第2章图论

合集下载

图论期末考试整理复习资料

目录第一章图的基本概念 (1)二路和连通性 (3)第二章树 (3)第三章图的连通度 (4)第四章欧拉图与哈密尔顿图 (5)一，欧拉图 (5)二．哈密尔顿图 (6)第五章匹配与因子分解 (9)一．匹配 (9)二．偶图的覆盖于匹配 (10)三．因子分解 (11)第六章平面图 (14)二．对偶图 (16)三．平面图的判定 (17)四．平面性算法 (20)第七章图的着色 (24)一．边着色 (24)二．顶点着色 (25)第九章有向图 (30)二有向树 (30)第一章图的基本概念1.点集与边集均为有限集合的图称为有限图。

2.只有一个顶点而无边的图称为平凡图。

3.边集为空的图称为空图。

4.既没有环也没有重边的图称为简单图。

5.其他所有的图都称为复合图。

6.具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。

7.完全偶图：是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即），则n = 0, 1（mod 4）9. 图G 的顶点的最小度。

10. 图G 的顶点的最大度。

11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。

例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。

12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。

13.14. 频序列：定理4 一个简单图G 的n 个点的度数不能互不相同。

15. 定理5 一个n 阶图G 相和它的补图有相同的频序列。

16.17.18. 对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1)19. 定义：联图在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G220. 积图：积图设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u =(u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和 u2 adj v2) 或 (u2 = v2 和 u1 adj v1) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G 称为G1和G2积图。

最短路课程设计

最短路课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解最短路径问题的基本概念，掌握其在现实生活中的应用。

2. 学生掌握图的基本表示方法，能够建立问题的图模型。

3. 学生能够阐述Dijkstra算法和Floyd算法的基本原理，并理解其适用场景。

技能目标：1. 学生能够运用图的相关知识建立实际问题模型，解决最短路径问题。

2. 学生通过案例学习和实践操作，掌握Dijkstra算法和Floyd算法的具体步骤，具备运用算法解决问题的能力。

3. 学生能够运用所学知识，对实际生活中的最短路径问题进行合理分析和有效解决。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对图论和算法的兴趣，激发他们探究问题的热情。

2. 培养学生面对复杂问题时，运用所学知识进行分析和解决的能力，增强自信心。

3. 通过团队合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高他们的集体荣誉感。

本课程针对学生年级特点，结合图论和算法知识，以实际问题为载体，引导学生通过自主学习、合作探究和实际操作，培养解决问题的能力。

课程目标具体、可衡量，旨在使学生在掌握知识、技能的同时，培养积极的情感态度和价值观。

二、教学内容1. 图的基本概念：图、顶点、边、权、路径、最短路径等。

相关教材章节：第二章图论基础2. 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等。

相关教材章节：第二章图论基础3. 最短路径问题：介绍最短路径问题的背景和应用。

相关教材章节：第三章最短路径问题4. Dijkstra算法：算法原理、步骤、示例。

相关教材章节：第三章最短路径问题5. Floyd算法：算法原理、步骤、示例。

相关教材章节：第三章最短路径问题6. 实践案例分析：结合实际案例，运用Dijkstra和Floyd算法解决最短路径问题。

相关教材章节：第三章最短路径问题教学内容安排和进度：第一课时：图的基本概念及表示方法。

第二课时：最短路径问题引入，介绍Dijkstra算法。

第三课时：Dijkstra算法实践操作。

图论第二章树(tree)

定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树（2）G的任意两个顶点由唯一道路联结（3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一个重要性质，即图的连绘性。一个连绘的图是指这个图可以用一笔画成而没有重复的笔划。换句话说就是在这个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十二面体，有20个顶点，三十条边，十二个面

图论-图的基本概念

若 i, j 中有奇数，比如 i 是奇数，则路 P 上 v0 到 vi 的一段与边 v0vi 构成一个偶圈；若 i, j 都是偶数，则路 P 上 vi 到 v j 的一段与边 v0vi 及 v0v j 构成一个偶圈。证毕。例 1.1.4 设 G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则 G 中各个圈长的最大公因数是 1 或 2。证明：由上例知，G 中有长分别为 i + 1, j + 1和 j − i + 2 的圈。若 i + 1, j + 1， j − i + 2 三数有公因数 m > 2 ，则 m | ( j − i) ，于是 m | 2 ，这是不可能的。因此 i + 1, j + 1， j − i + 2
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。

