理论力学陈立群第7章习题解答

第七章 质点动力学 习题解答
7-1 质量为40 g 的小球M 以初速度v =8 j (m/s)从点A (0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i 方向恒定的电磁力作用，其大小F = kN ，如图所示。

求小球M 到达xy 平面点B 时，点B 的坐标和小球的速度。

解：取小球M 为研究对象，小球所受到的主动力为 k i F mg F R -=
由质点运动微分方程R F m =r
，写出投影式 F x
m = ，0=y m ，mg z m -= 初始条件为
000====t t y x ，3.00==t z ；
000====t t z x
，v y t ==0 解得质点的速度方程为
t m
F
x
= ，v y = ，gt z -= 质点的运动方程为 22t m F x =
，vt y =，3.02
2+-=t g
z 当0=z 时，小球到达xy 平面，由 03.02
2
=+-
=t g z 解得s 247.01=t ，于是小球到达xy 平面时的各速度分量为
m/s 7.494811===t m
F
x t t ，m/s 81===v y t t ，m/s 425.211
-=-==gt z t t . 各坐标为
m 2.61222
11
==
=t m F x t t ，m 979.111
===vt y t t ，
m 137.23.02
211
-=+-==t g
z t
t .
7-2 图示A ，B 两物体的质量分别为m A 和m B ，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r 。

运动开始时，两物体的高度差为
h ，且m A > m B ，不计滑轮质量。

求由静止释放后，两物体达到相同高
度时所需的时间。

解：分别取A 和B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程
TA A A A F W x m -=
， TB B B B F W x m -= ， 式中g m W A A =，g m W B B =，根据题意，有
TB TA F F =，B A x x -=，B A x
x -= 初始条件
00==t A x ，h x t B ==0，00==t A x
，00==t B x . 解以上初值问题，得
题7-2图
g m m m m x B
A B A A +-=
， ()22gt m m m m x B A B
A A +-=
g m m m m x B A B A B +--=
， ()h gt m m m m x B A B
A B ++--=22 令B A x x =，即
()()
h gt m m m m gt m m m m B A B A B A B A ++--=+-2222
解得当两物体达到相同高度时 ()()g
m m h m m t B A B A -+=...
7-3 质量为m 的质点M 受到引力F = ?k 2
m r 的作用，其中k 为常量，运动开始时，质点M 在轴x 上，OM 0 = b ，初速度v 0与轴x 的夹角为?，如图所示。

试求质点M 的运动方程。

解：取质点M 为对象，列出质点运动微分方程：
F =r
m ， 投影式为
x k x 2-=
，y k y 2
-= 初始条件：b x t ==0，00==t y ；
βcos 00v x
t == ，βsin 00v y t == . 解上述初值问题，得质点M 的运动方程
kt b kt k v x cos sin cos 0+=β，kt k
v
y sin sin 0β=.
7-4 图示套管A 的质量为m ，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。

绳子的另一端绕过离杆距离为l 的滑轮B 而缠在鼓轮上，当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为v 0。

如果滑轮尺寸略去不计，试求绳子的拉力与距离x 之间的关系。

解：取套管A 为研究对象，受力图如图示，先进行运动学分析. 将
22x l AB +=
对时间求导，得
()
022d d v x
l x x AB t -=+=
解出
02
2v x
x l x
+-= ， 再对时间求导，并将上式代入，得
320
2x
v l x -=
. 在铅锤方向列出动力学方程
x
题7-3
题7-4图
题7-2受力图
m
mg F x
l l
ma T -+=
2
2
其中x
a -=，于是绳子的拉力T F 与距离x 之间的关系为 l x l x v l g m F T 22320
2+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=.
7-5 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。

当r = 10 000 m ，? = 60?，rad/s 02.0=θ
，且2rad/s 002.0=θ
时，火箭的质量为5 000 kg 。

求此时的喷射反推力F 。

解：以火箭为研究对象，设坐标系如图示， ϑsin r y =，const sin ==ϑr x ，
将上式对时间求导后，解得火箭的速度
ϑ
ϑcos r y =
再次对时间求导，并将上式代入，解得火箭的加速度
r y ϑ
ϑϑϑϑ2
2cos cos sin 2 += 在y 方向列写动力学方程，
mg F y
m -= ， 喷射反推力F 为 ()g y
m F += 将数据代入，求得此时的喷射反推力
kN 56.387=F .
7-6 质量皆为m 的两物块A ，B 以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平及铅垂面上，如图所示。

