完整版小学四年级奥数容斥问题

容斥问题涉及到一个重要的原理一一包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。

这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分

类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nad

例1•一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的

有9人，两种报纸都订阅的有5人。（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？

例2•一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？

例3.在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？

例4•艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不

是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？

练习与思考

1•将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6）,已知重叠的部

分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？

2 . 二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的

有40人，两种作业都做完的有多少人？

3.有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？

4 •某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3

人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？

5 •四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？

6 •在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两

题都答对的有20人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？

7 •一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？

8 •某班上体育课，全班排成4行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个。这

个班共有多少名学生？

9.在1到200的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个？

10•科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是

二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件？

这一讲介绍容斥原理 2 n个事物，如何采用三种不同的分类标准：按性质a分类、性质b分类与性质c分类(如

图1)，那么，具有性质a或b或c的事物的个数=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。

例1•五(1)班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到

例2•某班有学生50人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参

加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线

电小组的有3人。已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组参加的学生有多少人？

例3.—个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。既参加篮球队又参加足球队的有多少人？

例4.松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既

参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞

赛。

(1 )只参加数学竞赛的有多少人？

(2 )只参加作文竞赛的有多少人？

(3 )只参加美术竞赛的有多少人？

练习与思考

1•有30名运动员、其中18人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三级跳远 又会撑杆跳高的运动员有多少名？

2 •操场上的学生排成 10路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第 4路纵队，从排头数他是第 13人,

从后往前数他是第 8人。操场上有多少人在做操？

3 •一个年级有120人爱好数学，100人爱好语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱好语文， 20人既爱好语

文又爱好美术，35人既爱好美术又爱好数学，有 18人三个学科都爱好。请问：这个年级中数学、语文、美术三

个学科至少爱好一个学科的学生有多少人？

4•某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有 8名学生在这三个科目上都没有达到优秀，其余

5 •第三小队的学生有 20人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分 别为10人、10人、6人，其中手中既有红球又有黄球的有

3人，既有黄球又有蓝球的有 2人，既有蓝球又有红

球的有4人。已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有多少人？

6 .某班50名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有 21人，参加美术小组的有 25人，有17人既参加数学小组又参加美术小组，有 小组，有10人既参加语文小组又参加美术小组。三个小组都参加的有多少人?

7 •有学生30名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组， 各组人数分别为14人、12人、

10人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有

4人，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有 6人，既参

加乒乓球小组又参加排球小组的有 5人，三个小组都参加的有1人。这些学生中这三个小组都没有参加的有几人？

8 •某外语学习班有 40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一咱。结果学习英语的有 20人，学习

日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学习了英语又学习了日语， 有2人既学习了日语又学习了德

语，没有人同时学习三咱语言。既学习英语又学习德语的有多少人？

9 .四(1)班有55名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。有 22人参加美术组，有 21人参加音乐组，其中 15

人既参加音乐组又参加美术组， 3人既参加音乐组又参加体育组，但没有一人既参加美术组又参加优育组。

(1) 只参加美术组的有多少人？ (2) 只参加音乐组的有多少人？ (3) 只参加音乐组的有多少人？

29人，参加语文小组的有

15人既参加数学小组又参加语文