必修2立体几何复习(知识点+经典习题)
高中数学必修2立体几何专题
专题一浅析中心投影与平行投影中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础，弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图，平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．下表简单归纳了中心投影与平行投影，结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影．投影定义特征分类中心投影光由一点向外散射形成的投影投影线交于一点平行投影在一束平行光线照射下形成的投影投影线互相平行正投影和斜投影例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等？解析：方法一：可在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连结它们影子顶点与树的顶点，此时为平行投影.方法二：可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子顶点与树的顶点相交于P，此时为中心投影，P为光源位置.点评：这是一道平行投影和中心投影相结合的题目，答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到的是相交线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法，还应注意，若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影子不可能与原长相等.例2 如图所示，点O为正方体ABCDA′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．解析：在下底面ABCD 上的投影为③，在右侧面B ′BCC ′上的投影为②，在后侧面D ′DCC ′上的投影为①. 答案：①②③点评：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．专题二 不规则几何体体积的求法当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考． 一、等积转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．例1 在边长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，A 1A 上的点，且满足A 1M = 12A 1B 1，A 1N =2ND 1，A 1P = 34A 1A （如图1），试求三棱锥A 1—MNP 的体积．分析：若用公式V= 13 Sh 直接计算三棱锥A 1—MNP 的体积，则需要求出△MNP 的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥A 1—MNP 的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P —A 1MN 的体积，便能很容易的求出其高和底面△A 1MN 的面积，从而代入公式求解．解：V A 1-MNP =V A 1—MNP = 13 ·S △A 1MN ·h = 13 ×12 ·A 1M 1·A 1N ·A 1P=13 ×12×12a ·23 a · 34a=124a 3． 评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据． 二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．例2 如图2，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ,F 分别为AB ,AC 的中点，平面EB 1C 1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．分析：截面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF —A 1B 1C 1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．解：设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V =Sh ． 则三角形AEF 的面积为14S ．由于V AEF -A 1B 1C 1=13 ·h ·(s 4 +S+s 2 )= 712Sh ,则剩余不规则几何体的体积为V ′=V-V AEF -A 1B 1C 1=Sh -712 Sh = 512Sh ，所以两部分的体积之比为V AEF -A 1B 1C 1：V ′=7：5.评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算． 三、补形法某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．例3 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.分析：由三视图画出直观图，补一个大小相同的几何体，构成一个圆柱即可求其体积.解：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34×π×12×4＝3π.评注：“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．专题三处理球的切与外接问题与球有关的组合体问题，一种是切，一种是外接。
部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案知识点归纳超级精简版
(名师选题)部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案知识点归纳超级精简版单选题1、下列空间图形画法错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知平面α内的∠APB =60°，射线PC 与PA,PB 所成的角均为135°，则PC 与平面α所成的角θ的余弦值是（ ） A ．−√63B ．√63C ．√33D ．−√333、已知正四面体P −ABC 内接于球O ，点E 是底面三角形ABC 一边AB 的中点，过点E 作球O 的截面，若存在半径为√3的截面圆，则正四面体P −ABC 棱长的取值范围是（ ） A ．[√2，√3]B ．[√3，√6] C ．[2√2，2√3]D ．[2√3，2√6]4、设α,β是两个不同平面，m,n 是两条直线，下列命题中正确的是（ ） A ．如果m ⊥n ，m ⊥α，n //β，那么α⊥β B ．如果m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α//β C ．如果m //n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α//βD ．如果α//β，m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，那么m //n5、《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AC ⊥CD ，AC ＝BC ＋CD ＝2，当△BCD 的面积最大时，鳖臑ABCD 的表面积为（ ）A ．√3+√62B ．3+√62C ．2+√3+√62D ．3+√3+√626、如图，在一个正方体中，E ，G 分别是棱AB ，CC ′的中点，F 为棱CD 靠近C 的四等分点.平面EFG 截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A ．√3πB ．√33C ．√33πD ．√38、设α,β为两个不同的平面，则α ∥ β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α,β垂直于同一平面 C ．α,β平行于同一条直线 D ．α内的任何直线都与β平行9、如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M,N分别为A1D1和AA1的中点，则下列四种说法中正确的是（）A．C1M//ACB．BD1⊥ACC．BC1与AC所成的角为60∘D．CD与BN为异面直线10、用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（）A．矩形B．圆形C．梯形D．三角形11、《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1=AB=2．下列说法正确的是（）A．四棱锥B−A1ACC1为“阳马”B．四面体A1C1CB为“鳖膈”C．四棱锥B−A1ACC1体积最大为23D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B12、设∠A和∠B的两边分别平行，若∠A=45°，则∠B的大小为___________.部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案(四十九)参考答案1、答案：D分析：根据空间图形画法：看得见的线画实线，看不见的线画虚线.即可判断出答案.D选项：遮挡部分应画成虚线．故选:D.2、答案：B分析：作出图形，如图，通过分析，可得∠CPD为PC与平面α所成的角的补角，利用余弦定理可以计算. 作出如下图形，令PA=PB=PC=2，则∠CPA=∠CPB=135∘，∴AC=BC，取AB中点D，连接PD，则∠CPD即为PC与平面α所成的角的补角，在△APC中，AC2=PA2+PC2−2PA⋅PC⋅cos135∘=8+4√2，∴在△PCD中，CD2=AC2−AD2=7+4√2，∵PD=√3，∴cos∠CPD=PC2+PD2−CD22PC⋅PD =−√63，∴PC与平面α所成的角θ的余弦值是√63.故选：B.小提示：本题考查线面角的求法，找出所成角，构造三角形是解题的关键.3、答案：C分析：根据条件设正四面体的棱长为a，用棱长a表示出其外接球的半径R=√64a，过E点作外接球O的截面，只有当OE ⊥截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时此时截面圆的半径为r =12a ，最大截面圆为过球心的大圆，半径为R =√64a ，根据题意则12a ≤√3≤√64a ，从而可得出答案. 如图，在正四面体P −ABC 中，设顶点P 在底面的射影为O 1， 则球心O 在PO 1上，O 1在CE 上，且|PO 1|=23|CE |,连接OE ､OC ，设正四面体的棱长为a ，则|CE |=√32a ，|PO 1|=23|CE |=√33a 则正四面体的高PO 1=√PC 2−O 1C 2=√a 2−(√33a)2=√63a ， 设外接球半径为R ，在Rt △OO 1C 中，OC 2=OO 12+O 1C 2，即R 2=(√63a −R)2+(√33a)2，解得R =√64a ， ∴在Rt △OO 1E 中，OE =√OO 12+O 1E 2=√(√612a)2+(√36a)2=√24a ， 过E 点作外接球O 的截面，只有当OE ⊥截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小， 此时截面圆的半径为r =√R 2−OE 2=(√64a)2−(√24a)2=12a ，最大截面圆为过球心的大圆，半径为R =√64a ， 由题设存在半径为√3的截面圆，∴12a ≤√3≤√64a ，解得2√2≤a ≤2√3，故选:C .小提示：关键点睛：本题考查正四棱锥的外接球的截面圆的半径范围问题，解答本题的关键是用正四棱锥棱长a 表示出其外接球的半径R =√64a ，得出过E 点的球的截面圆的半径的范围，从而得解，属于中档题. 4、答案：C分析：A.由m⊥n，m⊥α，得到n//α或n⊂α，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B. 由m⊥n，m⊥α，得到n//α或n⊂α，再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由m//n，m⊥α，得到n⊥α，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．A.因为m⊥n，m⊥α，所以n//α或n⊂α，又n//β，则α,β位置不确定，故错误；B.因为m⊥n，m⊥α，所以n//α或n⊂α，又n⊥β，所以α⊥β，故错误；C. 因为m//n，m⊥α，所以n⊥α，又n⊥β，所以α//β，故正确；D.如果α//β，m与α所成的角和n与β所成的角相等，那么m//n，相交或异面，故错误．故选：C5、答案：D分析：根据题意可证明CD⊥BC，从而说明三角形BCD是直角三角形，求得BD，进而求得四个直角三角形的面积，可得答案.由题意可知：AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，故AB⊥CD ,又AC⊥CD，AC∩AB=A,AB,AC⊂平面ABC，故CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故CD⊥BC,所以S△BCD=12BC⋅CD≤12×(BC+CD2)2=12,当且仅当BC=CD=1时取得等号，故BD=√1+1=√2 ,由AB⊥平面BCD，可知AB⊥BD,AB⊥BC, 故AB=√AC2−BC2=√4−1=√3 ,所以S△ABD=12AB⋅BD=√62,S△ABC=12AB⋅BC=√32,S△BCD=12BC⋅CD=12,S△ACD=12AC⋅CD=1,所以鳖臑ABCD的表面积为√62+√32+12+1=3+√3+√62，故选：D 6、答案：D分析：根据条件可得平面EFG经过点B′，然后可得答案.连接EB′，GB′因为E，G分别是棱AB，CC′的中点，F为棱CD靠近C的四等分点所以EB′//FG，所以平面EFG经过点B′所以多面体A′D′DA−EFGC′B′的正视图为故选：D7、答案：C分析：求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl=2πr，得l=2r，又S=πr2+πr⋅2r=3πr2=3π，所以r2=1，解得r=1；所以圆锥的高为ℎ=√l2−r2=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×12×√3=√33π．故选：C．8、答案：D分析：根据面面平行、相交的知识确定正确选项.A选项，α内有无数条直线与β平行，α与β可能相交，A选项错误.B选项，α,β垂直于同一平面，α与β可能相交，B选项错误.C选项，α,β平行于同一条直线，α与β可能相交，C选项错误.D选项，α内的任何直线都与β平行，则α//β，D选项正确.故选：D9、答案：BCD分析：由异面直线定义可知AD正误；证得AC⊥平面BDD1后，利用线面垂直性质可知B正确；由AC//A1C1可知所求角为∠BC1A1，由长度关系可得∠BC1A1=60∘，知C正确.