2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
拉姆齐-卡斯-库
1、假定
厂商的生产函数为Y=F(K,AL)，满足于索洛模型相同
的假定。 家庭 家庭规模以n速增长 家庭效用函数为
L (t ) U e u (C (t )) dt 0 H C (t )为t时期每一家庭成员的消 费，u ()为
t
即期效用函数， (t )为经济的总人口， L H为家庭数，L (t ) / H为家庭成员数，
当k大于k 时，f (k )小于 g (边际报酬递减规律，因而c 为 )
负。当k小于k 时，f (k )大于 g，因而c 为正。
c
c0
c0
c0
k*
k
c的动态学
k的动态学
k的增长等于实际投资减去持平投资，不
考虑折旧，则持平投资为（n+g）k，实 际投资为产量减去消费，f(k)-c。因此，
上述结论的含义在于，在最优消费增长
模型中，无效率的过度储蓄不会出现， 这一点与索洛模型不同，原因在于典型 的无限存续家庭一旦储蓄过度，马上会 意识到这不是它的最优消费路径。寻求 最优消费路径的家庭储蓄总是不足以使 资本达到黄金分割率水平，这种缺乏耐 性的消费行为反映了有效贴现率ρ+θg 的影响，减少当前消费以实现最大化的 消费路径，即实现黄金分割率的消费水 平是不值得的。
c
c0
A
鞍点路径
E
k 0
B C F D K(0)
k* c的不同初始值下c和k的变动
k
假定k(0)小于k*，上页图中给出了c的初
始值c(0)处于不同位置时，c和k的轨迹。
如果c(0)高于 k 0曲线，如图形中的 点，那么 A c 是正的，而k 为负，因此经济持续向 上向左移动。 如果c(0)处于B点，此时k 最初为0，经济开始时 在(k , c)空间中向上直移，随后 出现 c 为正，为负，因而 k 经济又是向上向左移动 。如果经济开始时稍微 低于 k 0线，比如在C点，那么初始时的k 为正但较小 且 c 仍为正，因此经济开始 时向上、稍偏右的方向 移动，
拉姆齐模型第一部分
5拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型几个重要关系：● 收入由生产函数决定：(),Y F K AL = ● 收入＝消费＋储蓄：YC S =+● 在均衡中，储蓄＝投资：SI =● 在没有折旧、人口增长和技术进步时，资本存量的增长＝投资：K I ∆=●()()0ntL t L e =，人口，资本，效用等都以指数形式增长。
Ramsey模型的基本思想：国民收入()Y F K AL=。
所以经济增长决定于资本存量K、人,口L和劳动有效性A的增长。
在Solow和Ramsey增长模型中，人口L和劳动有效性A的增长率外生给定。
因此，必须研究经济增长与资本存量增长之间的关系。
资本存量的变化源于投资，投资形成于储蓄，所以，储蓄率影响资本存量的变化并进而影响经济增长。
在Solow模型中，储蓄率为外生变量。
但是在Ramsey模型中为内生变量，我们必须分析决定储蓄率的机制。
国民产出（收入）分为消费和储蓄两部分。
所以，分析储蓄必须分析消费。
家庭的消费行为是在生命周期收入约束下使其效用最大。
最优储蓄规模＝投资经济增长分析步骤：1、确定家庭的效用函数2、确定家庭的预算约束 3、 确定最优消费数量 4、 确定最优投资 5、 6、5.1假定1、消费者的行为：在预算约束下（支出小于禀赋）最大化效用函数：()max ..u s t y≤x px离散时间下消费者的效用函数：消费者生存n 个时期，n →∞，在时期t ，消费t C ，获得效用()()u C t ，该效用贴现值为()()t e uC t ρ-。
