，且每条边都是弧。
2. 圆内接四边形的两个对角线互相垂直且平分。
六、圆的应用1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径，π近似等于3.14。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径，π近似等于3.14。
3. 圆柱体、圆锥体、圆球等几何体的计算都与圆密切相关。
通过对初中数学九年级圆的知识点的学习，我们不仅能够了解圆的定义和性质，还能够应用圆的相关定理解决实际问题。
掌握圆的知识将为我们的数学学习打下坚实的基础，并在日常生活中发挥重要作用。
让我们积极投入学习，深入理解圆的知识，提升自己的数学水平！。
圆九年级圆知识点归纳
圆九年级圆知识点归纳圆是数学中的一个重要概念，在九年级的数学课程中也是必修的内容之一。
本文将主要介绍九年级数学中关于圆的知识点，包括圆的基本概念、圆的性质以及与圆相关的一些定理和公式。
1. 圆的基本概念：圆是平面上所有与一个固定点距离相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，用O表示。
而与圆心距离相等的距离称为半径，用r 表示。
圆的边界称为圆周，圆周上的任意一点与圆心的连线称为半径。
2. 圆的性质：（1）圆的直径是通过圆心的两个点之间的线段，它的长度等于圆的半径的两倍。
（2）圆的周长是圆周的长度，用C表示。
根据定义，圆周的长度等于半径乘以2π（π是一个常数，约等于3.14），即C = 2πr。
（3）圆的面积是圆内部的所有点组成的区域，用A表示。
圆的面积公式为A = πr²。
3. 圆的相关定理和公式：（1）弧长定理：一个圆周的弧长可以表示为θ/360°乘以圆的周长。
其中，θ是对应的圆心角的度数。
（2）圆心角定理：一个圆心角的度数等于它所对应的弧长的长度除以圆的半径。
（3）切线定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆的半径的斜率相乘的结果等于-1。
（4）切线长定理：从切点到切线外一点的线段与切线相切，这条线段的长度等于这个切点与圆心连线的长度。
4. 圆的应用：圆在日常生活和工程中有着广泛的应用。
例如，轮子和齿轮就是圆的应用之一。
轮子的圆形设计可以减小与地面的摩擦力，使车辆行驶更顺畅。
齿轮是机械设备中的传动部件，由多个圆形齿突出，通过齿与齿之间的啮合来实现动力传递。
总结：通过对九年级数学中与圆相关的知识点的归纳和梳理，我们可以更好地理解和应用这些概念、定理和公式。
圆作为几何学中的一个基础概念，无论是在数学学科中还是在实际中都有着重要的作用。
希望通过学习和掌握这些知识，能够对九年级的数学学习有所帮助。
九年级数学圆知识点
九年级数学圆知识点在九年级数学学习中，圆是一个重要的知识点。
下面将介绍圆的定义、性质以及与圆相关的主要公式和定理。
一、圆的定义和性质：1. 定义：圆是由平面上的一点到另一点距离不变的所有点的集合。
2. 圆心和半径：圆心是圆的中心，圆的半径是圆心到圆上任一点的距离。
3. 直径和直径长：直径是圆上任意两点之间通过圆心的线段，直径长等于半径的两倍。
4. 弦：连接圆上任意两点的线段。
5. 弧：由圆上两点所确定的一段圆形曲线。
6. 弧长：圆的周长被称为弧长，可以表示为2πr（r为圆的半径）。
7. 弧度制：圆的周长为360°，也可以用弧度来表示，一周的弧度数为2π。
二、圆的相关公式和定理：1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示面积，r表示半径。
3. 弧长公式：L = 2πr × (θ/360°)，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示所对应的圆心角的度数。
4. 弦长公式：如果圆心角θ的度数已知，弦长可通过公式l = 2r × sin(θ/2)计算。
5. 切线与半径的关系：切线与半径的相交点处，切线是半径的垂直平分线。
6. 切线与弦的关系：切线与弦的相交点处，切线与弦的夹角等于所对应的弧的圆心角的一半。
7. 弦割定理：如果两个弦相交于圆的内部，那么相交点之间的两个弦的长度的乘积等于两个弦的切割线段的长度的乘积。
8. 切割定理：如果两条切线相交于圆的外部，那么相交点之间的两个切线段的长度的乘积等于两个切线的切割线段的长度的乘积。
三、应用示例：1. 根据给定的半径，求解圆的面积和周长。
2. 根据给定的弦长和半径，求解所对应的圆心角的度数。
3. 根据所给条件，利用切线和弦的关系解题。
4. 根据所给条件，应用弦割定理或切割定理解决问题。
综上所述，九年级数学中的圆知识点包括了圆的定义、性质、相关公式和定理。
九年级上册圆知识点最全
九年级上册圆知识点最全圆是几何学中的重要概念之一，其知识点在九年级上册学习中占据了很大的比重。
下面将全面介绍九年级上册关于圆的各个知识点，包括定义、性质、定理等内容，帮助学生更好地理解和掌握圆的相关知识。
1. 圆的定义圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是一个固定的点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的符号表示圆常用一个字母加一个圆圈表示，例如圆O可以表示为⭕(O)。
3. 圆的性质(1) 在同一个平面上，圆内任意两点都与圆心的距离相等。
(2) 圆上所有的点与圆心的距离都相等。
(3) 圆的半径相等的两个圆是同心圆。
4. 圆的元素(1) 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
(2) 圆的半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
(3) 圆的直径：过圆心的两个相对点之间的距离，通常用字母d表示，直径等于半径的两倍。
(4) 圆的弦：圆上的两个点之间的线段，通常用字母AB表示。
(5) 圆的弧：圆上两个点之间的部分，通常用字母AB表示。
弧也可以表示为一段曲线。
(6) 圆的切线：与圆相切且在切点处与圆相切的线段。
5. 圆的定理(1) 圆的四个组成部分：半径、直径、弦、弧。
(2) 在同一个圆中，半径相等，直径是两倍的半径。
(3) 在同一个圆中，位于原弦之间且两弦的端点相连的两个弧是相等的。
(4) 在同一个圆中，位于圆心角上的弧是原弦的两倍。
(5) 位于圆心角上的弧大于位于同一个圆上其他的弧。
(6) 圆与定点的直线相交，相交点到圆心的距离等于定点到圆心的距离。