对于A，∵AC//平面A1B1C1D1，AC//A1C1，A1C1∩C1M=C1，C1M⊂平面A1B1C1D1，∴C1M与AC是异面直线，A错误；对于B，∵AC⊥DD1，AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD,DD1⊂平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，又BD⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1，B正确；对于C，∵AC//A1C1，∴∠BC1A1即为异面直线BC1与AC所成的角，∵BC=A1C1=A1B，∴△A1BC1为等边三角形，∴∠BC1A1=60∘，C正确；对于D，∵CD//AB，CD//平面ABB1A1，AB∩BN=B，BN⊂平面ABB1A1，∴CD与BN为异面直线，D正确.故选：BCD.10、答案：AD分析：根据圆台的结构特征结合空间想象可得结果.根据圆台的结构特征，用一个平行底面的平面截圆台可得圆形，当平面与圆柱轴所在直线线平行或经过轴所在直线时，可得梯形，不论平面与圆台如何相交，截面都不可能是矩形和三角形，故选：AD11、答案：ABD分析：根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当AC=BC时，四棱锥B−A1ACC1体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证A1B⊥平面AEF，进而判断D的正误.底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，侧棱AA1⊥平面ABC，A选项，∴AA1⊥BC，又AC⊥BC，且AA1∩AC=A，则BC⊥平面A1ACC1，∴四棱锥B−A1ACC1为“阳马”，对；B选项，由AC⊥BC，即A1C1⊥BC，又A1C1⊥C1C且BC∩C1C=C，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴A1C1⊥BC1，则△A1BC1为直角三角形，又由BC⊥平面AA1C1C，得△A1BC为直角三角形，由“堑堵”的定义可得△A1C1C为直角三角形，∥CC1B为直角三角形．∴四面体A1C1CB为“鳖膈”，对；C选项，在底面有4=AC2+BC2≥2AC⋅BC，即AC⋅BC≤2，当且仅当AC=BC=√2时取等号，V B−A1ACC1=13S A1ACC1×BC=13AA1×AC×BC=23AC×BC≤43，错；D选项，因为BC⊥平面AA1C1C，则BC⊥AF，AF⊥A1C且A1C∩BC=C，则AF⊥平面A1BC，∴AF⊥A1B，又AE⊥A1B且AF∩AE=A，则A1B⊥平面AEF，所以则A1B⊥EF，对；故选：ABD．12、答案：45°或135°##135°或45°分析：根据等角定理即可得到答案.根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补. 所以答案是：45°或135°.。
高中数学必修2(人教B版)第一章立体几何初步1.1知识点总结含同步练习题及答案
D．棱柱
如图所示，是一个三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部 分都是一个三棱锥．
解：如图，过 A ′ ，B ，C 三点作一个平面，再过 A ′ ，B ，C ′ 作一个平面，就把三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 A ′ − ABC，B ′ − A ′ BC ′ ， A ′ − BC C ′ ．
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轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为 √3 ，求该圆锥的底面 半径、高和母线长． 解：
如图所示，作出等边圆锥的轴截面 P AB，设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，母线长为 l ，则 在轴截面 P AB 中，有 OB = r，P O = h，P B = l，且∠P BO = 60∘ ．在 Rt△POB 中， h = √3 r ，l = 2r ，所以
2.空间几何体的结构特征
描述： 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻 两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两 个顶点的线段叫做多面体的对角线． 按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体⋯ ⋯．其中，四个面均为全等的正三 角形的四面体叫做正四面体． 旋转体 由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直 线叫做旋转体的轴． 棱柱的结构特征 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其 余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点． 底面是三角形、四边形、五边形⋯ ⋯的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱⋯ ⋯，可以用表 示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF − A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ 或棱柱 A ′ D ．
高中数学必修二第八章立体几何初步笔记重点大全(带答案)
高中数学必修二第八章立体几何初步笔记重点大全单选题1、如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，棱与直线BC1异面有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C分析：根据异面直线的定义即可判断.在直三棱柱ABC−A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有A1B1,AC,AA1，共3条.故选: C.2、如图直角△O′A′B′是一个平面图形的直观图，斜边O′B′=4，则原平面图形的面积是（）A．8√2B．4√2C．4D．√2答案：A解析：根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解. 由题意可知△O′A′B′为等腰直角三角形，O′B′=4，则O′A′=2√2，所以原图形中，OB=4，OA=4√2，×4×4√2=8√2.故原平面图形的面积为12故选：A3、直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，若∠BAC =90°，AB =AA 1=1，AC =2，E 是棱A 1C 1上的中点，则点A 到平面BCE 的距离是（ ）A ．1B ．√23C ．√63D ．√33答案：C分析：作出草图，根据题意易证A 1C 1⊥平面AA 1BB 1，可得A 1C 1⊥BA 1，再根据勾股定理分别求出A 1B ，BE ，CE ，BC 的值，再根据V A−BCE =V E−ABC ，即可求出点A 到平面BCE 的距离.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，连接BA 1,CE,AE,BE ，由题知，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，AA 1⊥A 1C 1,AA 1⊥A 1B 1，又∠CAB =∠C 1A 1B 1=90°，∴B 1A 1⊥A 1C 1又AA 1∩B 1A 1=A 1，所以A 1C 1⊥平面AA 1BB 1，所以A 1C 1⊥BA 1，由于AB =AA 1=CC 1=1,A 1C 1=AC =2，E 点是棱AC 上的中点，根据勾股定理，A 1B =√AB 2+AA 12=√12+12=√2， BE =√A 1B 2+A 1E 2=√(√2)2+12=√3 CE =√(C 1C )2+(C 1E )2=√12+12=√2，BC =√AB 2+AC 2=√12+22=√5，所以BE2+CE2=BC2，即BE⊥CE.设E到平面ABC的距离为d，则d=1，设点A到平面BCE的距离为ℎ，在四面体A−BCE中，V A−BCE=V E−ABC，V E−ABC=13×S△ABC×d=13×(12×1×2)×1=13V A−BCE=13×S△BCE×ℎ=13×(12×√3×√2)×ℎ=√66ℎ则√66ℎ=13，解得ℎ=√63.故选：C.4、如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN答案：A分析：由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD⊥平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面PCD⊥平面ABCD，结合BC⊥CD判定B正确；再证明AB⊥平面PAD，得到△PAB为直角三角形，判定D正确；可证明平面PBC⊥平面PDC，若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC，矛盾，可判断A图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面PAD，则AB⊥PA，即△PAB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．由于BC⊥平面PDC，又BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PDC若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC由于AB//平面PDC，则平面PAB与平面PDC的交线//AB显然AB不与平面PBC垂直，故A错误故选：A5、已知直线l⊥平面α，有以下几个判断：①若m⊥l，则m//α；②若m⊥α，则m//l；③若m//α，则m⊥l；④若m//l，则m⊥α；上述判断中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④答案：B分析：根据线面的位置关系，线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理及线面垂直的性质逐项分析即得. 对于①，当m⊂平面α也可以有m⊥l，但m不平行于平面α，故①错；对于②，根据线面垂直的性质定理可知②正确；对于③，根据线面平行的性质定理可得存在n⊂α且m∥n．而直线l⊥平面α，故可根据线面垂直的性质得出l⊥n，故l⊥m正确；对于④，根据直线l⊥平面α，可在平面α内找到两条相交直线p，n，且l⊥p，l⊥n，又m∥l，所以m⊥p，m⊥n，故根据线面垂直的判定定理可知，m⊥α正确．即②③④正确．故选：B．6、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（√7≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3答案：C分析：根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S′=180.0km2=180×106m2，∴V=13ℎ(S+S′+√SS′)=13×9×(140×106+180×106+√140×180×1012)=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．故选：C．7、已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（）A．√23πB．2√23πC．πD．√2π答案：B分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.设圆锥的底面圆半径为r，故可得2πr=2π3×3，解得r=1，设圆锥的高为ℎ，则ℎ=√32−12=2√2，则圆锥的体积V=13×πr2×ℎ=13×π×2√2=2√23π.故选：B.8、一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是（）A．MN//平面ABE B．MN//平面ADEC．MN//平面BDH D．MN//平面CDE答案：C解析：根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE 的关系，进而对D作出判定.根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，∴四边形ONMB为平行四边形，∴MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.小提示：本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.多选题9、已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（）A．16B．64C．32D．无法确定答案：AB分析：正方形的直观图是一个平行四边形，有一边长为4，分两种情况讨论，根据斜二测画法的原则，即可得结果.根据题意，正方形的直观图如图所示：①若直观图中平行四边形的边A′B′=4,则原正方形的边长为AB=A′B′=4，所以该正方形的面积为S=4×4=16；②若直观图中平行四边形的边A′D′=4,则原正方形的边长为AD=A′D′=8，所以该正方形的面积为S=8×8=64，故选：AB.10、以下四个命题中，不正确的命题是（）A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面C．若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面答案：BCD分析：利用反证法可知A正确；直线DE与直线AC异面时，A,B,C,D,E不共面，判断B；C中b,c可为异面直线，判断C；D中四条线段可构成空间四边形，判断D.A选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，A正确；B选项：若A,B,C三点共线，直线DE与直线AC异面，此时A,B,C,D,E不共面，B错误；C选项：a,b共面，a,c共面，此时b,c可为异面直线，C错误；D选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D错误.故选：BCD11、（多选题）已知平面α//平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，下列结论中正确的是（）A．m//βB．n//αC．m//n D．m与n不相交答案：ABD分析：由面面平行的性质可判断各选项的正误.因为平面α//平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，则m//β，n//α，m与n无公共点，即m与n不相交.故ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD.填空题12、如图，已知棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，给出下列结论：①异面直线AP 与DD 1所成的角范围为[π3,π2]；②平面PBD 1⊥平面A 1C 1D ；③点P 到平面A 1C 1D 的距离为定值2√33； ④存在一点P ，使得直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角为π3. 其中正确的结论是___________.