势流理论
第15讲势流理论2
（１） 速度势
圆柱的绕流的流场等价于均匀 流与偶极的叠加场：
y
v0
a
r
θ
x
M cos θ ϕ = v0 r cos θ + 2π r
这里不必去直接求解拉氏方程。式中的偶极强度M为未知量，可 用边界条件求出。 速度势应满足的边界条件：
∂ϕ =0 ∂r
（圆柱表面上r = a）
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = v0 cosθ， = −v0 sinθ 或 = v0 （无穷远处） ∂r r∂θ ∂x
有环量是指圆柱作等速直线运动的同时，绕自身轴心转动。圆柱转 动时，由于粘性作用，会诱导周围流体随之转动。当忽略粘性作为理想 流体处理时，这种诱导效应不能忽略。 圆柱旋转的诱导作用等同于圆心处一个平面点涡的作用。也就说， 可以用一个平面点涡代替圆柱的旋转。设圆柱的旋转角速度为ω，点涡的 涡强要满足圆柱表面速度为aω ，所以点涡强度应为：
平面势流的基本解的叠加均匀流和点源的叠加速度势流函数和复势均具有叠加性利用这一性质通过基本解叠加可以构造出复杂流动的解称为基本解叠加法也称奇点叠加法
第15讲 势流理论(2)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.平面势流的基本解的叠加
速度势、流函数和复势均具有叠加性，利用这一性质，通过基本解叠 加可以构造出复杂流动的解，称为基本解叠加法，也称 奇点叠加法。
解得流线方程：
θ = 0 或 θ =π,
M r = = a2 2πv0
2
过驻点的流线有两条，一条是x轴，一条是以a为半径的圆。均匀流与 偶极的叠加可以模拟流体绕流圆柱的流动。 上述三种叠加流场的分析表明，奇点的适当叠加可以模拟流体绕流物 体的流动。
4 绕圆柱体无环量流动
船舶流体力学(打印)
二.速度势函数的性质：
1.若流体不可压缩，流速势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
2.流线与等势面相互垂直。
可见，流速矢量与等势面垂直。而流速矢量与该点流线相切，故流线与等势面垂直。
若为平面流动，则流线与等势线垂直。
3.速度势对任一方向n的偏导数，等于流速矢量在该方向的投影。
三个基本解都具有奇异性。因为真实流场中不应该有无穷大的速度，所以通常要把它们布置在流场之外(物体区域内)。
例3:理想不可压缩流体作平面无旋流动。假设流场的复势是W(z) = az2( a > 0 )，并且在坐标原点处压强为p0，试求:(1)上半平面的流动图案；(2)沿y = 0的速度与压强。
解:令z = rei，于是:
2.螺旋流：
现研究点汇与点涡叠加所形成的流场：
等势线方程为：
流线方程为：
在流场任意两点1，2应用伯努利方程，有：
水轮机引水室中的旋转水流、旋风燃烧室中的旋转气流等都可以被近似地看成是此类流动。
若将点源与点涡叠加，则流体沿螺旋线由内向外流动，水泵压水室中的旋转水流就是这种流动。
例4.设在（－a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇，他们的强度为Q。若平行于x轴的直线流动和这一对强度相等的点源和点汇叠加。试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程。
图片：
四.平面偶极子：
z = 0点:点汇–Qz0点：点源Q
叠加后得到：
令r0，Q，不变，并且：
---偶极子的方向角(由点汇指向点源的矢量的方向角)。
这里分析=的情况(即，点源沿x轴的正方向由左至右向点汇趋近)。
因为点源(点汇)流、点涡流和偶极子流在无穷远处的速度都趋于零。将这些基本解与别的解叠加时，在无穷远处速度具有渐近性，所以只需要考虑叠加后的物面边界条件，而不必担心叠加这些基本解会改变无穷远处的速度边界条件
流体力学：第5章 势流理论-上
z x iy
dW u2 v2 v V dz
5.2.1 复势与复速度（复平面）
3)复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：
l
dw dz dw d id l iQl l l dz
dw l Re l dz
y x
V0
m
2 a
均匀流和源叠加可模拟绕弹形物体的流动。调整源强m和速度V0， 改变流线的形状。
