势流理论

第六章：势流理论
一．内容总结：
二元流动包括平面流动和轴对称流动。

对于不可压缩流体的平面定常势流可以引入流函数和速度势函数。

而不可压缩平面势流速度势函数和流函数均满足拉普拉斯方程。

速度势函数的等值线与流函数等值线正交，流函数的等值线与流线重合。

本章研究物体在静止理想流体中平面运动时,流体对物体的作用力。

求解势流问题的思路为：
当物体在流体中运动，即物体与流体之间产生相对运动时,物体受到流体的作用力。

对于理想流体的运动不存在切应力，理想流体中运动的物体表面上只受到法向的压力作用。

因此要解决在流场中物体所受的作用力,只要把物体表面上合压力求出即可。

由伯努利方程可知，若物面上（理想流体中无分离绕流时物面与流线重合）的速度分布已知可求出物面上压力分布，再沿物面积分便可求出物体受到的合压力。

因此，问题归结为求出流场的速度分布，对于不可压缩平面流动，求速度分布的问题又可归结为求速度势函数和流函数问题。

1． 势流问题求解的思路 基本方程 ： 2
0ϕ∇
= 无旋流动
20
ψ∇=二维不可压缩流动
V grad φ=G
即得到三个速度分量u v 伯努立方程压力
,,w →→P 再由边界条件→ 积分 s
pds ∫
便求得了合力，因此只要确定V ϕ→→p G
就可积分求合力
了。

对于二维不可压缩无旋流动，整个问题的关键在于找到满足边界条件的ϕ或ψ。

求速度势ϕ的方法：
因为方程是线性方程, 几个解的线性之和仍满足拉普拉斯方程。

2
0ϕ∇
=根据已知知识确定应选的势流. 简单平面势流的表示式 1) 等速直线运动
等速V 平行x 轴的平行流动
速度势和流函数为： 0V x ϕ= 0V y ψ=
2) 源和汇
源心在坐标原点时
速度势和流函数在平面极坐标下为： ln 2Q r ϕπ= 2Q ψθπ
= 式中为源 为汇
0Q >0Q <3) 旋涡
速度势和流函数在平面极坐标下为： 2ϕθπ
Γ= ln 2r ψπΓ
=−
4)偶极子
速度势和流函数为：
222M x z x y ϕπ=
+ 22
2M y
x y
ψπ=−+ 2
21
2
14sin p p p c V θρ∞∞−=
=− 在位置上,指向与X 轴成β角. 0z M ：称偶极矩,由汇指向源。

势流的迭加
1) 绕圆柱的无环绕流 ϕϕϕ=+均偶 边界条件：0,0x V x
y
ϕ
ϕ∂∂→∞
==∂∂ 0
0r r r
ϕ∂→=∂ 物面是一条流线 0ψ=
200cos ()r V r r ϕθ=+ 2
00sin ()r V r r
ψθ=−
速度分布 1,r V V r
r θϕϕ
θ
∂∂==
∂∂ 0
02sin 0r r r V V V V θθ===−=
压力系数 2
21
214sin p p p c V θρ∞−=
=−
作用力 R=0 阻力D=X=0 升力L=Y=0 2) 绕圆柱的有环绕流
速度势函数：ϕϕϕϕ=++涡均偶
200cos ()2r V r r ϕθθπ
Γ
=+−
流函数： 200sin ()ln 2r V r r ψθπ
Γ
=−+
压力系数： 2
000
1(2sin )2P C V r θπΓ=−+
速度环量： 202r 0πωΓ= 0r r =
速度分布： 00
2sin 2V V V r θθπΓ
==−−
驻点位置： V=0处 0
00
sin 4V r θπΓ=−
驻点位置与Γ,的大小,方向有关. 0V 作用力： R ,
0≠阻力： D=X=0, 升力：0L Y V ρ==Γ 2．库塔----儒可夫斯基条件
为确定绕机翼剖面环流大小的边界条件.要求使翼剖面的尾缘点处速度为零或有限值。

