弹塑性力学习题集

合集下载

弹塑性力学习题及答案

.本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。

答案 (1)pi iq qj jkpk δδδδδ=;答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。

（需证明）2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

《弹塑性力学》习题-26页精品文档

已知桁架各杆 EA 相同，材料的弹性关系
为 = E 。 A y l
P
C
x
D
B
l
28.09.2019
21
题2-3 左图示梁受荷载
q
作用，试利用虚位移原 M
理或最小势能原理导出
EI
x
梁的平衡微分方程和力 y
l
的边界条件。
q
题2-4 利用最小余能
原理求左图示梁的弯
EI
x
矩。
l y
28.09.2019
题2-1 图示结构各杆等截面杆，截面面积为A, 结点C承受荷载P作用, 材料应力—应变关系分
别为（1） =E ，(2) =E 1/2 。试计算结构
的应变能U 和应变余能 Uc。
A
ly
B
P
Cx
C’
l
28.09.2019
20
题2-2 分别利用虚位移原理、最小势能原
理和最小余能原理求解图示桁架的内力。
弹塑性力学部分习题
第一部分静力法内容
28.09.2019
1
题 1-1 将下面各式展开
（1）. 1 2 ij (ui,juj,i) (i,j1,2,3) （2）. U01 2ij ij (i,j1,2,3)
（3）. F i n iG u i,j u j,i i j e
x
y
其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应
力函数表示为
x y 22V,y x 22V,xy x2 y
28.09.2019
11
题1-13 试分析下列应力函数能解决什么问题？设无体力作用。
34Fcxy3xcy23q2y2
ox

弹塑性力学习题集

第二章应力
第四章本构关系
讨论:
s
σ3
h 3
h s
ε2
时，s 44h 本构方程为:
ε
σE =时，s )
1()
(111E
E
E E s s s -+=-+=σεεεσσs
εs
σ3
h 3
h
P
三杆均处于弹3
h 3h
P
03
h 3h
P
3
h 3
h
P
在弹塑性阶段，１杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，１杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段．在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量
级．一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段．
3
h 3
h
P
扭和内压作用，有应力分量
求：
比例从零开
多大时开始进入屈服？z ϕϕτ3=（２）开始屈服后，继续给以应力增量，满足0
=d γMises ：
屈服准则为
21=z f σz z ϕϕτσσ32==代入上式得到屈服后，增量本构关系为：
z
z
z z d E G d d σστσλϕ898=
=
第五章弹塑性力学问题的提法
第六章弹塑性平面问题
试求其应力分量。

图6.7 局部受均布载荷简支粱
的增大而迅速衰减。

弹塑性力学习题集

弹塑性力学习题集(有图)(共37页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--弹塑性力学习题集殷绥域李同林编中国地质大学·力学教研室二○○三年九月目录弹塑性力学习题........................................................................（1）第二章应力理论.应变理论......................................................（1）第三章弹性变形.塑性变形.本构方程.......................................（6）第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 (8)第五章平面问题的直角坐标解答 (9)第六章平面问题的极坐标解答................................................（11）第七章柱体的扭转...............................................................（13）第八章弹性力学问题一般解.空间轴对称问题...........................（14）第九章* 加载曲面.材料稳定性假设.塑性势能理论.....................（15）第十章弹性力学变分法及近似解法..........................................（16）第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 (18)第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 (19)附录一张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定...............（21）习题参考答案及解题提示 (22)前言弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。

(完整版)弹塑性力学习题题库加答案

第二章应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。

弹塑性力学试题集锦(很全,有答案)

1 / 218弹塑性力学2008级试题一简述题（60分） 1）弹性与塑性弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。

塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。

2）应力和应力状态应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。

应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。

3）球张量和偏量球张量：球形应力张量，即σ=000000m m m σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其中2 / 218()13m x y z σσσσ=++5）转动张量：表示刚体位移部分，即110221102211022u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥=-- ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦6）应变张量：表示纯变形部分，即112211221122uu v u w x y x z x v u vv w ij x y yz y w u w v wx z y z zε⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥=++ ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关3 / 218系，即应变协调条件。