5.4.1 均匀流和点源的叠加 流场中压力分布
p ( p0 1 2 1 v0 ) V 2 2 2
压力系数
V 2 p p0 cp 1 v2 1 2 0 v0 2
y
V V0e
i
u V0 cos , v V0 sin
o
平板
V0
u d x v d y V0 x cos V0 y sin
v d x u d y V0 x sin V0 y cos
x
W ( z) V0 z cos iV0 z sin V0 ze i
( R )
v
p
F
奇点叠加法；保角变换法（平面流）。 数值解：复杂边界问题。
CFD — Computational Fluid Dynamics
5.2 复势（complex potential ）
借助复变函数数学工具解平面势流问题。
平面势流:φ和ψ都是调和函数， 2 0, 2 0，且满足
5-4
W ( z ) (1 i ) z
补充题:已知复势为:
z 1) w ( z ) (1 i ) ln z4
第4章 势流理论_1
V 2 p U F (t ) 在理想流体的势运动中， t 2
设流动定常，质量力为零， F(t)=A
则压强 p A V 2 A f z f z
2
2
ip d 为微元 d 上的的总压力，垂直 于c，方向向内
D
2
d n ds 2 2
D s
ds 2 s n
二、有关定理
1、在一个完全为固体壁包围的流体中，不可能有无旋流 （但内部有奇点情况例外）；
复速度
f ' ( z) f ' ( z) (u 2 v2 )
在单连同域内
f z dz 0
l
l
柯西定理
证：
f z dz i d x iy
l
dx dy i dy dx
l l
0
利用格林公式
2 2 2 d 2 x y z 2 2 2 u * v * w * d 2 x y z
4.3 平面势运动、复势
一、复势的概念
借助复变函数数学工具解平面势流问题。 1、复数的两种表示方法
z x iy i z re
（1） （2）
2、复变函数
f z x, y i x, y
3、解析函数： 若复变函数的导数无论从何方向趋于零，其导数相同， 则称该复变函数为解析函数。 解析函数存在的充要条件：柯西—黎曼条件
船舶流体力学第六章 势流理论
= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=
dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述
流体力学-势流理论
第六章势流理论本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。
这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。
一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，如图６-5所示，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ 积分：φ＝V ox （６-4） 如图６-3流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６-5） 如图６-4由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６-3中的实线。
【通用】流体力学6-势流理论.ppt
ｘ＝const，等势线 两组等值线相互正交
0.0
5
v0 v0 y
v0
v0
v0 y
v0
平板
平行平壁间的流动 薄平板的均匀纵向绕流
0.0
6
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
Vr=f(r)， V = 0 2πrVr ＝Ｑ
∴ Vr＝Ｑ/2πr
0.0
• 与该平面相平行的所有其它平面上的流动 情况完全相同。
0.0
2
图 6－1
0.0
3
一、均匀流
Vｘ＝Vo， Vy＝０
(1)势函数
d
x
dx
y
dy
Vxdx
Vy dy
V0dx
V0 x C
V0 x
(2)流函数
d
x
dx
y
dy
Vydx
Vx dy
Vody
V0 y
0.0
4
令 V0 y c y const. 令 V0 x c x const.
