二次函数与面积专题训练

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二次函数与图形面积练习题

二次函数与图形面积练习题例题1、如图所示、围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成。

围成的花圃是如图所示的矩形ABCD设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米。

（1）求S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围）；（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值？例题2、如图、已知平行四边形ABCD的周长为8cm,∠B=30°，若边长AB=xcm,求：（1）求平行四边形ABCD的面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围？（2）求当x取何值时，平行四边形ABCD的面积有最大值？最大值是多少？例题3、如图、一个正方形纸板的边长为10cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）。

设AE=BF=CG=DH=xcm，阴影部分的面积为y（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围？（2）当x取何值时，阴影部分的面积最大？最大值是多少？例题4、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙，墙长为13m，中间隔有一道篱笆的矩形菜园，为了方便出入，在如图所示位置装上1.5m宽的门，这个矩形菜园的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？例题5、如图、等腰直角三角形ABC以2cm/s的速度沿直线m匀速向正方形CDEF移动，直到AB与EF 重合。

设移动xs时，三角形与正方形重合部分的面积为y（1）当x=2.7时，y的值分别为多少？（2）求从开始移动时到AB与EF重合时，y与x的关系式，并求出x的取值范围？例题6.汪赛响应国家“自主创业”的号召，在三里铜锣湾广场投资开办了一个运动服装商店，服装的批发价为每件25元，现在的售价为每件45元，经过一段时间经营后查询财务报表可知，每星期可卖出155件．现在开展市场调查发现：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于50元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元，每星期的利润为w元．（1）求w与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？。

二次函数---面积问题当堂训练

当堂训练已知抛物线y=-x2+2x+3交x轴于点A和B，交y轴于点C,顶点坐标为D.（1）求△BCD面积。

(2)设点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在一点E，使△EBC面积最大？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由.变式：已知抛物线y=-x2+2x+3交x轴于点A和B，交y轴于点C,顶点坐标为D.（1）设点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在一点E，使四边形ABEC面积最大？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由.２、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t ），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上或21y y -，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。

8.三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）：（方法2）过动点向y 轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到1(-)-x 2S y y =∙动三角形上（动）下（动）右（定）左（定）（x ），转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。

② “三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在x 轴或y 轴上的三角形，或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的那一个三角形）。

初中数学：利用二次函数解决面积最值问题练习(含答案)

初中数学：利用二次函数解决面积最值问题练习（含答案）一、选择题1．关于二次函数y＝x2＋4x－7的最大(小)值,下列叙述正确的是( )A．当x＝2时,函数有最大值B．当x＝2时,函数有最小值C．当x＝－2时,函数有最大值D．当x＝－2时,函数有最小值2．如图K－6－1,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是( )图K－6－1A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m23．如图K－6－2所示,C是线段AB上的一个动点,AB＝1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )图K－6－2A．当C是AB的中点时,S最小B．当C是AB的中点时,S最大C．当C为AB的三等分点时,S最小D．当C为AB的三等分点时,S最大4．如图K－6－3,在矩形ABCD中,AB＝2,点E在边AD上,∠ABE＝45°,BE＝DE,连结BD,点P在线段DE上,过点P作PQ∥BD交BE于点Q,连结QD.设PD＝x,△PQD的面积为y,则能表示y与x之间函数关系的图象大致是( )图K－6－3图K－6－4二、填空题5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图K－6－5所示,当－5≤x≤0时,函数y 的最大值是________,最小值是________．图K－6－56．已知一个直角三角形两直角边的长度之和为30,则这个直角三角形的面积最大为________．7．如图K－6－6,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝6 cm,BC＝12 cm,动点P从点A开始沿边AB 向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P,Q分别从A,B同时出发,那么经过________s,四边形APQC 的面积最小.链接学习手册例2归纳总结图K－6－68．如图K－6－7①,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图②是点P 运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是________．图K－6－7三、解答题9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2)．(1)如图K－6－8①,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大？(2)如图②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.图K－6－810．如图K－6－9所示,在矩形ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P,Q 分别从点A,B同时出发,设运动时间为t s(0<t≤4),△PDQ的面积为S cm2,求S关于t的函数表达式,并求△PDQ面积的最小值．图K－6－911．为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图K－6－10所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数表达式,并注明自变量x的取值范围；(2)当x为何值时,y有最大值？最大值是多少？图K－6－10如图K－6－11①,抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3),B(－1,0),D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F.P为直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t为何值时,△PFE的面积最大？并求最大值的立方根．(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由．图K－6－11[课堂达标]1．[解析] D ∵y＝x 2＋4x －7＝(x ＋2)2－11, ∴此抛物线的开口向上,顶点为最低点, ∴x ＝－2时,函数有最小值．2．[解析] C 设BC ＝x m,则AB ＝(16－x)m,矩形ABCD 的面积为y m 2, 根据题意,得y ＝(16－x)x ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64,当x ＝8时,y max ＝64, 则所围成矩形ABCD 的最大面积是64 m 2. 故选C.3．[解析] A 设AC ＝x,则BC ＝1－x, 所以S ＝x 2＋(1－x)2＝2x 2－2x ＋1,所以当x ＝－－22×2＝12时,S 有最小值． 4．解析] C 易得BE ＝DE ＝2 2,则EP ＝EQ ＝2 2－x,过点Q 作QF ⊥AD 于点F,则QF ＝222－x)＝2－22x,∴y ＝12PD·QF＝12x(2－22x)＝－24x 2＋x ＝－24(x －2)2＋22. 5．[答案] 6 －3 6．[答案] 112.5[解析] 设一条直角边长为x,则另一条直角边长为30－x, 故S ＝12x(30－x)＝－12(x －15)2＋112.5.∵－12<0,∴当x ＝15时,S 最大＝112.5.故答案为112.5.7．答案] 3[解析] 设点P,Q同时出发后经过的时间为t s,四边形APQC的面积为S cm2,则S＝S△ABC －S△PBQ＝12×12×6－12(6－t)×2t＝t2－6t＋36＝(t－3)2＋27.∴当t＝3时,S取得最小值．故填3.8．[答案] 12[解析] 观察图象,可以获得以下信息：①点P在由B→C的过程中,BP的长度y随时间x 变化的关系为正比例函数,表现在图象上应该是一段线段；②点P在由C→A的过程中,BP的长度y随时间x变化的关系为二次函数,表现在图象上应该是抛物线的一部分；③当BP⊥AC时,BP 的长度最短,反映在图象上应为抛物线的最低点；④当点P到达点A时,此时BP＝5,∴AB＝AC ＝5,AC边上的高BP＝4,此时,由勾股定理,得AP＝CP＝52－42＝3,∴AC＝6,∴S△ABC ＝12×4×6＝12.9．解：(1)根据题意,得y＝x·50－x2＝－12(x－25)2＋6252,∴当x＝25时,y最大,即当饲养室长为25 m时,占地面积y最大．(2)根据题意,得y＝x·50－（x－2）2＝－12(x－26)2＋338,∴当x＝26时,y最大,即当饲养室长为26 m时,占地面积y最大．∵26－25＝1≠2,∴小敏的说法不正确．10．解：由题意知AP ＝t cm,BQ ＝2t cm, ∴PB ＝(6－t)cm,QC ＝(8－2t)cm,∴S ＝48－4t －t(6－t)－3(8－2t)＝t 2－4t ＋24＝(t －2)2＋20. ∵t ＝2在0＜t≤4范围内, ∴当t ＝2时,S 取最小值,为20, 即△PDQ 面积的最小值为20 cm 2. 11．解：(1)∵三块矩形区域的面积相等,∴矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 的面积的2倍,∴AE ＝2BE.设BE ＝a,则AE ＝2a, ∴8a ＋2x ＝80,∴a ＝－14x ＋10,2a ＝－12x ＋20,∴y ＝(－12x ＋20)x ＋(－14x ＋10)x＝－34x 2＋30x.∵a ＝－14x ＋10>0,∴x<40,则y ＝－34x 2＋30x(0<x<40)．(2)∵y＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300(0<x<40),且二次项系数为－34<0,∴当x ＝20时,y 有最大值,最大值为300. [素养提升]解：(1)将点A(0,3),B(－1,0),D(2,3)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c,得⎩⎨⎧c ＝3，a －b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分, ∴直线l 必过其对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.由点A,D 的坐标知,抛物线的对称轴为直线x ＝1,∴E(3,0),设直线l 的函数表达式为y ＝kx ＋m,代入⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32和(3,0),得⎩⎨⎧12k ＋m ＝32，3k ＋m ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，m ＝95.∴直线l 的函数表达式为y ＝－35x ＋95.由⎩⎨⎧y ＝－35x ＋95，y ＝－x 2＋2x ＋3，可得x F＝－25.如图①,过点P 作PH⊥x 轴于点H,交l 于点M,过点F 作FN⊥PH 于点N. ∵点P 的纵坐标为y P ＝－t 2＋2t ＋3,点M 的纵坐标为y M ＝－35t ＋95,∴PM ＝y P －y M ＝－t 2＋2t ＋3＋35t －95＝－t 2＋135t ＋65,则S △PFE ＝S △PFM ＋S △PEM ＝12PM·FN＋12PM ·EH ＝12PM·(FN＋EH)＝12(－t 2＋135t ＋65)(3＋25)＝－17 10·(t－1310)2＋289100×1710,∴当t＝1310时,△PFE的面积最大,最大值的立方根为3289100×1710＝1710.(3)如图②,过点P作PK⊥x轴于点K,过点A作AQ⊥PK于点Q,则在Rt△PKE中,PE2＝PK2＋KE2＝(－t2＋2t＋3)2＋(3－t)2；在Rt△AQP中,PA2＝AQ2＋PQ2＝t2＋(－t2＋2t)2；在Rt△AOE中,AE2＝OA2＋OE2＝18.由图可知∠PEA≠90°.①若∠PAE＝90°,则PE2＝PA2＋AE2,∴(－t2＋2t＋3)2＋(3－t)2＝t2＋(－t2＋2t)2＋18,即－t2＋t＝0,解得t＝1或t＝0(舍去)．②若∠APE＝90°,则AE2＝PE2＋PA2,∴18＝(－t2＋2t＋3)2＋(3－t)2＋t2＋(－t2＋2t)2,即(t－3)(t2－t－1)＝0,解得t＝3(舍去)或t＝1＋52或t＝1－52＜－25(舍去)．综上可知,存在满足条件的点P,t的值为1或1＋52.1。

