初二数学.典型中点构造.学生版

题型切片（三个）对应题目

题型目标三角形中位线例1，例2，例7，练习1，练习2，练习3；中点四边形例3，练习4；

直角三角形斜边中线例4，例5，例6，练习5．

题型切片

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典型中点构造

E

D C

B A F

A B

C

E G E D C B A

F E D C B A

三角形中位线

定义：连接三角形两边中点的线段；

定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 如图：若DE 为ABC △的中位线,则DE BC ∥，且1

2

DE BC = 三角形中位线中隐含的重要性质： ①一个三角形有三条中位线．

②三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．

③三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． ④三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一．

如图：EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有

①AEG EBF GFC FGE △≌△≌△≌△

②AEFG EBFG EFCG S S S ==平行四边形平行四边形平行四边形

③12EFG ABC C C =△△，1

4

EFG ABC S S =△△

【引例】 如图，已知ABC △，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证：DE BC ∥且1

2

DE BC =．

【解析】 延长DE 到点F ，使EF=DE ，连接FC ，DC ，AF ．

∵AE=EC

∴四边形ADCF 是平行四边形 ∴CF//DA 且CF=DA ， CF //BD 且CF=BD 例题精讲

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题型一：三角形中位线

∴四边形DBCF 是平行四边形 ∴DF //BC 且DF=BC

又1

2

=DE DF

∴DE //BC ，且1

2

=DE BC

【例1】 已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥．

⑴ 如图1，E 、F 是AB 、CD 的中点．求证：EF AD BC ∥∥且1

()2

EF AD BC =+．

⑵ 如图2，E 、F 是BD 、AC 的中点．试写出EF 与AD 、BC 之间的关系． ⑶ 如图3，若梯形满足90B C ∠+∠=︒．E 、F 是AD 、BC 的中点．试写出EF 与AD 、

BC 之间的数量关系

图1

F E D

C

B

A A B

C

D E F

图2

图3

F E

D

C

B

A

【例2】 ⑴四边形ABCD 中， E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：

①()12EF AC BD <

+；②()1

2

EF AD BC ≤+ ⑵四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：()2221

4

EF BD AC =

+． A

B

C

D

E

F

A

E

B

C

F D

备用图

F

E

D

C B

A

典题精练

定义：顺次连接一个四边形四边中点所得四边形称为中点四边形． 中点四边形题型的思路是将四边形转化为三角形，构造三角形中位线进行证明．而探索中点四边形为特殊的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否相等或垂直． 中点四边形：对角线+中位线

⑴顺次连结平行四边形各边中点所构成的四边形是 ； 顺次连结矩形各边中点所构成的四边形是 ； 顺次连结菱形各边中点所构成的四边形是 ；

顺次连结直角梯形各边中点所构成的四边形是 ； 顺次连结等腰梯形各边中点所构成的四边形是 ； ⑵顺次连结任意四边形各边中点所构成的四边形是 ；

⑶顺次连结对角线相等的四边形的各边中点所构成的四边形是 ；

⑷顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点所构成的四边形是 ．

【引例】 如图，四边形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD DA 、、、的中点． 求证：四边形EFGH 为平行四边形．

H

G

F E D

C

B

A

H

G

F

E

D

C

B A

【解析】 如图，连接，AC

∵E F G H ，，，分别是AB BC CD DA ，，，的中点． ∴HG 、EF 是△DAC 和△BCA 的中位线

∴HG AC EF ∥∥，1

2

HG EF AC ==

∴可得HG//EF 且HG=EF ，

∴四边形EFGH 为平行四边形．

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例题精讲

题型二：中点四边形

【例3】 已知：如图1， 在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且CE DF =，

AF 、DE 交于点G ，则可得结论：① AF DE =；②AF DE ⊥．

（不需要证明） ⑴如图2，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 、DC 的延长线上，且CE DF =，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

⑵如图3，在⑴的基础上，连接AE 和EF ，若点M 、N 、P 、Q 分别为AE 、EF 、FD 、AD 的中点，试判断四边形MNPQ 的形状，并证明你的结论．

图3

图2

图1

Q

P N M A

F

B

E

G

D

C

A F

B

E

G D

C A

F B

E G

D C

典题精练