？讨论：零流线上的速度变化
0.0
23
？讨论：零流线上的速度变化
Vr
V0
cos (1
r02 r2
)
V
V0
sin (1
r02 ) r2
零流线上的速度大小
X轴： V
Vr2
V2
V0
(1
r02 r2
)
圆周：V 2V0 sin
A, 速度减小，A B(D), 速度增加
B(D) C, 速度减小， C ,速度增加
r02 r2
)
0.0
22
二、圆柱表面的速度分布
流体力学-势流理论
第六章势流理论本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，如图６-5所示，V ｘ＝V o ， V y ＝０dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ 积分：φ＝V ox （６-4）如图６-3流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６-5 如图６-4由（６-4）和（６-5 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６-3 等势线：ｘ＝const ，一组平行于ｙ轴的直线，如图６-3中的虚线。
第六章 势流理论
第六章势流理论课堂提问：为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同？本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。
这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。
一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ积分： φ＝Vox （６-4）流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5）由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。
第17讲势流理论4
a3 ϕ ( R,θ , t ) = V (t ) R cos θ (1 + 3 ) 2R
*
根据动系中相对速度势的这一特点，可将时间变量和空间变量分离：
* ϕ * ( r , t ) = V (t )ϕ 0 (r ) * ϕ 0 (r )
称为单位相对速度势，与时间无关，仅是空间坐标的函数，取决
* ϕ 0 (r ) =
得流函数为：
θ
o
R y
1 ψ = ∫ rv z dr − rv r dz = v 0 r 2 2
ε r x
v0
根据柱坐标系和球坐标系的关系：
z = R cos θ , r = R sin θ
1 2
可得球坐标下均匀场的速度势和流函数：
ϕ = v 0 R cos θ
ψ = v0 R 2 sin 2 θ
空间点源
∂ϕ = V (t ) ⋅ n = V0 ⋅ n + (ω × r ) ⋅ n = V0 ⋅ n + ( r × n) ⋅ ω ∂n = Vx nx + V y n y + Vz nz + ω x ( ynz − zn y ) + ω y ( ynx − zn z ) + ω z ( yn y − zn x ) = ∑ Vi ni
于物面形状和来流方向。 如果物体作六个自由度的非定常运动，物体上任意一点r处的速度可表 示为：
V (t ) = V0 (t ) + ω(t ) × r
V0 = (Vx ,V y , Vz ) ——物体的平移速度
ω = (ω x , ω y , ω z ) ——物体的旋转角速度
在动系中，绝对速度势满足定解问题，此时物面边界条件为：
第三章 势流理论
（1）基本解
均匀直线流
ua
vb
ax by cz
wc
点源汇 流场中某一点处有流体注入流场，体积流量Q，称点源强度。
设坐标原点在点源处，径向流速
vr
Q
4r 2
(r) Q 4r
(x, y, z)
Q
4 x2 y2 z2
偶极子：等强度的源汇无限靠近
若存在 lim 2aQ M （M为偶极强度），这样的 a0 Q
在流动不发生分离或在分离点之前，理想无旋绕流是实际流动的良 好近似。
3.3不可压流体的平面势流
1 流函数
在不可压缩流体平面流动中，连续性方程简化为：
dux duy 0 dux duy
dx dy
dx dy
存在流函数 ：
d
x
dx
y
dy
uxdy uydx
0
一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是 无旋流动都存在流函数。
AB
d
AB
B