专题27 二次函数与面积压轴问题(学生版)

专题27二次函数与面积压轴问题【例1】（2022·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c +a <0与x 轴分则点A 和点B 1,0，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x =−1，且OA =OC ，P 为抛物线上一动点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC ，当点P 在直线AC 上方时，求四边形PABC 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标；(3)设M 为抛物线对称轴上一动点，当P ，M 运动时，在坐标轴上是否存在点N ，使四边形PMCN 为矩形？若存在，直接写出点P 及其对应点N 的坐标；若不存在，请说明理由．经典例题【例2】（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c过点A(−1,0),B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM=S△BCP若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022·河南洛阳·统考二模）如图，抛物线y=−x2−2x+3的图象与x轴交于A，B两点，（点A在点B 的左边），与y轴交于点C．(1)直接写出A，B，C的坐标；(2)点M为线段AB上一点（点M与点A，点B不重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q的左侧，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM的面积．【例4】（2022·福建·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【例5】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A−3,0和点B1,0．(1)求抛物线F1的解析式；(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C 在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN 面积的最大值．培优训练1．（2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．2．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已经抛物线经过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x=2．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；(3)在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值3．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；(2)在y轴上有一点M（0，73m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．4．（2019·广东河源·校联考一模）如图，已知抛物线的顶点为A1，4，抛物线与y轴交于点B0，3，与x轴交于C、D两点，点P是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式．(2)求于C、D两点坐标及三角形△BCD的面积．(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=12S△BCD，求点P的坐标．5．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P m,n0<m<6在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为−1，点M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,1)．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，M是抛物线x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标(3)如图3，连接AC､BC，在抛物线上是否存在点N（不与点A重合），使得∠BCN=∠ACB？若存在求出点N的横坐标，若不存在说明理由8．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A−1,0，点B2,−3，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．9．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F 为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，−1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．10．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与直线AB交于A(−4,−4)，B(0,4)两点，且点D是它的顶点，在y轴上有一点C(0,−1)．(1)求出抛物线的解析式及直线AB的解析式；(2)点E在直线AB上运动，若△BCE是等腰三角形时，求点E的坐标；(3)设点N是抛物线上一动点，若SΔBDN=32SΔBDO，求点N的坐标．11．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+43x+c与x轴交于点A−3,0，与y轴交于点C0,−2．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1−S2的最大值及此时点D的坐标；(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线CB M在原抛物线的对称轴上，点N为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．12．（2023·广西玉林·一模）已知二次函数y=x2+2bx−3b的图象经过点A1,0．(1)求该二次函数的表达式；(2)二次函数图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；(3)在点P、Q运动的过程中，是否存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，如果存在，求出运动时间t，如果不存在，请说明理由．13．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0)，D−2,−x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）14．（2022·辽宁大连·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−2x−3与x轴相交于点A，B（点A 在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．(1)求点B，点C的坐标；(2)如图1，点E m,0在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE=OF，连接AF,BF,EF，设△ACF 的面积为S1，△BEF的面积为S2，S=S1+S2，当S取最大值时，求m的值；(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接CD,BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022·山东济南·模拟预测）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A−1，0和点B3，0，与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC．(1)试确定抛物线的解析式；(2)当S△CPD：S△BPD=1：2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，连接AC，设P点横坐标为m(0<m<3)，求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P 的坐标．16．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，已知抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A−1，0，C0，3．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．17．（2022·山东济南·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴相交于B(−1,0)，C(3,0)两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；(3)在（2）的条件下，设抛物线与y轴交于点Q，连接BQ、DQ，点P为抛物线上的一个动点(点P与点Q不重合)，且S△PBD=S△BDQ，请求出所有满足条件的点P的横坐标．18．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c 与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B(4,−1)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线y=x2+bx+c沿射线AB平移25个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点B，E，F，G构成以EF为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．19．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A−2,0、B4,0两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m1<m<4，连结AC,BC,DB,DC．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值．(3)当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2022·四川绵阳·校考二模）如图，直角三角形的斜边AB在x轴上，直角顶点在y轴正半轴上，已知A−1,0,C0,2，抛物线y=ax2+bx+c a≠0经过点A,B,C．(1)求抛物线的解析式．(2)如图①，点P是y轴右侧抛物线上一动点，若∠PCB=∠ACO，求点P的坐标．(3)如图②，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PA交BC于点E，交y轴于点F，连接PB．设ΔPBE，ΔCEF的面积分别为S1，S2，求S1−S2的最大值．21．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝43x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．22．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图像交x轴于点A−1,0，B5,0，交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0<t<5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD 与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．。

专题二次函数与面积有关问题(专项训练)(解析版)

