数学建模——切蛋糕问题

蛋糕问题

不规则形状的蛋糕，是不是一定能够被一刀切成大小相等的两块？

一．模型重述：即所要求的问题转化为是否存在某条直线型（刀切割所造成的）路径，将蛋糕等分成大小相等的两块。

二．模型假设：

1、将蛋糕放在水平放置的桌面上，假设蛋糕上每一点到桌面的距离都相等且蛋糕边缘顶点与底边对应点的连线垂直于桌面。

2、仅需考虑蛋糕底面，假设蛋糕底面是由平面上一条没有交叉的封闭曲线（无

论什么形状）围成的，则所求路径为在此底面存在两个交点的直线。

三．模型建立：

1S

P l 2S

图1

1、如图1，所求直线可以通过点斜式来确定，于是我们可将所求直线转化成： 经过平面内一定点P ，并且围绕此点所构成的线束中任意一条都满足题意。

2、过P 点任作一直线l ,将曲线所围成的图形分为两部分，其面积分别为1S ,2S .

(1)若1S =2S ，则l 即是我们所要求的路径，

(2)若1S ≠2S ，则不妨设1S ≥2S (此时l 与x 轴正向的夹角记为0α)，以P

点为旋转中心，将l 按逆时针方向旋转，面积1S ,2S 就连续地依赖于α变化，记为1()S α,2()S α。

则归结为如下命题：已知1()S α，2()S α是连续函数，如图2，对α∀，都

有1221()(),()()S S S S απααπα+=+=，证明：存在ζ，使得12()()S S ζζ=

四．模型求解：

证明：将直线l 以P 点为中心旋转，与x 轴正向的夹角记为α，[]00αααπ∈+，，得连续函数1()S α，2()S α。

作辅助函数：12()()()h S S ααα=-，得到()h α是连续函数。

假设：01020()()()0h S S ααα=-＞，

则010202010()()()()()0h S S S S απαπαπαα+=+-+=-＜.

根据零点定理，存在一点[]00,ζααπ∈+，使得()0h ζ=,

即12()()0S S ζζ-=.

即过P 点作直线，使之与x 轴的正向夹角成ζ，该直线即为所求路径。 综上所述：不规则形状的蛋糕，一定能够被一刀切成大小相等的两块。

结论：本题要证明是否能一刀将不规则的蛋糕分为两块，也就是证明能否把不规则的立体图形均匀的分成两半。从论证结果来看，我们认为存在将一个不规则物体分为均匀的两半的方法。尝试用直线悬吊蛋糕的方法找到物体的重心，沿重心切割均分（理论上是成立的，可是实际很难操作）。所以在论证时，我们假设蛋糕是一个相对“规则”的物体，也就是假设蛋糕上每一点到桌面的距离都相等且蛋糕边缘顶点与底边对应点的连线垂直于桌面。通过上述论证，我们发现确实存在使得将蛋糕平均分成两份的这方法。由此推广，如果蛋糕上每一点到桌面的距离都不相等且蛋糕边缘顶点与底边对应点的连线不垂直于桌面时，我们也认为存在将蛋糕平均分为两份的方法。我们可以把蛋糕看成是一个形状不规则但密度处处相等的立体图形，通过悬吊法确定重心的位置，切蛋糕时，切过重心，就得到质量相等的两块蛋糕。

综上所述：不规则形状的蛋糕，一定能够被一刀切成大小相等的两块。