图论第二章(1)

12
m=|E1|+|E2| ≤ n1(n1-1)/2+ n2(n2-1)/2 ≤(n-1)(n1-1)/2+(n-1)(n2-1)/2 ≤(n-1)(n-2)/2，，
2.2
道路与回路的判定
1.判定各点对间是否有道路相通:邻接矩阵方法 1.判定各点对间是否有道路相通: 判定各点对间是否有道路相通
有向图或无向图)的设A＝(aij)n×n是图有向图或无向图的＝ × 是图G(有向图或无向图邻接矩阵，的长度为1的道路邻接矩阵，则aij是vi到vj的长度为的道路 (边)的条数。的条数。边的条数一般地，一般地，设Ak＝( aij(k) )n×n ，则aij(k)是vi到 × vj的长度恰为的道路的条数 k=1,2,…。的长度恰为k的道路的条数的道路的条数, 。这可用数学归纳法予以证明：这可用数学归纳法予以证明：因为 Ak＝ Ak-1A, 所以
16
定义道路矩阵定义道路矩阵P=(pij) n×n ，其中道路矩阵 × , v 路通 1 若 i , v j 有相 pij = , v 路通 0 若 i , v j无相则 P=A∨A(2)∨A (3)∨…∨A (n) ∨ ∨ (布尔运算布尔运算) 布尔运算
17
v1
例 v2
命题：若简单 1 命题：图G的每个结点的每个结点的度数≥ ，的度数≥3，则G 中必含带弦的回路。 5
3
4
6
证明：证明：设 P=(e1,e2,…,ek)是G的一条最长是的一条最长的初级道路，的初级道路，e1=(v0,v1)。由于为最长的。由于P为最长的初级道路，所以与v 初级道路，所以与 0有边相边的结点都在 P上。( 否则与是最长的假设矛盾否则与P是最长的假设矛盾是最长的假设矛盾) 上 v0至少有三个相邻结点 1, vi, vj,它们与 1 至少有三个相邻结点v 它们与v 它们与相连的边e 中最多有两个在P中即相连的边 1, e’, e”中最多有两个在中,即中最多有两个在其中至少有一边不在P上此边就是C的其中至少有一边不在上，此边就是的一条弦一条弦。 v1 e2 e1 v0 e” e’

第二章(1)电路基本分析方法

I3
U s1
R1
R2
I2
②
U s3
R3
①
1
3
2
②
2.1.1 电路图与拓扑图
②
R2
① R3
R4
R5
③
R6 ④
U s1
R1
实际电路图
②
2
4
①
5
③
3
6
④
1
对应的线图
线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。
有向图
如果线图各支路规定了一个方向（用箭头表示，一般取与电路图中支路电流方向一致），则称为有向图。
回路2：I3×R3＋US3－I4×R4＋I2×R2=0
回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0
网孔回路电压方程必为独立方程。
网孔回路电压方程数=b（支路数）－n（节点数）＋1
解出支路电流
4>. 由n1个节点电流方程和bn+1个网孔电压方程（共b
个方程）可解出b个支路电流变量。
R3
I 3
U s3
第二章(1) 电路基本分析方法
本章内容
1.网络图论初步 2.支路电流法 3.网孔电流法 4.回路电流法 5.节点电压法
2.1 网络图论的概念
图的概念：对于一个由集中参数元件组成的电网络，
若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一
个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓
扑图，简称为图。
I1 ①
－ I1 ＋ I2 － I3 =0
I1 －10＋3× I2 =0 3×I2 ＋2× I3 －13=0
解得： I1 =1A， I2 =3A， I3 =2A

离散数学——图论

2021/10/10
11
哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表示。
2021/10/10
12
❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要，最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽象为图的形式来分析这个问题。
2021/10/10
2
图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史，从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走线路问题。
2021/10/10
3
❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通分支只有一个。
2021/10/10
40
练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
2021/10/10
41
❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
2021/10/10
29
多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
2021/10/10
30