专题03 二次函数与面积有关问题（专项训练）1．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；【解答】解：（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，由得：或，∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；（2）当k＞0时，如图：∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，∴OB'∥AB，∴∠OB'B＝∠B'BC，∵B、B'关于y轴对称，∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，∴∠OB'B＝∠OBB'，∴∠OBB'＝∠B'BC，∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD＝CD，在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），OC＝3，∴OD＝OC＝，D（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣），把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝；当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图：在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴E（0，﹣3），OE＝3，∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，∴OE＝EF＝3，∵B、B'关于y轴对称，∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，∴∠FB'B＝∠FBB'，∵B'F∥AB，∴∠EBB'＝∠FB'B，∴∠EBB'＝∠FBB'，∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），∴GE＝GF＝EF＝，∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣），把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝﹣，综上所述，k的值为或﹣；2．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），∵抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝×36+6b，解得b＝﹣2，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝﹣3，则点M的坐标为（3，﹣3）；（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，设点E的坐标为（x，x2﹣2x），则点H（x，﹣x+3），则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHA＝×EH×OA＝6×（﹣x+3﹣x2+2x）＝，解得x＝1或，故点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣）；3．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．【解答】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），代入C（0，﹣）得：a•1•（﹣3）＝﹣，解得：a＝，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣；（2）∵BE＝2OE，设OE为x，BE＝2x，由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，x2+4x2＝9，解得：x1＝，x2＝﹣（舍），∴OE＝，BE＝，过点E作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BG⊥TG于G，∴△ETO∽△OEB，∴＝＝，∴OE2＝OB•TE，∴TE＝＝，∴OT＝＝，∴E（，﹣），∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，∵OE的延长线交抛物线于点D，∴，解得：x1＝1，x2＝﹣3（舍），当x＝1时，y＝﹣2，∴D（1，﹣2）；（3）如图所示，延长BC于点F，AF∥y轴，过A点作AH⊥BF于点H，作MT∥y轴交BF于点T，过M点作MG⊥BF于点J，∵AF∥MT，∴∠AFH＝∠MTJ，∵AH⊥BF，MJ⊥BF，∴∠AHF＝∠MJT＝90°，∴△AFH∽△MJT，∴＝，∵S1＝NB•MJ，S2＝NB•AH，∴＝＝，设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，当x＝﹣1时，y＝•（﹣1）﹣＝﹣2，∴F（﹣1，﹣2），∴AF＝2，设M（x，x2﹣x﹣），∴MT＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣（x﹣）2+，∴a＝﹣＜0，∴MT max＝，∴＝＝＝＝＝．4．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得∴二次函数的解析式为y＝﹣2x+3．∵y＝﹣1，∴E（4，﹣1）．（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．设D（4，m），∵C（0，3），由勾股定理可得：42+（m﹣3）2＝62+32．解得m＝3±．∴满足条件的点D的坐标为（4，3+）或．（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P（n，﹣2n+3），则Q（），设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3．解得k＝，于是CQ：y＝（）x+3，当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，∴M（4，n﹣5﹣），ME＝n﹣4﹣．∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM＝．∴n2﹣4n﹣60＝0，解得n＝10或n＝﹣6，当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．5．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②并解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3，∴抛物线的顶点M（1，3）令y＝0，可得x＝﹣2或4，∴点D（4，0）；∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，∴×AD×|y R|＝×OA×OB，则×6×|y R|＝×2×，解得：y R＝±④，联立④③并解得或，故点R的坐标为（1+，﹣）或（1，﹣）或（1，）或（1﹣，）；6．（2020•天水）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x ＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+6；（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6，∴S△AOC＝OA•OC＝×2×6＝6，∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点B的坐标为（4，0），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n，则，解得：，∴直线BC的函数表达式为：y＝﹣x+6，∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），∴点D的坐标为：（m，﹣m2+m+6），点G的坐标为：（m，﹣m+6），∴DG＝﹣m2+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG•CF+DG•BE＝DG×（CF+BE）＝×（﹣m2+3m）×（m+4﹣m）＝﹣m2+6m，∴﹣m2+6m＝，解得：m1＝1（不合题意舍去），m2＝3，∴m的值为3；7．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C （0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；【解答】解（1）由题意得，，∴b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（（x﹣1）2+4，∴P（1，4）．（2）①如图1，作CE⊥PD于E，∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC：y＝﹣x+3，∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），∴CE＝PE＝DE，∴△PCD是等腰直角三角形，∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1，∴AB•|3﹣a|＝2，∴×4•|3﹣a|＝2，∴a＝2或a＝4．∴Q（2，1）或（4，﹣1）．8．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y 轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD ⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO ＝×3×1，解得x＝1或3，故点P的坐标为（1，）或（3，3）；9．（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．当△POQ与△P AQ的面积之比为1：3时，求m的值；【解答】解：（1）∵OA＝6，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，∵顶点与x轴的距离是6，∴顶点为（3，﹣6），∴y＝a（x﹣3）2﹣6，∵抛物线经过原点，∴9a﹣6＝0，∴a＝，∴y＝（x﹣3）2﹣6；（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，∴E（0，m），F（﹣m，0），∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，∵直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，∴OM＝|m|，AN＝|6+m|，∵S△POQ：S△P AQ＝1：3，∴OM：AN＝1：3，∴|m|：|6+m|＝1：3，解得m＝﹣或m＝3；10.（2022•本溪二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；【解答】解：（1）将（3，0），（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴；（2）连接AM，设AB与OM的交点为N，作NH⊥OA于点H，则NH∥OB，∵A（3，0），B（0，4），设直线AB的解析式为y＝kx+4，∴3k+4＝0，∴k＝﹣，∴y＝﹣x+4，设点M，点N，∵S△BMN：S△ABM＝1：4，∴S△BMN：S△ABM＝1：4，∴BN：AN＝1：3，∵NH∥OB，∴△ANH∽△AOB，∴，即，解得，∴，∴直线OM的解析式为y＝4x，联立方程组，解得，∵点M在第一象限，∴，∴点M的横坐标为；11．（2022•新抚区模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣2，0），B（2，2）两点，直线AB与y轴交于点C．（1）求抛物线与直线AB的解析式；（2）点P在抛物线上，直线PC交x轴于Q，连接PB，当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，求点P的坐标；【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（2，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+5．将A（﹣2，0），B（2，2）代入y＝mx+n得，解得，∴直线AB解析式为y＝x+1．（2）①点P在x轴上方是，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线AB于点E，将x＝0代入y＝x+1得y＝1，∴点C坐标为（0，1），∵A（﹣2，0），B（2，2），∴C为AB中点，即AC＝BC，∴当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，点P到BC的距离是点Q到AC的距离的2倍，∵PE∥OA，∴△EPC∽△AQC，∴＝2，∵PF∥OA，∴△PFC∽△OQC，∴＝＝2，∴点P纵坐标为FC+OC＝3OC＝3，将y＝3代入y＝﹣x2+x+5得3＝﹣x2+x+5，解得x1＝﹣，x2＝+，∴点P坐标为（﹣，3）或（+，3）．②点P在x轴下方，连接BQ，PK⊥x轴于点K，∵C为AB中点，∴S△AQC＝S△BQC，∵△PBC的面积是△ACQ面积的2倍，∴S△PBQ＝S△BQC，∴点Q为CP中点，又∵∠CQO＝∠PQK，∠COQ＝∠PKQ＝90°，∴△OCQ≌△KPQ，∴CQ＝KP，即点P纵坐标为﹣1，将y＝﹣1代入y＝﹣x2+x+5得﹣1＝﹣x2+x+5，解得x1＝，x2＝，∴点P坐标为（，﹣1），（，﹣1），综上所述，点P坐标为（﹣，3）或（+，3）或（，﹣1）或（，﹣1），12．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B （1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△P AB面积的2倍，求点P的坐标；【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，∴，解得．∵A（4，0），B（1，4），∴S△OAB＝×4×4＝8，∴S△OAB＝2S△P AB＝8，即S△P AB＝4，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，∴S△P AB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4，∴PN＝．设点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+），∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝．解得m＝2或m＝3；∴P（2，）或（3，4）．13．（2022•苏州二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA＝OC＝3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分∠△ABP 的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），将点A、C代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）令x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴B（1，0），过点P作PG⊥x轴交于点G，过点Q作QH⊥x轴交于点H，∴PG∥QH，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣3，设P（t，t2+2t﹣3），直线BP的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝（t+3）x﹣（t+3），联立方程组，解得，∴Q（，），∵AC分∠△ABP的面积为1：2两部分，∴＝或＝，当＝时，＝，解得t＝﹣1或t＝﹣2，∴P（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）；当＝时，＝，此时t无解，。