A
3 流函数与势函数的关系
（1）平面无旋运动的势函数和流函数共轭。
ux
x
y
uy
y
x
柯西--黎曼条件
（2）流函数的等值线与速度势函数的等值线正交 。
0
y y x x
y y x x
4 平面无旋运动的流网 流网是不可压缩流体平面无旋流动中，流线簇与等势线
M 2U R3
U
x
U
R3 2
(x2
x y2
z 2 ) 32
U
r
cos
(1
R3 2r 3
)
速度场 球面速度
球面压强
vr
浮体水动力分析的基本理论
2 浮体水动力分析的基本理论2.1 势流理论流场中速度场是标量函数（即速度势）梯度的流称为势流（Potential Flow ）。
特点是无旋、无黏、不可压缩。
简谐传播的波浪中具有浮动刚体的流场速度势可以分为三个部分：∅(x,y,z,t )=∅r +∅ω+∅d 1 （2-1）∅r 为浮体运动产生的辐射势；波浪未经浮体扰动的入射势表示为∅ω；∅d 为波浪绕射势，是波浪穿过浮体后产生的。
需要满足的边界条件有：① 普拉斯方程（Laplace Equation ）：ð2∅ðx 2+ð2∅ðy 2+ð2∅ðz 2=0 （2-2）② 底边界条件：ð∅ðz=0，z =−ℎ （2-3）③ 由表面条件：ð2∅ðt 2+g ð∅ðz =0，z =0 （2-4）④ 没物体表面条件：ð∅ðn=∑v j f j (x,y,z)6j=1 （2-5） ⑤辐射条件：辐射波无穷远处速度势趋近于0lim R→∞∅=0 （2-6）2.1.1 波浪力的组成浮体浸入水中受到的力和力矩分别为：⎰⎰-=Sn p dS )*(F （2-7）dS n r p S⎰⎰-=)*(*M （2-8）S 表示浮体湿表面，n ⃗ 的方向是由浮体内指向流场。
用线性化的伯努利方程以速度势表达压力：gz tdt t r gz t p ρδδφδδφωδδφρρδδφρ-++-=--=)( （2-9） 则s d r F F F F +++=ωF （2-10） s d r M M M M +++=ωM （2-11）辐射载荷表达为r F 、r M ，是由浮体强迫振动产生的；浮体固定时，入射波浪产生的载荷表示为ωF 、ωM ；浮体固定时，产生的绕射波载荷表示为d F 、d M ；静水力载荷表示为s F 、s M 。
2.1.2 附加质量与辐射阻尼当浮体发生强迫振动时，其在j 方向和k 方向产生的耦合水动力包含附加质量和辐射阻尼两个部分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=⎰⎰⎰⎰S kj S k j kjdS n dS n M φφρωφφρIm N ，Re kj （2-12）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=⎰⎰⎰⎰S jk Sj kdS n dS n M φφρωφφρIm N ，Re kj jk （2-13） 如图2.1所示为波激力、附连质量力、阻尼力和回复力的叠加。
第16讲势流理论3
1 A2 1 xA2 1 yA2 ) = (x + 2 ) +i (y − 2 ξ + iη = ( x + iy + ) 2 2 2 x + iy 2 x +y 2 x +y
解得坐标变换关系：
xA 2 1 1 ξ = (x + 2 ) = r cosθ (1 + 2 2 2 x +y yA 2 1 1 η = (y − 2 ) = r sin θ (1 − 2 2 2 x +y
ξ = x + b1 ⎫ ⎬ η = y + b2 ⎭
可见，平移变换将坐标分量分别平移了一个距离，图形形状不变：
y
2
R 1 4
z
η
2
ζ
R 1
b1
3
o
x
3
o
b2
4
ξ
（2） 旋转变换
旋转变换函数为：ζ
= ze iμ
ζ = ξ + i η = ρ e iα
z = x + iy = r e iθ
其中μ 为实常数。将复变数写成三角函数（极坐标）形式：
cp
上
= −2α
a −ξ a +ξ
cp
下
= 2α
a −ξ a +ξ
可见，平板上、下表面压力大小相等、方向相反；下表面压力为正， 指向平板向上，上表面压力为负，背离平板向上。
（5） 平板的升力
平板所受的合力向上，合力在来流方向上的分力是阻力，垂直于来流 方向的分力就是升力。根据有环量圆柱绕流的升力表达式，可得平板的升 力大小为： 定义升力系数：
Ω (ζ ) = Φ (ξ ,η ) + iΨ (ξ ,η )
第14讲势流理论1
(2) 基本方程
势流问题的基本方程就是速度势的拉普拉斯方程：
∇ 2ϕ = 0
（在流体中）
拉普拉斯方程有无穷多个解，要想得到唯一解，就要给出具体问题的 边界条件，非定常流动还要给出初始条件。