电网络理论-第二章

T i B il Q i 0
2-25
QB i 0
T l
Q B
T f f
T
0 or
T t
B Q
0
T
0
T t
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B
B 1 Ql 1
Ql B
§2-3 图的基本矩阵形式
A与Qf 之间的关系对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：
2-26
A At Al B f Bt 1 Q 1 Q l f
§2-3 图的基本矩阵形式
结支 ② 1 -1 0 1 0 2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0 4 0 -1 1 0 5 0 0 1 -1
2-10
1 Aa= 2 3 4
6 ３４ 0 ６ ③ 1 ① ５ 0 ２ -1 ④ 1
降阶关联矩阵A
支路b
A=
结点 n-1
(n-1) b
§2-3 图的基本矩阵形式
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
§2-3 图的基本矩阵形式注意连支电压可以用树支电压表示。 ut 1 T [u ] Qf ut T ut ul Ql ul QlT ut 小结
A KCL KVL B [B ] T [ il ] =[i] Q [Qf][i]=0
un1 un un2 un3
矩阵阵形式KVL
[u ] [ A] [un ]
T
§2-3 图的基本矩阵形式 2. 回路矩阵B
2-13
[B]=
独立回路
支路b
注意

电网络理论2013第二章图论

第2章网络图论基础
§ 2-1 图论的基本知识
• 图(Graph) 图是拓扑（Topological）图的简称节点和支路的一个集合
分类：
无向图：未赋以方向的图。混合图：只有部分支路赋以方向的图。有向图：所有支路都赋以方向的图。 ::图并不反映支路之间的耦合关系。
元件的图
i1 i2
1 2

1
T ˆ ˆ u i i b ub 0 T b b
T T ˆ ˆb 0 ub i b i b u
或者
ˆ u i k k 0
k 1
b
ˆi u
k 1
b
k k
0
3. 特勒根定理的差分形式
ˆ 具有相同的拓扑结构，在t时刻， N ˆ 设网络N和 N i b， N的支路电压和电 ˆ b和 ˆ 的支路电压和电流分别为 u 流的变化量分别为u b和 i b ，则
u i i ub 0
T b b T b
或者
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒定律的证明
T u A un KVL： b

u u A
T b T n
u i u Aib u Aib
T b b T n T n
利用KCL：Ai b 0
u i 0
T b b
i ub 0
2

3 3
二端元件的图
i1 ＋ u1 － i2 ＋ u2 －
三端元件的图

1
2
双口元件的图
连通图
• 连通图如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则称为非连通图。

第 2 章图论基础

(1) 任意两个节点之间存在有向路径（两个方向）的有向子图 (2) 不被真包含在任何其他满足性质(1)的子图中
({B,C,D}, {<B,C>,<C,D>,<D,B>})
二部图，图上的广度优先搜索
• 二部图（bipartite graph）：节点可以被分成两组，组内没有边 • 图上的广度优先搜索（breadth-first search ）
– 从某一点开始，对图的节点的一种“遍历 ”方式
从LINC开始广度优先搜索
• {LINC} • {MIT, CASE} • {CARN, BBN,UTAH} • {HARV, SDC, RAND, SRI} • {UCSB, UCLA, BFS从概念上对图中的节点进行 STAN} 了一个“分层”，所涉及到的边 “自然形成了”一个二部图
（不一样的）图的个数（枚举）
• 给定节点数（n）
– 标号图？ – 无标号图？
æ n ö ç ç 2 ÷ ÷ è ø
2
• Polya定理告诉我们如何计算无标号图的个数
• 如何判断两个图是否“同构”依然是图论的最基本挑战之一
无标号图的个数
无向图，有向图（directed graph）
• 距离：两个节点之间最短路径的长度 • 连通图：任何两个节点之间都存在一条路 • 连通分量
1.连通子图 2.不被真包含在任何其他连通子图中
例子：路，距离，连通分量
• 节点I和M之间有多少不同的路？
– 有多少不同的简单路径？
• 它们之间的距离？ • ({A,B},{(A,B)})是不是连通分量？ • ({H,L,M},{(H,L),(L,M ),(H,M)})是不是连通分量？