答案：②③解析：数形结合说明异面直线AP 与DD 1所成的角的范围为[π4,π2]，故①错误；证明BD 1⊥平面A 1C 1D ，所以平面PBD 1⊥平面A 1C 1D ，故②正确；点P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，且等于BD 1的13，即2√33，故③正确；AP与平面BCC 1B 1所成的角为∠APB ,tan ∠APB 最大值为√2<tan π3，故④不正确. 对于①，当P 在C 点时，DD 1⊥AC ，异面直线AC 与DD 1所成的角最大为π2， 当P 在B 1点时，异面直线AB 1与DD 1所成的角最小为∠D 1DC =π4， 所以异面直线AP 与DD 1所成的角的范围为[π4,π2]，故①错误；对于②，如图，因为A 1C 1⊥B 1D 1,A 1C 1⊥B 1B,B 1D 1∩B 1B,B 1D 1,B 1B ⊂平面BB 1D ,所以A 1C 1⊥BD 1,同理DC 1⊥BD 1,又因为A 1C 1∩DC 1=C 1,A 1C 1,DC 1⊂平面DA 1C 1,所以BD 1⊥平面A 1C 1D ，所以平面PBD 1⊥平面A 1C 1D ，故②正确；对于③，因为B 1C //A 1D, B 1C ⊄平面A 1C 1D ,A 1D ⊂平面A 1C 1D ,所以B 1C //平面A 1C 1D ，所以点P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，且等于BD 1的13，即2√33，故③正确；对于④，直线AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB，tan∠APB=AB，BP，故④不正确，当BP⊥B1C时，BP最小，tan∠APB最大，最大值为√2<tanπ3所以答案是：②③.小提示：关键点睛：解答本题的关键是判断命题①④的真假，它们都是求空间的角，它们都是利用数形结合的方法求空间角的最值，对于数形结合的这种数学思想要注意灵活运用.13、如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是侧面A1ADD1的中心，则异面直线B1O与BD的夹角大小为______．答案：30°##π6分析：平移直线，找出异面直线所成角，利用三角形的知识求解.如图，连接D1B1，则D1B1//BD，则∠D1B1O即为所求异面直线夹角（或其补角），连接B1A，A1D，AD1，则AD1=D1B1=B1A，所以△AD1B1是等边三角形，则∠AB1D1=60°．O是AD1中点，则由等边三角形的性质可知B1O平分∠AB1D1，即∠D1B1O=30°．所以答案是：30°14、如图∶矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为∶__________cm；答案：20分析：利用斜二测画法还原出原图形，结合题干中数据以及斜二测画法的规则，计算即可由斜二测画法的规则知与x轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变；与y轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与y′轴平行的性质不变.还原出原图形如上图所示，其中AB=A′B′=4cm，OC=2O′C′=2×2√2=4√2cm∴BC=√OB2+OC2=6cm所以原图形的周长为2×(4+6)=20cm解答题15、如图，在三棱锥S−ABC中，SA=SB=SC=2，若∠BSC=α，∠CSA=β，∠ASB=θ，且sin2α2+sin2β2=sin2θ2.（1）求证：平面SAB⊥平面ABC；（2）若α=π3,β=π2,θ=2π3，D为线段SC中点，求点D到平面SAB的距离.答案：（1）证明见解析；（2）√63.分析：（1）首先证得SO⊥平面ABC，然后结合面面垂直得判定定理即可证出结论；（2）先证出DF⊥平面SAB，所以点D到平面SAB的距离即为DF的长度，解三角形求出CE=2√63，根据三角形的中位线即可求出结果.（1）由sin2α2+sin2β2=sin2θ2得cosα+cosβ=1+cosθ，设BC=a,AC=b,AB=c，由余弦定理得8−a28+8−b28=1+8−c28，进一步化简得a2+b2=c2，从而AC⊥BC，取AB中点O，因为SA=SB，所以SO⊥AB，因为OC=OB,SB=SC，所以△SOB≅△SOC，从而SO⊥OC，由SO⊥AB且SO⊥OC,又因为AB∩OC=O，得SO⊥平面ABC，又SO⊂平面SAB，平面SAB⊥平面ABC.（2）作CE⊥AB，由（1）知，CE⊥平面SAB，从而平面SCE⊥平面SAB，连接SE，作DF⊥SE，易知DF⊥平面SAB，且CE∥DF，分因为α=π3，β=π2，θ=2π3，所以AB=2√3，AC=2√2，BC=2，在Rt△ABC中，CE=2√63，因为CE∥DF，且D为线段SC中点，所以DF=12CE=√63，因此点D到平面SAB的距离为√63.。
必修2立体几何复习2013.9.23
必修2立体几何复习一、知识点梳理1、平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题（1）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（2）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2、线线、线面、面面位置关系的判定和性质线线垂直面面垂直面面平行二、典型例题例1、已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN //平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面P AD ；（3）求点A 到平面PMB 的距离．例2、设A 在平面B C D 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD 的中点O，1,AC BC CD ==（1）AC 与平面BCD 所成角的大小； （2）二面角A BC D --的大小；（3）异面直线AB 和CD 所成角的大小。
C A课后作业A 若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB 若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC 若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD 若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 4．（2010•江西）如图，M 是正方体ABCD ﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题 ①过M 点有且只有一条直线与直线 AB、B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行． 其中真命题是（ ） 5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与 平行A ．4B ．3C ．2D ．16．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是（ ）A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在 7. 如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC . ⑴求证：PC ⊥AB ；⑵求二面角B-AP-C 的正切值；⑶求点C 到平面APB 的距离.AB C D P 8. 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=AC=AA 1=3a, BC=2a ,D 是BC 的中点，F 是C 1C 上一点，且CF=2a.（1）求证：B 1F ⊥平面ADF ；（2）求三棱锥D-AB 1F 的体积;（3）试在1AA 上找一点E,使得//BE 面ADF （4）DF 与平面AB B 1 A 1所成角的正弦值9．如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点， 且CD ⊥平面PAB ．(1) 求证：AB ⊥平面PCB ； (2) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； (3) 求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．FC1A。
必修二立体几何知识点
高中数学必修2知识点第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP-几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理单选题1、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m//n，m⊥α，n//β，则α⊥βC．若m⊥n，m//α，n//β，则α//βD．若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β答案：C分析：利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定推理判断A，B；举例说明判断C；利用线面垂直的判定性质判断D作答.对于A，因m⊥n，m⊥α，当n⊂α时，而n⊥β，则α⊥β，当n⊄α时，在直线m上取点P，过P作直线n′//n，则m⊥n′，过直线m,n′的平面γ∩α=l，如图，由m⊥α得m⊥l，于是得l//n′//n，而n⊥β，则l⊥β，而l⊂α，所以α⊥β，A正确；对于B，若m//n，m⊥α，则n⊥α，又n//β，则存在过直线n的平面δ，使得δ∩β=c，则有直线c//n，即有c⊥α，所以α⊥β，B正确；对于C，如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线m，平面ADD1A1为平面β，直线B1C1为直线n，满足m⊥n，m//α，n//β，而α∩β=AD，C不正确；对于D，若m//n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，于是得α//β，D正确.故选：C2、已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．94πR2C．83πR2D．πR2答案：B分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出．设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为ℎ，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，rR =3R−ℎ3R，所以，ℎ=3R−3r，即圆柱的全面积为S=2πr2+2πrℎ=2πr2+2πr(3R−3r)=2π(−2r2+3rR)=2π[−2(r−34R)2+98R2]≤9π4R2，当且仅当r=34R时取等号．故选：B．3、如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤答案：D解析：根据平面的表示方法判断．③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.4、如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，则图中与平面PCD 垂直的平面是（ ）A ．平面ABCDB ．平面PBCC ．平面PAD D ．平面PCD答案：C分析：由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，由四边形ABCD 为矩形得CD ⊥AD ，因为PA ∩AD =A ，所以CD ⊥平面PAD ．又CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ．故选：C5、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1=2√2,PC1=12D1B1=√2，sin∠PBC1=PC1BC1=12，所以∠PBC1=π6.故选：D6、圆台的上、下底面的面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是（）A．2√33πB．2√3πC．7√36πD．7√33π答案：D分析：求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算.设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l，高为h.,由圆台的上、下底面的面积分别是π，4π，得{πr2=π,πR2=4π,所以r=1，R=2，由圆台侧面积公式可得π×(2+1)l=6π，所以l=2，所以ℎ=√22−(2−1)2=√3，所以该圆台的体积V=13πℎ(R2+r2+Rr)=13π×√3×(4+1+2)=7√33π.故选：D.7、下面四个选项中一定能得出平面α/⁄平面β的是（）A．存在一条直线a，a//α，a//βB．存在一条直线a，a⊂α，a//βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α答案：D分析：对于A，B，C，举出符合条件的特例即可判断；对于D，过直线a作平面γ∩β=c，再证c//α即可. 如图，ABCD−A1B1C1D1是长方体，平面ABCD为平面α，平面ABB1A1为平面β，对于A，直线C1D1为直线a，显然a//α，a//β，而α与β相交，A不正确；对于B，直线CD为直线a，显然a⊂α，a//β，而α与β相交，B不正确；对于C，直线CD为直线a，直线A1B1为直线b，显然a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，而α与β相交，C不正确；对于D，因a，b是异面直线，且a⊂α，b⊂β，过直线a作平面γ∩β=c，如图，则c//a，并且直线c与b必相交，而c⊄α，于是得c//α，又b//α，即β内有两条相交直线都平行于平面α，⁄平面β.因此，平面α/故选：D8、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3答案：B分析：根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，求出ℎ的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，解得：ℎ=10，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积V=13×π×52×10−13×π×32×6=1963π≈200cm3.故选：B.多选题9、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）A．圆柱的体积为4πR3B．圆锥的侧面积为√5πR2C．圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D．圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2答案：BD分析：依次判断每个选项：圆柱的体积为2πR3，A错误；圆锥的侧面积为√5πR2，B正确；圆柱的侧面积为4πR2，C错误；计算体积之比为3：1：2，D正确，得到答案.