中考数学二次函数与三角形面积专项复习训练测试题(附答案解析)

中考数学二次函数与三角形面积专项复习训练测试题（附答案解析）1、(12分)已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为3102若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．第1题图2、如图所示，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3、如图所示，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与坐标轴分别交于点A (0，8)、B (8，0)和点E ，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动．(1)直接写出抛物线的解析式：____________________；(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4、(10分)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x 与二次函数y ＝x 2＋bx 的图象相交于O 、A 两点，点A (3，3)，点M 为抛物线的顶点． (1)求二次函数的表达式；(2)长度为22的线段PQ 在线段OA (不包括端点)上滑动，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于点P 1、Q 1，求四边形PQQ 1P 1面积的最大值；(3)直线OA 上是否存在点E ，使得点E 关于直线MA 的对称点F 满足S △AOF ＝S △AOM ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图中考数学二次函数与三角形面积专项复习训练测试题（附答案解析） 1．解：(1)令x ＝0，得y ＝－3， ∴C (0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3中，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；…………………………(3分)(2)联立方程组223y x x y kx⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵O 是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝0，即22022k k +++-+= 解得k ＝－2，∴11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴A (－3，23)，B (3，－23)；…………………………(7分)； (3)不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.理由如下：假设存在实数k 使得△ABC 的面积为3102，联立方程组223y x x y kx⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得1212222k x k k y ⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，2222222k x k k y ⎧+-=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，则A(222,22k k k +-+-)， B(222,22k k k ++++)， ∴S △ABC ＝12OC (x B －x A )＝3102， ∴12×3×＝3102， ∴k 2＋4k ＋16＝10，即k 2＋4k ＋6＝0， ∵b 2－4ac ＝16－24<0， ∴此方程无解，∴不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.………………(12分)2．解：(1)把点A (－1，0)，B (3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴y ＝－x 2＋2x ＋3；【一题多解】由题意可知点A (－1，0)，点B (3，0)是抛物线与x 轴的两个交点，∴抛物线解析式为y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. (2)存在点D ，使得△BCD 的面积最大．设D (t ，－t 2＋2t ＋3)，如解图①，作DH ⊥x 轴于点H ，C 点坐标为(0，3)，第2题解图①则S △BCD ＝S 四边形DCOH ＋S △BDH －S △BOC ＝12t (－t 2＋2t ＋3＋3)＋12(3－t )(－t 2＋2t ＋3)－12×3×3＝－32t 2＋92t ，∵－32＜0，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值， ∴当t ＝－922×（－32）＝32时，S △BCD ＝－32×(32)2＋92×32＝278，即点D 的坐标为(32，154)时，S △BCD 有最大值，且最大面积为278； (3)存在点Q ，使得△QMB 与△PMB 的面积相等．如解图②，∵P (1，4)，过点P 且与BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求Q 点之一，第2题解图②∵直线BC 为y ＝－x ＋3，∴过点P 作BC 的平行直线l 1，设l 1为y ＝－x ＋b ，将P (1，4)代入即可得到直线l 1的解析式为y ＝－x ＋5，联立方程组2523y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得1123x y =⎧⎨=⎩， 2214x y =⎧⎨=⎩， ∴Q 1(2，3)；∵直线PM 为x ＝1，直线BC 为y ＝－x ＋3， ∴M (1，2)，设PM 与x 轴交于点E ， ∵PM ＝EM ＝2，∴过点E 作BC 的平行直线l 2，则过点E 且与BC 平行的直线l 2与抛物线的交点也为所求Q 点之一，即将直线BC 向下平移2个单位得到直线l 2，解析式为y ＝－x ＋1，联立方程组2123y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴Q 2(3122++-)，Q 3(3122---)， ∴满足条件的Q 点为Q 1(2，3)，Q 2()，Q 3()． 3．解：(1)y ＝－12x 2＋3x ＋8；【解法提示】把点A (0，8)、B (8，0)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 可得，83280c b c =⎧⎨-++=⎩，解得38b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋3x ＋8.(2)在y ＝－12x 2＋3x ＋8中，当y ＝0时，－12x 2＋3x ＋8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴E (－2，0)，∴BE ＝10，∵S △CED ＝12DE ·OC ， ∴S ＝12t (10－t )＝－12t 2＋5t ，∴S 与t 的函数关系式为：S ＝－12t 2＋5t ， ∵S ＝－12t 2＋5t ＝－12(t －5)2＋252，∴当t ＝5时，△CED 的面积最大，最大面积为252；(3)存在，当△CED 的面积最大时，t ＝5，即BD ＝DE ＝5，此时，要使S △PCD ＝S △CED ，CD 为公共边，故只需求出过点B 、E 且平行于CD 的直线即可，如解图．第3题解图设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，由(2)可知OC ＝5，OD ＝3， ∴C (0，5)，D (3，0)，把C (0，5)、D (3，0)代入y ＝kx ＋b ，得530b k b =⎧⎨+=⎩，解得535k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线CD 的解析式为y ＝－53x ＋5， ∵DE ＝DB ＝5，∴过点B 且平行于CD 的直线解析式为y ＝－53(x －5)＋5，过点E 且平行于CD 的直线解析式为y ＝－53(x ＋5)＋5，分别与抛物线解析式联立得：方程①：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x －5)＋5，解得x 1＝8，x 2＝43，方程②：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x ＋5)＋5，解得x 3＝343，x 4＝－2(舍去)，分别将x 值代入抛物线解析式，得y 1＝0，y 2＝1009，y 3＝－2009，又∵P 点不与E 点重合，∴满足题意的P 点坐标有3个，分别是P 1(8，0)，P 2(43，1009)，P 3(343，－2009)． 4．解：(1)由题意知，A (3，3)在二次函数y ＝x 2＋bx 的图象上，将x ＝3，y ＝3代入得9＋3b ＝3，解得b ＝－2，∴二次函数表达式为y ＝x 2－2x ；……………………………(2分) (2)如解图①所示，过点P 作PB ⊥QQ 1于点B ，第4题解图①∵PQ ＝22，且在直线y ＝x 上，∴PB ＝QB ＝2 ，………………………………………………(3分) 设P (a ，a )，则Q (a ＋2，a ＋2)，P 1(a ，a 2－2a )，Q 1(a ＋2，(a ＋2)2－2(a ＋2))，即Q 1(a ＋2，a 2＋2a )， ∴四边形PQQ 1P 1的面积为：22(2)(22)22a a a a a a S -+++--=⨯＝－2a 2＋2a ＋2＝－2(a －12)2＋52，…………………………(4分) 当Q 运动到点A 时，OP ＝OQ －PQ ＝2，a ＝1， ∴a 的取值范围为0＜a ＜1，∴当a ＝12时，四边形PQQ 1P 1的面积最大，最大值为52；…(5分) (3)存在，点E 的坐标为E 1(43，43)，E 2(143，143)，如解图②所示，连接OM ，第4题解图②∵点M 为抛物线顶点， ∴M (1，－1)，又∵OA 所在直线为y ＝x ， ∴OM ⊥OA ，即∠AOM ＝90°，在△AOF 和△AOM 中，以OA 为底，当面积相等时，则两三角形OA 边上的高相等，又∵OM ⊥OA ，且OM ＝2，∴可作两条与OA 互相平行且距离为2的直线，…………(6分)如解图②所示，在直线HD 、MC 上的点F 均满足S △AOF ＝S △AOM ，∴只需满足E 点的对称点F 在这两条直线上即可．如解图②，过点A 作AC ⊥MC 于点C ，易得四边形OACM 为矩形，AM 为该矩形的一条对角线，取AM 中点O ′，过O ′作AM 垂线，交OA 于点E 1，交MC 于点F 1，OA ＝32，∴AM ===，∴AO ′＝5，∵△AO′E 1∽△AOM ，…………………………………………(7分)∴11AE AO OE AO AO AM AM '-==，∴=，解得OE 1＝423， ∵点E 1在y ＝x 上，∴E 1(43，43)，……………………………………………………(8分) 同理可得HF 2＝GE 2＝423，又∵OG ＝2OA ＝62，∴OE 2＝62－423＝1423，∴E 2(143，143)．综上所述，符合条件的E 点的坐标为：E 1(43，43)、 E 2(143，143)．…(10分)。