ρ为贴现率，总效用为()()ntt eu C t ρ-=∑或()()tt eu C t ρ∞-=∑ 连续时间下消费者的效用函数：()()0te u C t dt ρ∞-⎰teρ-：()()u C t ：()C t ：个人在时点t消费的数量人口数量：()0L ()L t ：()()0ntLt e L =家庭数量：()()0H H t H ==（有人口出生但是没有新的婚姻） 家庭的人口数量：()0L H()L t H ()()0ntL t L e H H=家庭效用函数：()()()()()()()()()()()()()00000,ttn t t e u C t dt e u C t dt L e u C t dt H L e u C t dt n H ρρρρρρ∞-∞-∞--∞'-=='==-⎰⎰⎰⎰nt L t H L 0e H瞬时效用函数的形式：()()()1,01C t u C t θθθ-=>-)1(>---g n θρ相对风险厌恶系数为()()u C Cu C ''-' 这里，相对风险厌恶系数固定为θ，因此称为“相对风险厌恶系数固定”的效用函数。
3 最优增长理论
K (0) v R(t ) L(t ) K (v) t 0 e [w(t ) c(t )]A(t ) dt e R(v) H H H
代入极限形式的预算约束得：
v
lim e
R(v)
K (v) 0 H
表示家庭持有资产的现值的极限为非负。 另外，在模型的基本假设下，我们有
四、稳态均衡
1．k的动态学（消费既定时资本的进化）
与索洛模型一样，k的稳态条件是实际投资
等于持平投资。实际投资为
f (k ) c
，持平投
资为（n+g）k（没有考虑折旧）。
因此 k f (k ) c (n g )k
（思考：该式表明f(k)的用途是什么？）
• 当
k 0 时， c
y
(n g )k
f (k )
o
c
kG
k
k 0
k 0
k 0
有效人均资本不 变曲线
c f (k ) (n g )k
O
kG
k 图 3-2
2．c的动态学（资本既定时消费的进化）
将 r(t ) f ' (k (t )) 代入欧拉方程，得：
• 对于这种效用函数，家庭成员的相对风险规避倾向为 常数 ，它与各个时刻 t的消费量 C (t ) 无关。
• （2）任何两个时点之间（跨期）的消费替代弹性 不变，为1/ 。
du' C u' ' C dC u' u'
。
• （3）边际效用 u' (C ) 为正；当 1 时，边际效用随 C增加而增加，当 1 时，边际效用随C增加而减 少。 （4） n (1 ) g 0是为保证效用不发散（受到约束）。
(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
2.2
1 定义R t
t
家庭的最大化问题
先看家庭的预算约束
0
r t d ,
Rt
含义 : 在0期投资的1单位产品在t期产生e 反之, t期1单位产品在0期的价值为:e 家庭的预算约束为 :
Rt Rt
单位的产品,
.
L t K 0 t Rt L t t 0 e C t H dt H t 0 e A t w t H dt 对上式用有效劳动进行正规化,并化简 :
e dt
nt
2.2
家庭的最大化问题
1
U A 0 B 其中 : B A 0
1
L 0 n 1 g t c t e dt H t 0 1 c t dt 1
1
t 0
e
t
2
1
L 0 , n 1 g 0 H
家庭的问题是, 在预算约束下选择c t 的路径 以最大化一生效用.