依题意圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，圆柱的体积为πR2×2R=2πR3，∴A错误；圆锥的母线长为√5R，圆锥的侧面积为πR×√5R=√5πR2，∴B正确；∵圆柱的侧面积为4πR2，圆锥表面积为√5πR2+πR2，∴C错误；∵V圆柱=πR2⋅2R=2πR3，V圆锥=13πR2⋅2R=23πR3，V球=43πR3∴V圆柱:V圆锥:V球=2πR3:23πR3:43πR3=3:1:2，∴D正确.故选：BD.10、在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AB,A1D1的中点，则（）A．BD⊥B1CB．EF//平面DB1BC．AC1⊥平面B1D1CD．过直线EF且与直线BD1平行的平面截该正方体所得截面面积为√2答案：BC解析：（1）求出BD,B1C所成的角，不为90∘（2）通过证明面面平行，再到线面平行.即先证面FGE//面DBB1D1，再可以说明EF//平面DB1B（3）先证B1C⊥面ABC1，则可说明B1C⊥AC1，同理可得B1D1⊥AC1，则证明了AC1垂直于平面内两条相交直线，故AC1⊥平面B1D1C（4）找到过直线EF且与直线BD1平行的平面即平面FGEQ，求出面积即可A. 由图易知BD//B1D1，又有B1D1=D1C=B1C=2√2，故△B1D1C为等边三角形，故B1D1与B1C所成的角为60∘BD,B1C所成的角为60∘，故A错.B. 记AD中点为G，易知FG//D1D，GE//DB，则可知FG//面DBB1D1，GE//面DBB1D1故面FGE//面DBB1D1FE⊂面FGE，故EF//平面DB1B.C. 四边形BCB1C1为正方形，B1C⊥BC1，又AB⊥面B1BCC1，故AB⊥B1C则B1C⊥面ABC1故B1C⊥AC1同理B1D1⊥AC1故AC1⊥平面B1D1C.D.记A1B1中点为Q，由B项可知，面FGEQ//面DBB1D1，故BD1//面FGEQ，又EF⊂面FGEQ，故过EF且与直线BD1平行的平面为如图所示的平面FGEQ，面积为S=FQ⋅FG=2⋅√2=2√2.故选：BC小提示：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.11、如图直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，BC=CD=12AB=2，E为AB中点.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2√3则（）A．平面PED⊥平面PCD B．PC⊥BDC．二面角P−DC−B的大小为π4D．PC与平面PED所成角的正切值为√2答案：ABC解析：先证明PE⊥平面DEBC，得PE⊥DC，再结合DC⊥DE，即证DC⊥平面PED，所以平面PED⊥平面PCD，判断A正确；利用投影判断PC⊥BD，判断B正确；先判断∠PDE即为二面角P−DC−B的平面角，再等腰直角三角形判断∠PDE=π4，即C正确；先判断∠CPD为PC与平面PED所成的角，再求正切tan∠CPD=CDPD，即知D错误.由题易知EC=2√2，又PE=2，PC=2√3，所以PE2+EC2=PC2，所以PE⊥EC，又PE⊥ED，ED∩EC=E，所以PE⊥平面DEBC，所以PE⊥DC，又DC⊥DE，PE∩DE=E，所以DC⊥平面PED，又DC⊂平面PCD，所以平面PED⊥平面PCD，故A正确；PC在平面EBCD内的射影为EC，又EBCD为正方形，所以BD⊥EC，PC⊥BD，故B正确；易知∠PDE即为二面角P−DC−B的平面角，又PE⊥ED，PE=ED，所以∠PDE=π4，故C正确；易知∠CPD为PC与平面PED所成的角，又PD=2√2，CD=2，CD⊥PD，所以tan∠CPD=CDPD =2√2=√22，故D错误.小提示：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法.填空题12、我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC−A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=1，当“阳马”即四棱锥B−A1ACC1，体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC−A1B1C1的表面积为_______.答案：3+2√22分析：依据均值定理去求四棱锥B−A1ACC1取体积最大值时AB的长度，再去求三棱柱ABC−A1B1C1的表面积即可.四棱锥B−A1ACC1的体积是三棱柱体积的23，V ABC−A1B1C1=12AC⋅BC⋅AA1=12AC⋅BC≤14(AC2+BC2)=14AB2=14，当且仅当AB=BC=√22时，取等号.所以三棱柱ABC−A1B1C1的表面积为S=2×12×√22×√22+(√22+√22+1)×1=3+2√22.所以答案是：3+2√2213、如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP 与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是_________．答案：√612分析：作出图形，找出直线OP与平面OAB所成的角θ，证出PA⊥平面PBH，得出PA⊥PH，得出点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果.如图，过点B作BH⊥OA，交OA的延长线于点H，连接PH，OP，取AH的中点为E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α=OA，BH⊂平面OAB，PF⊂α，∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，∴OP在平面OAB上的射影就是直线OA，故∠AOP就是直线OP与平面OAB所成的角θ，即∠AOP=θ，∵AP⊂α，∴AP⊥BH，又∵PA⊥PB，PB∩BH=B，PB，BH⊂平面PBH，∴PA⊥平面PBH，∵PH⊂平面PBH，∴PA⊥PH，故点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，∵OA=AB，且∠OAB=120∘，∴∠BAH=60∘，设OA=a(a>0)，则AB=a，从而AH=AB⋅cos60∘=a2，∴PE=12AH=a4，如图，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值，tanθ取得最大值为：PEOP =√OE2−PE2=a4√(a+4)2−(4)2=√612．所以答案是：√612.14、如果一个水平放置的图形用斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______.答案：2+√2##√2+2分析：求出直观图中梯形的下底长，作出原图形，结合梯形的面积公式可求得结果.直观图中，梯形的下底长为1+2×1×cos45∘=1+√2，作出原图形如下图所示：由图可知，原图形为直角梯形ABCD，且该梯形的上底长为CD=1，下底长为AB=1+√2，高为AD=2，=2+√2.因此，原图形的面积为S=(AB+CD)⋅AD2所以答案是：2+√2.解答题15、如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1C1与B1D1交于点O1，求证：(1)直线A1B∥平面ACD1；(2)直线BO1∥平面ACD1．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：(1)根据题意，先证得四边形A1D1CB是平行四边形，从而证得A1B∥D1C，即可证得线面垂直；(2)连接BD，交AC于O，连接D1O，只需证明O1B∥D1O，即可证得线面垂直；（1）证明：直线A1B在平面ACD1外，因为A1D1∥BC，A1D1=BC，所以四边形A1D1CB是平行四边形，所以A1B∥D1C，而D1C是平面ACD1内的直线，根据判定定理可知，直线A1B∥平面ACD1．（2）证明：如图，连接BD，交AC于O，连接D1O，易知D1O1∥OB，D1O1=OB，则四边形D1O1BO是平行四边形，所以O1B∥D1O，所以D1O在平面ACD1上，根据判定定理可知，O1B∥平面ACD1．。
高中数学必修二知识点考点及典型例题
学习必备欢迎下载必修二第一章空间几何体知识点：1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、长方体的对角线长l 2 a 2b2 c 2；正方体的对角线长l3a3、球的体积公式：V4R3，球的表面积公式： S 4R234、柱体V s h ，锥体 V 1s h，锥体截面积比：S1h12 3S2h225、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；S侧面2 r l⑵圆锥侧面积：S侧面r l1三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1） .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（ 2） .平行于 y 轴的线长度变半，平行于（ 3） .画法要写好。
x，z 轴的线长度不变；5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（ 1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点：1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。
必修2立体几何复习(知识点+经典习题)
一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行3、两面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，那么另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，那么也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，那么一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，那么两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，那么线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，那么线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法90角1、定义：成2、直线和平面垂直，那么该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、 定义：两面成直二面角,那么两面垂直2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质1、 二面角的平面角为︒902、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、 相交平面同垂直于第三个平面，那么交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,0 2、直线与平面所成的角的取值范围是：︒≤≤︒900θ []︒︒90,0 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,04、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：︒≤<︒1800θ (]︒︒180,0 十、三角形的心 1、 内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、 外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、 重心：中线的交点 4、 垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【根底训练】1.判定下面的说法是否正确:(1) 有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2) 有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.如图 ,E F 分别是1,AB AA 的中点探索过EF的平面截正方体所得截面的形状.6.以下说法不正确的选项是〔 〕A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。
人教版数学必修2立体几何初步知识点
第一章 立体几何初步1.柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体（6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分（7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体2. 空间几何体的表面积和体积：（1）侧面积公式：① 直棱柱S ch =（c 为底面周长，h 为高）② 正棱锥'12S ch =（c 为底面周长，'h 为斜高）③ 正棱台'121()2S c c h =+（12c c 、分别为上下底面的周长，'h 为斜高）④ 圆柱2S rh π=（r 为底面半径，h 为高）⑤ 圆锥S rl π=（r 为底面半径，l 为母线长）⑥ 圆台12()S r r l π=+（12r r 、分别为上下底面半径，l 为母线长）（2）体积公式：① 棱柱V Sh =（S 为底面积，h 为高）② 棱锥13V Sh =（S 为底面积，h 为高）③ 棱台121()3V S S h =+（12S S 、分别为上下底面积，h 为高）④ 圆柱2V Sh r h π==（S 为底面积，r 为底面半径，h 为高）⑤ 圆锥21133V Sh r h π==（S 为底面积，r 为底面半径，h 为高）⑥ 圆台121()3V S S h =+（12S S 、分别为上下底面积，h 为高）（3）球：①球的表面积公式：24S R π=②球的体积公式：343V R π= （R 表示球的半径）③球的任意截面的圆心与球心的连线垂直截面，若设球的半径为R ，截面圆的半径是r ，截面圆的圆心与球心的连线长为d ，则：222d R r =-。
部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案高频考点知识梳理
