(完整版)一元一次方程的应用等积变形问题

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完整版)一元一次方程应用题及答案

完整版)一元一次方程应用题及答案1.某商店开业，为了吸引顾客，所有商品均以八折优惠出售。

已知某种皮鞋进价为60元一双，商家以40%的利润率出售。

问这种皮鞋的标价和优惠价分别是多少元？2.某商品在加价20%后的价格为120元，求它的进价是多少？3.一家商店将某种服装的标价提高40%，并以八折优惠卖出。

结果每件服装仍可获得15元的利润。

问这种服装每件的进价是多少？4.一家商店将一种自行车的标价提高45%，并以八折优惠卖出。

结果每辆自行车仍可获得50元的利润。

问这种自行车每辆的进价是多少元？5.某商品的进价为800元，出售时标价为1200元。

由于该商品积压，商店准备打折出售。

但要保持利润率不低于5%，则至多可以打几折？6.一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”。

经顾客投诉后，拆迁部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款。

求每台彩电的原售价是多少？7.甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价。

在实际销售时，两件服装均按9折出售。

这样商店共获利157元。

求甲乙两件服装的成本各是多少元？8.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听和书包的单价和为452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元。

某天该超市打折，A超市所有商品打8折出售，B超市购物每满100元返购物券30元。

但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的两件物品，你能说明他可以选择哪一家吗？若两家都可以选择，哪家更省钱？知识点2：方案选择问题1.某蔬菜公司有一种绿色蔬菜，直接销售每吨利润为1000元，经粗加工后销售每吨利润可达4500元，经精加工后销售每吨利润涨至7500元。

当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行粗加工，每天可加工6吨。

但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕。

一元一次方程的应用等积变化问题

一元一次方程的应用等积变化问题等积变化问题是一元一次方程应用题中的一种常见题型，其基本特点是涉及到体积、面积、长度等量的变化，而这种变化是等积的，即变化前后的量是相等的。

解决等积变化问题的关键在于理解“等积”的含义，即体积、面积、长度等量在变化过程中保持不变。

因此，我们需要根据题目描述，建立等量关系，然后列出方程求解。

下面是一个具体的例子：题目：有一个长方体，它的长增加了2cm，宽和高不变，体积增加了40立方厘米；宽增加了2cm，长和高不变，体积增加了60立方厘米；高增加了2cm，长和宽不变，体积增加了48立方厘米。

求原来长方体的体积是多少？解：设原长方体的长为l cm，宽为w cm，高为h cm。

根据题目描述，我们可以建立以下方程：1. 长增加2cm后，体积增加了40立方厘米：(l + 2) × w × h - l × w × h = 402. 宽增加2cm后，体积增加了60立方厘米：l × (w + 2) × h - l ×w × h = 603. 高增加2cm后，体积增加了48立方厘米：l × w × (h + 2) - l × w × h = 48将以上三个方程整理为一元一次方程组：1) (l + 2) × w × h - l × w × h = 402) l × (w + 2) × h - l × w × h = 603) l × w × (h + 2) - l × w × h = 48通过解这个方程组，我们可以得到原长方体的长、宽、高分别为：l = 5 cm, w = 4 cm, h = 3 cm。

因此，原来长方体的体积是：l × w × h = 5 × 4 × 3 = 60 立方厘米。

5.3 一元一次方程的应用(2) 等积变形--

2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变
3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，源自把它改变成球。解：形状改变，体积不变
一纪念碑建筑的底面呈正方形，其四周铺上花岗石，形成一个宽为3米的正方形边框（如图中阴影部分），已知铺这个边框恰好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石（接缝忽略不计）,问纪念碑建筑底面的边长是多少米?
4 3 x 3 0.75 0.75 192
解这个方程，得x=6
答：纪念碑建筑底面的边长为6米. 方案二
本题还有哪些解法？
1、在应用方程解决问有关实际问题时，清楚地分辨量之间的关系，尤其相等关系是建立方程的关键。 2、对于等积变形(面积）问题，它的基本数量关系是相关的面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的方法来计算阴影部分的面积，面积不变。
3
x
3
阴影部分的面积= 192块边长为0.75正方形花岗岩的面积阴影部分的面积= 4个长为(x+3)米、宽为3米的长方形解：设纪念碑建筑底面的边长为米，根据题意，得
4 3 x 3 0.75 0.75 192
解这个方程，得x=6 答：纪念碑建筑底面的边长为6米.
2x 5 x 2 x3
例2、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有 17 人，现调 20 人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？分析 : 设应调往甲处 x 人，题目中涉及的有关数量及其关系能用表格去表示吗？
例2、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有 17 人，现调 20 人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？分析 : 设应调往甲处 x 人，题目中涉及的有关数量及其关系能用表格去表示吗？原有人数甲处 23 乙 17 处