6. 圆的应用圆的应用非常广泛，涉及到生活的各个方面。
在建筑设计中，圆形的窗户、圆顶等都可以为建筑增添美感和独特性。
在数学科研中，圆的性质和定理被广泛应用于几何学的研究和解决问题。
此外，圆的概念也运用在电子、通信、机械等众多领域，为各种设备和技术的实现提供了基础。
以上是九年级上册关于圆的知识点的全面介绍，希望通过这篇文章的阅读，学生们能够更好地理解和掌握圆的相关知识，并能在学习和生活中灵活应用，进一步提升数学水平。
九年级圆的所有知识点
九年级圆的所有知识点圆是几何学中的重要概念，它在我们的日常生活中无处不在。
在九年级的数学学习中，我们将学习关于圆的各种知识点。
本文将全面介绍九年级圆的所有知识点，包括圆的定义、性质、常见公式以及应用等内容。
一、圆的定义及性质圆是由平面上所有到定点的距离都相等的点构成的集合。
圆由圆心和半径来确定，圆心是圆上任何一点到定点的距离都相等，半径则是圆心到圆上任何一点的距离。
圆的性质包括：1. 圆上任意两点之间的线段都是弦，而直径是一条通过圆心且两端点在圆上的弦，它将圆分为两个相等的半圆。
2. 圆上任意一条弦都可作为直径，且直径的长度是半圆周长的两倍。
3. 圆上每个点到圆心的距离都相等，这个距离就是半径，圆周上所有点到圆心的距离都等于半径的长度。
4. 圆周上的一个角，其对应的弧所对应的圆心角相等，即圆心角的度数等于弧度数。
5. 切线与半径的垂直性质：一条切线与通过切点的半径垂直相交。
二、圆的周长和面积公式1. 周长公式：圆的周长等于直径的长度乘以π（圆周率）。
周长 = 直径× π 或者周长 = 2 ×半径× π。
2. 面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π。
面积 = 半径² × π 或者面积 = （直径/2）² × π。
三、圆的应用圆不仅仅在数学中有着重要的地位，它也广泛应用于生活和其他学科中。
以下是圆的一些常见应用：1. 几何设计：圆形是设计中最基本的形状之一，它常常被用来表达和传达各种美学和构图原则。
2. 圆形建筑：许多建筑物采用圆形设计，如剧院、圆形体育场等，这样可以使观众坐在任何位置上都能获得更好的视觉体验。
3. 圆形运动：许多体育运动中都有圆形运动的要素，例如足球、篮球等球类运动，球场也常常是圆形或半圆形的。
4. 圆的应用于物理学中的轨迹：圆形轨迹出现在一些著名的物理学定律中，如牛顿的万有引力定律中行星的椭圆轨道。
综上所述，九年级圆的知识点包括了圆的定义、性质、周长和面积公式以及常见应用等方面。
初三数学：圆知识点归纳
初三数学：圆知识点归纳 【一】圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
【二】圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
【三】圆的基本性质。
1、圆的对称性。
(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
(直角三角形的外心就是斜边的中点。
)8、直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、平面直角坐标系中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。
那么AB=〔x1+x2,y1+y2〕10、圆的切线判定。
(1)d=r时，直线是圆的切线。
九年级圆基础知识点--(圆讲义)
一对一授课教案板块一：圆的有关概念一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．⊙”，读作“圆O”．2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．二、弦和弧1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．三、圆心角和圆周角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．板块二：圆的对称性与垂径定理一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判断：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。
九年级圆的知识点讲解
九年级圆的知识点讲解圆是我们常见的几何形状之一，它具有独特的性质和特点。
在九年级中学习圆的知识，对于我们理解几何学的基本原理和应用是非常重要的。
本文将重点介绍九年级学生需要知道的圆的知识点，帮助大家更好地理解和应用圆的相关内容。
一、圆的定义和性质圆是平面上所有到一个点的距离都相等的点的集合。
这个点称为圆心，所有到圆心的距离称为半径。
圆的性质有以下几点：1. 圆心角和弧度：圆心角是指以圆心为顶点的角，其对应的弧度即为圆心角所对应的弧长所占圆周的比值。
2. 弦和弧：弦是圆上的两点间的线段，弧是在圆上的一段弯曲部分。
3. 圆的周长和面积：圆的周长指的是圆周上所有点的距离的总和，而圆的面积指的是圆内部的所有点所覆盖的面积。
二、相交圆的性质当两个圆相交时，它们之间存在一些特殊的性质和规律：1. 相交弦的性质：当两个圆相交时，相交弦所对应的圆心角相等。
2. 弦切线定理：如果一条直线同时切两个圆，并且这两个切点在直线同侧，那么这条直线所对应的弧长也相等。
3. 相切圆定理：如果两个圆恰好相切，那么它们的切点与圆心之间的连线是垂直的。
三、切线和割线1. 切线：切线是指与圆相切且仅有一个交点的直线。
2. 割线：割线是指与圆相交且有两个交点的直线。
切线和割线的性质有以下几点：1. 切线的切点和圆心连线垂直。
2. 割线的相交弦性质：当割线和弦相交时，相交线段所对应的弧是相等的。
四、圆的角与弧1. 圆周角：圆周角是指以圆心为顶点，端点分别在圆周上的两条线段所对应的角。
圆周角的度数等于弧的度数。
2. 弧度制：弧度是衡量角度的另一种方式，它的单位为弧长与半径的比值。
以上介绍了九年级圆的基本知识点和性质。
学好圆的相关概念和定理，不仅可以让我们更好地理解几何学的原理，还可以应用到实际问题中。
因此，希望同学们能够重视圆的学习，勤奋练习，提高自己的几何学水平。
总结：通过本文的介绍，我们了解了九年级圆的知识点讲解。
圆的定义和性质、相交圆的性质、切线和割线的性质，还有圆的角与弧的概念都是我们在九年级学习的重点内容。
(完整word版)初三数学圆的讲义
圆一．圆的定义及相关概念考点1：圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