(名师选题)部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案高频考点知识梳理单选题1、如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，棱与直线BC1异面有（）A．1条B．2条C．3条D．4条2、已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（）A．6B．12C．24D．483、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．矩形4、如图，在一个正方体中，E，G分别是棱AB，CC′的中点，F为棱CD靠近C的四等分点.平面EFG截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（）A．B．C．D．5、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A．8(6+6√2+√3)B．6(8+8√2+√3)C．8(6+6√3+√2)D．6(8+8√3+√2)6、小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1，斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2，则（）.A．V1S1>V2S2B．V1S1<V2S2C．V1S1=V2S2D．V1S1与V2S2的大小关系无法确定7、下列条件中，能得出直线m与平面α平行的是（）A．直线m与平面α内的所有直线平行B．直线m与平面α内的无数条直线平行C．直线m与平面α没有公共点D．直线m与平面α内的一条直线平行8、如图已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1多选题9、已知α,β是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m//n,m//α，则n//αB．若m//α,α∩β=n，则m//nC．若m⊥α,m⊥β，则α//βD．若m⊥α,m//n,n⊥β，则α//β10、如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A,B的一点，则下列结论中正确的是（）A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE11、以下四个命题中，不正确的命题是（）A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面C．若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面填空题12、已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为______．部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案(八)参考答案1、答案：C分析：根据异面直线的定义即可判断.在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱所在的直线中，与直线BC 1异面的直线有A 1B 1,AC,AA 1，共3条.故选: C.2、答案：D分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高ℎ′=√52−(62)2=4，所以正四棱锥的侧面积S =12×4×6×4=48故选：D3、答案：B解析：利用面面平行的性质判断EF 与GH 的平行、EH 与FG 平行.因为平面ABFE //平面CGHD ,且平面EFGH ∩平面ABFE =EF ,平面EFGH ∩平面CGHD =GH ,根据面面平行的性质可知EF //GH ,同理可证明EH //FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.4、答案：D分析：根据条件可得平面EFG 经过点B ′，然后可得答案.连接EB′，GB′因为E，G分别是棱AB，CC′的中点，F为棱CD靠近C的四等分点所以EB′//FG，所以平面EFG经过点B′所以多面体A′D′DA−EFGC′B′的正视图为故选：D5、答案：A解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2√2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为√2，则该几何体的表面积为S=6×[(2+2√2)2−4×12×√2×√2]+8×12×2×√3=8(6+6√2+√3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.6、答案：A分析：根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出V1S1和V2S2，分析即可得答案.设底面面积为S，底面周长为C，则V1=S⋅AA1，S1=C⋅AA1，所以V1S1=SC，设斜棱柱的高为ℎ，则V2=S⋅ℎ，S2=AB×ℎAB+BC×ℎBC+CD×ℎCD+DE×ℎDE+EF×ℎEF+FA×ℎFA >(AB+BC+CD+DE+EF+FA)×ℎ=Cℎ,所以V2S2<SℎCℎ=SC=V1S1.故选：A7、答案：C分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对A，直线m与平面α内的所有直线平行不可能，故A错误；对B，当直线m在平面α内时，满足直线m与平面α内的无数条直线平行，但m与α不平行；对C，能推出m与α平行；对D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.故选：C.8、答案：A分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//AB,A1D⊥平面ABD1，即可得出结论.连AD1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1D的中点，所以M为AD1中点，又N是D1B的中点，所以MN//AB，MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD，所以MN//平面ABCD.因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B,D不正确；在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，AD1∩AB=A，所以A1D⊥平面ABD1，D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，且直线A1D,D1B是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.9、答案：CD分析：根据空间中线、面的位置关系，逐一分析各个选项，即可得答案.对于A：若m//n,m//α，则n//α或n⊂α，故A错误；对于B：若m//α,α∩β=n，则m与n可平行也可异面，故B错误；对于C：若m⊥α,m⊥β，则α//β，故C正确；对于D：若m⊥α,m//n，则n⊥α，又n⊥β，则α//β，故D正确.故选：CD10、答案：ABD分析：根据垂直关系可证明AE⊥平面BCE或BE⊥平面ADE，利用线面垂直来证明线线垂直，或是面面垂直，再判断选项.由AB是底面圆的直径，得∠AEB=90°，即AE⊥EB，∵圆柱的轴截面是四边形ABCD，BC⊥底面AEB，∴BC⊥AE，又EB∩BC=B，BC，BE⊂平面BCE，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥CE，故A正确；同理可得，BE⊥DE，故B正确；若DE⊥平面CEB，则DE⊥BC,∵BC//AD，∴DE⊥AD,在△ADE中AD⊥AE，∴DE⊥AD不成立，∴DE⊥平面CEB不正确，故C不成立，由A的证明可知AE⊥平面BCE，∵AE⊂平面ADE，所以平面BCE⊥平面ADE.可得A,B,D正确.故选：ABD.小提示：本题考查线线，线面，面面垂直关系的判断，重点考查逻辑推理，属于基础题型.11、答案：BCD分析：利用反证法可知A正确；直线DE与直线AC异面时，A,B,C,D,E不共面，判断B；C中b,c可为异面直线，判断C；D中四条线段可构成空间四边形，判断D.A选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，A正确；B选项：若A,B,C三点共线，直线DE与直线AC异面，此时A,B,C,D,E不共面，B错误；C选项：a,b共面，a,c共面，此时b,c可为异面直线，C错误；D选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D错误.故选：BCD12、答案：π3分析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，圆锥的母线与其底面所成的角为θ，根据面积关系可得122πrl=2⋅π⋅r2，即可得到答案；设圆锥的母线长为l，底面半径为r，圆锥的母线与其底面所成的角为θ，则122πrl=2⋅π⋅r2⇒rl=12，∴cosθ=12⇒θ=60°，所以答案是：π3。
必修2第一章立体几何复习
数学必修2 立体几何1．简单几何体的结构特征 (1)旋转体①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到． ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到． ④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到． (2)多面体①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形． ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． ③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形． 2．直观图画直观图常用斜二测画法，其规则是：(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段； (3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.3．三视图(1)主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．(2)在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线面虚线．(3)同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．(4)清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．4．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形． 5．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变1、在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)答案 ③⑤2．某简单几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱 答案 A 3.将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为( ) 答案 B4.正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是________．答案616a 21．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.柱、锥、台、球的表面积和体积名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 34．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 5．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4 答案 D2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8π D ．4π 答案 A3.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A17π B18π C20π D28π答案 A4.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3 答案 A1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C2.已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α答案 C3.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.1．直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b，bα(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m，nα，m∩n＝O a⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，bαa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎬⎫lβl⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝alβl⊥a⇒l⊥α知识拓展重要结论(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．1.对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，nα，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 答案 D2.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，mα，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 答案②③④3.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．证明∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角或其补角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形．4.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴P A⊥CD.又∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，P A ，AC 平面P AC ，∴CD ⊥平面P AC . 而AE 平面P AC ，∴CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，PC ，CD 平面PCD ，∴AE ⊥平面PCD ， 而PD 平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵P A ⊥底面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴P A ⊥AB .又∵AB ⊥AD ，且P A ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面P AD ，而PD 平面P AD ， ∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，AB ，AE 平面ABE ，∴PD ⊥平面ABE . 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．5.