一元一次方程实际应用题之等积变形问题

一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。

可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。

解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。

2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。

要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。

解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。

如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。

解：零件的底面积是x平方厘米。

8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。

3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。

一元一次方程的应用+第1课时等积变形问题+ 课件 +2024-—2025学年北师大版数学七年级上册

新知小结 2. 常见图形的周长、面积及体积计算公式.
（1）长方体的体积＝长×宽×高； ⁠
（2）圆柱的体积＝底面积×高； ⁠
（3）长方形的周长＝ 2×（长＋宽）； ⁠
（4）长方形的面积＝长×宽 . ⁠
3. 列一元一次方程解决实际问题的基本步骤.
典例精析例1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。
课堂总结
等积变形问题
关键根据等量关系列方程.
解应用题步骤
①审； ②设； ③列； ④解； ⑤检； ⑥答.
情境导入教师让学生拿出课前准备好的橡皮泥，先捏出一个“瘦长”的圆
柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱，请同学们边操作边思考下列几个问题：
（1）在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化？还有哪些量改变了？
（2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？解：（1）圆柱的底面直径发生了变化；
因此，易拉罐的高度变为__1_4_._5_2__cm.
新知小结
1. 常见的几种情形列方程. （1）物体的锻压等应用题，抓住体积不变建立方程；（2）周长一定，围成不同形状的图形，图形的面积可能变了，抓住周长不变列方程；（3）图形的拼接、割补、平移、旋转等类型的应用题，抓住图形变化前后的面积、周长不变列方程. 注：应学会“变中找不变”和“不变中找变”的数学思想方法.
随针堂对检练测习
设小明的爸爸设计的养鸡场的宽为 y m，则长为（y ＋2）m. 由题意，得 y＋y＋（y＋2）＝35，解得 y＝11，则 y＋2＝13. 所以小明爸爸设计的养鸡场长为13m，小于墙长，宽为11m，面积为13×11＝143（m2）. 所以小明爸爸的设计合理，这时养鸡场的面积为143m2.

一元一次方程应用-等积变形、行程问题1

题中所用的数量关系是：路程=速度×时间若设提速前客车的平均速度为x，应怎样表示提速后速度？
（x+40）km／t
根据题意可得：10（x+4）=1100
考考你
1、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
解：设应截取的圆柱体钢长为xmm 根据题意得
200 x 300 300 90 2
2
解方程得 x≈258 答：应截取约258mm长的圆柱体钢列方程解应用题的关键就是审题，弄清题意，分清类型，熟悉题中所用的数量关系；找出题中已知量和未知量，明确它们之间的关系，找出题中的变量和不变量就，即等量关系。列方程解应用题的步骤： 1、审题
注意： 1、单位的统一； 2、两个瓶的底面直径的关系； 3、等量关系是高的关系。能否装下是什么意思？有哪几种情况？
解：未能装满。设杯内水面离杯口的距离为x厘米。根据题意得：10-x=2 解得：x=8 答：杯内水面离杯口的距离为8厘米。
2、甲、乙两地相距180km，一人骑自行车从甲地出发每小时走15km；另一人骑摩托车从乙地同时出发，两人相向而行，已知摩托车速度是自行车的3倍，问多少小时后两车相遇？ 180km 分析：甲行驶的距离乙行驶的距离等量关系是：甲行驶的距离 + 乙行驶的距离 =108
试一试
1、如图：用直径为200mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm，300mm和90mm的长方体毛坯，应截取多少mm的圆柱体钢。
○200 300 90
把圆柱体锻造成长方体毛坯，虽然形状改变了，但前后的体积是相等的。

一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积变形)

一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积
变形)
1.假设原长方形的长为x，宽为y，则根据周长公式
2(x+y)=26，可得x+y=13.将长减少1，宽增加2后得到的正方
形的边长为y+2，因此有y+2=x-1.将这两个方程联立解得x=9，y=4，所以原长方形的长为9cm，宽为4cm。

2.圆锥体的体积为1/3πr^2h，圆柱体的体积为πr^2h，两
者相等，因此可得圆柱体的高为8×(30/10)^2=72cm，所以圆
柱体内的水高为8cm。

3.设新的长方形宽为x，则根据折叠后周长不变可得
2x+10=18，解得x=4，因此新的长方形的长为9cm，宽为4cm。

4.正方体的体积为20^3=8000cm^3，盛水量筒的容积为
12×h，其中h为水面升高的高度，因此有12h=8000，解得
h=666.67cm，所以水面升高了666.67/12≈55.56cm。