当自由释放时，求此瞬时杆AB 所受的力。

解：1）取物块A 为研究对象，AB 杆为二力杆BA AB F F =，受力图如图示，列出动力学方程
A A A
B A a m F g m =-ϑsin ， （a ） 2）取物块B 为研究对象，
B B BA a m F =ϑcos ， (b) 3）运动学分析 ϑϑsin ,
cos l y l x A B ==
对时间求二次导数，得
ϑϑϑϑcos ,sin l y l x
A B =-=； ()()
ϑϑϑϑϑϑϑϑsin cos cos sin 22 -=+-=l y l x
A B 在初瞬时，0=ϑ
，初加速度为 ϑϑ
cos l a A =， ϑϑsin l a B
-= (c) 由（a ）、(b) 、(c)三式解得 ()
g m m m m F B A B A AB ϑ
ϑϑ
22sin cos 22sin --
=
题7-5图
题7-6图
据题意，B A m m =，初瞬时
120=ϑ，杆AB 所受的力为 mg F AB 2
3
=.
7-7 质量为m 的小球以水平速度v 0射入静水之中。

如水对小球的阻力F 与小球速度v 的方向相反，且与速度的大小成正比，即F = ??v ，?为阻尼系数。

忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。

解：取小球为研究对象，列出动力学方程 g F r m m += ， 投影式为
x x m μ-=，mg y y m +-= μ 初始条件：
000====t t y x ，0,000====t t y v x
. 解上述初值问题，得小球在重力和阻力作用下的运动方程为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t m e mv x μμ10，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-t m e g m t mg y μμμ122.
7-8 滑块M 的质量为m ，在半径为R 的固定光滑圆环上滑动。

圆环位于铅垂平面内。

滑块
M 上系有一弹性绳，它穿过圆环的点O 固定于A 。

已知当滑块在点O 时，绳的张力为零。

弹性
绳每伸长1 (cm)需力c (N)。

开始时滑块在圆环的顶端点B ，处在不稳定平衡状态，当它受到微小扰动时，沿圆环滑下，?为绳的OM 部分与水平线的夹角，
如图所示。

试求滑块
M 的下滑速度v 与?角的关系以及圆环的约束力。

解：取滑块M 为研究对象，受力图如图示，列出切线和法线方向的动力学方程，
ϕϕ2sin cos T t mg F ma --=， （a ）
ϕϕ2cos sin T N 2
mg F F R
v m -+-=, (b) 式中，ϕ
R a 2t =，ϕsin 2T cR F =.初始条件为 2
0π
ϕ=
=t ，00==t ϕ
. 解此初值问题. 关系利用ϕ
ϕ
ϕϕ
d d =，积分式（a ）
()⎰⎰
+=ϕ
πϕ
ϕϕϕϕ
2
d 2sin d 2mg cR mR ， ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+±=g m cR R 1cos ϕϕ
， 得滑块M 的下滑速度v 与?角的关系
⎪⎭
⎫
⎝⎛+==g m cR R R v ϕϕcos 22 ，（与τ方向相反）. 从（b ）式解得圆环的约束力
题7-7图
滑块受力图
题7-8图
()ϕϕϕ2cos cos 4sin 22
2N mg cR mg cR F -+-=.
7-9 作用有简谐激振力F ，并带有阻尼元件的弹簧质量系统如图所示。

设质点的质量为m = 350 kg ，弹簧的刚度为k = 20 kN/m ，简谐激振力振幅的大小H = 100 N ，激振频率f = Hz ,阻尼元件的阻尼系数c = 1600 N·s/m，试求系统受迫振动的振幅，受迫振动相位滞后激振力相位角和受迫振动的方程。

解：选取平衡位置为坐标原点，x 轴垂直向下，i 为单位向量， 弹性恢复力 i F x k k -=，
粘性阻尼力 i F x
c c -=， 简谐激振力 i t H F ωsin = 质点运动微分方程的为
t H kx x c x
m ωsin 2=++ 化作标准形式
t h x x n x n ωωsin 22
=++
其中 m c n 2=，m k n =2
ω，m
H h =，f πω2=， 振幅为 ()
2
22
224ω
ω
ω
n h
b n
+-=
受迫振动相位滞后激振力相位角ϑ的正切为
2
22tan ω
ωω
ϑ-=n n 代入数据，得 mm 90.1=b ,rad 50.0-=ϑ. 受迫振动的方程为 ()m m 50.071.15sin 90.1-=t x
7-10质量为m 的质点在水平面的上空受斥力的作用而处于悬浮状态，斥力的大小与质点到这平面的距离成反比，比例系数为?。