3．布拉休斯公式
前提：理想, 不可压流体, 平面、无旋、无分离流动。

在求出绕任意形状柱形体的复势w(z)后,可求得作用在该柱体上的合力和合力矩.
2
p (
2
l
dW )X iY i
dz dz
ρ
=−=∫v 2
M Re{(
)}2
l
dW zdz dz
ρ
=−
∫v 上述积分可由复变函数中留数定理，即求沿包围物体的任意封闭曲线L 的2
(
dW dz
以及2
(
)dW z dz
的积分,就得到物体受到的合力以及合力矩。

4．库塔----儒可夫斯基定理
任意形状柱体在理想不可压缩流体中作平面、无旋、无分离、有环流流动时，物体上只受升力作用，阻力为零。

升力大小为： 0L V ρ=Γ
升力方向：顺来流方向逆环流再旋转90o 。

由于在流动平面上，物体剖面上部和下部的流动不对称，从而压力不对称产生压力差，升力便是这一压力差；而在物体剖面前部和后部流动对称，从而压力对称，在x 方向相互抵消，故阻力为零。

二、重点，难点 重点：
1、 平面势流问题求解的基本思想。

2、 势流迭加法
3、 物面条件，无穷远处条件
4、 绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

5、 四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。

6、 麦马格鲁斯效应的概念
7、 计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 8、 附加惯性力，附加质量的概念
难点：
1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置， 流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 3．附加惯性力，附加质量的概念
三、例题
1.如图6-1为无限大平板两侧为静止大气，压力为Pa, 在点(a,b)处有一强度为Q 的源，求 平板两侧的压力差所形成的合力。

解：取坐标如图6-1，位于点(a,b)处强度为Q 的源的速度势为：
2Q
ϕπ
=
显然它所对应的流动在平板上壁面y=0
现在对称位置上即点(a,-b)处置一等强度的源，（称为镜像源）
迭加后的速度势为：ln 22Q Q
ϕππ
=
+ 求导后得平板上壁面上的速度分布为： 22
,0()Q
x a
u v
x a b
π−=
=−+这样就满足了不可穿透条件，这种求解方法称为镜像法。

由无穷远到平板上任意一点列伯努利方程：212
a p p u =+ 平板上、下壁面上任意一点的压力差为： 222
1[]2()a Q x a
p p x a b
ρπ−−=−
−+ 平板上、下壁面上的压力差形成的合力为：2
()4a Q F p p dx b
ρπ∞
=−=∫
2．求点汇和点涡的迭加，源强为Q ，涡强为Γ。

解： 迭加后有 ln 22Q r ϕθππΓ=
+ ln 22Q r ψθππ
Γ=− 等流函数线： 1,Q
C r c e θ
ψΓ−==
等势线： 2,
Q
C r c e
θϕΓ
==
都为对数螺旋线
3．均流和源的迭加，均流速度为U 0 ， 源强为Q 求：
1）合成流动的速度分布 2）合成流动的驻点位置 3）过驻点的流线
解： 1）迭加后有 02Q
U x ϕπ
=+
速度分布为：022
2
22x y Q X
Q y
V U V x y 2x y x y
ϕϕππ∂∂==+=
=∂∂++ 2) 驻点位置
1002y x V y Q V y x U π=====−
，（）
3) 过驻点的流线 102Q y U y tg c x
ψπ−=+
= 驻点 102y Q
y tg c x
π−==∴=
过驻点的流线为： 1022
Q y U y tg Q
x π−+=
头部为半圆型的半无穷长物体.
4. 在平面直角坐标系的水平x 轴上x = + L 处布置强度为Q 的点汇，x = ⎯ L 处布置强度为Q 的点源，来流速度U=const.平行于x 轴，求：1）流场的流函数 2）物面形状 解：1)迭加后流场的流函数为：
ψ=
2)令0ψ=得：
0=
这个方程的解为：y=0,即与x 轴重合的直线，另一条为卵形曲线与y=0有两个交点，这就是前后两个驻点。

5．验证 202
2a x V x x y ϕ⎡⎤
=+⎢⎥+⎣⎦
为绕圆柱体的无环流动的速度势。

1） 0x V V ϕ
∂→∞==∂x
x
2）2
2
2
x y a +=处， 在物面上0n
ϕ∂=
=∂n V 22222002222211x y a x x y x V V x y x y ϕ⎡⎤
⎡∂+−⋅=++⎢⎥⎢∂++⎣⎦⎣22
22a （）a （）=x （）（）⎤−⎥⎦
， 当可得：
→∞x 0x V V ϕ
∂==∂x
上式分母的指数大于分子的指数，衰减的快。