张清华图论课后题答案

第1章图论预备知识1.1解：(1) p={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}(2) p={,{a},{{b,c}},{a,{b,c}}} (3) p={,{}}(4) p={,{},{{}},{,{}}}(5)p={,{{a,b}},{{a,a,b}},{{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b}},{{a,b},{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b},{a,b,a,b}}} 1.2 解：(1) 真 (2) 假 (3)假 (4)假 1.3 解：(1) 不成立，A={1} B={1,2} C={2} (2) 不成立，A={1} B={1,2} C={1,3}1.4 证明：设(x,y)∈(A ∩B)X(C ∩D) 说明x ∈A ∩B,y ∈C ∩D 由于 x ∈A,y ∈C 所以 (x,y) ∈A X C 由于x ∈B,y ∈D 所以 (x,y) ∈B X D 所以 (x,y) ∈（A X C ）∩（B X D ）反过来，如果（x,y ）∈(A X C) ∩（B X D ）由于 (x,y) ∈（A X C ）所以 x ∈A,y ∈C 由于 (x,y) ∈（B X D ）所以x ∈B,y ∈D 所以x ∈(A ∩B) y ∈(C ∩D) 所以 (x,y) ∈(A ∩B)X(C ∩D)所以(A ∩B)X(C ∩D)= (A X C) ∩（B X D ） 1.5 解：Hasse 图φφφφφφφφφ极大元{9,24,10,7} 极小元{3,2,5,7} 最大元{24} 最小元{2}1.6 解(2)关系图为：(3)不存在最大元，最小元为{2}1.7 解：(1)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>} (2)略(3)I A ⊆R 故R 是自反的。

图论及其应用第2章

W (T ) W (T ) w(ek ) w(ek )
在克鲁斯克尔算法中选出的边ek，是使它也是无圈的。于是得到：
（4.1）
Ge1 , e2 ,, ek 为无
圈图的权最小的边。由于 Ge1 , e2 ,, ek 1 , ek 是 G 的子图，
w(ek ) w(ek )
Thank you!
证明这是定理1和定义2的直接结果。
例设树T 有ni 个度为i 的点，2≦i≦k（k>1),其余点均为叶，求T 中叶点的数目。解设 T 有x 片树叶，则T的点数为： x+n2+n3+…+nk 故T的边数为: x+n2+n3+…+nk-1 又由握手定理得： x+2n2+3n3+…+ knk = 2(x+n2+n3+…+nk-1) 解得 x 为: x n1 2 n3 2n4 (k 2)nk
图和它的生成森林
定理5
连通图的生成树必存在。
证明给定连通图G，若G 无圈，则G就是自己的生成树。若G有圈，则任取G中一个圈C，记删去C中一条边后所得之图为H1。显然在H1中，圈C 已不存在，但仍连通。若H1中还有圈，重复以上过程，直至得到一个无圈的连通图H。H 便是 G 的生成树。定理5的证明方法也是求生成树的一种方法，称为“破圈法”。
(G) (G e) (G e)
其中 (G ) 表G的生成树的棵数.
凯莱(Cayley 1821—1895): 剑桥大学数学教授，著名代数学家，发表论文数仅次于 Erdos ,Euler, Cauchy. 著名成果是1854年定义了抽象群，并且得到著名定理：任意一个群都和一个变换群同构。同时，他也是一名出色的律师，作律师14年期间，发表200多篇数学论文，著名定理也是在该期间发表的。

图论第2章

由N中的元素组成的长为n-2的序列的个数为nn-2。接下来，我们将在Kn的生成树的集合与这种序列的集合之间建立一一对应。假定T是Kn的一棵生成树，设s1是T中标号最小的叶子点，把与s1相邻的顶点的标号记为t1。现在从T中删去s1，用s2表示T-s1中标号最小的叶子点，把与s2相邻的顶点的标号记为t2。重复这一过程，直到得到tn-2。很容易看出，最后剩下一条边。
比如
1 2 3 7 4 5 8
6
(4, 3, 5, 3, 4, 5)
很容易验证上述过程可逆。注：以上讨论的生成树的棵数均指标定图而言。标定图的生成树的数量远大于非标定图生成树的数量。如标定图K6 有66-2 = 1296 棵生成树，而不同构的6阶树仅6棵。
三、回路系统简介
定义设 T 是图G=(V, E)的一棵生成树，m和n分别是G的边数与顶点数，e1, e2,…, em-n+1 为T的弦，设 Cr 是 T 加 er 产生的圈(r = 1, 2,…, m-n+1)，称 Cr 为对应于弦 er 的基本回路， {C1, C2,…, Cm-n+1}称为对应于生成树T的基本回路系统。
第二章树