22222y xyx y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂。

8）圣维南原理：如作用在弹性体表面上某一不大的局部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另一静力等效力所代替，则荷载的这种重新分布，只造离荷载作用处很近的地方，才使应力的分布发生显著变化，在离荷载较远处只有极小的影响。

弹塑性力学作业(含答案)

2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：则显然：3312317.08310 4.917100PaPa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.268840°16＇或（-139°44＇） 5-2：给出axy ϕ=；（1）：捡查ϕ是否可作为应力函数。

（2）：如以ϕ为应力函数，求出应力分量的表达式。

（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。

（坐标如图所示）解：将axy ϕ=代入40ϕ∇=式得：220ϕ∇∇= 满足。

弹塑性力学习题集_很全有答案_

σ y = cx + dy − γy , τ xy = − dx − ay ，其它应力分量为零。试根据
直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。 2—16* 已知矩形截面高为 h，宽为 b 的梁受弯曲时的正 My 12 M 应力 σ z = = y，试求当非纯弯时横截面上的剪应力公 J bh 3 式。（利用弹塑性力学平衡微分方程）
题 2—15 图
12 6 0 2—17 已知一点处的应力张量为： σ ij = 6 10 0 MPa ，试求该点的最大主应力及 0 0 0 其主方向。 2—18* 在物体中某一点 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ，试以 τ yz 和 τ zx 表示主应力。
3—1
为 ε 1 = 1.7 × 10 −4 ， ε 2 = 0.4 × 10 −4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。
3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。设钢块不变形，试求：在压力 P = 6KN 的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应变，铝的弹性常数 E=70Gpa，ν = 0.33。 3—10* 直径 D = 40mm 的铝圆柱体，无间隙地放入厚度为 δ = 2mm 的钢套中，圆柱受
v = b0 + b1 x + b2 y + b3 z w = c 0 + c1 x + c 2 y + c3 z
式中 a 0 L , a1 L , a 2 L 为常数，试证各点的应变分量为常数。 2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
(1) u = (3x 2 + 20) × 10 −2 , v = (4 yx) × 10 −2 ，在（0，2）点处。 (2) u = (6 x 2 + 15) × 10 −2 , v = (8 zy ) × 10 −2 , w = (3z 2 − 2 xy) × 10 −2 ，在（1，3，4）点处。 2—30 试证在平面问题中下式成立： εx + εy =ε′ x + ε′ y

(完整版)弹塑性力学习题题库加答案.docx

第二章应力理论和应变理论2— 15.如所示三角形截面水材料的比重 γ，水的比重 γ 1。

己求得力解：σ x = ax+by ， σy =cx+dy- γy ， τxy =-dx-ay ；根据直及斜上的界条件，确定常数 a 、b 、c 、 d 。

解：首先列出OA 、 OB 两的力界条件：OA ：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x= γ1 y ； T y =0σx =-γ1y ； τxy =0代入： σx =ax+by ； τxy =-dx-ay 并注意此： x =0得： b=- γ1； a=0；OB ： l 1=cos β ； l 2=-sin β， T x =T y =0：x cosxy sin0 yx cosy sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ a ）将己知条件： σ x=1xy=-dxyγ y-γ y ； τ； σ =cx+dy-代入（ a ）式得：1 y cos dx sin0L L L L L L L L L bdx coscxdyy sin L L L L L L L L L化（ b ）式得： d = γ12β；ctgT4n2τ 30° δ 30°30°化（ c ）式得： c =γctg β -2γ 13y10x10Ox12 6τxy103 Pa2— 17.己知一点的力量6 10 00 0δ y求点的最大主力及其主方向。