1
2.3
家庭行为
我们用目标函数 1 和
预算约束 2 来构建拉格朗日函数: L B e
t 0 t
c t dt + 1
t R t R t n g t n g t k 0 e w t e dt e c t e dt t 0 t 0 家庭选择每一时点上的c,对单个c t 的一阶条件是 :
第三章
拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
这一堂课的内容安排
• • • • • • 1 2 3 4 5 6 模型的假设； 家庭与厂商的行为； 经济动态学； 平衡增长路径； 贴现率下降的影响； 调整速度与鞍点路径的斜率。
2-2拉姆赛模型-1
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
见上页倒数第二式
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
因为：
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.1 厂商
1. 模型的基本假定 1.1 厂商
1. 模型的基本假定 1.1 厂商
1. 模型的基本假定 1.1 厂商
1. 模型的基本假定 1.2 家庭
1. 模型的基本假定 1.2 家庭
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
3.4 c的初始值
3.4 c的初始值
3.4 c的初始值
3.4 c的初始值
3.4 c的初始值
3.4 c的初始值
3.5 鞍点路径
3.5 鞍点路径
3.5 鞍点路径
3.5 鞍点路径
4. 平衡增长路径 4.1 平衡增长路径的特性
4.1 平衡增长路径的特性
4.1 平衡增长路径的特性
4.1 平衡增长路径的特性
第二章 拉姆塞－卡斯－库普曼斯模型
• 在这一框架中，存在一个消费路径，并且 储蓄率决定于在市场经济中相互作用的最优化 的家庭和厂商。即在一个跨期预算约束下，具 有无限生命的居民户选择消费和储蓄以极大化 其动态效用。因而，储蓄被内生化，并且会虽 时间而变化。
第二章 拉姆塞－卡斯－库普曼斯模型
• 拉姆塞模型将储蓄内生化有许多优点： （1）它向我们显示了一个非常重要的结论：索洛模型关 于增长核心问题的结论并不依赖于储蓄率不变的假定。 （2）通过把行为人的最优化问题引入模型，可以借助这 些模型去分析很多规范性问题。如果一个模型就总量 之间的关系作出直接假设，那么就不能用它来判断一 些结果是否比另一些结果更好，因为如果没有个人， 我们就不能说不同的结果对个人是更好还是更糟。 • 但是，遗憾的是，这一增长模型仍然无法消除长期人 均增长率对外生技术进步的依赖。
第二章 无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e e t [ A(0)1 e (1 ) gt ] dt t 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) A(0)1 e [ n (1 ) g ]t ]d t t 0 H 1 1 c ( t ) B e t ]d t (2.12) t 0 1 1 L (0) B A(0) , n (1 ) g H
e R (t )C (t )
t 0
e
R (t )
c(t )e
( n g )t
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0
(2.14)
• 单位有效劳动的非蓬齐条件变为：
s
lim e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0 (2.15)
• 消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变
动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致 的效用增加量必须相等，所以：
(t ) / c (t )]dt [ r (t )n g ]dt Be t c(t ) dc(t ) Be (t dt ) [c(t )e[c ] e dc(t ) (2.22)
e
R (t ) ( n g )t
e
(2.17)
• 利用变分法得到：
• 泛函： T V ( y ) F [t , y, y]d t
0
y dy / dt
• 的欧拉方程为：
Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fty Fy 0
• 特殊情形： • Case 1： F F (t , y) • 欧拉方程为： Fy constant • Case 2：
中级宏观经济学第章拉姆齐模型
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化
B
et c
t 1 dt
0
1
k 0
eRtengt w t dt-
0
0
eRt
en
g
t
c
t
dt
（ 5-16）