树的概念与性质
树的中心与形心生成树最小生成树
yzwang@
2.1 树的概念与性质
一、树的概念
定义不含圈的图称为无圈图，连通的无圈图称为树。树常用符号T 表示。
例下面的图均是树。
T1
T2
T3
T4
注：平凡图称为平凡树。
定义无圈图称为森林。
注；(1) 树与森林都是简单图;
n1 2 n3 2n4 (k 2)nk。
推论假定(n, m)图G 是由k棵树组成的森林，则m = n-k。证明设G 的每棵树的点数与边数分别是ni 和mi (1≤i≤k) 。则mi = ni -1, i =1, 2,…, k。因此

图论及其应用第二章答案

)3( 题属中国邮路问题除第欧拉图与哈密尔顿图<1.>给定一个由16条线段构成的图形（见下图）.证明：不能引一条折线与每一线段恰好相交一次（折线可以是不封闭的和自由相交的，但他的顶点不在给定的线段上）证明：建立一个图G ：顶点i v 代表图形的区域(1,2,3,4,5,6)i X i ，顶点i v 与j v 之间连接的边数等于区域i X 与j X 公共线段的数目.于是，将上图的区域和边可转化成下图：由顶点度数知不存在欧拉路，从1X 到6X 只能相交于外面的两条线段.<2.>下列图形中哪些能一笔画成.解：只需考虑该图是否有欧拉路（即有两个奇点或者无奇点），故第一个和第三个可以一笔画成，第二个不能一笔画成.<4.>下图是某个展览馆的平面图，其中每个相邻的展览室有门相通.证明：不存在一条从A 进入，经过每个展览室恰好一次再从A 处出来的参观路线.证：用顶点代表展览室，两顶点相邻当且仅当这两点所对应的展览室有门相通，则可得一个连通简单图G （见下图）.因此，只要证明G 中不存在H —回路即可.具体理由如下：令}{1216,,,S y y y = ，则显然S 是G 的真子集，而()1816G S S ω-=>=（x 共18个，y 共16个），故由讲义中定理2.3知不存在H —回路.<5.>某次会议有20人参加，其中每个人都至少有10个朋友.这20人围一桌入座，要想使与每个人相邻的两位都是朋友是否可能？解:用顶点代表人，两人是朋友时相应顶点间连一边，得到一个无向图(,)G V E =.只要证明G 中存在H —回路即可. G 是10阶连通图，对于20n =，且()10,()10G G d u d v ≥≥，可得：()()20G G d u d v n +≥=，故由讲义中定理2.4知G 中存在H —回路.<6.>已知,,,,,,a b c d e f g 七个人中，a 会讲英语，b 会讲英语和汉语，c 会讲英语、意大利语和俄语，d 会讲汉语和日语，e 会讲意大利语和德语，f 会讲俄语、日语和法语，g 会讲德语和法语.能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈.解：用七个顶点表示这七个人.若两人能交谈（会讲同一种语言），就在这两顶点之间连一条边，得到图G .只要证明图G 中存在H -回路即可. 具体结果如下：c e g f d b a c 意大利语德语法语日语汉语英语英语 .<7.>设G 是分划为,X Y 的二部图，且X Y ≠，则G 一定不是H —图。

《图论》第2章基本概念(1)