5.设大长方形面积为S，则重叠部分面积为S/6，小长方
形面积为S/4，阴影部分面积为224cm^2，因此有S/6-S/4=224，解得S=1344，所以重叠部分面积为S/6=224cm^2.
6.(1) 第一个中的水体积为π(4^2)×16=256π，第二个的底
面积为π(8^2)=64π，因此第二个中的水高为256π/64π=4cm。

2) 将1插入2后，1中的水体积为π(4^2)×10=160π，2中的水体积为π(8^2)×10=640π，因此水位上升了640π-
256π=384π，所以水面升高了384π/(π(8^2))≈1.5cm。

一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积变形)

一元一次方程应用题1.一个长方形的周长为26㎝，这个长方形的长减少1㎝，宽增加2㎝，就可成为一个正方形，则原长方形的长和宽各为多厘米？2.在一个底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥体容器中倒满水，然后将水倒入一个底面直径为10厘米的圆柱体空容器内，圆柱体容器内的水有多高？3.已知一个用铁丝折成的长方形，它的长为9cm ，宽为6cm ，把它重新折成一个宽为5cm 的长方形，则新的长方形的宽是多少？4.将棱长为20cm 的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm 2，问量筒中水面升高了多少cm ？5.如图所示，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一，相当于小长方形面积的四分之一，阴影部分的面积为224cm 2，求重叠部分面积。

6.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm 和8cm ，高分别为16cm 和10cm ，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中。

（1）问倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？一元一次方程应用题1.一个长方形的周长为26㎝，这个长方形的长减少1㎝，宽增加2㎝，就可成为一个正方形，则原长方形的长和宽各为多厘米？2.在一个底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥体容器中倒满水，然后将水倒入一个底面直径为10厘米的圆柱体空容器内，圆柱体容器内的水有多高？3.已知一个用铁丝折成的长方形，它的长为9cm ，宽为6cm ，把它重新折成一个宽为5cm 的长方形，则新的长方形的宽是多少？4.将棱长为20cm 的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm 2，问量筒中水面升高了多少cm ？5.如图所示，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一，相当于小长方形面积的四分之一，阴影部分的面积为224cm 2，求重叠部分面积。

6.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm 和8cm ，高分别为16cm 和10cm ，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中。

3.2一元一次方程的应用(一)等积变形问题

六、作业练习
某面粉仓库存放的面粉运出15% 后，还剩42500千克，问仓库原来有多少面粉？
二、问题导入问题：某校七年级328名学生组织一次秋游，已有两辆校车可坐64人，还需要租用几辆44座的客车？
1、解：（328-64）÷44=6（辆）
大家思考一下还有什么方法？
三、探究归纳
2、解：设还需要租用x辆44座的客车，那么可坐44x人，根据题意，得：44x+64=328 自己解这个方程试试看。
x 90
200
300 300
x 90
精讲
例题
200
300
分
析
思考1：题目中有哪些已知量和未知量？如
何设未知数？
已知：圆柱体钢直径（
200mm）、长方体毛胚的长
宽高（300mm、300mm、
一90m、m弄）清题意和题中的未数知量：关圆柱系体，钢的用高字母
300 （设未例知如数：x，y）,表示问
题设应里截的取圆未柱知体数钢长；xmm。
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1、弄清题意和题中的数量关系，用字母（例
如x，y）,表示问题里的未知数.
2、分析题意，找出相等关系. 3、根据等量关系列出方程. 4、解方程，求出未知数的值. 5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
四、精讲例题
例1 如图，用直径为 200mm的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm、 300mm和90mm的长方体毛坯，应截取圆钢多少毫米长的圆柱体钢（计算时取 3.14.要求结果精确到 1mm）？
x 90
四、解方程，求出未知数的值；
300
300
精讲
例题

一元一次方程经典讲义之等积变形

第四讲等积变形数字问题【基本数量关系】原料体积=成品体积数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c 均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。

【典型例题】1.用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？2.某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。

3.一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体，其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高（π不需化成3.14）4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，十位与个位上的数字和是这个两位数的1/6，这两个数是多少？5.有一个三位数，其各数位的数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。

【课堂精练】1.要锻造一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形毛胚，应截取半径为4厘米的圆钢多长？2.某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？3.将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？4.一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米？5.有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？6.有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米，把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。