专题03 二次函数与面积有关的问题(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二：铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

二次函数分类试题之面积问题

面积问题
1.如图，二次函数y=ax2－4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（－4，0）．（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
2.如图，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线和抛物线所表示的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S△OAD=S△OBC？若不存在，说明理由；若存在，请求出点D的坐标。

3.如图，抛物线y=ax2+bx－3的图象经过A、B两点，
（1）求抛物线解析式；
（2）是否在抛物线上存在一点P，使得S△ABP=6？若存在，
请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（2）求过A 、O 、E 三点的抛物线解析式；
（3）若点P 是（2）中求出的抛物线AE 段上一动点（不与A 、E 重合），设四边形OAPE 的面积为S ，求S 的最大值．
（1）(4,0)E ；（2）2y x x =;(3)
25256)+28
y x =-
5.如图，抛物线过点O （0，0），A （3，3）和B （4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M ，求四边形OMAB 的面积．
抛物线的解析式为y=－x 2+4x ；9
6.如图，抛物线y=－x 2+bx+c 经过直线y=－x+3与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点M 为抛物线上的一个动点，求使得△ABM 的面积与△ABD 的面积相等的点M 的坐标．
抛物线的解析式y=－x2+2x+3；。

中考一轮复习：二次函数与面积专题训练

二次函数与面积专题例题1：如图1，抛物线y=mx2﹣11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（1）填空：OB=_________，OC=_________；（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．例题2．平面直角坐标系中，口ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到口A'B'OC'．（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；（2）口ABOC和口A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．例题3：在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF，DE在x轴上（如图（1）），如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF运动时间为t，△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．（2）探究：在△DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．例题4：如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），己知点H（0，﹣1）．问在抛物线上是否存在点G （点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（﹣2，0），F是OC的中点，连接DF，P 为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长．例题5：如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．练习1：如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．练习2：如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的关系式；（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为﹣2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足﹣2＜x B＜，当△AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；（3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等？若存在，求出点C 的横坐标；若不存在说明理由．练习3：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM 的最大面积及点M的坐标．练习4：如图，已知二次函数y=﹣x2+mx+4m的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（B点在A点的右边），与y轴的正半轴交于点C，且（x1+x2）﹣x1x2=10．（1）求此二次函数的解析式．（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；（3）连接BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．练习5：如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB ＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．练习6：如图，已知抛物线y ＝－21x2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．练习7：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示，抛物线y ＝2ax 2＋ax －23经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若三角板ABC 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向平移，求点A 落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程中扫过的面积；（4）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．练习8：如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为（3，3），AD 为斜边上的高．抛物线y ＝ax 2＋2x 与直线y ＝21x 交于点O 、C ，点C 的横坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE ∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ．（1）求OA 所在直线的解析式．（2）求a 的值．（3）当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式．（4）如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQMN ，其中RN ＝23．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形时m 的取值范围．练习9：在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，3），顶点P的坐标是（1，4），对称轴与x轴相交于点D．（1）求出抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式，及点A、B的坐标；（2）如图，点M与点C关于直线PD对称，连接MA、MB、MO，过点D作DE∥OM交线段MB 于点E，连接OE．△BOE的面积记作S1，△MOE的面积记作S2，△MOA的面积记作S3，求证：S1＝S2＋S3；（3）若（2）中的点M是第一象限内抛物线上的任意一点，其它条件不变，（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论并证明．练习10：如图，已知直线y ＝－21x ＋1交坐标轴于A 、B 两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ．（1）请直接写出点C ，D 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D 落在x 轴上时停止，求抛物线上C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．练习11 如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A (3，3)．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点B (6，m )，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形OECD 的面积S 1与四边形OABD 的面积S 满足：S 1＝32S？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．练习12 如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上，点A 、C 的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P 从点A 出发，沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动，到点C 停止；点Q 在x 轴上，横坐标为点P 的横、纵坐标之和．抛物线c bx x y ++-=241经过A 、C 两点．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交抛物线于点R ．设点P 的运动时间为t （秒），△PQR 的面积为S （平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式．（2）分别求t=1和t=4时，点Q 的坐标．（3）当0＜t ≤5时，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．练习13已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4。

二次函数面积最大问题专题典型题

二次函数（面积最值）专题典型题1、用20米材料制作一日字形窗框，窗框的高度为多少时，窗框面积最大，最大面积是多少？2、用20米材料制作一田字形窗框，窗框的高度为多少时，窗框面积最大，最大面积是多少？3、用20米材料制作一如图所示窗框，窗框上半部分框的高度是下半部分框高度的一半，那么窗框的宽度为多少时，窗框面积最大，最大面积是多少？4、用20米材料靠墙围一矩形场地，如图所示其中一边开一1米宽度的门，该矩形场地的一边长x 为多少时，场地面积最大，最大面积是多少？小题（1）小题（2）小题（3）5、用20米材料靠墙围一矩形场地，且矩形内分成三个小矩形场地，如图所示其中每个场地均设置一1米宽度的门，该矩形场地的一边长x 为多少时，场地面积最大，最大面积是多少？小题（1）小题（2）小题（3）6、一直角三角形形状区域，其中两直角边为墙，一墙宽度为10米，另一墙宽度为20米。

在该区域内靠墙用足够多的材料围一矩形场地，矩形场地的长度为多少时，所围面积最大，最大面积是多少？7、一直角梯形形状区域，其中一腰和一底边为墙，梯形上底边宽度为20米，下底边宽度为30米，梯形高度为25米。

在该区域内靠墙用足够多的材料围一矩形场地，矩形场地的长度为多少时，所围面积最大，最大面积是多少？8、用20米的材料制作如图所示一窗框，窗框上半部分为一半圆，下半部分为一矩形，窗框上半部分半径为多少时，窗框透光面积最大，最大面积是多少？9、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．10、用一张长为4，宽为3的矩形白纸剪一如图所示的平行四边形纸片，其中剪掉的两个小直角三角形为全等等腰三角形，为使所剪得到的纸片面积最大，则小等腰直角三角形的直角边应为多少，此时面积最大为多少？11、在一半径为10的四分之一个圆内围一矩形，矩形一边长为多少时，面积最大，最大面积是多少？12、点P 是抛物线y x 42 上一点，另有两个点A(4，0)和B(0，-3)，求三角形PAB 的最小面积。