(3) 边界条件
边界条件是指速度势在流体域边界上满足的条件。流体域边界面的可 能形式： ① 物体表面（船体表面，鱼身体表面）； ② 互不渗透的两种流体边界（海面）； ③ 无穷远边界面。
z
y
o
V (t )
x
x0
∇ 2ϕ = 0
（2）边界面有大球表面（外边界）和小球表面（内边界）。内边界 就是小球的表面，其方程为：
F = ( x − x0 ) + y + z − a
2 2 2
2
( x0 = ∫ V (t )dt )
t0
t
由内边界方程可得：
∂F = −2( x − x0 )V (t ) ∂t
第14讲 势流理论(1)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.势流问题的基本方程和边界条件 2.复势 3.平面势流的基本解
1 势流问题的基本方程和边界条件
(1) 势流问题
势流：不可压、理想流体的无旋流动称为势流。势流即无源、无旋的 流动，其势函数满足拉普拉斯方程 势流问题：势流流场对物体的作用力 势流问题的求解思路： 流函数 拉普拉斯方程 速度势 复势 伯努利方程 速度分布 压力分布 积分 压力合力
∇ϕ = v0
( R → ∞)
（4）初始条件
初始条件是初始时刻、速度势或速度在流体域内或边界上满足的条 件。初始条件要根据具体问题来确定。
例5-1
半径为R的固定大球壳中充满不可压 理想流体，半径为a的小球以速度V(t)在其 中运动。试建立速度势满足的基本方程和 边界条件。 解：（1）以大球壳中心为原点，建立 静止坐标系，速度势满足的基本方程：
势流理论
直角坐标系下： M y
2 x2 y2
令ψ＝C即得流线族：
M
2
x2
y y2
c
或
y x2 y2
c1
即
x2 y2 y 0
c1
配方后得: x2 ( y 1 )2 1
2c1
4c12
（６－14）
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆，
等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
全相同。
图 6－1
船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比 宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓 慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平 面内流动。
图 6－2
一、均匀流
设所有流体质点均具有与
ｘ轴平行的均匀速度Vo， Vｘ＝Vo， Vy＝０
现求φ 和ψ 。平面流动速度势的全微分为：
d
x
dx
利用泰劳展开: ln(1 z) z z2 z3
23
令 z x cos1
r2
展开后并略去δ x 二阶以上小量，可得：
Q x cos1 2 r2
极坐标下： M cos
2 r
（６-１0）
直角坐标下：
M
2
x x2 y2
（６-11）
为均匀流。
2.物面条件: 圆柱表面不可穿透，即
r=ｒ0处，有 Vｎ= Vｒ=０， 或ｒ=ｒ0 的圆周是一条流线。
边界条件的数学式表达
（a）无穷远条件：
ｒ ∞
Vx V0 Vy 0
或
（ｂ）物面条件：
Vr V0 cos V V0 sin
r = r０，vｎ= vr=０或r = r０处ψ=０ （零流线）
势流理论笔记：01势流理论基础
势流理论笔记：01势流理论基础前⾔：势流理论复习笔记，没想到⾃⼰⼜重新学了⼀遍势流理论。
所以记个笔记笔记内容基本摘抄⾃朱仁传⽼师的《船舶在波浪上的运动理论》，写得好哇基础理论均匀、不可压缩理想流体的流场中，连续性⽅程与欧拉⽅程可以描述为：∇v=0∂∂t+v⋅∇v=−∇pρ+gzv(x,y,z)与p(x,y,z)分别为速度⽮量与压⼒场，存在向量关系∇v22=∇v⋅v2=(v⋅∇)v+v×(∇×v)欧拉⽅程可以改写为以下形式，称为兰姆⽅程(Lamb′sEquation)∂v∂t+∇v22−v×(∇×v)=−∇pρ+gz以上共四个⽅程，四个未知数，⽅程封闭。
如果流体流动⽆旋有势，⽅程可以进⼀步简化v=∇ϕ(x,y,z,t)∇2ϕ(x,y,z,t)=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2=0pρ+gz+v22+∂ϕ∂t=C(t)格林函数法船舶在波浪中的运动问题关键在于求解流畅中的速度势，即求在确定边界条件下的拉普拉斯⽅程。
格林函数法(Green′s function method)是⼀类成熟常⽤的求解⽅法。