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面P AD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN . 证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连接EH ，DH .因为E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH 平面P AD ，CE ⊈平面P AD ，所以CE ∥平面P AD .方法二 连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB 又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．因此CF ∥AD ，又CF ⊈平面P AD ，AD 平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD ..因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A .又EF ⊈平面P AD ，P A 平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD .又CE 平面CEF ，所以CE ∥平面P AD . (2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A .又因为AB ⊥P A ， 所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .又因为EF ∩FG ＝F ，EF ，FG 平面EFG ，所以AB ⊥平面EFG . 又因为M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥CD ，又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG . 又因为MN 平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，aα⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．。
高中数学必修2知识点(完整知识点梳理及经典例题答案详解)
第一讲空间几何体热点一空间几何体与三视图知识点识与画三视图的关键点(1)要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系，三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点．正(主)视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要和正(主)视图对正，画在正(主)视图中的正下方；侧(左)视图要画在正(主)视图的正右方，高度要与正(主)视图平齐．(2)要熟悉各种基本几何体的三视图．同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．[命题方向]由三视图判断几何体的结构特征.2.由几何体判断三视图问题．例、(2014年武汉调研)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是()例、(2014年江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )热点二 空间几何体的表面积与体积知识点三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征S=πR 2[命题方向]空间几何体的表面积求法空间几何体的体积求法．例、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )例、(2014年浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 22()S r rl r r l πππ=+=+圆锥表面积22()S r r r l rl π''=+++圆台表面积B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2热点三 多面体与球知识点多面体与球接、切问题求解方法(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段P A 、PB 、PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．命题方向] 1．球的表面积与体积问题.2.与球有关的组合体问题例、(2014年陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π 3V R π=柱313V R π=锥C ．2π D.4π3例、长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中AB ∶AD ∶AA 1＝2∶1∶3，则四棱锥O -ABCD 的体积为( ) A.263B.63 C ．2 3D ．3热点四 空间线面位置关系的判断知识点空间线面位置关系的判断方法(1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理作出选择“点P 在直线l 上”,“点A 在平面点P 在直线l 外”,“点A 在平面α外”直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.,P l A α∈∈,P l A α∈∈,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂且公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2．公理4①平行于同一条直线的两条直线互相 平行②等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等 ．我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 如果两条异面直线所成角为900，那么这两条直线垂直.记直线a 垂直于b 为：a ⊥b[命题方向]在选择、填空中考查空间线面平行、垂直关系的问题．例、(2014年广东高考)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l ∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定,l P β=且,l P β=且0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦例、已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n[注意事项]1．割、补法是把不规则几何体转化为可求体积的几何体的常用方法．2．等体积转化法适合于三棱锥．第二讲高考中的立体几何热点一空间位置关系的证明知识点找中点构造平行四边形是立体几何中证明平行问题的一个重要技巧，具体解题时可以充分利用平行关系的传递性，把已知条件中的平行关系集中到我们需要的平行四边形中；垂直关系的证明中，线面垂直的证明方法主要有三个，一是利用判定定理，二是利用两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面，三是根据面面垂直的性质定理．两个平面的位置关系有且只有两种①两个平面平行——没有公共点②两个平面相交——有一条公共直线．一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：（1）直线在平面内——有无数个公共点．（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点．（3）直线和平面平行——无公共点．二、和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．1、平面平行的判定判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．2、：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.3、：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.4、以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.5、一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.证明直线和平面垂直的常用方法有6、结论：(1)利用判定定理；1.⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊂α⇒a ，b 没有公共点，即a ，b 平行或异面．2．a ∥α的判定和性质定理使用的区别：如果结论中有a ∥α，则要用判定定理，在α内找与a 平行的直线；若条件中有a ∥α，则要用性质定理，找(或作)过a 且与α相交的平面．3．当直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离叫做直线与平面的距离．(2)利用判定定理的推论(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)利用面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；平面与平面平行的几个有用性质①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．②夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．⑥如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[命题方向]1．证明线、面平行问题.2.证明线、面垂直问题．例、(2014年山东高考)如图，四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .例、如图，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .热点二空间几何体的体积、面积与位置关系问题[命题方向]1．空间几何体的体积、面积求法.2.空间位置关系的证明．例、(2014年辽宁高考)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D -BCG的体积．例、(2014年新课标卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P-ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距热点三探索存在性问题知识点求三棱锥体积的方法：(1)直接法：V＝13Sh；(2)转换顶点法：V P-ABC＝V A-PBC＝V B -P AC＝V C -P AB；(3)间接法：体积分割或体积差方法．[命题方向]1．与位置有关的存在性问题.2.与长度、角度有关的存在性问题．(2014年四川高考)11 ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．例、如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)求证：EM∥平面ABC；(3)试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面BDE ？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．[注意事项]研究与空间几何体有关的最值问题要注意变量取值的范围第三讲直线与圆热点一直线方程知识点1．求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．2．求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜率和直线经过的点即可．对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过的一点确定直线，后者是两点确定直线解决探索存在性问题往往要把成立的结论当作条件，据此列出方程式方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，对于探索点的位置是否存在时，多数情况下先猜测位置点再给出证明1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 正向线l 上 方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0度 ； (2)倾斜角的范围为 （0o -180o 】 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的 正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在；(2)范围：全体实数R . (3)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2＝ .1．两条直线平行y 2－y 1x 2－x 1对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时l1与l2的关系为k=1k22．两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k k2=-1[命题方向]1．两直线位置关系的判断与应用，多与充要性判断结合考查.2.直线方程的求法．例、“a＝－1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线x＋ay＋2＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件例、(2014年大连一模)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y－1＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0热点二圆的方程知识点求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 命题方向]1．圆的方程求法.2.与圆有关的最值问题．例、(2014年潍坊二模)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1例、(2014年江西高考)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)πD.54π例、圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．热点三 直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系的判断方法直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系如表.2.弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2r2－d2 (其中d为弦心距)．(2)切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝|PC|2－r2(其中C为圆心)．3．圆上的点到直线的距离的求解策略(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解．(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解．(3)直接设点，利用方程思想解决．[命题方向]1．圆的切线问题.2.直线与圆相交弦长问题.3.圆与圆的位置关系．例、(2014年合肥二模)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为()A.62 B.32C.94D ．2 3例、(2014年全国大纲卷)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________[注意事项]1．准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线及直线与圆的相应的位置关系．2．涉及切线长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线以及圆心与切线段另一端点的连线组成一直角三角形。
