理论力学陈立群第7章习题解答

第七章 质点动力学 习题解答

7-1 质量为40 g 的小球M 以初速度v =8 j (m/s)从点A (0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i 方向恒定的电磁力作用，其大小F = kN ，如图所示。求小球M 到达xy 平面点B 时，点B 的坐标和小球的速度。

解：取小球M 为研究对象，小球所受到的主动力为 k i F mg F R -=

由质点运动微分方程R F m =r

，写出投影式 F x

m = ，0=y m ，mg z m -= 初始条件为

000====t t y x ，3.00==t z ；

000====t t z x

，v y t ==0 解得质点的速度方程为

t m

F

x

= ，v y = ，gt z -= 质点的运动方程为 22t m F x =

，vt y =，3.02

2+-=t g

z 当0=z 时，小球到达xy 平面，由 03.02

2

=+-

=t g z 解得s 247.01=t ，于是小球到达xy 平面时的各速度分量为

m/s 7.494811===t m

F

x t t ，m/s 81===v y t t ，m/s 425.211

-=-==gt z t t . 各坐标为

m 2.61222

11

==

=t m F x t t ，m 979.111

===vt y t t ，

m 137.23.02

211

-=+-==t g

z t

t .

7-2 图示A ，B 两物体的质量分别为m A 和m B ，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r 。运动开始时，两物体的高度差为

h ，且m A > m B ，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相同高

度时所需的时间。

解：分别取A 和B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程

TA A A A F W x m -=

， TB B B B F W x m -= ， 式中g m W A A =，g m W B B =，根据题意，有

TB TA F F =，B A x x -=，B A x

x -= 初始条件

00==t A x ，h x t B ==0，00==t A x

，00==t B x . 解以上初值问题，得

题7-2图

g m m m m x B

A B A A +-=

， ()22gt m m m m x B A B

A A +-=

g m m m m x B A B A B +--=

， ()h gt m m m m x B A B

A B ++--=22 令B A x x =，即

()()

h gt m m m m gt m m m m B A B A B A B A ++--=+-2222

解得当两物体达到相同高度时 ()()g

m m h m m t B A B A -+=...

7-3 质量为m 的质点M 受到引力F = ?k 2

m r 的作用，其中k 为常量，运动开始时，质点M 在轴x 上，OM 0 = b ，初速度v 0与轴x 的夹角为?，如图所示。试求质点M 的运动方程。

解：取质点M 为对象，列出质点运动微分方程：

F =r

m ， 投影式为

x k x 2-=

，y k y 2

-= 初始条件：b x t ==0，00==t y ；

βcos 00v x

t == ，βsin 00v y t == . 解上述初值问题，得质点M 的运动方程

kt b kt k v x cos sin cos 0+=β，kt k

v

y sin sin 0β=.

7-4 图示套管A 的质量为m ，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另一端绕过离杆距离为l 的滑轮B 而缠在鼓轮上，当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为v 0。如果滑轮尺寸略去不计，试求绳子的拉力与距离x 之间的关系。

解：取套管A 为研究对象，受力图如图示，先进行运动学分析. 将

22x l AB +=

对时间求导，得

()

022d d v x

l x x AB t -=+=

解出

02

2v x

x l x

+-= ， 再对时间求导，并将上式代入，得

320

2x

v l x -=

. 在铅锤方向列出动力学方程

x

题7-3

题7-4图

题7-2受力图

m

mg F x

l l

ma T -+=

2

2

其中x

a -=，于是绳子的拉力T F 与距离x 之间的关系为 l x l x v l g m F T 22320

2+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=.

7-5 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当r = 10 000 m ，? = 60?，rad/s 02.0=θ

，且2rad/s 002.0=θ

时，火箭的质量为5 000 kg 。求此时的喷射反推力F 。 解：以火箭为研究对象，设坐标系如图示， ϑsin r y =，const sin ==ϑr x ，

将上式对时间求导后，解得火箭的速度

ϑ

ϑcos r y =

再次对时间求导，并将上式代入，解得火箭的加速度

r y ϑ

ϑϑϑϑ2

2cos cos sin 2 += 在y 方向列写动力学方程，

mg F y

m -= ， 喷射反推力F 为 ()g y

m F += 将数据代入，求得此时的喷射反推力

kN 56.387=F .

7-6 质量皆为m 的两物块A ，B 以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平及铅垂面上，如图所示。当自由释放时，求此瞬时杆AB 所受的力。 解：1）取物块A 为研究对象，AB 杆为二力杆BA AB F F =，受力图如图示，列出动力学方程

A A A

B A a m F g m =-ϑsin ， （a ） 2）取物块B 为研究对象，

B B BA a m F =ϑcos ， (b) 3）运动学分析 ϑϑsin ,

cos l y l x A B ==

对时间求二次导数，得

ϑϑϑϑcos ,sin l y l x

A B =-=； ()()

ϑϑϑϑϑϑϑϑsin cos cos sin 22 -=+-=l y l x

A B 在初瞬时，0=ϑ

，初加速度为 ϑϑ

cos l a A =， ϑϑsin l a B

-= (c) 由（a ）、(b) 、(c)三式解得 ()

g m m m m F B A B A AB ϑ

ϑϑ

22sin cos 22sin --

=

题7-5图

题7-6图