二次函数专题训练题

二次函数专题训练题二次函数专题训练(一)1、已知抛物线 $y=ax^2+6ax+c$ 与x轴的一个交点为A （-2,0）①求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标。

②点C是抛物线与y轴的交点，D是抛物线上一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为32，求此抛物线的解析式。

③ E是第二象限内到x轴、y轴距离之比为3：1的点。

若E在②中的抛物线上，且a＞0,E和A在对称轴同侧。

问在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△APE周长最小。

若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。

解析：①因为点A在x轴的负半轴上，所以点B在x轴的正半轴上，设点B的坐标为（t,0），则由题意可得：begin{cases}a(-2)^2+6a(-2)+c=0 \\at^2+6at+c=0 \\end{cases}解得 $t=-\frac{c}{a}-4$所以点B的坐标为 $(-\frac{c}{a}-4,0)$②设抛物线的解析式为$y=ax^2+6ax+c$，则由题意可得：begin{cases}a(-2)^2+6a(-2)+c=0 \\at^2+6at+c=0 \\end{cases}解得 $a=2$，$c=-8$，所以抛物线的解析式为$y=2x^2+12x-8$③设抛物线的对称轴为直线 $x=k$，则点A的坐标为 $(-k,0)$，点E的坐标为 $(m,3m)$，其中 $m$ 为任意实数。

由题意可得：begin{cases}k=-\frac{b}{2a}=-3 \\a(m+2)^2+6a(m+2)-8=3m \\end{cases}解得 $m=-\frac{1}{2}$，所以点E的坐标为 $(-1,-\frac{3}{2})$。

由对称性可知，点P的坐标为 $(1,-\frac{3}{2})$，所以在抛物线的对称轴上存在点P，使△APE 周长最小。

2、已知二次函数 $y=x^2－2(m－1)x－1－m$ 的图像与x 轴交于两点A（$x_1$,0）和B（$x_2$,0），$x_1＜＜x_2$，与y轴交于点C，且满足 $\frac{AC}{OC}=\frac{1}{12}$。

二次函数面积问题相关试题(困难)(含解析)

