长郡中学2011届高三第三次月考试卷(文科数学)

湖南省长郡中学2011届高三第三次月考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5}A =，{2,5,7}B =，则()UA B ⋂=（ ） A ．{1,2,3,5,7} B ．{2,7} C ． {4,6} D ．{6} 2. 设i 是虚数单位，则复数1i i-的虚部是（ ）A ．2i B ．12C ．12- D ．12-3. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中不正确．．．的是（ ） A. AB →=DC → B. AD →＋AB →＝AC → C. AD →＋CB →＝0 D. AB →－AD →＝BD →4. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,12)，则函数()f x 的定义域为（ ）.A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,)-∞+∞5. 在A B C ∆中，已知:p 三内角A B C 、、成等差数列；:q 60B = .则p 是q 的（ ）A ． 充分必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是（ ）A ． 2π B ． 3π C ． 4π D ．6π7. 阅读如右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. －10B. 0C. 10D. 20 8. 已知函数1()2f x +为奇函数，设()()1g x f x =+， 则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g ++++⋅⋅⋅+=（ ）A. 1005B. 2010C. 2011D.4020二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 9. 若函数2()(1)f x x a x a a =+-+=为偶函数，则______.10. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a ．20n ≤s =0，n =1开始 n=n+1输出s结束NY(1)ns s n=+-11. 已知函数31() 0()2log 0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())3f f = .12. 向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(sin 15°，cos 15°)，则|a －b |的值是 ．13. 函数()ln f x x =在x n = ()n N *∈处的切线斜率为n a ，则12233420102011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+= .14. 设函数f (x )＝|3x －1|的定义域是[a ，b ]，值域是[2a ，2b ] (b >a )，则a ＋b ＝ . 15. 给出下面的数表序列：222222122221 表3 表21表1其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n 中所有的数之和为n a ，例如25a =，317a =，449a =.则 （1）5a = .（2）数列{}n a 的通项n a =三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知(2sin ,cos sin )a x x x ωωω=+ ，(cos ,cos sin )b x x x ωωω=-，(0)ω>，函数()f x a b =⋅，且函数()f x 的最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调区间.17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且1313,,a a a 成等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）在A B C ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.设向量(sin ,cos )m A B = ，(cos ,sin )n A B =（I ）若//m n，求角C ； （Ⅱ）若m n ⊥，15B =，62a =+，求边c 的大小.19. （本小题满分13分） 已知0a ≠，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+， x R ∈ .（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x ，使00()()f x g x >成立，试求正实数．．．a 的取值范围.20．（本小题满分13分）某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼b （万条）.（I ）设第n 年年初该鱼塘的鱼总量为n a (年初已放入新鱼b （万条）,2010年为第一年)，求1a 及1n a +与n a 间的关系；（Ⅱ）当10b =时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）.21. 已知函数21()ln 2f x x ax bx =-+（0a >），且(1)0f '=.（Ⅰ）试用含有a 的式子表示b ，并求()f x 的极值；（Ⅱ）对于函数()f x 图象上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果在函数图象上存在点00(,)M x y （其中012(,)x x x ∈），使得点M 处的切线//l A B ，则称A B 存在“伴随切线”. 特别地，当1202x x x +=时，又称A B 存在“中值伴随切线”. 试问：在函数()f x 的图象上是否存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A 、B 的坐标，若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 16. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5}A =，{2,5,7}B =，则()UA B ⋂=（ B ） A ．{1,2,3,5,7} B ．{2,7} C ． {4,6} D ．{6} 17. 设i 是虚数单位，则复数1i i-的虚部是（ B ）A ．2i B ．12C ．12- D ．12-18. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中不正确．．．的是（ D ） A. AB →=DC → B. AD →＋AB →＝AC → C. AD →＋CB →＝0 D. AB →－AD →＝BD →19. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,12)，则函数()f x 的定义域为（ C ）.A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,)-∞+∞【解析】 由已知得122α=，所以1α=-，11()f x xx-==，所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .20. 在A B C ∆中，已知:p 三内角A B C 、、成等差数列；:q 60B = .则p 是q 的（ A ）A ． 充分必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件21. 已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是（ B ）A ． 2π B ． 3π C ． 4π D ．6π【解析】 ∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝2＋a 2＝3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，∴a 与b 的夹角为π3.22. 阅读如图所示的程序框图，则输出的结果是（ C ）A. －10B. 0C. 10D. 20 【解析】由题意得，1234s =-+-+-192010-+= ．20n ≤s =0，n =1开始 n=n+1输出s 结束NY(1)ns s n=+-23. 已知函数1()2f x +为奇函数，设()()1g x f x =+， 则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g ++++⋅⋅⋅+=（ B ）A. 1005B. 2010C. 2011D.4020二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 24. 若函数2()(1)f x x a x a a =+-+=为偶函数，则___1___.25. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a 27 ．26. 已知函数31() 0()2log 0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())3f f = 2 .27. 向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(sin 15°，cos 15°)，则|a －b |的值是 1 ．【解析】 由题设，|a |＝1，|b |＝1，a·b ＝sin(15°＋15°)＝12.∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋1－2×12＝1.∴|a －b |＝1.28. 函数()ln f x x =在x n = ()n N *∈处的切线斜率为n a ，则12233420102011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=20102011.29. 设函数f (x )＝|3x －1|的定义域是[a ，b ]，值域是[2a ，2b ] (b >a )，则a ＋b ＝ 1 . 【解析】 因为f (x )＝|3x －1|的值域为[2a ，2b ]， 所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|3x －1|在[0，＋∞)上是单调递增函数，因此应有|31|2|31|2a b a b ⎧-=⎨-=⎩，解得01,0a b =⎧⎨=⎩或或1∵0,.1a b a b =⎧>∴⎨=⎩ 所以有a ＋b ＝1.30. 给出下面的数表序列：222222122221 表3 表21表1其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n 中所有的数之和为n a ，例如25a =，317a =，449a =.则 （1）5a =129.（2）数列{}n a 的通项n a =(1)21n n -⨯+【解析】（1）5129a =， （2）依题意，23112232422n n a n -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ① 由①⨯2得，2342122232422n n a n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ②将①-②得 23411222222n nn a n --=+++++⋅⋅⋅+-⨯1(12)212nn n -=-⨯-212n nn =--⨯所以 (1)21nn a n =-⨯+.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知(2sin ,cos sin )a x x x ωωω=+ ，(cos ,cos sin )b x x x ωωω=-，(0)ω>，函数()f x a b =⋅，且函数()f x 的最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调区间.【解析】（I ）2()(2cos sin )(cos sin )(cos sin )f x a b x x x x x x ωωωωωω=⋅=++- ………………2分 sin 2cos 2x x ωω=+2sin(2)4x πω=+ ………………4分因为函数()f x 的最小正周期为π，所以212ππωω=⇒=.()2sin(2)4f x x π=+. (6)分 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且成等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（I ）设等差数列,}{d a n 的公差为 (0)d ≠由1313,,a a a 成等比数列，得 23113a a a =⋅ ………………2分即2(12)112d d +=+得2d =或0d =（舍去）. 故2d =，所以21n a n =- ……………… 6分 （II ） 2122n a n n b -==，所以数列{}n b 是以2为首项，4为公比的等比数列. ………………8分∴35212222n n S -=+++⋅⋅⋅+2(14)2(41)143nn-==-- ………………… 12分18. （本小题满分12分）在A B C ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.设向量(sin ,cos )m A B = ，(cos ,sin )n A B =（I ）若//m n，求角C ； （Ⅱ）若m n ⊥，15B =，62a =+，求边c 的大小.【解析】（I ）由//m nsin sin cos cos 0A B A B ⇒-=cos()0A B ⇒+=，因为0180A B <+<，所以90A B +=，180()90C A B =-+=. ………………6分（Ⅱ）由m n ⊥sin cos sin cos 0A A B B ⇒+=sin 2sin 20A B ⇒+=，已知15B = ，所以sin 2sin 300A +=，1sin 22A =-，因为023602330A B <<-= ，所以2210A =，105A =.1801510560C =--=.