在极坐标系下 cos sin x r y r θ
θ== 0cos V r ϕθ⎡⎤
=+⎢⎥⎣
⎦2a r
01cos n V V r n ϕϕ
θ⎡⎤∂∂===−⎢⎥∂∂⎣
⎦2a r
当r a ==
时，
0n V =满足不可穿透条件。

6．求如图6—2流动的速度分布与圆表面上的压力分布。

中部为半圆，左右至无穷远。

设圆的半径为r 0，无穷远处压力为p 0
解： 根据定常运动中壁面可以和流线互换的原理，则这一流动同绕圆柱的无环绕流一样。

其速度势为：2
002cos (r V r r
ϕθ=+
所以速度分布为：2002cos (1)r r V V r r
ϕ
θ∂==−∂
20021sin (1r V V r r
θϕθθ∂==−+∂
由伯努利方程：20V p V 20ρρ=+11
p+
22
图6—2 物面上速度分布： 00
02sin r r r r V V V θθ====−
压力分布： 2200(14sin )p p V ρθ−=
−1
2
7. 圆柱直径为D=1.2m ，长L=5m, 绕自身轴旋转，转速为n=90r/min,无穷远来流速度为80km/h, 空气密度为,求：1）环量 2）升力 3）驻点位置 3
1.025/kg m ρ=解：1） 902/603/,rad s ωππ=×=
22221.32/,R m s πωΓ==
2）2854,L U l N ρ=Γ= 3）sin 0.1272,4RU
θπΓ
=−
=−
187.31,352.69o o θ=
8．圆柱半径为R=1m ，以2m/s 速度在水平面内中由左向右运动，圆柱本身自转所产生的环
量 已知流体密度 2100/m s Γ=−3
1000/kg m ρ=求： 1) 驻点位置
2) 圆柱所受的作用力
解： 将坐标固结于圆柱体，来流自右向左，圆柱顺时针转动
速度势： 20cos ()2R U r r ϕθθπΓ
=−+−
速度分布： 201sin (1)2R V U r r θϕθr
θπ∂Γ
==+−∂
驻点：0r R V θ==02sin 02U R
θπΓ
−
= 解出：
20100 3.98
sin 424R
R RU θππΓ−=
==−×× 当才有解
3.98R ≥ 2) 由升力定理
501002100210/L v N ρ=Γ=××=×m
升力方向：向下。

9. 某船舶如图6—3所示，已知U=15m/s,船上
两个圆柱体铅直安装，直径同为2m,长10m,以 转速40r/min 顺时针旋转，已知空气密度为 1000kg/m 3,求：圆柱体给船舶的推力。

解：环量 2
22 4.5,R
πωπΓ==
3.14/rad s ω=
推力 215989T U L N ρ=Γ=
10．已知绕圆柱体流动的速度势2
0()co a V r r
s ϕθ=+ ， 图6—3 求：作用于图6—4所示的半圆柱体上的合力。

解：
2
02
01sin (1)cos (1)
r a V V r r
a V V r r
θϕθθϕθ∂==−+∂∂==−∂
当r=a 时, 0r V =
02sin V V θθ=− 图6—4
阻力：
200s
2200
23
01X=-pcos ds (2sin )cos 2cos d 2sin cos 2sin sin 0
00
3c V a ca a V d ca a V πππ
d θρθθθθρθθθ
π
πθρθ⎡⎤
=−−−⋅⋅⎢⎥⎣⎦=−+⋅⋅⋅=−+⋅=∫∫∫∫∫θ
这里 ds a d θ=⋅
升力：
200s
20201-psin ds (2sin )sin 231cos 2cos cos300
412312226Y c V ca a V ca a V πa d θρθθθ
π
πθ
ρθθρ⎡⎤
==−−−⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤=−+−+⎢⎥⎣⎦⎡⎤
=−+−⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫⋅
由伯努利方程有2001
2
c p V ρ=+
所以升力222000018522263Y a p V a V a V ap ρρρ⎡⎤
=−+
+=−⎢⎥⎣⎦
022ρ=Ω=Γ=⋅Ω∫∫ 11．直径为0.5m 的圆柱体以5m/s 的速度在静水中做水平运动, 圆柱体同时还旋转, 已知单
位长度圆柱体上的升力为8000N ，流体的密度为1000kg/m 3。