考点2：确定圆的条件：圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆。
考点2：（圆的性质）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔ d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm,ο30=∠CEA ， 求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．AB DCO· E二．垂径定理及其推论考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2．圆的两条平行弦所夹的弧相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
九年级圆形知识点
九年级圆形知识点一、圆的定义和性质圆是数学中的基本图形之一，是由平面上所有距离某一固定点相同的点组成的集合。
以下是圆的几个重要定义和性质：1.1 圆的定义圆是平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点的集合。
1.2 圆的要素一个圆由圆心、半径和直径组成。
圆心是圆上所有点的中心点，通常表示为O；半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常表示为r；直径是通过圆心并且同时经过圆上两点的线段，其长度等于两倍的半径，通常表示为d。
1.3 圆周圆的边界称为圆周，是由无数个点组成的。
1.4 圆的符号表示圆可以用“⌒”符号来表示，加上圆心大写字母表示圆心，例如⌒O。
二、圆的重要定理和推论2.1 圆的直径定理直径是圆上最长的一条线段，它同时也是两个相对的切点之间的距离。
圆的直径定理指出，任意一个圆的直径都等于圆周长的两倍。
2.2 圆的半径定理圆上任意一条半径与该圆上切线垂直。
2.3 切线定理圆上的切线与半径的垂直定理指出，与圆相切的直线与半径垂直。
2.4 切线与切线相交的性质如果两条切线在圆的外部相交，相交点与圆上两切点的连线平分相交角。
如果两条切线相交在圆上，相交点与圆心的连线与两切点的连线垂直。
三、圆的计算3.1 圆的周长圆的周长可以通过圆的直径或半径计算。
圆的周长公式为C = 2πr，其中π（pi）是一个常数，约等于3.14159。
3.2 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点组成的区域。
圆的面积公式为A = πr²，其中π（pi）是一个常数，约等于3.14159。
3.3 圆的弧长圆的弧长是圆周上任意两点之间的弧线段的长度。
圆的弧长可以通过圆的半径和扇形圆心角计算。
如果扇形圆心角的度数是θ度，圆的半径是r，那么弧长L = 2πr × (θ/360)。
四、圆的应用4.1 圆在几何形状的应用圆在几何形状中有广泛的应用，例如：圆锥、圆柱、圆环等。
这些形状都是基于圆进行构建的。
4.2 圆的应用于日常生活圆的应用也可以在日常生活中找到，例如：轮胎、餐盘、钟表等都是圆形的，这些物体都是基于圆形的性质设计制造的。
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一对一授课教案学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________上课时间：____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O⊙”，读作“圆O”．3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判断：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。
（）（2）半圆是弧，弧是半圆。
（）（3）等圆是半径相等的圆。
（）（4）等弧是弧长相等的弧。
（）（5）半径相等的两个半圆是等弧。
（）（6）等弧的长度相等。
（）2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大3．以已知点O为圆心作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个5、如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．6．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．7．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（）A．20° B．30°C．40° D．50°8、如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．9．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ．BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>ADB ACEDOBAOMBACDP O BACED O BA CEDOF（5）(1) (2) (3) （4）10．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．811．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．AD BD = D ．PO=PD12．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．13．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．14（、深圳南山区，3分）如图1－3－l ，在⊙O 中，已知∠A CB ＝∠CDB ＝60○，AC ＝3，则△ABC 的周长是____________.15．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对16（、大连，3分）如图1－3－7，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=30° 则∠BOC 的大小是（ ）A ．60○B ．45○C ．30○D ．