x题1-3 图解：由意知点于平面力状，且知：σx =12×O103σ y =10× 103 τ xy =6× 103，且点的主力可由下式求得：β212 101221.2xyxy21023n 22xy22610βγ 1y113710311 6.0828 10317.083 10 3 Paγ34.91724 10BA然：y117.083 10 3Pa2 4.917 10 3Pa30σ 1 与 x 正向的角：（按材力公式算）c2 xy2 6 12 sin 2tg 2121026xycos2然 2θ 第Ⅰ象限角： 2θ=arctg （ +6） =+80.5376 °则：θ=+40.2688 B 40° 16＇或（-139° 44＇）2— 19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3 并求出σ2 的主方向。

弹塑性力学部分习题及答案

解
根据梁的弯曲变形公式，y = Fx/L(L - x)，其中y为挠度，F 为力，L为梁的长度。代入题目给定的数据，得y = (frac{300 times (4 - x)}{8})。当x = 2时，y = (frac{300 times (4 - 2)}{8}) = 75mm。
习题三答案及解析
解析
和变形情况。
04
弹塑性力学弹塑性力学的基本假设。
答案
弹塑性力学的基本假设包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设和非线性假设。连续性假设认为物质是连续的，没有空隙；均匀性假设认为物质的性质在各个位置都是相同的；各向同性假设认为物质的性质在不同方向上都是相同的；非线性假设认为弹塑性
习题二答案及解析
01 02 03 04
解析
选择题主要考察基本概念的理解，如能量守恒定律、牛顿第二定律等。
填空题涉及简单的力学计算，如力的合成与分解、牛顿第二定律的应用等。
计算题要求应用能量守恒定律和牛顿第二定律进行计算，需要掌握基本的力学原理和公式。
习题三答案及解析
01
答案
02
选择题
03
1. A
2. 解
根据牛顿第二定律，F = ma，其中F为力，m为质量，a 为加速度。代入题目给定的数据，得a = (frac{400}{5}) = 80m/s(}^{2})。再根据运动学公式s = ut + (frac{1}{2})at(}^{2})，得s = 10 × 2 + (frac{1}{2} times 80 times (2)^2) = 108m。
04
计算题要求应用胡克定律和动量守恒定律进行计算，需要掌握基本的力学原理和公式。
习题二答案及解析

弹塑性力学习题集.doc

解：在x=()上，/=-1, m =0,X=yy Y=0（1）管的两端是自由的；应力状态为，G.= o f = pH”, G 尸o, T 疽苛％：=0 」2=：[（。

-弓）2+（。

厂％）2+（%-%）2+6（1混似+1*）】=:[2（pR 〃）2]= ! （pm ）26 J。

1 一对于 Mises 屈服条件：二=贮=T ： ZZ > p = \/3-T s t/R对于Tresca 屈服条件：=> P =2T /R第二章应力例2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为7,试写出边界条件。

(必)x=0* (-1)+(&)莉0 =冷脆或(T) +(a v ).(=o o = 0 (Z )m=F (T J.V =0- 在斜边上 1= cosg m = -sinao v cosa 一 T vr sina = 0T rv cosa- o v sina = 0第四章本构关系例.一薄壁圆管，平均半径为R,壁厚为/,受内压"作用，讨论下列两种情况：（1）管的两端是自由的；（2）管的两端是封闭的；分别使用Mises 和Tresca 屈服条件，讨论〃多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）解：将Mises 和Tresca 中的材料常数4和人、都使用纯剪时的屈服极限表示，并使得两种屈服条件重合，则有Mises 屈服条件：J 2 = T s 2■例题1 0 稣］=o 3 -4 0 求在1 I-45 _面上的法向正应力和切向剪应力丁 =/qi+"gi+〃Si =^xl-^x0+-j=x(-4) =；一2扼 | 11 3T 2=/^l2+/?/a 22+/ia 32=-xO--x3+-^xO = -- 1 | | 5V2 L=—x(-4)——x()+- — x5 = —2+m((r y )s +l(Tj s = Y(3) y = -h子=Jlf+T ；+穿一尻=—27+4 叫 2/ = 0, ni = -1'lx=0,Y=q(贝),・0 + "(+1)= 0奴),•(+i )+k)・o = o町0 + "(-1)= 0 &(-1) + &)$・0 = 0Tresca屈服条件：O）-G3=2T S(2)管段的两端是封闭的;应力状态为，(5=l)R/2t9 0Q=pR", o z=0 T“=L)=T&=0J2= 7 F(a-o r)2+(a-a0)2+(a0-G.)2+6( c] + 节 + 讫)1=!; (pR心o 6 2O|-o3= % = pR/t对于Mises屈服条件：P = 2X s t/R对于Trcsca屈服条件：p = 2tj/R例.一种材料在二维主应力空间中进行试验，所得屈服时的应力状态为(q, 00=(3/, f),假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。