必修二立体几何初步知识点整理
必修二立体几何初步知识点整理一、基础知识（理解去记）（一）空间几何体的结构特征（ 1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱1.1 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关侧面系：斜棱柱侧棱① 棱柱底面是正多形正棱柱棱垂直于底面直棱柱其他棱柱 L②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体1.3 棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
补充知识点长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】AC12AB 2AD 2AA12②（了解）长方体的一条对角线AC1与过顶点A的三条棱所成的角E'F'A'B'EFA B底面为矩形D1A1DD'C'l底面DCC1B1C分别是，，，A 那么 cos2cos2cos21， sin2sin 2sin 2 2 ；③（了解）长方体的一条对角线AC1与过顶点 A 的相邻三个面所成的角分别是cos2cos2cos2 2 ， sin2sin 2sin 21.B ，，，则1.4 侧面展开图：正 n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.S直棱柱侧c h（其中 c 为底面周长， h 为棱柱的高）1.5 面积、体积公式：c h 2S，VSS h直棱柱全底棱柱底2.圆柱2.1 圆柱 ——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，A'O'C'其余各边旋转而形B'成的曲面所围成的几何体叫圆柱.母线2.2 圆柱的性质： 上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形 .ACO轴轴截面侧面2.3 侧面展开图： 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形 .2.4 面积、体积公式 ：B底面S 圆柱侧 = 2rh ； S 圆柱全 = 2 rh 2 r 2 ， V 圆柱 =S 底 h= r 2h （其中 r 为底面半径， h 为圆柱高）3.棱锥3.1 棱锥 ——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
必修二立体几何知识点+例题+练习+答案
学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除立体几何知识点一、空间几何体1.多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面 , 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱 , 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 .2.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
两个互相平行的面叫做底面, 其余各面叫做侧面 .3.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。
4.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。
正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5.旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。
圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面 ( 轴截面 ) 分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。
注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式 l R7.球: 以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面 . 球面所围成的几何体叫做球体 ( 简称球 )8.简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。
一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图 ( 正视图 ) 。
和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图( 侧视图) 。
高中数学必修二第八章立体几何初步必考知识点归纳(带答案)
高中数学必修二第八章立体几何初步必考知识点归纳单选题1、如图已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1答案：A分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//AB,A1D⊥平面ABD1，即可得出结论.连AD1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1D的中点，所以M为AD1中点，又N是D1B的中点，所以MN//AB，MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD，所以MN//平面ABCD.因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B,D不正确；在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，AD1∩AB=A，所以A1D⊥平面ABD1，D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，且直线A1D,D1B是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.2、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，三棱锥A−B1CD1的表面积为4√3，则正方体外接球的体积为（）A．4√3πB．√6πC．32√3πD．8√6π答案：B解析：根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．解：设正方体的棱长为a，则B1D1=AC=AB1=AD1=B1C=D1C=√2a，由于三棱锥A−B1CD1的表面积为4√3，所以S=4S△AB1C =4×12×√32(√2a)2=4√3所以a=√2所以正方体的外接球的半径为√(√2)2+(√2)2+(√2)22=√62， 所以正方体的外接球的体积为43π·(√62)3=√6π故选：B ．小提示：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.3、已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为√3，AB =2，AC =1，∠BAC =60°，则该球的表面积为（ ） A ．4πB ．4√2πC ．8πD ．32π 答案：C解析：利用三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为√3，AB =2，AC =1，∠BAC =60°，求出AA 1，再求出ΔABC 外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积. ∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面， 棱柱的体积为√3，AB =2，AC =1，∠BAC =60°， ∴12×2×1×sin60°×AA 1=√3，∴AA 1=2∵BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos60°=4+1−2=3，∴BC =√3. 设ΔABC 外接圆的半径为R ，则BCsin60°=2R ，∴R =1.∴外接球的半径为√1+1=√2，∴球的表面积等于4π×(√2)2=8π. 故选：C.小提示：本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.4、牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为V 牟V 球=4π，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即V 牟8=r 3−V 方盖差，从而计算出V 球=43πr 3.如果记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V ，则V 方差盖:V =（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．2√2 答案：C分析：计算出V 方盖差，V ，即可得出结论.由题意，V 方盖差=r 3−18V 牟=r 3−18×4π×43×π×r 3=13r 3， 所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正=13×r ×r ×r 2−(√2r 2)2=√26r 3， ∴V 方盖差V 正=13r 3√2r 36=√2，故选：C ．5、已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ） A ．2√3B ．3C ．√3D ．√33答案：C分析：根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果. 设底面半径为r ，高为ℎ，母线为l ，如图所示：则圆锥的体积V =13πr 2ℎ=3π，所以r 2ℎ=9，即ℎ=9r 2， S 侧=12⋅2πrl =2πr 2，则l =2r ，又ℎ=√l 2−r 2=√3r ，所以√3r 3=9，故r =√3．故选：C．6、如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤答案：D解析：根据平面的表示方法判断．③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.7、如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（）A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PCD答案：C分析：由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，因为PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD．又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．故选：C8、如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，BD=2，DE=1，点P在线段EF上.给出下列命题：①存在点P，使得直线DP//平面ACF；②存在点P，使得直线DP⊥平面ACF；,1]；③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是[√55④三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截得的截面面积是9π.8其中所有真命题的序号（）A．①③B．①④C．①②④D．①③④答案：D分析：当点P是线段EF中点时判断①；假定存在点P，使得直线DP⊥平面ACF，推理导出矛盾判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出△ACF外接圆面积判断④作答.取EF中点G，连DG，令AC∩BD=O，连FO，如图，在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则DO//GF且DO=GF，即四边形DGFO是平行四边形，即有DG//FO，而FO⊂平面ACF，DG⊄平面ACF，于是得DG//平面ACF，当点P与G重合时，直线DP//平面ACF，①正确；假定存在点P，使得直线DP⊥平面ACF，而FO⊂平面ACF，则DP⊥FO，又DG//FO，从而有DP⊥DG，在Rt△DEF中，∠DEF=90∘，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，因此，假设是错的，即②不正确；因平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，则线段EF上的动点P在平面ABCD上的射影在直线BD上，于是得∠PDB是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，∠PDB=∠DPE，sin∠PDB=sin∠DPE=DEDP =√DE2+EP2=√1+EP2，而0<EP≤2，则√55≤sin∠PDB<1，当P与E重合时，∠PDB=π2，sin∠PDB=1，因此，√55≤sin∠PDB≤1，③正确；因平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，BF⊥BD，BF⊂平面BDEF，则BF⊥平面ABCD，BC=√2，在△ACF中，AF=CF=√BC2+BF2=√3，显然有FO⊥AC，sin∠FAC=FOAF =√BO2+BF2AF=√2√3，由正弦定理得△ACF外接圆直径2R=CFsin∠FAC =√2，R=2√2，三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截得的截面是△ACF的外接圆，其面积为πR2=9π8，④正确，所以所给命题中正确命题的序号是①③④.故选：D小提示：名师点评两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.