格林函数法的基础势格林公式（散度定理）推导得到，对三维空间中有界区域τ，有以下关系式∭τ∇⋅A dτ=∬S n⋅A d S其中，S为空间域τ充分光滑的边界⾯；n为曲⾯S的单位外法向⽮量（从流体域内指向外部），⽮量A在封闭区域τ+S上连续。
现令A=ϕ∇ψ，于是有∇A=∇(ϕ∇ψ)=∇ϕ⋅∇ψ+ϕ∇2ψn⋅A=n⋅(ϕ∇ψ)=ϕ∂ψ∂n将A=ϕ∇ψ代⼊格林公式得到∬Sϕ∂ψ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τϕ⋅∇2ψdτ将A=ψ∇ϕ代⼊格林公式得到∬Sψ∂ϕ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τψ⋅∇2ϕdτ两式作差得到{()() ()()()()∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =∭τϕ⋅∇2ψ−ψ⋅∇2ϕd τ若ϕ,ψ在τ内处处调和，即: ∇2ϕ=0,∇2ψ=0，则有∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =0∬S ψ∂ϕ∂n d S =∬S ϕ∂ψ∂n d S称作格林第⼆公式。
03渠道临界水深计算
03渠道临界水深计算渠道临界水深是指在一定坡度条件下，水流能够稳定地通过渠道的最大水深。
渠道临界水深的计算对于设计和运行渠道工程具有重要意义，因为渠道的设计和维护需要考虑水流的稳定性。
渠道临界水深计算的方法有很多种，下面将介绍两种常用的方法：曼宁公式法和势流理论法。
1.曼宁公式法曼宁公式是一种经验公式，常用于开放渠道的水力计算。
其公式为：Q=(1.49/n)*A*R^(2/3)*S^(1/2)其中-Q表示单位时间内通过渠道的流量，单位为立方米每秒(m³/s)；-n表示曼宁摩阻系数，是一个经验值，一般取值在0.01~0.06之间；-A表示水流横截面积，单位为平方米(m²)；-R表示水流横截面的湿周与水流横截面面积的比值，也被称为水力半径，单位为米(m)；-S表示渠道底坡，即水位高程与水流横截面长度之差除以渠道长度，单位为米每米(m/m)。
根据曼宁公式，可以通过已知的流量Q和其他参数来计算渠道临界水深。
2.势流理论法势流理论是一种理论上的算法，能够计算近似地确定水流的特性，适用于一维理想流动的情况。
势流理论法的基本假设是渠道中的水流是不可压缩、稳定且无粘性的。
根据势流理论，可以根据渠道的几何形状和边界条件进行求解。
势流理论法的计算需要通过假设渠道横截面的形状，根据边界条件和流量来计算临界水深。
计算方法较为复杂，包括流速分布、流量分布和水面陡度等参数的计算。
总结：渠道临界水深的计算方法有多种，其中常用的方法包括曼宁公式法和势流理论法。
具体选择哪种方法取决于渠道的几何形状和边界条件，以及计算的精度要求。
在实际应用中，工程师需要根据具体情况选择适合的方法，并结合实际数据进行计算和分析。
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第六章：势流理论一．内容总结：二元流动包括平面流动和轴对称流动。
对于不可压缩流体的平面定常势流可以引入流函数和速度势函数。
而不可压缩平面势流速度势函数和流函数均满足拉普拉斯方程。
速度势函数的等值线与流函数等值线正交，流函数的等值线与流线重合。
本章研究物体在静止理想流体中平面运动时,流体对物体的作用力。
求解势流问题的思路为：当物体在流体中运动，即物体与流体之间产生相对运动时,物体受到流体的作用力。
对于理想流体的运动不存在切应力，理想流体中运动的物体表面上只受到法向的压力作用。
因此要解决在流场中物体所受的作用力,只要把物体表面上合压力求出即可。
由伯努利方程可知，若物面上（理想流体中无分离绕流时物面与流线重合）的速度分布已知可求出物面上压力分布，再沿物面积分便可求出物体受到的合压力。
因此，问题归结为求出流场的速度分布，对于不可压缩平面流动，求速度分布的问题又可归结为求速度势函数和流函数问题。
1． 势流问题求解的思路 基本方程 ： 20ϕ∇= 无旋流动20ψ∇=二维不可压缩流动V grad φ=G即得到三个速度分量u v 伯努立方程压力,,w →→P 再由边界条件→ 积分 spds ∫便求得了合力，因此只要确定V ϕ→→p G就可积分求合力了。
对于二维不可压缩无旋流动，整个问题的关键在于找到满足边界条件的ϕ或ψ。
求速度势ϕ的方法：因为方程是线性方程, 几个解的线性之和仍满足拉普拉斯方程。