求质点在平衡位置附近作竖向微振动的运动微分方程。

解：以质量为m 的质点为研究对象，以斥力为零的水平面为坐标原点，斥力为x
F λ
=
，受力图如图示，运动微分方程为
mg x
x
m -=λ
.
7-11 在图示振动系统中，已知：重物A 的质量m = 1 kg ，两串联弹簧的刚度系数分别为k 1 =12 N/cm, k 2 = 4 N/cm ，? = 30?，斜面摩擦不计，在弹簧没有变形时将重物A
无初速地释放，同时B 端以? = (10t)
cm 沿斜面运动。

试求重物A
的运动方程。

解：取重物A
为研究对象，串联弹簧的等效刚度系数k 满足
习题7-9
质点受力图
题7-11
2
1111k k k += 解得N/cm 3=k ， g F F
m e
建立与B 固结的动坐标系y x B ''-，坐标原点选在A 的相对经平衡位置。

牵连惯性力为
()N 10sin 15.0e
t m m F =-=ξ
， 列出相对运动动力学方程
()()x k t m mg x m '+-+='st 10sin 15.030sin δ
， 即
()x t x '-='30010sin 15.0 ， 通解为
()()
()m
10sin 105.7
310cos 310sin 4t t B t A x -⨯++=
'根据初始条件：0,000='='==t t x
x ，解得重物A 的相对运动方程
()()m m 10sin 75.03.17sin 43.0t t x +='.
7-12
倾角为?的楔块A 的质量为
解：1）取楔块A 为研究对象，列出水平方向的动力学方程
ϑsin e N
A F a m '= 2）取物块
B 为研究对象，物块B 作合成运动，以楔块A 为动系。

列出动力学方程
()ϑϑsin cos e r N B F a a m =-，
ϑϑcos sin r N B B F g m a m -=，
联立上面三式，并注意到N N
F F ='，解得 ()
g m m m a B A B ϑϑ
2
e sin 22sin +=
， ()g m m m m a B A B A ϑ
ϑ2r sin sin ++=
，
楔块A 与物块B 之间相互作用力的大小为 ϑ
ϑ
2sin cos B A B A N m m g m m F +=
.
7-13 质量为m 的小环M 套在弯成y = f (x )形状的光滑金属丝上，金属丝通过坐标原点并绕竖直轴Oy 以等角速度?转动，如图所示。

如果要使小环在金属丝的任何位置都能处于相对平衡状态，试求金属丝的形状以及平衡时金属丝对小环的作用力。

解：以小环M 为对象，光滑金属丝为动系，设k j,i,为沿动系坐标轴的单位向量，则
相对速度： j i y x v +=r ，牵连加速度：i a 2
e ωx -=，
因相对平衡时0r =v ，所以科氏加速度0c =a .，
滑块受力图
题7-12图
物块A 和B 的受力图
题7-13图
牵连惯性力：e e a F m -=，科氏惯性力：0c =F . 列出相对平衡方程
0e =+-N mg F j F ，
向切线，即速度方向投影， ()0r e =⋅+-v F j F N mg ， 导出
02=-x x y
g ω， 积分上式得金属丝的形状为：
222
1
x y ω=.
从而
j i j F F mg x m mg N +=+-=2
e ω，
平衡时金属丝对小环的作用力大小为
()
22
2g x
m F N +=ω.
7-14 质量为2?106
kg 的列车以54 km/h 的速度由南向北行驶。

试求列车行驶到北纬40?时，列车对铁轨的侧压力。

解：列车对铁轨的侧压力等于科氏惯性力.
以列车为研究对象，地球为动参考系，建立图示动坐标系z y x m '''-，沿动系坐标轴的单位基矢量为k j,i,，则列车相对速度和地球转动的角速度为等于
m /s 15km /s 54r j j v ==，
()k j ωϕϕωsin cos +=，rad/s 10
27.75
-⨯=ω，
科氏加速度为 i v ωa ϕωsin 22r r v c -=⨯=， 科氏惯性力为 i a F ϕωsin 2r c e v m m =-=， 代入数据，得列车对铁轨的侧压力 kN 80.2e =F 。

题7-14图。