在每个时点家庭选择c，这样就会形成无限多个c(t)。对每一单 个c(t)，其一阶条件是对于任意的t：
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化（续）
方程(5-20)是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程(Euler equation)，也就是连续时间的随机形式(continuous-stochastic version)。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要 条件，因此这一条件也叫作凯思斯一拉姆齐规则(Keynes Ramsey rule or condition)。直觉上，欧拉方程描述了结定c(0)时，c必须 随时间变化而变化。如果c不按照式(5-20)演化，那么家庭就会在不 改变终生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。 这样，c(0)的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，终生消 费的现值等于初始财富与未来收入的现值之和。当c(0)被选择得太 低，沿满足式(5-20)路径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因 此，较高的路径是可能的。当c(0)确定得太高，消费支出大于其可 用尽的终生财富，这种路径反而成为不可行。
Betc t eRtengt （ 5-17）
家庭行为的特征实际上就是由式(5-17)和预算约束式(5-14)来刻 画的。
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化（续）
为了理解式(5-17)对消费行为的含义，可以对这一公式展开进 一步的分析。首先给公式两边取对数：
拉姆齐模型(第一部分)
储蓄的价值 从t期到s期 如何变化
t期的储蓄 （它可能为负）
51
52
非蓬齐博弈：将任意时刻s的财富 贴现到当前，应为非负。
limeR(s) K(s) 0
s
H
K kAL kA(0)L(0)e(ng)t
lim lim eR(s) K(s) 0
eR(s)e(ng)tk(s) 0
s
H
s
53
储蓄
每个家庭在 0 时期有
L0 / H 个成员
每个家庭在 0 时期拥有
K 0 / H 的资本
作出储蓄—消费决策
当期收入
消费
每将 人全
提部
产品市场
（完全竞争）
购提 买供 产产 品品
供 资 要素市场
1 单
本 （完全竞争） 租
位给
劳厂 动商
付出工资，一个家庭获得：
Lt At f kt kt f kt
H
付资本报酬，一个家庭获得：
20
关于家庭效用函数的说明：
2.家庭无限期的效用
21
22
关于家庭效用函数的说明：
3.家庭无限期效用函数的现值
23
u(Ct )
24
(1)连续的复利计算和贴现 计算
由于时间 t被假定为连续的，利息 率也被假定
按照复利连续计算
25
lim (1 / n)nt
n
lim[11/(n / )](n/ )t et n
新古典生产函数：Y F(K, AL) 根据欧拉定理：Y Y K Y AL
K (AL)
31
二、模型中决策主体的行为（厂商）
资本的边际产品：FK, AL f (k)
K
有效劳动的边际产品：f k kf k
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。
设()·0f '>，()()***1c s f k =-。
设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。
（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。
（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。
这是一个典型的最优化问题。
().mi . n s t w Y ALf k AL rK = +本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
第八讲 拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型
但无法确定 s 的变动趋势，须从另一角度着手。由于：
( z − γz = f ′′(k )k
现在假定 s >
*
θ −1 ( z − θ −1) + f ′(k )γ z = f ′′(k )k ) + f ′(k ) z z θ θ
， 则对所有的 t 有 z <
1
θ
θ −1 ， 此时可能出现 γ z > 0 ， 也可能出现 γ z < 0 。 θ
3
吉林财经大学高级宏观经济学课件
对应的 c 则必须下跳为 0，这与一阶条件
f ′(k ) − ρ − θg c = 是矛盾的，因此这样的路径是 c θ
不可能的；如果低于 A 点，假设为 C 点，系统的动态将使得 k 不断增加，出现