20ϕ∇=根据已知知识确定应选的势流. 简单平面势流的表示式 1) 等速直线运动等速V 平行x 轴的平行流动速度势和流函数为： 0V x ϕ= 0V y ψ=2) 源和汇源心在坐标原点时速度势和流函数在平面极坐标下为： ln 2Q r ϕπ= 2Q ψθπ= 式中为源 为汇0Q >0Q <3) 旋涡速度势和流函数在平面极坐标下为： 2ϕθπΓ= ln 2r ψπΓ=−4)偶极子速度势和流函数为：222M x z x y ϕπ=+ 222M yx yψπ=−+ 221214sin p p p c V θρ∞∞−==− 在位置上,指向与X 轴成β角. 0z M ：称偶极矩,由汇指向源。
势流的迭加1) 绕圆柱的无环绕流 ϕϕϕ=+均偶 边界条件：0,0x V xyϕϕ∂∂→∞==∂∂ 00r r rϕ∂→=∂ 物面是一条流线 0ψ=200cos ()r V r r ϕθ=+ 200sin ()r V r rψθ=−速度分布 1,r V V rr θϕϕθ∂∂==∂∂ 002sin 0r r r V V V V θθ===−=压力系数 221214sin p p p c V θρ∞−==−作用力 R=0 阻力D=X=0 升力L=Y=0 2) 绕圆柱的有环绕流速度势函数：ϕϕϕϕ=++涡均偶200cos ()2r V r r ϕθθπΓ=+−流函数： 200sin ()ln 2r V r r ψθπΓ=−+压力系数： 20001(2sin )2P C V r θπΓ=−+速度环量： 202r 0πωΓ= 0r r =速度分布： 002sin 2V V V r θθπΓ==−−驻点位置： V=0处 000sin 4V r θπΓ=−驻点位置与Γ,的大小,方向有关. 0V 作用力： R ,0≠阻力： D=X=0, 升力：0L Y V ρ==Γ 2．库塔----儒可夫斯基条件为确定绕机翼剖面环流大小的边界条件.要求使翼剖面的尾缘点处速度为零或有限值。
3．布拉休斯公式前提：理想, 不可压流体, 平面、无旋、无分离流动。
在求出绕任意形状柱形体的复势w(z)后,可求得作用在该柱体上的合力和合力矩.2p (2ldW )X iY idz dzρ=−=∫v 2M Re{()}2ldW zdz dzρ=−∫v 上述积分可由复变函数中留数定理，即求沿包围物体的任意封闭曲线L 的2(dW dz以及2()dW z dz的积分,就得到物体受到的合力以及合力矩。
4．库塔----儒可夫斯基定理任意形状柱体在理想不可压缩流体中作平面、无旋、无分离、有环流流动时，物体上只受升力作用，阻力为零。
升力大小为： 0L V ρ=Γ升力方向：顺来流方向逆环流再旋转90o 。
由于在流动平面上，物体剖面上部和下部的流动不对称，从而压力不对称产生压力差，升力便是这一压力差；而在物体剖面前部和后部流动对称，从而压力对称，在x 方向相互抵消，故阻力为零。
二、重点，难点 重点：1、 平面势流问题求解的基本思想。
2、 势流迭加法3、 物面条件，无穷远处条件4、 绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、 四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、 麦马格鲁斯效应的概念7、 计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 8、 附加惯性力，附加质量的概念难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置， 流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 3．附加惯性力，附加质量的概念三、例题1.如图6-1为无限大平板两侧为静止大气，压力为Pa, 在点(a,b)处有一强度为Q 的源，求 平板两侧的压力差所形成的合力。
解：取坐标如图6-1，位于点(a,b)处强度为Q 的源的速度势为：2Qϕπ=显然它所对应的流动在平板上壁面y=0现在对称位置上即点(a,-b)处置一等强度的源，（称为镜像源）迭加后的速度势为：ln 22Q Qϕππ=+ 求导后得平板上壁面上的速度分布为： 22,0()Qx au vx a bπ−==−+这样就满足了不可穿透条件，这种求解方法称为镜像法。
由无穷远到平板上任意一点列伯努利方程：212a p p u =+ 平板上、下壁面上任意一点的压力差为： 2221[]2()a Q x ap p x a bρπ−−=−−+ 平板上、下壁面上的压力差形成的合力为：2()4a Q F p p dx bρπ∞=−=∫2．求点汇和点涡的迭加，源强为Q ，涡强为Γ。