多选题9、在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是线段A1C1上一个动点，则下列结论正确的有（）A．存在M点使得异面直线BM与AC所成角为90°B．存在M点使得异面直线BM与AC所成角为45°C．存在M点使得二面角M−BD−C的平面角为45°D．当4A1M=A1C1时，平面BDM截正方体所得的截面面积为98答案：AD分析：对于A，由正方体的性质可将异面直线BM与AC所成的角可转化为直线BM与A1C1所成角，而当M为A1C1的中点时，可得BM⊥A1C1，从而可判断；对于B，M与A1或C1重合时，直线BM与AC所成的角最小；对于C，当M与C1重合时，二面角M−BD−C的平面角最小，通过计算可判断；对于D，过M作EF//D1B1，交A1B1于F，交A1D1于E点，由题意可得四边形EFBD即为平面BDM截正方体所得的截面，且四边形EFBD是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可解：异面直线BM与AC所成的角可转化为直线BM与A1C1所成角，当M为A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时BM与AC所成的角为90°，所以A正确；当M与A1或C1重合时，直线BM与AC所成的角最小，为60°，所以B错误；当M与C1重合时，二面角M−BD−C的平面角最小，tan∠C1OC=√2>1，所以∠C1OC>45°，所以C错误；对于D，过M作EF//D1B1，交A1B1于F，交A1D1于E点，因为4A1M=A1C1，所以E､F分别是A1D1､A1B1的中点，又B1D1//BD，所以EF//DB，四边形EFBD即为平面BDM截正方体所得的截面，因为EF=12D1B1=√22，且BF=DE=√BB12+B1F2=√52，所以四边形EFBD是等腰梯形，作FG⊥DB交BD于G点，所以BG=1 2(BD−EF)=√24，FG=√FB2−BG2=3√24，所以梯形的面积为12(BD+EF)×FG=98，所以D正确.故选：AD.10、给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（）A．水平放置的角的直观图一定是角B．相等的角在直观图中仍然相等C．相等的线段在直观图中仍然相等D．两条平行线段在直观图中仍是平行线段答案：AD分析：根据直观图和斜二测画法的规则，判断选项.水平放置的角的直观图一定是角，故A正确；角的大小在直观图中都会发生改变，有的线段在直观图中也会改变，比如正方形的直方图中，故BC错误；由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以D正确.故选：AD11、(多选题)下列说法中，正确的结论有（）A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行答案：BD分析：由等角定理可判断A的真假；根据直线夹角的定义可判断B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；对于选项B：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B，C1D1⊥C1B，但是∠A1D1C1=π2，∠A1BC1=π3，二者不相等也不互补.故选项C错误；对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确. 故选：BD.填空题12、3个不同的平面最多将空间分成a部分，最少将空间分成b部分，则b−a=__．答案：−4分析：对平面的位置关系分类讨论，即可得到答案.当三个不同的平面互相平行时，最少将空间分成4部分，即b =4，当三个平面三维放置时，最多将空间分成8部分，即a =8，所以b −a =4−8=−4．所以答案是：−4小提示：方法点睛：对平面分空间为几个部分问题，要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．13、设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.答案：√3πR 3分析：求出O ′A,O ′B 的长度，确定∠AO ′B 的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离.如图示，设O ′为北纬30°圈的圆心，地球球心为O ，则∠AOO ′=60∘ ,故AO ′=√32R ,即北纬30°圈的圆的半径为√32R ， 由题意可知∠AO ′B =120∘=2π3,故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB⌢的长， 故AB ⌢的长为2π3×√32R =√3πR 3, 所以答案是：√3πR 314、若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为______．答案：√23分析：根据球的体积等于两个半径为1的球的体积之和即可求其半径．设大球的半径为r ，则根据体积相同，可知43π+43π=43πr3，则r3=2，解得r=√23.所以答案是：√23．解答题15、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinC=√3ccosA．（1）求角A．（2）若a=√7，c=2求△ABC的面积．答案：（1）A=π3；（2）3√32.分析：（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得sinA=√3cosA，进而求角A．（2）由余弦定理得b2−2b−3=0求b，再利用三角形面积公式求△ABC的面积．（1）由正弦定理，sinAsinC=√3sinCcosA，又sinC≠0，∴sinA=√3cosA，即tanA=√3，由A∈(0,π)，得A=π3.（2）由余弦定理知：a2=b2+c2−2bccosA，∴b2−2b−3=0，解得b=3，∴S△ABC=12bcsinA=3√32.。
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必修二立体几何知识点与复习题一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义：成︒90角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为︒902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ(]︒︒90,2、直线与平面所成的角的取值范围是：︒≤≤︒900θ[]︒︒90,3、斜线与平面所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ(]︒︒90,4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：︒≤<︒1800θ(]︒︒180,十、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点考点一,几何体的概念与性质【基础训练】1.判定下面的说法是否正确:(1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱.(2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台.2.下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。
B.同一平面的两条垂线一定共面。
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。
【高考链接】1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）. 2.在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合（B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行 考点二 三视图与直观图及面积与体积 【基础训练】1.如图（3）,,E F 为正方体的面11ADD A 与面11BCC B 的中心,则四边形1BFD E 在该正方体的面上的投影可能是 .2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原图形的面积是（ ）A. 222+ B 122+ C 222+ D 12+3.在ABC ∆中， 02 1.5120AB BC ABC ==∠=，， 若使其绕直线BC 旋转一周，则它形成的几何体的体积是（ ） A.92π B.72π C. 52π D. 32π 4. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6，，，则这个长方体的对角线长是 . 若长方体共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为 .5.正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A.3:1 B.32： C.2:3： D. 3:36.一个正方体的顶点都在球面上 ，它的棱长为2，则球的表面积是（ ） A.28cm π B. 212cm π C. 216cm π D. 220cm π7.若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是 .8.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A.25πB. 50πC.125πD. 以上都不对 9..半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 .10.一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为（ ）A ．152πB ．10πC ．15πD ．20π 11.设,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球的表面积为 .12.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内取一点E,使AE 与AB 、AD 所成的角都是60°,则线段AE 的长为 .【高考链接】1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（ ） （A ）48+122 （B ）48+242 （C ）36+122 （D ）36+2422.设某几何体的三视图如下则该几何体的体积为 3mFE D1C1B1A1DCBA3..如图1，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥平面ABC 且3AA '=32BB '=CC ' =AB,则多面体△ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是考点三 线面间位置关系 【基础训练】1.已知在四边形ABCD 中，E,F 分别是AC,BD 的中点,若AB=2，CD=4，EF AB ⊥,则EF 与CD 所成的角的度数是（ ）A.090 B.045 C.060 D.0302.已知直线12,,l l α平面， 1212,l l l l αα，则与的位置关系是（ ）2.A l α B. 2l α⊂ C.22l l αα⊂或 D.2l α与相交【高考链接】1设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥， B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥ C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，2.对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（ ）（A ）,a b αα⊂⊂（B ）,//a b αα⊂（C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥ 3.已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( ).A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n4.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖ 5.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 6.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m // 7.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①②B. ②③C. ①④D.③④考点四 求空间图形中的角 【基础训练】1.直角ABC ∆的斜边AB α⊂,AC,BC 与平面α所成的角分别为03045和,CD 是斜边AB 上的高,则CD 与平面α所成的角为 .2.如图,正三棱柱V-ABC(顶点在地面上的射影是底面正三角形的中心)中,D,E,F 分别是VC,V A,AC 的中点,P 为VB 上任意一点, 则直线DE 与PF 所成的角的大小是( )A. 030B. 090C. 060 D.随点的变化而变化【高考链接】DEFP VCBA题型一 异面直线所成的角 1.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 。
2.如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的 正切值是__________3.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）(A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 题型二 线面角1.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．23C ．33D ．232.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.223 B.23C.24D.133.在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A ．30B ．45C ．60D ．90 4.如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，AB PA ABC PA 2,=⊥平面则下列结论正确的是（ ）A. AD PB ⊥;B. PAB 平面PBC 平面⊥C. 直线BC ∥PAE 平面D. 直线ABC PD 与平面所成的角为45°5.正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为( )（A ）23 （B ）33 （C ）23（D ）63 考点六 证明空间线面平行与垂直1.如图,在四棱锥P-ABCD 中,,PD ABCD ⊥平面底面ABCD 为正方形,PD=DC,E,F 分别是AB,PB 的中点，求证:;EF CD ⊥2..在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。