一元一次方程的应用等积变形问题

4x=10
同样长的铁大呢？
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（2）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
围
面积：1.8 × 3.2=5.76
成
正
方
面积：
形
2.9 ×2.1=6.09
时
四
边
形
面积： 2.5 × 2.5 =6. 25
面积
最
大
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个菜地，使长比宽大4米，问小明要帮他爸爸围成的菜地的长和宽各是多少呢？
x X+4
墙面铁线
问题2
同学们有看过炼钢厂的生产车间吗？在锻压车间，我们可以看到工人经常将一些 “又矮又胖”的圆柱形铁锭锻造成“又瘦又长” 的长方体条钢。你能根据自己的理解试着用橡皮泥先做出“矮胖形”圆柱体，再将它变成“瘦长形”长方体吗？有何发现？找一找其中什么发生变化，什么没有发生变化。
分析：设从甲组抽调了x人去乙组。
原有人抽调后人
甲组乙组
数
17 25
数（17-x)
(25+x)
等量关系式：抽调后甲组人数的2倍=抽调后的乙组人数
方程： 2(17-x) = 25+x
例4一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配成多少方桌？
分析:设前年这个学校购买计算机x台
那么,去年购买计算机___2_x_____台
今年购买计算机____4_x____台
根据问题中的相等关系:

一元一次方程的应用专题二(等积变形问题)

练习1：某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形零件毛坯，需高分别是260毫米， 150毫米，325毫米，长方体乙的底面积是 130×130毫米2(长、宽都是130毫米)．已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高．
练习3：内径为120毫米的圆柱形玻璃杯，和内径为300毫米，内高为32毫米的圆柱形玻璃盘可以盛同样多的水，求玻璃杯的内高．
例题1：有一个底面积20×20长方体玻璃杯（已满水）向一个内底面积 16×5，内高是10的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯的水的高度下降多少？
例题2：一只乌鸦口渴需要喝水，来到一个底面积为5平方厘米圆柱体玻璃瓶且水面只有20厘米，要喝水需要 30厘米高的水面，玻璃杯旁有堆石头，每块7.5克，每1立方厘米重5克，问需要多少石头乌鸦才能喝到水？

等积变形问题

等积变形问题--一元一次方程的应用题
一知识点
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为:形状面积变了，周长没变；原料体积=成品体积。

二试试身手
1、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是45000.，求原来正方形铁皮的边长.
2、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0。

62kg的零件毛坯,如果这种钢每立方厘米重7。

8g，应截圆钢多长？
3、把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢。

求锻造后的圆钢的长。

4、直径为30厘米,高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料,现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。

5 现有直径为0。

8米的圆柱形钢坯长30米,可足够锻造直径为0。

4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
6 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水），向一个由底面积为125＊125mm，内高为81mm的长方体铁盒倒满水时,玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数，π=3。

14)
7 把内径为200mm,高为500mm的圆柱形铁桶，装满水后慢慢地向内径为160mm,高为400mm 的空木桶装满水后，铁桶内水位下降了多少？
8 要锻造一个直径为8cm高为4cm的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm.。

一元一次方程的应用(一)等积变形

一、学习目标：1、通过分析图形中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系；2、认识方程模型的重要性．二、重难点：重点：运用方程解决实际问题难点：寻找图形问题的数量关系三、学习过程（一）复习回顾1．列方程解应用题应注意哪些事项?（1）_________________．（2）_________________．（3）_________________．2．列出方程解应用题的5个步骤是什么?（1）________________．（2）________________．（3）________________．（4）________________．（5）________________.3．填空：长方形的周长=_________．面积=__________ ．长方体的体积=_________．正方体的体积=__________．圆的周长=___________．面积=_______________．圆柱的体积=_______________．（二）问题解决：类型一：等积变形问题1．将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为l0厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少?假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有=锻压后的体积．我们可完成下表：锻压前锻压后底面半径高体积解：设锻压后圆柱的高为x 米，则可列方程为：_______________________________________．解得=x _______________．答：高变成了__________厘米．类型二：等长变形问题2．用一根长为l0米的铁丝围成一个长方形．（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长为________米，宽为_________米．（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长为_______米，宽为_____米，它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化?（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是______米，它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化?（4）由上面（1）（2）（3），你可得出什么结论？类型三：工程问题3．某工人在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44个，就比规定任务少加工20个；如果每天加工50个，就可超额完成10个，求规定加工零件的个数．（试用不同的方法解下列问题）（三）学以致用 1．请根据图5—3—2中给出的信息，可得正确的方程是 ( )A. 2286()()(5)22x x ππ=+ B ．2286()()(5)22x x ππ=- C ．2286(5)x x ππ=+ D ．22865x ππ= 2．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4 m ，而长减少了5 m ，那么面积增加15 ㎡，设长方形原来的宽为x m ，则所列方程是( )A．2+--=(4)(35)153x x x x x x(4)(35)153+-+=B．2C．2x x x(4)(35)153-++=x x x-+-=D．2(4)(35)1533．如图5—3—3，把一个长方形分成大小不等的6个小正方形，已知中间的最小的正方形的边长为1厘米，求这个长方形的面积．解：设正方形A的边长为x厘米，则正方形B的边长为________厘米；正方形C的边长为________厘米；正方形D的边长为________厘米；正方形E的边长为________厘米．由题意可得方程：______________________．解得x= ________，答：长方形的面积为___________平方厘米．4．某工人原计划用26天生产一批零件，工作两天后，因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务，问原来每天生产多少个零件？这批零件共有多少个？5．某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标,现有甲,乙两个工程队竞标,竞标资料上显示：若单独完成此项工程,甲10天可完成,乙15天可完成,担甲队每天的工程费用比乙队多300元,若两队合作,共需工程费用10200元,工程指挥站决定从两队中选一队单独完成,若从节省资金的角度考虑,应该选哪个工程队?为什么?6. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。