求：圆柱体的转速Ω。

解：Γ=
002
2n s
ds s
L U U s ωρ2
08000 1.022*******.5
L U s ρπΩ=
==×××× 1/s 12. 有一氢气球的质量为同体积空气质量的10%, 忽略流体附加质量, 该氢气球在空气中突然释放时以9g 的加速度开始上升，若考虑附加质量, 氢气球开始上升的加速度为多少? 解: 设与氢气球同体积的空气质量M, 则氢气球的质量为10M%,重力为10Mg%,
氢气球在空气中的浮力为：Mg,
在空气中氢气球上升的力为浮力与重力的矢量和：
10%9%Mg Mg M g −=
球体的附加质量为50M%
考虑氢气球的附加质量时： 10%50%60%M M M += 此时氢气球开始上升的加速度为 ： 9%
1.560%
Mg g M =
四、思考题及练习题
1．简述无旋流动速度势满足拉普拉斯方程的必要条件。

2．势流迭加法求解速度势的关键是什么？ 3．简述采用势流理论求解流体力学问题的前提。

4．简述采用势流理论求解流体力学问题时，边界条件的提法。

5．对于不可压缩流体的平面无旋流动，流函数满足拉普拉斯方程的必要条件是（ ）。

a) 流动定常 b) 流动无旋 c) 流体正压 d) 不计流体粘性 6．对于无旋流动，速度势满足拉普拉斯方程的必要条件是（ ）。

a) 流体不可压缩 b) 流动定常 c) 二维不可压缩流体 d) 不计流体粘性 7．无穷远均匀来流绕一确定形状的圆柱体有环量流动，升力的大小与（ ）有关。

a) 圆柱体的旋转角速度 b) 圆柱体的旋转角速度方向 c) 圆柱体长度 d) 圆柱体的直径
8. 理想流体流体绕任意物体的平面无旋流动，物体受到流体的作用力可能有（ ）。

a) 升力 b) 升力和阻力 c) 升力和附加惯性力 d) 附加惯性力 9．简述绕圆柱无环流流动的运动学边界条件如何。

10．简述机翼产生升力的原因。

11．绕圆柱的有环统流流动，简述驻点位置与哪些参数的关系。

12. 简述库塔—儒可夫斯基定理的前提和结论。

13. 当机翼从静止起飞后，简述绕机翼剖面产生环量的原理。

14. 简述升力与浮力的概念，升力与浮力属于哪一类力？ 15. 以船舶为例说明相对运动与绝对运动的概念。

16. 简述附加惯性力，附加质量的概念。

17. 附加质量的大小取决于哪些量？
18. 船舶不同运动状态下的附加质量与哪些量有关？
19. 一无限大平壁法向距离1 没处有一强度为10m 3/s 的点源，
试证该流场的流函数和速度势函数由如下形式：
{}2225ln [(1)][(1)]2x y x y ϕ2π
=+−++ 5y+1y (arctan arctan )x x
-1ψπ=+
20．无穷远来流速度为3m/s ，绕一半径为1m 的圆柱体流动，坐标原点位于圆柱体轴心处，求X=-2m, y=1.5m 点处的流体速度分量。

21. 理想不可压缩流场，速度为U 的均匀直线流动与强度为Q 的平面点源迭加，求流函数和势函数，并证明半无穷体的外形方程为： ()/(2sin r Q U )πθπθ=−
22．如图6—5所示，强度为Γ点涡位于无限大平板上方，并且总与平板保持固定不变的位置，平板沿x 负方向作等速直线运动，速度为
无穷远前方压力为P0,设流体为理想不可压缩，
求：（1）单位宽度平板上受到的合力。

（2）若L 趋近于无穷大，求单位宽度 图6—5。