r = f ′(k ) < n + g 。这与已知的横截条件（即非蓬齐对策条件）相矛盾。因此该系统呈现
出鞍点路径稳定性。 （2）修正的黄金律资本存量。在拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型中，资本高于黄金律水平 的平衡增长路径是不可能的。因为，根据索洛模型的分析结果有：
f ′(kGR ) = n + g + δ = n + g
这里用到了前面的折旧率为 0 的假设。而另一方面在稳态时有：
f ′(k * ) = ρ + θ g
*
z > 0 ，这也与稳态趋势是矛盾的。因此，如果 s > 但如果对某些 t 满足 γ z > 0 ，则有 γ
1
θ
，
(t ) = − z = − zγ z > 0 。对于 s < 必有 γ z < 0 ，则 s
*
1
θ
宏观经济学讲义(1)
宏观经济学讲义(1)第六章消费第一节确定情况下的消费：生命周期/持久收入假说第二节不确定情况下的消费：随机游走消费理论/随机游走股票价格理论2第一节确定情况下的消费：生命周期/持久收入假说1.1两个基本模型我们的理论出发点是两个基本的模型，拉姆齐模型和迭代模型，他们提供了宏观经济学大多数优化模型的框架。
1.1.1拉姆齐模型●拉姆齐1（1928）提出，卡斯（1965）和库普曼斯（1965）发展。
●宏观经济学微观基础第一个基本模型，旨在确定社会的最优储蓄率。
●大量相同的竞争性厂商租用资本雇佣劳动以生产并销售产品，大量相同的长生不老家庭供给劳动、持有资本、消费并储蓄。
●不考虑市场的不完美性以及由异质家庭和代际关系造成的所有问题。
1Ramsey Frank P.(1928), “A Mathematical Theory of Saving.” Economic Journal 38, No.152 (Dec), Pp543-559.341、行为人最优化 行为人的效用函数：0'',0',)(0<>=∑∝=u u C u U t t t β其中，β代表主观贴现率，10<<β。
行为人面对的生产函数： 0'',0'),(<>=f f K f Y ttttt K I K )1(1δ-+=+其中，δ代表资本折旧率，10<<δ。
行为人面对的预算约束为： ttttI C K f Y +==)(行为人的最优化：5tt t t t t t K K C K f t s C u )1()(..)(max 10δβ--+=+∝=∑转化为：}])1()([])1()([max{])1()([max 1211110⋅⋅⋅+-+-+-+-⋅⋅⋅-+-++++++∝=∑t t t t t t t t t t t t t K K K f u K K K f u K K K f u δβδβδβC O F ..（对1+t K 求偏导）)]1()('[)(')('11δβ-+=++t t t K f C u C u经济含义：（1）跨期消费的边际效用之比等于行为人主观收益率和资本实际收益率的乘积。
拉姆齐卡斯库普曼模型
劳动力
知识或技术 有效劳动 总产出 总消费 有效劳动的平均资本
人均资本
有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比
储蓄率
s=(y-c)/y
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.4 平衡增长路径
结论： 将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路 径的描述。即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依 然是人均产出持续增长的唯一根源。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 贴现率：按连续复利计算，从时刻0到时刻t这一时间 区间上单位资本的(连续复利)利率为：
R(t )
r( ) d
0
t
这意味着时刻0的1单位资本，在到达时刻t时变成为 e R(t ) 个单位的资本。等价地说，未来t时刻的一元钱的价值(即 R (t ) 现值)是 e 。所以R(t)就是未来价值向当前的贴现率。
0
*
f k f k *
c
c0 c0
*
0
高级经济学Ⅰ（宏观部分） k
当 k k 时， f k f k c 0 当 k k 时， f k f k c 0
第2章 拉姆齐-卡斯-库普曼增长模型
瞬时效用函数性质总结
• 边际效用为正，边际效用递减。 • 相对风险厌恶系数（跨期替代弹性）为常数。
• 劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
劳动增长 率为n： 技术进步 率为g：
(t ) L n L(t )
(t ) A g A (t )
t时劳动力：
L(t ) L(0)e
nt
t时技术存量：
?fk?????c?fk?gck?cngk??????????0??c???????ck????cc???ckk????ccckkckkc?cckkk?c?????????cckck??????????????????????ck?????????kckckckcccckfk?c???????????212r14fkc??221ng?????????????系数矩阵的特征根为根号内的表达式为正因此得到两个不等实根系统为鞍点路径稳定