解： 迭加后有 ln 22Q r ϕθππΓ=+ ln 22Q r ψθππΓ=− 等流函数线： 1,QC r c e θψΓ−==等势线： 2,QC r c eθϕΓ==都为对数螺旋线3．均流和源的迭加，均流速度为U 0 ， 源强为Q 求：1）合成流动的速度分布 2）合成流动的驻点位置 3）过驻点的流线解： 1）迭加后有 02QU x ϕπ=+速度分布为：022222x y Q XQ yV U V x y 2x y x yϕϕππ∂∂==+==∂∂++ 2) 驻点位置1002y x V y Q V y x U π=====−，（）3) 过驻点的流线 102Q y U y tg c xψπ−=+= 驻点 102y Qy tg c xπ−==∴=过驻点的流线为： 1022Q y U y tg Qx π−+=头部为半圆型的半无穷长物体.4. 在平面直角坐标系的水平x 轴上x = + L 处布置强度为Q 的点汇，x = ⎯ L 处布置强度为Q 的点源，来流速度U=const.平行于x 轴，求：1）流场的流函数 2）物面形状 解：1)迭加后流场的流函数为：ψ=2)令0ψ=得：0=这个方程的解为：y=0,即与x 轴重合的直线，另一条为卵形曲线与y=0有两个交点，这就是前后两个驻点。
5．验证 2022a x V x x y ϕ⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦为绕圆柱体的无环流动的速度势。
1） 0x V V ϕ∂→∞==∂xx2）222x y a +=处， 在物面上0nϕ∂==∂n V 22222002222211x y a x x y x V V x y x y ϕ⎡⎤⎡∂+−⋅=++⎢⎥⎢∂++⎣⎦⎣2222a （）a （）=x （）（）⎤−⎥⎦， 当可得：→∞x 0x V V ϕ∂==∂x上式分母的指数大于分子的指数，衰减的快。
在极坐标系下 cos sin x r y r θθ== 0cos V r ϕθ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦2a r01cos n V V r n ϕϕθ⎡⎤∂∂===−⎢⎥∂∂⎣⎦2a r当r a ==时，0n V =满足不可穿透条件。
6．求如图6—2流动的速度分布与圆表面上的压力分布。
中部为半圆，左右至无穷远。
设圆的半径为r 0，无穷远处压力为p 0解： 根据定常运动中壁面可以和流线互换的原理，则这一流动同绕圆柱的无环绕流一样。
其速度势为：2002cos (r V r rϕθ=+所以速度分布为：2002cos (1)r r V V r rϕθ∂==−∂20021sin (1r V V r rθϕθθ∂==−+∂由伯努利方程：20V p V 20ρρ=+11p+22图6—2 物面上速度分布： 0002sin r r r r V V V θθ====−压力分布： 2200(14sin )p p V ρθ−=−127. 圆柱直径为D=1.2m ，长L=5m, 绕自身轴旋转，转速为n=90r/min,无穷远来流速度为80km/h, 空气密度为,求：1）环量 2）升力 3）驻点位置 31.025/kg m ρ=解：1） 902/603/,rad s ωππ=×=22221.32/,R m s πωΓ==2）2854,L U l N ρ=Γ= 3）sin 0.1272,4RUθπΓ=−=−187.31,352.69o o θ=8．圆柱半径为R=1m ，以2m/s 速度在水平面内中由左向右运动，圆柱本身自转所产生的环量 已知流体密度 2100/m s Γ=−31000/kg m ρ=求： 1) 驻点位置2) 圆柱所受的作用力解： 将坐标固结于圆柱体，来流自右向左，圆柱顺时针转动速度势： 20cos ()2R U r r ϕθθπΓ=−+−速度分布： 201sin (1)2R V U r r θϕθrθπ∂Γ==+−∂驻点：0r R V θ==02sin 02U RθπΓ−= 解出：20100 3.98sin 424RR RU θππΓ−===−×× 当才有解3.98R ≥ 2) 由升力定理501002100210/L v N ρ=Γ=××=×m升力方向：向下。
9. 某船舶如图6—3所示，已知U=15m/s,船上两个圆柱体铅直安装，直径同为2m,长10m,以 转速40r/min 顺时针旋转，已知空气密度为 1000kg/m 3,求：圆柱体给船舶的推力。
解：环量 222 4.5,RπωπΓ==3.14/rad s ω=推力 215989T U L N ρ=Γ=10．已知绕圆柱体流动的速度势20()co a V r rs ϕθ=+ ， 图6—3 求：作用于图6—4所示的半圆柱体上的合力。