弹塑性力学习题集

图中有虚线所示的剪应力τ ′ 时，能否应用平面应力圆求解。
题 2—26 图
2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC 微截面与 x、y、z 轴等倾斜，但τ xy ≠ 0, τ yz ≠ 0, τ zx ≠ 0, 试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的τ 8 指向是否垂直棱边？
并求 σ 2 的主方向。 2—20 证明下列等式：
(1)
J2
=
I2
+
1 3
I12 ;
(3)
I2
=
−
1 2
(σ
iiσ
kk
− σ ikσ ik );
(5)
∂J 2 ∂Sij
= Sij ;
(2)
J3
=
I3
+
1 3
I1I 2
+
2 27
I13 ;
(4)
J2
=
1 2
Sij Sij ;
(6)
∂J 2 ∂σ ij
= Sij .
应力τ 8 。 2—24* 一点的主应力为： σ1 = 75a, σ 2 = 50a, σ 3 = −50a ，试求八面体面上的全应力
P8 ，正应力 σ 8 ，剪应力τ 8 。 2—25 试求各主剪应力τ1 、τ 2 、τ 3 作用面上的正应力。 2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b)
题 2—2 图
题 2—3 图
2—3 求题 2—3 图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力单位为 MPa），并说明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。
2—4 已知平面问题单元体的主应力如题 2—4 图(a)、(b)、(c)所示，应力单位为 MPa。试求最大剪应力，并分别画出最大剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。

弹塑性力学习题集

第二章应力例2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容垂为丫，试写岀边界条件.解：在x=0上,/= -1 f m =0,X =y)?Y =0(q 畑(-1)+(5)"0 =" (T J.3 (-D+(Q v)t=0 0 = 0(aj^-yy (%)”=()•在斜边上1= cosa, m = -sindo t cosa一T yx sina = 0Tcosd- O v sina = 0例1如图所示，试写出其边界条件。