欧拉方程
• 欧拉方程还说明了r与ρ之间的关系与区别 （思考：是怎样的关系和含义？
• 如果真实利率超过了家庭用于贴现未来消 费的速率，每个家庭的消费将上升。
五、稳态均衡 1、c的动态学（c的微分方程
• 实际上，欧拉方程已经说明了单个家庭的 消费进化情况。由于我们假定了所有家庭 都一样，欧拉方程也就不只是说明家庭消 费进化情况，而是说明了整个经济的消费 进化情况。把 (即r(t)=f’(k(t)))代入欧拉方程， 即可得到单位有效劳动的消费进化公式：
• 由于无限生命假设偏离现实，于1965年便 出现了戴蒙德的进一步修正——世代交替 增长模型，把无限生命假设改进为假定经 济中不断有新家庭加入。这样，经济就表 现为一个世代交替的经济，从而使理论模 型向现实更靠近一步。关于世代交替理论， 将在下一讲中介绍
武康平 高级宏观经济学：第五章
第五章 最优增长理论168第五章 最优增长理论虽然索洛模型指出资本积累不是经济长期增长的源泉，储蓄率变动的效应不大，但索洛 把储蓄率视为外生变量，忽视了储蓄与消费的关系。
我们知道，产出不是用于消费就是用于 储蓄以增加投资，储蓄由消费决定，而消费是由经济系统本身决定的。
既然消费变动是内生 的，储蓄率也就应该内生。
可见，把储蓄率内生化，这是对新古典增长模型进行改进的一个 方向。
基于这种考虑，本章从微观经济角度考察经济的运行，建立拉姆齐-卡斯-库普曼增长 模型，使储蓄率得以内生化。
该模型与新古典增长模型相似，家庭持有资本并提供劳动，然 后进行消费和储蓄。
企业租用家庭持有的资本，雇用家庭提供的劳动，进行生产活动。
该模 型由拉姆齐(F. P. Ramsey)1928 年初创驺型，1956 年分别得到卡斯(D. Cass) 和库普曼(T. C. Koopmans)的发展和完善。
他们三人在分析中都规避了市场的不完全性问题和家庭各异所产生 的棘手问题，并把世世代代缔结成一个整体——具有无限生命的消费者。
虽然他们建立的跨 代增长模型是对现实世界的高度抽象，但为经济增长问题研究提供了很好的视角：以微观个 体活动者的行为最优化作为增长的基础。
正因为如此，他们的模型才有最优增长模型之称。
第一节 跨期消费与风险规避拉姆齐、卡斯和库普曼从微观经济学的角度出发，分析了宏观经济运行中的消费与储蓄 变动，认为每个消费者都要在当前时刻对自己一生的消费做出最优安排。
他们的分析论述实 际上是建立了一种动态消费最优化理论， 把跨期消费选择与风险规避倾向巧妙地结合在一起。
一、无限远期假设每个消费者都要在当前时刻对终生消费做出安排，这是一个终生消费最优化问题。
研究 单个消费者如此的行为，并没有多大的困难。
然而要描述经济社会所有消费者的这种消费最 优化行为，并把他们放在一个模型中加以统一处理，却会遇到这样一个问题：人们的生命长 短不一，究竟应该选取多长的生命期限才能满足模型分析中对时间区间的一致性要求？ 如果为每个人都选定一个具体的时间区间，那么这样的做法不但不能反映“当前时刻考 虑一生”这种行为的本质特点，而且还给分析论述带来了莫须有的困难和麻烦。
(高级宏观经济学课件)拉姆齐卡斯库普曼斯模型
储蓄
指居民可支配收入中未用于消费 的部分，可转化为投资，是经济 增长的重要动力。
投资
指企业用于购买固定资产、增加 生产能力以及研发等方面的支出 ，对经济增长具有乘数效应。
跨期选择与最优化原理
跨期选择
消费者需要在不同时间点之间进行权衡，以最大化 其一生中的总效用。这涉及到对当前消费和未来消 费的权衡取舍。
该模型基于跨期最优化原理，将消费者的效用最大化作为 目标，同时考虑生产技术和市场约束条件。
拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型为分析经济增长的源泉、经济 政策的效应以及不同经济体的增长差异提供了理论框架。
宏观经济学中的消费、储蓄与投资
消费
指居民用于满足个人生活需要的 商品和服务的支出，是总需求的 重要组成部分。
最优化原理
在给定约束条件下，消费者通过选择最优的消费和 储蓄路径来实现效用最大化。这要求消费者在每一 时点上根据边际效用和预期未来收益进行决策。
02
模型构建与假设条件
Chapter
代表性消费者假设
代表性消费者
模型中假设存在一个代表性消费者， 其行为和决策能够代表整个经济体系 中所有消费者的行为和决策。
06
相关研究领域前沿动态
Chapter
行为经济学对模型假设的挑战与改进
行为经济学对理性人假设的挑战
指出人们在决策时可能受到情绪、认知偏差等因素的影响，不完全符合拉姆齐-卡斯-库 普曼斯模型中理性人的假设。
基异质性及其对经济现象的 影响。
社会保障政策
该模型还可以用于分析社会保障政策对经济主体跨期决策 的影响。例如，养老保险制度的设计需要考虑如何平衡当 前消费和未来养老需求之间的关系，拉姆齐-卡斯-库普曼 斯模型为此类问题提供了分析工具。