二次函数面积问题相关试题（困难）一、解答题1、如图1，二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．（1）求二次函数y=-x2+bx+c的表达式；（2）连接BC，当t=时，求△BCP的面积；（3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．2、如图，二次函数y=a+bx(a≠0)的图象经过点（1，4），对称轴是直线x=-，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D. 在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA， OB，OD，BD.（1）求该二次函数的解析式；点B坐标（2)求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？3、已知：如图，直线y=mx+n与抛物线交于点A（1，0）和点B，与抛物线的对称轴x=-2交于点C（-2，4），直线f过抛物线与x轴的另一个交点D且与x轴垂直．（1）求直线y=mx+n和抛物线的解析式；（2）在直线f上是否存在点P，使⊙P与直线y=mx+n和直线x=-2都相切．若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在线段AB上有一个动点M（不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，当MN的长为多少时，△ABN的面积最大，请求出这个最大面积．4、如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．5、如图1，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，求点E的坐标．（3）平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求圆的半径．（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．6、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（8，0），点B在y轴的正半轴上，且cot∠OAB=，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点．（1）求b、c的值；（2）过点B作CB⊥OB，交这个抛物线于点C，以点C为圆心，CB为半径长的圆记作圆C，以点A为圆心，r为半径长的圆记作圆A．若圆C与圆A外切，求r的值；（3）若点D在这个抛物线上，△AOB的面积是△OBD面积的8倍，求点D的坐标．7、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B在x轴的负半轴上，∠ABO=30°．（1）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△A OB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，顶点为A（-4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P的坐标是（-6，3），求△OPN的面积；（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①求证：∠PNM=∠ONM；②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．9、如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．（1）求点B、点D的坐标；（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积；（3）请探究抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数面积问题相关试题（困难）的答案和解析一、解答题1、答案：试题分析：（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；（2）如图1，要想求△BCP的面积，必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用点P和点C的横坐标求出，要注意符号；（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当0≤t≤时，如图2所示，重合部分的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB中时，当＜t≤2.5时，如图4所示，△PDN就是重合部分的面积S．试题解析：（1）把A（3，0），B（0，4）代入y=-x2+bx+c中得：解得，∴二次函数y=-x2+bx+c的表达式为：y=-x2+x+4；（2）如图1，当t=时，AP=2t，∵PC∥x轴，∴，∴，∴OD==×=，当y=时，=-x2+x+4，3x2-5x-8=0，x 1=-1，x2=，∴C（-1，），由得，则PD=2，=×PC×BD=×3×=4；∴S△BCP（3）如图3，当点E在AB上时，由（2）得OD=QM=ME=，∴EQ=，由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴∴，∴，∴t=，同理得：PD=3-，∴当0≤t≤时，S=S=×PD×MQ=×（3-）×，△PDQS=-t2+t；当＜t≤2.5时，如图4，P′D′=3-，点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t，），∵AB的解析式为：y=-x+4，D′E的解析式为：y=x+t，则交点N（，），∴S=S=×P′D′×FN=×（3-）（-），△P′D′N∴S=t2-t+．2、答案：(1)y=+3x,B（-2，-2）(2)点E的坐标是（8，-2）或（2，-8）(3)PD=或PD=3试题分析：（1）运用待定系数法和对称轴的关系式求出a、b的即可,由待定系数法求出直线AC 的解析式，由抛物线的解析式构成方程组就可以求出B点的坐标；（2）由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出E的坐标；（3）分情况讨论当点B落在FD的左下方，点B，D重合，点B落在OD的右上方，由三角形的面积公式和菱形的性质的运用就可以求出结论．解：（1）∵y=a+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），且对称轴是直线x=-，∴，解得：，∴二次函数的解析式为y=+3x；∵点A（1，4），线段AD平行于x轴，∴D的纵坐标为4，∴4=+3x，∴=-4，=1，∴D（-4，4）．设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y=2x+2；当2x+2=+3x时，解得：=-2，=1（舍去）．∴y=-2．∴B（-2，-2）．（2）如图1∴DO=4，BO=2，BD=2，OA=．∴=32，=8，=40，∴+=，∴△BDO为直角三角形．∵△EOD∽△AOB，∴∠EOD=∠AOB，===2，∴∠AOB-∠AOD=∠EOD-∠AOD，∴∠BOD=∠AOE=90°．即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A1∴A1（4，-1），∴E（8，-2）．作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2，-8）．∴当点E的坐标是（8，-2）或（2，-8）时，△EOD∽△AOB；（3）由（2）知DO=4，BO=2，BD=2，∠BOD=90°．若翻折后，点B落在FD的左下方，如图2．=====，∴DH=HF，B′H=PH，∴在平行四边形B′FPD中，PD=B′F=BF=BD=；若翻折后，点B，D重合，=，不合题意，舍去．若翻折后，点B落在OD的右上方，如图3，======∴B′P=BP，B′F=BF，DH=HP，B′H=HF，∴四边形DFPB′是平行四边形，∴B′P=DF=BF，∴B′P=BP=B′F=BF，∴四边形B′FBP是菱形，∴FD=B′P=BP=BD=，根据勾股定理，得+=，∴+=，解得PD=3，PD=5＞4（舍去），综上所述，PD=或PD=3时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的.3、答案：试题分析：（1）利用待定系数法可以求出直线y=mx+n的解析式；在解二次函数的解析式时，可由其对称轴方程求出b的值，再代入A点的坐标可以求出c的值．（2）此题需要从图形入手，显然在直线AB的上下方各有一个符合条件的P点，那么可以将图形进行简化（如解答部分的图示），在简化的图形中，△P1E1F≌△PEF且△PEF∽△ADF；圆的半径可由直线f和直线x=-2的距离得出（即PE、P1E1的长），AD、FD的长不难得到，那么由相似三角形即可求出PF的长，进而能求出PD、P1D的长，由此求出圆心的坐标．（3）点B的坐标不难求出，根据直线AB和抛物线的解析式，可以先用一个未知数表达出点M、N的坐标，以MN为底，A、B点的横坐标差的绝对值为高（也可将△ABN分成两个三角形来分析），即可得到关于△ABN的面积和未知数的函数解析式，根据函数的性质求解即可．试题解析：（1）将A（1，0）、C（-2，4）代入直线y=mx+n得：，解得：，故直线解析式为：．将A（1，0）代入抛物线及对称轴为直线x=-2得：，解得：，故抛物线解析式为：．（2）存在．如图1，图形简化为图2直线f解析式：x=-5，故圆半径R=3，且F（-5，8）．易得△PEF∽△ADF，△P1E1F≌△PEF，其中PE=P1E1=R=3，AD=6，FD=8，P1F=PF．在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=10，由得：PF=5．∴PD=13，P1D=3．∴P（-5，13）、P1（-5，3）．综上可得存在点P的坐标为（-5，13）或（-5，3）．（3）如图3：联立直线与抛物线解析式得：，解得交点B的坐标：（-9，）．设点M（q，-q+），N（q，q2+q-），所以：MN=（-q+）-（q2+q-）=-q2-q+3=-（q+4）2+．S△ABN =S△AMN+S△BMN=MN•AF+MN•BE=MN（AF+BE）=5MN=-（q+4）2+．当q=-4时，S△ABN有最大值；此时：MN=．4、答案：试题分析：（1）由点B的坐标为（3，0），OB=OC，即可求得点C的坐标，又由tan∠ACO=，即可求得点A的坐标，然后设两点式y=a（x+1）（x-3），将点C代入，即可求得这个二次函数的解析式；（2）分别从当直线MN在x轴上方时与当直线MN在x轴下方时去分析，然后由所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，即可求得点的坐标，又由点在二次函数的图象上，即可求得该圆的半径长度；（3）首先过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，然后求得点G的坐与直线AG得方程，然后由S△AGP =S△APQ+S△GPQ=PQ•（G横坐标-A横坐标），利用二次函数的最值问题，即可求得此时点P的坐标和△AGP的最大面积．试题解析：（1）由OC=OB=3，可知点C坐标是（0，-3），连接AC，在Rt△AOC中，∵tan∠ACO=，∴OA=OC×tan∠ACO=3×=1，故A（-1，0），…（3分）设这个二次函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将C（0，-3）代入得：-3=a（0+1）（0-3），解得：a=1，∴这个二次函数的表达式为：y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3．…（5分）（2）①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R＞0），设M在N的左侧，∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，∴N（R+1，R）代入y=x2-2x-3中得：R=（R+1）2-2（R+1）-3，解得R=．…（10分）②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为r（r＞0），由①可知N（r+1，-r），代入抛物线方程y=x2-2x-3，可得-r=（r+1）2-2（r+1）-3，解得：r=．…（13分）（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，把G（2，y）代入抛物线的解析式y=x2-2x-3，得G（2，-3）．…（15分）由A（-1，0）可得直线AG的方程为：y=-x-1，…（16分）设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），∴PQ=-x2+x+2，S△AGP =S△APQ+S△GPQ=PQ•（G横坐标-A横坐标）=（-x2+x+2）×3=-（x-）2+，…（18分）当x=时，△APG的面积最大，…（19分）此时P点的坐标为（，-），△APG的面积最大值为．…（20分）5、答案：试题分析：（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标．已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=，则点A坐标为（-1，0）．将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式．（2）已知抛物线关系式，先求出顶点D坐标，再求出直线CD的解析式，E是直线与x轴交点，可得E点坐标．（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值．当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，-r），代入抛物线解析式即可求解．（4）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P的坐标为（x，y），即（x，x2-2x-3）已知点A、G坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG的解析式，再根据点到直线的距离求出P到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值．试题解析：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）将A、B、C三点的坐标代入得，解得：．所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3．（2）存在，F点的坐标为（2，-3）易得D（1，-4），所以直线CD的解析式为：y=-x-3，故E点的坐标为（-3，0）．（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式y=x2-2x-3，解得R=②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，-r），代入抛物线的表达式y=x2-2x-3，解得r=．故圆的半径为或．（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1．设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x2+x+2．S△APG =S△APQ+S△GPQ=（-x2+x+2）×3当x=时，△APG的面积最大此时P点的坐标为（，-），S△APG的最大值为．6、答案：试题分析：（1）根据点A的坐标求出OA，再求出OB，然后写出点B的坐标，再把点A、B的坐标代入抛物线解析式求解即可；（2）先求出点C的坐标，再求出CB，再利用两点间的距离公式求出AC，然后根据两圆外切的定义列式求解即可得到r；（3）先求出△AOB的面积，再求出△OBD的面积，然后求出点D到OB的距离，再根据抛物线解析式求解即可．试题解析：（1）∵A（8，0），∴OA=8，∵cot∠OAB==，∴OB=6，∵点B在y轴正半轴上，∴点B的坐标为（0，6），∴，解得；（2）由（1）得抛物线解析式为y=-x2+x+6，∵CB⊥OB，点B（0，6），∴点C的坐标为（5，6），∴CB=5，∴AC==3，∵圆C与圆A外切，∴CB+r=AC，∴r=3-5；（3）∵OA=8，OB=6，=OA•OB=×8×6=24，∴S△AOB∵△AOB的面积是△OBD面积的8倍，=×24=3，∴S△OBD∵点D在这个抛物线上，∴可设点D的坐标为（x，-x2+x+6），=×|x|×OB=3，∴S△OBD∴x=±1，当x=1时，-x2+x+6=-×12+×1+6=7，当x=-1时，-x2+x+6=-×（-1）2+×（-1）+6=，所以，点D的坐标为（1，7）或（-1，）．7、答案：试题分析：（1）过点A作AF⊥x轴于点F，构建直角△ABF，通过解该直角三角形易得点B的坐标，则该函数图象经过点B和原点，故利用两点式来求函数解析式即可．（2）过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E．当点C位于对称轴与线段AB的交点时，AC+OC的值最小．利用相似三角形△BCE∽△BAF的性质来求CE的长度，则易得点C的坐标；（3）如图2，连结AO，设p（x，y），易求直线AB的解析式．由该解析式可以求得相关线段的长度，结合已知条件中所给图形面积间的比例关系和三角形的面积公式得到关于x的方程，通过解方程求得点P的坐标即可．试题解析：（1）过点A作AF⊥x轴于点F，∵∠ABO=30°，A的坐标为（1，），∴BF=3．∵OF=1，∴BO=2．∴B（-2，0）．设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，），得，∴；（2）存在点C．过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E．当点C位于对称轴与线段AB的交点时，AC+OC的值最小．∵△BCE∽△BAF，∴．∴∴C（-1，）．（3）存在．如图2，连结AO ，设p （x ，y ），直线AB 为y=kx+b（k≠0），则，∴直线AB 为，S 四边形BPOD =S △BPO +S △BOD =|OB||y P |+|OB||y D |=|y P |+|y D |=．∵S △AOD =S △AOB -S △BOD =-×2×|x+|=-x+．∴==．∴x 1=-，x 2=1（舍去）． ∴p（-，-）．又∵S △BOD =x+，∴==．整理，得 2x 2+5x+2=0， ∴x 1=-，x 2=-2．P （-2，0），不符合题意． ∴存在，点P 坐标是（-，-）．8、答案：试题分析：（1）根据二次函数图象的顶点设出二次函数的关系式，再很据二次函数图象经过原点，求出a的值，即可得出二次函数的关系式；（2）设直线OP的解析式为y=kx，将A点代入，求出直线OP的解析式，再把x=-4代入y=-x，求出M的坐标，根据点M、N关于点P对称，求出N的坐标，从而得出MN的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案．（3）①设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，由P在二次函数图象上，设P ，再由O的坐标，表示出直线OP的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，构建相似三角形：△NCP∽△NBO．由相似三角形的对应角相等证得结论；②△OPN能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若∠ONP为直角，由①得到∠PNM=∠ONM=45°，可得出三角形ACN为等腰直角三角形，得到PC=CN，将表示出的PC及CN代入，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为0或4±，进而得到此时A与P重合，不合题意，故∠ONP不能为直角；若∠PON为直角，利用勾股定理得到OP2+ON2=PN2，由P的坐标，利用勾股定理表示出OP2，由OB及BN，利用勾股定理表示出ON2，由PC及CN，利用勾股定理表示出PN2，代入OP2+ON2=PN2，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4±4或0，然后判断∠PON是否为直角；若∠NPO为直角，则有△PMN∽△BMO∽△BON，由相似得比例，将各自的值代入得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4，此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN不能为直角三角形．试题解析：（1）设二次函数的表达式为y=a（x+4）2+4，把点（0，0）代入表达式，解得．∴二次函数的表达式为，即；（2）设直线OP为y=kx（k≠0），将P （-6，3）代入y=kx ，解得，∴．当x=-4时，y=2． ∴M（-4，2）．∵点M 、N 关于点A 对称， ∴N（-4，6）． ∴MN=4．∴S △PON =S △OMN +S △PMN =12；（3）①证明：设点P 的坐标为，其中t ＜-4，设直线OP 为y=k′x（k′≠0），将P 代入y=k′x，解得．∴．当x=-4时，y=t+8． ∴M（-4，t+8）．∴AN=AM=4-（t+8）=-t-4．设对称轴l 交x 轴于点B ，作PC⊥l 于点C ，则B （-4，0），C．∴OB=4，NB=4+（-t-4）=-t ，PC=-4-t ， NC==．则，．∴．又∵∠NCP=∠NBO=90°， ∴△NCP∽△NBO． ∴∠PNM=∠ONM．②△OPN 能为直角三角形，理由如下：分三种情况考虑：（i ）若∠ONP 为直角，由①得：∠PNM=∠ONM=45°， ∴△PCN 为等腰直角三角形， ∴CP=NC，即m-4=m 2-m ，整理得：m 2-8m+16=0，即（m-4）2=0，解得：m=4，此时点A与点P重合，故不存在P点使△OPN为直角三角形；（ii）若∠PON为直角，根据勾股定理得：OP2+ON2=PN2，∵OP2=m2+（-m2-2m）2，ON2=42+m2，AN2=（m-4）2+（-m2-2m+m）2，∴m2+（-m2-2m）2+42+m2=（m-4）2+（-m2-2m+m）2，整理得：m（m2-8m-16）=0，解得：m=0或m=-4-4或-4+4（舍去），当m=0时，P点与原点重合，故∠PON不能为直角，当m=-4-4，即P（-4-4，4）时，N为第四象限点，成立，故∠PON能为直角；（iii）若∠NPO为直角，可得∠NPM=∠OBM=90°，且∠PMN=∠BMO，∴△PMN∽△BMO，又∵∠MPN=∠OBN=90°，且∠PNM=∠OND，∴△PMN∽△BON，∴△PMN∽△BMO∽△BON，∴=，即=，整理得：（m-4）2=0，解得：m=4，此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN能为直角三角形，当m=4+4，即P（）时，N为第四象限的点成立．9、答案：试题分析：（1）由顶点坐标和A点坐标，可求得抛物线的解析式，容易求出B、D的坐标；（2）根据点的坐标，利用勾股定理可求得AD、AC、CD的长，可判断△ACD的形状；（3）先利用待定系数法求出直线AD的解析式，过点C作CE∥AD，求出直线CE的解析式，联立直线CE与抛物线的解析式即可得出E点坐标，在直线CD上截取CD=DF，求出F点的坐标，过点F作FG∥AD，利用待定系数法求出直线FG的解析式，联立此直线与抛物线的解析式即可得出E点坐标．试题解析：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，∵与x轴交于点A（3，0），∴0=4a+4，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3，令y=0，可得-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，令x=0，可得y=3∴B点坐标为（-1，0），D点坐标为（0，3）；（2）∵A（3，0），D（0，3），C（1，4），∴AD==3，CD==，AC==2，∴AD2+CD2=（3）2+（）2=20=（2）2=AC2，∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形，=AD?CD=×3×=3；∴S△ACD（3）设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（3，0），D（0，3），∴，解得，∴直线AD的解析式为y=-x+3．过点C作CE∥AD，则直线CE的解析式为y=-x+c（a≠0），∵C（1，4），∴-1+c=4，解得c=5，∴直线CE的解析式为y=-x+5，∴，解得，（2，3）；∴E1设直线CD的解析式为y=mx+n（m≠0），∵C（1，4），D（0，3），∴，解得，∴直线CD的解析式为y=x+3．∵CD==，∴DF=．设F（x，x+3）且x＜0，则DF==，解得x=-1，∴F（-1，2）．令直线FG的解析式为y=-x+d，则1+d=2，解得d=1，∴直线FG的解析式为y=-x+1，∴，解得或，∴E2（，），E3（，）．综上所示，E1（2，3），E2（，），E3（，）．。