3.2一元一次方程应用之等积变形(公开课)

3.2一次方程的应用
——等积变形问题
一元一次方程常见应用题类型
等积变形问题
行程问题
本息问题（银行存款）利润问题（买卖物品）工程问题
比例问题
常见的图像周长及面积公式
名称
正方形三角形
b
图形
a
用字母表示公式
周长（C）面积（S）
C 4a
c
S a
2
梯形
圆平行四边形
h a b a r
C abc
200
x
90
300
300
圆柱体钢
长方体毛坯
分析题意，找出等量关系：圆柱体钢体积 = 长方体毛坯体积解：设应截取圆柱体钢长为x毫米，根据题意可得：
200 3.14 x 300 300 90 2 x 258 解得：
答：应截取圆柱体钢的长约为258毫米。
2
合作讨论
d
1 S ah 2
S 1 ( a b) h 2
c
h
C abcd
C 2r
C 2a b
S r
2
h a
b
S ah
常见的图像的体积公式
名称
正方体
图形
a
用字母表示公式体积（V）
V a
c b
3
长方体
aV Biblioteka bcV r 2 h1 2 V r h 3
圆柱体
h r h r
圆锥体
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变，
体积不变。
R h
你还能举出相类似的事例吗？（古代：曹冲称象）
想一想：
请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？

一元一次方程应用之等积变形篇

等积变形篇物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686=x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210) 768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm ×60m ”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm 、4.0cm ，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm 指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m 是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x ≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm ．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m 3，做一条桌腿需要木材0.002m 3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m 3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X 张，我们就容易用X 表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m 3，做桌面所需的木材的体积是0.03X m 3.因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m 3解：设共做了x 张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100. 所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。

3.2.1一元一次方程的应用——等积变形问题-2022-2023学年七年级数学上册同步精品课件(沪科

方法点拨：当立体图形的形状发生变化时，其高度、底面积等随之变化，
但体积保持不变. 此类型题也称为等积变形，即形状改变，体积不变. 其隐含的等量关系：
变形前体积=变形后体积
例 1 如下图，用直径为 200mm 的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别是 300mm，300mm 和 90mm 的长方体毛胚，应截取多少毫米的圆柱体钢 (计算时π取 3.14，结果精确到1mm)?
3、根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程; ③ 列
4、解这个方程，求出未知数的值;
5、检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.
④解 ⑤ 检验
探究新知
思考：要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
r h
πr2h
木桶内水面上升的圆柱体体积＝人的体积
对应练习
1、一圆柱形容器的内半径为 3cm，内壁高 30cm，容器内盛有 18cm 高的水，现将一个底面半径为 2cm，高为 15cm 的金属圆柱竖直放入容器内，容器内的水将升高多少厘米？
h r (r为底面圆半径，h为高)
c
b a (a为长，b为宽，c为高)
圆柱体体积= 底面积×高 = πr2h (r为底面圆半径，h为高) 长方体体积= 长×宽×高 = abc (a为长，b为宽，c为高)
课前热身
2、请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？ (1) 把一小杯水倒入另一只大杯中；水的高度、底面积发生了变化，水的体积和质量都保持不变. (2) 用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球. 形状改变，体积不变.
巩固练习
7、如图，一个饮料瓶的容积为 3dm3，它里面有高度为 20cm 的饮料，把瓶子倒过来，其空余部分的高度为