2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 只要资本的实际收益率r（t）超过未来消费的贴现率ρ， 人均消费就要增长。 在资本实际收益率与未来消费贴现率之差额既定的情 况下， θ越小，人均消费增长率的变化就越大，这意 味着家庭越愿意让消费随着时间来变化。 假如c没有按照欧拉方程的方式变化，那么家庭就能以 一种无需改变家庭终生支出的现值的办法来重新安排 它的消费，方可使家庭的终生效用达到提高。 对于任何给定的c(0)，都可根据欧拉方程来确定单位 有效劳动的消费运行路径 。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 这样家庭的预算约束可以写作：
0
e
R (t )
L(t ) K (0) C(t ) dt H H
0
e R(t ) A(t )w(t )
L(t ) dt H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
（2）边际效用的消费弹性(相对风险回避系数）：θ ；
（3） n (1 ) g 0 保证了定义家庭终生效用的定积分 是收敛的。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.1 厂商的行为 企业按照边际产出向劳动和资本支付报酬，用r（t） 表示时刻t的实际利率，即向单位资本支付的报酬；用 w（t）表示时刻t的实际工资率，即向单位有效劳动支 付的报酬。可以表示成：
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 贴现率：按连续复利计算，从时刻0到时刻t这一时间 区间上单位资本的(连续复利)利率为：
(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
4 平衡增长路径
• 2、索洛模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯模型的 平衡增长路径之间的惟一显著的差异是，在后 者不可能出现动态无效率(k<k黄金)。
k t f k t c t n g k t 5
当 k 0时 ,c f k n g k. 根 据
稻 田 条 件 lim f ' k , lim f ' k 0,
k 0
k
f k 与 n g k必 有 两 个 交 点 .
故 我 们 可 将 c和 k的 关 系 描 述 如 右 图 . 消费等于实际产量线与
AL)； • ②生产函数的性质与索洛模型相同(如:规模报酬
不变,稻田条件,等等)； • ③要素市场和产品市场均为竞争性市场； • ④ A给定，并以外生速率g增长； • ⑤厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润
均归家庭。
1 模型的假设
• 3、家庭： • ①有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长； • ②家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动； • ③家庭将所拥有的资本均租给厂商； • ④家庭的最初资本持有量为K(0)/H； • ⑤不存在折旧； • ⑥家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以
以 最 大 化 一 生 效 用. 我 们 用 目 标 函 数 1 和
预算约束 2来构建拉格朗日函数:
L B e t c t 1 d t +
t0
1
k
0
t eRtw
t0
t
en g tdt
eRtc
t0
t
e
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高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.1基本假设 完全竞争市场结构； 长生不老的不断扩展 的家庭（有限寿命的 个人和基于利他主义 的代际转让）； 家庭和个人完全同质； 忽略资本的折旧。
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
家庭
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润 雇佣劳动，支付工资 租用资本，支付利息
2.2.2 家庭的行为 家庭的行为是去选择各个时刻t的消费，以使家庭在服 从预算约束的条件下获得最大的终生效用，即 ：
L(t ) max : U e u[C (t )] dt t o H L(t ) K (0) L(t ) R (t ) R (t ) s.t.: e C (t ) dt e A(t ) w(t ) dt 0 0 H H H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
t
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 求解此效用最大化问题，可得描述C(t)调整路径的 “欧拉方程” ：