2.1 图的概念
[有向图] 设V是一个非空有限集，A是V上的二元关
系。二元组 G=(V,A) 称为（有向）图，V 中元素
称为顶点，A 中元素称为弧（有向边）。
关系A的关系图就是图G的图解。
[自环] A中的自反性图解为环形，称为自环。
[多重边] 在表达实际问题的图解中可能出现重复的
关系定义，称为多重边。
平凡图是任何图的子图。（零图无类似结论）
3
2.1 图的概念
[生成子图] G=(V, A)是 G=(V, A) 的一个子图且 V = V ，则称 G 是 G 的一个生成子图或支撑子图。
[极大子图] G=(V, A)是 G=(V, A) 的一个子图，若对
u,vV, <u,v>A 必有 <u,v>A，则称G 是G的一
S=(a1,a2,…,an,…)，即存在一个正整数，使对任何
正整数 n，都有an+= an。S 的一个 k 阶子式 Si 定义为k 元组 Si = (ai, ai+1,…, ai+k1)。具有最大的周期使得 S1, S2, … , S 各不相同的 S 序列称为 k 阶 De Bruijn 序列。
记为 (a1, a2, a3, …, ak1) 的点v，引入两条外向弧分
别与点 (a2, a3, …, ak1, 0) 和点 (a2, a3, …, ak1, 1) 邻接，并将上述的弧分别标记为 k 位的 (a1, a2, a3, …, ak1 , 0) 和 (a1, a2, a3, …, ak1 , 1) 。显然点 v 同时也被点 (1, a1, a2, …, ak2) 和点 (0, a1, a2,…, ak2) 分别
（即以4除n余0或余1）

图论

第7章图论图论是建立和处理离散型数学模型的重要数学工具，它已发展成具有广泛应用的一个数学分支。

图论的发展已有200多年的历史，它最早起源于一些数学游戏的难题研究。

1736年瑞士数学家欧拉（L.Eluer ）发表了关于解决哥尼斯堡七桥问题的一篇文章，标志着图论的正式诞生。

从19世纪中叶到20世纪中叶，图论问题大量出现，如汉密尔顿图问题、四色猜想等。

这些问题的出现进一步促进了图论的发展。

1847年，克希霍夫（Kirchhoff ）用图论分析电网络，这是图论最早应用于工程科学的一个例子。

随着计算机科学的迅猛发展，在现实生活中的许多问题，如交通网络问题，运输的优化问题，社会学中某类关系的研究，都可以用图论进行研究和处理。

图论在计算机领域中，诸如算法、语言、数据库、网络理论、数据结构、操作系统、人工智能等方面都有重大贡献。

本章主要介绍图论的基本概念、基本性质和一些典型应用。

7.1 图的基本概念7.1.1 图的基本概念1.图的定义图在现实生活中随处可见，如交通运输图、旅游图、流程图等。

此处我们只考虑由点和线所组成的图。

这种图能够描述现实世界的很多事情。

例如，用点表示球队，两队之间的连线代表二者之间进行比赛，这样，各支球队的比赛情况就可以用一个图清楚地表示出来。

到底什么是图呢？可用一句话概括：图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。

因为上述描述太过于抽象，难于理解，因此下面给出图作为代数结构的一个定义。

定义7.1.1 一个图（Graph ）是一个三元组〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V 是一个非空的节点集合，)(G E 是有限的边集合，G ϕ是从边集合E 到点集合V 中的有序偶或无序偶的映射。

例7.1.1 图G =〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V =},,,{d c b a ，)(G E =},,,,,{654321e e e e e e ，),()(1b a e G =ϕ，),()(2c a e G =ϕ，),()(3d b e G =ϕ，),()(4c b e G =ϕ，),()(5c d e G =ϕ，),()(6d a e G =ϕ。