宀"色=0 •空=0 v\ =0 6办/ = L/?r = 0x=o.F=0(2) A = u.・解T| =/a H+wa2i-na)i —T •丄-2迈•V- 2 T] =S + 〃52 + 〃®2 =尹0—；；<3+善xO = _+Tj=/cr B + p,(723 + n<753=5X•^*"，T X®+"77 X5 = -2-r^-^<r v = T)/ r T,ni+T s n = -y x- 2if2)-J ■4r =(T汁Tf+Tf-贰=1 V*27+48V2s.、+〃％),=$;n(a v)x+/(r AV)r =f严-订―1 x = o. y = q(6),・o+Wj(-1)=0心)•(-l) + SJjO = g(6)J0+(G J、(+I)=0G・(+l) + CJ.0 = 0(1)管的两端是自由的)应力状応为，a：=0, %=pRf 二去严=丄(2(pR/“q= [ (pR/t)* 16 35~=毎=网〃对于'Ikes屈服餐件：J2=弋=V => p = 4"R对于Tim屈服条件：s-q比=2q n p = 2XJ/R面上的法向正应力和切向舅应力q例.一种材料左二维主应力空间中进行试验，所得屈肥时的应力状态为2“ G2M3/,小假定此材料为各向同性.与静水压力无关且拉压屈服应力相等.(1)由上述条件推虧在円一巴空间中的各屈肥点应力.(2)证明Mises屈展条件在G,-G2空间中的曲线通过5)中所有点.解：由于静水质力无关的条件得出压服在以下各点会发生：(Gp G>, G J=(3几G 0)+ (-3/, -3/, -3r)= (0. -2/, -3/>(G P a2» bj = (3匚z f 0)+ (-/, t, w>=(2/, 0, -6苒由于各向間性的条件.很容易右出0,-0：空间中的以下五个JS力点也是屈服点A,： (Gp G,, = 3r, 0)B|: 2[, Q2« 6)= (—3f, —2r, 0)B2：oj = (—2f, —3f, 0)C1： (Q p c2, ®)=⑵，0)C,： <G P Q:, G3)=(-/,2I9 0)还有.由于拉压屈服症力相等.因而可得到6一6空间中的另外六个J2力屈服点A3X (Op 匹，Q3)=(-3/, F 0)A4：(Q J, G" ^3>=<"G -3f, 0)Bj： (Op o,, a3) = (3r, 2f, 0) B4： (a p o,, 6)=⑵.3f, 0) C3： (a p G,, a3)=(-2r, z, 0) C4： (Op o,, 6)=匕-2/, 0)容易证明⑷心屈服条件氏+& y：6 =于=7r2通过以上所有屈嚴点平衡方程为：P = N、+ 2N2COS30°=(5+吊2)几何关系为：靳=叫斫=万y[3? 3 V 3© =宁，6=乔=訐本构方程为：当a < aX,(7 = 0； +£[(£-£$)=目£ + 6(1-¥)(2)管段的两端是封闭的;应力状态为，U.= P/?/2G Q^pRlt a r=0 1^=1^=：8,=0A= |(Q -Q,)2+(Q z-<y e>2+(Q0-Q.)2+6( + &)J=L AGj-G, = Gg = pR/[对于Mises屈服条件s P = 2x s t/R对于Trcscii屈服条件：p = 2T JR因此.根据这些点的数据. 可以作出在①空间中的屈服面.讨论:设已知三杆桁架如图1.18所示，三根杆的戡面枳邮相咼并有FU 杆件是由弹塑性线性强化材料所制成的。

武汉大学弹塑性力学课程习题集+答案

应力解平衡方程：0F z y x x =+∂∂+∂∂+∂∂zx yx x ττσ，几何方程：xux ∂∂=x ε，x u y u y x xy ∂∂+∂∂=γ，物理方程：v x λεεσ+=2G x ，xy γτG xy =，边界条件x zx yx x T n m l =++ττσ 1、如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为γ，试写出边界条件解：在x =0上，l = -1，m =0， (σx )x=0⋅ (-1) +(τyx )x =0⋅0 = γy (τxy )x =0⋅ (-1) +(σy )x =0⋅0 = 0 (σx )x =0=－γy (τxy )x =0⋅在斜边上 l = cos α，m = -sin ασx cos α - τyx sin α = 0 τxy cos α -σy sin α = 02、半无限空间体受均布荷载作用根据问题的对称性，位移应只是z 的函数 u z =w (z ) 体积应变是dzdwz u y u x u z y x v =∂∂+∂∂+∂∂=ε 代入平衡微分方程()0222=++g dzwd G ρλ，()()()()B A z g E w ++--+-=212211ρννν应力是()A z G vvy x +--==ρσσ1，()A z G z +-=ρσ，0===zx yz xy τττ 应用边界条件求待定常数：l =m =0，n =1，0==y x T T ，q T z =边界条件是：σz ⎪z =0=q 得A =q /ρg ，B 代表刚度位移，应由位移边界条件确定3、用应力函数ϕ=dxy 3+bxy 求解悬臂梁一端受集中力作用下问题的应力解（不考虑体积力）。