C (t ) r (t ) C (t )
和每单位有效劳动消费的“欧拉方程” ：
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.3 关于家庭部门的假设 市场上存在着大量的家庭，这些家庭也彼此相同：相同 的家庭成员、相同的人口以及相同的资本持有量，并且 各个家庭成员也是完全相同的； 每个家庭的人口都以增长率n增长，家庭的每个成员在 任何时点上都向企业提供一个单位的劳动； 家庭把持有的任何资本都租给企业使用； 设经济在初始时刻的资本总额为 K(0)，时刻t的资本总 额为K(t)。用H表示经济中的家庭总数，则每个家庭的 初始持有资本量为K(0) /H。
r (t ) f (k (t ))
w(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
劳动的边际产出 F ( K , AL) L 不同于有效劳动的边际产出 F ( K , AL) ( AL) ， 二者之间的 注意： 关系为：F ( K , AL) L A F ( K , AL) ( AL) 。 因此， 每个工人(即每个家庭成员)在时刻 t 的劳动收入应该等于 A(t ) w(t ) 。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.2 关于厂商部门的假设 市场上有大量的企业存在，这些企业彼此相同，具有相 同的生产函数 Y=F(K,AL)，而且生产函数满足索洛模 型的假设(即与第一章提出的假设相同)。 企业在完全竞争的要素市场中雇用工人和租用资本； 知识要素A被企业视为既定，并假定以增长率g在增长， 这里g被当作外生变量看待； 家庭是企业的股东，企业的目标是实现利润最大化，并 把获得的利润全部分配给家庭。
（2）边际效用的消费弹性(相对风险回避系数）：θ ；
（3） n (1 ) g 0 保证了定义家庭终生效用的定积分 是收敛的。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.1 厂商的行为 企业按照边际产出向劳动和资本支付报酬，用r（t） 表示时刻t的实际利率，即向单位资本支付的报酬；用 w（t）表示时刻t的实际工资率，即向单位有效劳动支 付的报酬。可以表示成：
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2.1 模型的假设条件
2.1.3 关于家庭部门的假设 定义家庭效用函数为：
U
t o
e
t
u[C (t )]
L(t ) dt H
其中，C(t)表示t时刻家庭每个成员的消费； u( ▪)是瞬时效用函数，它给出每一家庭成员在给定时点的效用； L(t)是经济中的总人口，因此，L/H等于每个家庭的人口； u(C(t))L(t)/H是t时刻家庭的总即期效用； ρ是贴现率，ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来的消费评价 越低。
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2.1 模型的假设条件
2.1.3 关于家庭部门的假设 即期效用函数的形式为：
C (t )1 其中 0 ， n (1 ) g 0 u[C (t )] 1 此即期效用函数有以下几个特点：
（1）边际效用为正（计算即期效用函数的边际效用）；
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2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 贴现率：按连续复利计算，从时刻0到时刻t这一时间 区间上单位资本的(连续复利)利率为：
R(t )
r( ) d
0
t
这意味着时刻0的1单位资本，在到达时刻t时变成为 e R(t ) 个单位的资本。等价地说，未来t时刻的一元钱的价值(即 R (t ) 现值)是 e 。所以R(t)就是未来价值向当前的贴现率。
2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
2.0 拉姆齐问题
本章模型由拉姆齐（Ramsey，1928）首先提 出，并由卡斯（Cass，1965）和库普曼 （Koopmans，1965）发展的。 拉姆齐模型的中心问题是跨时资源分配。 拉姆齐模型中储蓄率是内生的，解决了索洛模 型中储蓄率的“动态无效”问题。 拉姆齐模型提供了一个自然的参照系。
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2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 这样家庭的预算约束可以写作：
0Leabharlann e R (t )L(t ) K (0) C(t ) dt H H
0
e R(t ) A(t )w(t )
L(t ) dt H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为