15○三、综合题1、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．BACE DO3、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数．板块三：点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r<.=；点在圆内⇔d r>；点在圆上⇔d r如下表所示：二、确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心（定点），确定圆的位置；②半径（定长），确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，远才能确定．2. 过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三⑷过n()4点确定的圆的圆心．3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3. 切线长和切线长定理：⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．1、如图，ABC=，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB 相切于点D。
求证：∆中，AB ACAC是O的切线。
AB2、如图，已知AB是O的直径，BC是和O相切于点B的切线，过O上A点的直线+=，则CD=。
AD OC∥，若2AD OCOA=且6v1.0 可编辑可修改3、 如图⊿ABC 中∠A ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，E 为AC 边中点，求证：DE 是 ⊙O 的切线。
8 如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ，且46ME =， :2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．CODBA D GFM7 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >， 以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的 横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+的是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由．图（18）'7 解：（1）以AB 为直径的圆过点C ，90ACB ∴∠=，而点C 的坐标为(02)，，由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△，2CO AO BO ∴=， 即：4(5)AO AO =-，解之得：4AO =或1AO =．OA OB >，4AO ∴=，即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：21A B A B x x m x x n +=+⎧⎨=-⎩，解之5m =-，3n =-．（2）如图（3），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ， 易知DE AC ⊥，且45ECD EDC ∠=∠=， 在ABC △中，易得AC BC ==AD AE DE BC DB EC ∴=∥，， AD AEDE EC BD DE=∴=，， 又AED ACB △∽△，有AE AC ED BC =，2AD ACDB BC∴==，553AB DB ==，，则23OD =，即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，易求得直线l 对应的一次函数解析式为：图（3）'32y x =+． ·································解法二：过D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ，由ACD BCD ABC S S S +=△△△，求得DE =又1122BCD S BD CO BC DF ==△求得5233BD DO ==，．即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，易求直线l 解析式为：32y x =+．（3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ．CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=． 由MDE MNC △∽△，有DE MDCN MN=由DNF MNC △∽△， 有DF DN CM MN =1DE DF MD DNCN CM MN MN∴+=+=， 即11110CM CN DE +==． 8 （1）连接DF CD 是圆直径，90CFD ∴∠=，即DF BC ⊥90ACB ∠=，DFAC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．在O 中BDF GEF ∠=∠，GEF A ∴∠=∠． ····························· 2分（2）D 是Rt ABC △斜边AB 的中点，DC DA ∴=，DCA A ∴∠=∠，又由（1）知GEF A ∠=∠，DCA GEF ∴∠=∠． 又OME EMC ∠=∠，OME ∴△与EMC △相似OM ME ME MC∴=2ME OM MC ∴=⨯4分又4ME =，296OM MC ∴⨯==:2:5MD CO =，:3:2OM MD ∴=，:3:8OM MC ∴=设3OM x =，8MC x =，3896x x ∴⨯=，2x ∴=∴直径1020CD x ==．（3）Rt ABC △斜边上中线20CD =，40AB ∴=在Rt ABC △中cos 0.6BCB AB∠==，24BC ∴=，32AC ∴= 设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，根据题意得(320)A ，，(024)B ，024320k b k b ⨯+=⎧∴⎨⨯+=⎩ 解得3424k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AB的函数解析式为3244y x=-+（其他方法参照评分）········· 9分。