解：（1）显然满足变形协调方程（2）满足静力边界条件由应力函数求应力分量dx y 6y 22=∂∂=ϕσx ，0x22=∂∂=ϕσy ，b dy 3y x 22--=∂∂∂-=ϕτxy （a ）边界条件：在2hy ±=处，()02=±=h y y σ，()02=±=h y xy τ （b ）（a ）代入（b ）得： 0)2(32=--b hd （c ）在x =0的边界（l = -1，m = 0）上，力边界条件要求0dxy 61m l X 0=-=⋅-=+==x x yx x στσ，b dy 31m l Y 2+=⋅-=+=xy y xy τστO α1yx应用圣维南原理近似满足：bh dh 41bydy 1dy Y P 3223+=+=⋅=-⎰h h （d ）联立（c ）和（d ）得，h P 23b =，3hP2d -= （e ）将（e ）代入（a ）并由12I 3h =，28S 22y h -=，Px -=M 得 y I M =x σ，σy = 0 ，IPS -=xy τ4、简支梁收均匀分布荷载作用，梁高度h ，跨度2L ，试求应力分量和跨中挠度设σy 仅是y 的函数，σy =f(y)，即()y f x y =∂∂=22ϕσ，得()()()y f y xf y f x 21221++=ϕ 代入协调方程022=∇∇ϕ得，022122424414442=+++dyfd dy f d dy f d x dy f d x 对于-L ≤x ≤L ，上面方程都成立，所以44dy fd =0，414dy f d =0，224242dy f d dy f d +=0 积分得： f(y)=A y 3+B y 2+C y +D ， f 1(y)=E y 3+F y 2+G y +R ，()M Ly Ky Hy y B y A y f ++++--=23452610 因此 ()()⎪⎭⎫⎝⎛++--+++++++=23452323261021Ky Hy y B y A Gy Fy Ey x D Cy By Ay x ϕ 得：()()K Hy By Ay F Ey x B Ay x yx 262226323222++--+++=∂∂=ϕσ DCy By Ay xy +++=∂∂=2322ϕσ()()G Fy Ey C By Ay x yx xy++-++-=∂∂∂-=2323222ϕτ由σx ，σy ，是x 的偶函数，τxy 是x 的奇函数得：E=F=G=0 上下边界条件：()q h y y -=-=2σ，()02==h y y σ，()02=-=h y xy τ，()02==h y xy τ将σx ，σy ，τxy 代入得A=－2q/h 3 ，B=0，C=3q/2h ，D=－q/2由对称性，两端边界条件：()01=*=+==L x x yx x x m l T στσ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=*=+==h q y hqL m l T L x xy y xy y 236123τστ，由圣维南原理，()0222===--⎰⎰dy dy T Lx h h x h h x σ，()qL dy dy T Lx h h xyh h y -===--⎰⎰2222τ，()022===--⎰⎰ydy dy y T Lx h h x h h x σ 将σx ，σy ，τxy 代入得h q hqL H 1032-= ，K=0，将以上常数代入σx ，σy ，τxy 得出应力解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=53422h y h y q y I M x σ，22112⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=h y h y q y σ，I QSxy =τ 其中，()222x L q M -=，qx Q -= RITZ 法1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示，试写出挠度表示的各边边界条件：解：简支边OC 的边界条件是：()00==y ω()0022220)(M xy D M y y y -=∂∂+∂∂-===ωνω自由边AB 的边界条件是：()0)(2222=∂∂+∂∂===b x by y x y M ωνω，()()q y x y D V by b y y -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-+∂∂-===23332ωνω 两自由边的交点B ：()0,===b y a x ω()B by a x xy R M ===,2是B 点支座的被动反力。