根据正弦定理sin sin a c AC=62sin 105sin 60c +⇒=(62)sin 60sin 105c +⇒=.因为62sin 105sin(4560)4+=+=，所以3(62)223(62)4c +⨯==+. (12)分19. （本小题满分13分） 已知0a ≠，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+， x R ∈ .（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x ，使00()()f x g x >成立，试求正实数．．．a 的取值范围.【解析】（I）由23212()33f x a x ax =-+求导得，22()2f x a x ax '=-. ……………………1分①当0a >时，由2222()2()0f x a x ax a x x a'=-=-<，解得20x a<<所以23212()33f x a x ax =-+在2(0,)a上递减. …………3分②当0a <时，由2222()2()0f x a x ax a x x a'=-=-<可得20x a<<所以23212()33f x a x ax =-+在2(,0)a上递减. …………………5分 综上：当0a >时，()f x 单调递减区间为2(0,)a；当0a <时，()f x 单调递减区间为2(,0)a…………………6分（Ⅱ）设23211()()()33F x f x g x a x ax ax =-=-+-1(0,]2x ∈. ……………………8分对()F x 求导，得2222()2(12)F x a x ax a a x a x '=-+=+-， ……………………9分因为1(0,]2x ∈，0a >，所以22()(12)0F x a x a x '=+->，()F x 在区间1(0,]2上为增函数，则m ax 1()()2F x F =.……………………11分 依题意，只需max ()0F x >，即211111038423a a a ⨯-⨯+⨯->，即2680a a +->，解得317a >-+或317a <--（舍去）. 所以正实数a 的取值范围是(317,)-++∞. ……………………13分20．（本小题满分13分）某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼b （万条）.（I ）设第n 年年初该鱼塘的鱼总量为n a (年初已放入新鱼b （万条）,2010年为第一年)，求1a 及1n a +与n a 间的关系；（Ⅱ）当10b =时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）. 【解析】（I ）依题意，1110(1)52a b b =⨯-+=+， (1)分*11()2n n a a b n N +=+∈ ……………………4分（Ⅱ）当10b =时，11102n n a a +=+，1120(20)2n n a a +⇒-=-，所以{20}n a -是首项为-5，公比为12的等比数列. (7)分 故11205()2n n a --=-⨯，得111205()2010()22n nn a -=-⨯=-⨯ ………………9分若第n 年初无效，则12010()19.52n -⨯>220n⇒>⇒5n ≥.所以5n ≥，则第5年初开始无效. (12)分即2014年初开始无效. …………………………………………13分21. 已知函数21()ln 2f x x ax bx =-+（0a >），且(1)0f '=. （Ⅰ）试用含有a 的式子表示b ，并求()f x 的极值；（Ⅱ）对于函数()f x 图象上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果在函数图象上存在点00(,)M x y （其中012(,)x x x ∈），使得点M 处的切线//l A B ，则称A B 存在“伴随切线”. 特别地，当1202x x x +=时，又称A B 存在“中值伴随切线”. 试问：在函数()f x 的图象上是否存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A 、B 的坐标，若不存在，说明理由.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x ax b x'=-+ ，(1)10f a b '=-+=，1b a ∴=-. ……………2分 代入1()f x ax b x'=-+，得1()f x ax x'=-(1)(1)1ax x a x+-+-=-.当()0f x '>时，(1)(1)0ax x x+-->，由0x >，得(1)(1)0ax x +-<，又0a >，01x ∴<<，即()f x 在(0,1)上单调递增； 当()0f x '<时，(1)(1)0ax x x+--<，由0x >，得(1)(1)0ax x +->， (4)分又0a >，1x ∴>，即()f x 在(1,)+∞上单调递减.()f x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.所以，当1x =时，()f x 的极大值为1(1)ln 1122a f ab =-+=- ………………6分（Ⅱ）在函数()f x 的图象上不存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”. 假设存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，不妨设120x x <<，则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221ln (1)2y x ax a x =-+-，2121AB y y k x x -==-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+---211221ln ln 1()12x x a x x a x x -=-++--，在函数图象1202x x x +=处的切线斜率120122()()2x x k f x f a x x +''===-⋅+12(1)2x x a ++-，由211221ln ln 1()12x x a x x a x x --++-=-12122(1)2x x a a x x +-⋅+-+化简得：212112ln ln 2x x x x x x -=-+，21lnx x =221122112(1)2()1x x x x x x x x --=++. 令21x t x =，则1t >，上式化为：2(1)ln 1t t t -==+421t -+，即4ln 21t t +=+，若令4()ln 1g t t t =++， 22214(1)()(1)(1)t g t tt t t -'=-=++，由1t ≥，()0g t '≥，()g t ∴在[1,)+∞在上单调递增，()(1)2g t g >=. 这表明在(1,)+∞内不存在t ，使得4ln 1t t ++=2.综上所述，在函数()f x 上不存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”. ……………13分。