平面曲线的曲率1

y
D  1 k
M
y  f (x)

o 1    . 以 D 为圆心,  为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.

x

D    曲率中心,

    曲率半径.

注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即   ,k  . k  2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
弧的平均弯曲程度为


N

.

 如 果 极 限lim 存 在, s  0 s
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s

M0

s M

s  

 则称 lim 为曲线 在M处的曲率 . s 0 s

记作

  lim

Δs  0

 d  . s ds

2.曲率的计算 1) 光滑曲线  为

 2 t   y  2 t   0. 若x(t )和y(t )二阶可导且 x
则曲线在点M的曲率为

 x  x(t ),   t   .   y  y(t );



   y  x y x



2   x y

3 2 2



3、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y  f ( x ) 在点

M ( x , y ) 处的曲率为k ( k  0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM


第八节 平面曲线的曲率 曲率的概念 曲率的计算 曲率圆与曲率半径

1.曲率的定义
曲线的弯曲程度：与切线的转角成正比 与曲线的弧长成反比

1
M2
M1

 2

S 2
M3

M

S1
N

M

S1

S 2 N 



弧段弯曲程度

转角相同弧段越

越大转角越大

短弯曲程度越大

M处的切向量与 N 处的切向量的夹角  , 绕过的弧长为 s。 