图论讲义第2章-连通性

第二章图的连通性在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。

对于连通图，其连通的程度也有高有低。

例如，下列三个图都是连通图。

对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。

本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。

通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。

§2.1 割点和割边定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >−，则称v 为G 的一个割点。

（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。

例如，下图中u , v 两点是其割点。

定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。

证明留作习题。

推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G −不连通。

定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。

证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。

若0)(=v d ，则1K T ≅，显然v 不是割点。

若1)(=v d ，则v T −是有1)(−−v T ν条边的无圈图，故是树。

从而)(1)(T w v T w ==−。

因此v 不是割点。

以上均与条件矛盾。

充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。

路uvw 是T 中一条),(w u 路。

因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>−。

图论第2章

当k=1时，结论显然成立。假设对l-1(l≥3)的每棵树T1，以及最小度至少为l-2的每个图 H，T1同构于H的某个子图。现在设T是l 阶树，且G是满足δ(G)≥l-1的图。设u是T的树叶，v是u的邻接顶点，则T-u是l-1阶树。由于δ(G)≥l-1>l-2，由归纳假设知，T-u同构于G的某个子图 F。设v1是在T-u中与v相对应的F中的点，由于dG(v1)≥l-1，所以v1在G中一定有相异于F 中的邻点u1，作F∪{v1u1}，则该子图和T 同构。
二、树的形心
定义设T是树，u是树T的任意一个顶点，树T在点u处的一个分枝是指包含u作为一个叶子点的极大子树，其分枝数为该顶点的度数；树T在点u的分枝中边的最大数目称为点u的权；树T中权值最小的点称为它的一个形心点，全体形心点的集合称为树T的形心。
例在右图树中，每个顶点处的数字表示该顶点的权值，权值为4的顶点为该树的形心。
例设G是森林且恰有2k个奇度顶点，则在G中有k条边不重合的路P1, P2 ,…, Pk，使得：
E(G) E( P 。 1 ) E( P 2 ) E ( P k)
证明对k作数学归纳。当k=1时，G只有两个奇度顶点，容易证明G是一条路；假设当k=t时，结论成立。接下来考虑k=t + 1时的情况。在G中一个分支中取两个叶子点u与v，令P是连接该两个顶点的唯一路，则G–P是有2t个奇度顶点的森林。由归纳假设知，它可以分解为t条边不重合的路之并，所以G 可以分解为t+1条边不重合的路之并。
比如
1 2 3 7 4 5 8
6
(4, 3, 5, 3, 4, 5)
很容易验证上述过程可逆。注：以上讨论的生成树的棵数均指标定图而言。标定图的生成树的数量远大于非标定图生成树的数量。如标定图K6 有66-2 = 1296 棵生成树，而不同构的6阶树仅6棵。

图论及其应用--树与林

有很多实际应用，可用二叉树或m叉树表示。可以指出，按下面算法，任何一棵有序树均能转成二叉树。其算法是： (1) 除最左边的分枝结点外，删去所有从每一个结点长出的分枝。在同一级中，兄弟结点之间用从左到右的弧连接。 (2) 选取直接位于给定结点下面的结点作为左儿子，与给定结点位于同一水平线上且紧靠它的右边结111
定义给定一个序列的集合，若没有一个序列是另一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码。
定理任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。
定理任意一个前缀码都对应一棵二叉树。
最小生成树设G=<V，E>是一连通图，G的每一条边e
有权C(e)，G的生成树T的权w(T)就是T的边的权和。
定义：在图G所有生成树中，树权最小的那棵树称为G的最小生成树。
(连通网的)最小生成树
问题：
假设要在 n 个城市之间建立通讯联络网，则连通 n 个城市只需要修建 n-1条线路，如何在最节省经费的前提下建立这个通讯网？
定理2.4 每个连通图都含支撑树。推论2.4.1每个图都含支撑林或者支撑树。推论2.4.2每个图均有ε≥ν- ω。定理2.5设F是G的支撑林。若E(G)\E(F)
非空，则对其中的任何边e，F+e含有且仅含有一条圈。
生成树定义：若G的生成子图是一棵树，则称
这棵树为G的生成树。设G的一棵生成树为T，则T中的边称为
树枝，在G中而不在T中的边称弦，所有弦的集合称为生成树T的补。
e1、e7、e5、e8、e3是T的树枝， e2、e4、 e6是T的弦，{e2、e4、e6}是T的补。
定理：连通图至少有一棵生成树。
证明：如果连通图G无回路，则G本身就是它的生成树。如果G有回路，则在回路上任取去掉一条边，得到图G1仍是连通的，如G1仍有回路，重复上述步骤，直到图Gi中无回路为止，此时该图就是G的一棵生成树。

第2章图论

图论期末考试整理复习资料

最短路课程设计

图论 第二章 树(tree)

图论-图的基本概念

图论第二章(1)

第二章(1)电路基本分析方法

离散数学——图论

电网络理论-第二章

电网络理论2013第二章图论

第 2 章 图论基础

张清华 图论课后题答案

图论及其应用第2章

图论第2章

图论及其应用 第二章答案

《图论》第2章 基本概念(1)

图论

图论讲义第2章-连通性

图论第2章

图论及其应用--树与林

图论第二章树(tree)

第 2 章图论基础

张清华图论课后题答案

图论及其应用第二章答案

《图论》第2章基本概念(1)