二次函数面积问题(整)

二次函数面积问题题型题型一：割补法1．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）和点B（0，2），且抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC、BC、BD，求四边形ADBC的面积．2．如图，在直角坐标系中，已知直线y＝x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣2，0）．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．3．已知抛物线y＝3（x+1）2﹣12如图所示（1）求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；（2）求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；（3）如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．4．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3交x轴于A、B两点（点A在B左侧），顶点为D点，点C为抛物线上一点，且横坐标是4；（1）求A、B、D三点的坐标；（2）求△ACD的面积；5．如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，与x轴正半轴交于B点，与y轴交于点C，且BO＝CO＝3AO，△ABC面积为6．（1）求b，c的值；（2）设抛物线顶点为M，求△BCM的面积．6．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）k＝，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线y＝x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形OBMC的面积．题型二：分类讨论1．如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出点P的坐标．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB＝3，求点B的坐标．3．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△P AB＝8，并求出此时P点的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB＝1，求点B的坐标．5．如图在直角平面坐标系xOy中，OA＝OC＝3OB，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使S△P AO＝4S△OAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点E，使得2S△ABE＝S△ABC？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．题型三：铅垂线1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（0，3）和点A（3，0）．（1）求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；（2）若点P是抛物线落在第一象限，连接P A，PB，求△P AB的面积S的最大值及此时点P的坐标．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．3．已知直线y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．5．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值．题型四：作平行线1．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C．（1）求点A的坐标和抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC下方的抛物线上（不与点A重合），且△PBC的面积和△ABC的面积相等时，求出点P 的横坐标．变式：（3）当点P在抛物线上（不与点A重合），且△PBC的面积和△ABC的面积相等时，求出点P的横坐标．2．已知：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），①当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；②如图2，当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式．。

利用二次函数解决面积问题专项练习附答案

利用二次函数解决面积问题基础题知识点利用二次函数解决面积问题1．(六盘水中考)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )A．60 m2B．63 m2 C．64 m2D．66 m22．已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2D．不确定3．用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2 B.43m2 C.83m2D．4 m24．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，若计划用木材围成总长24 m的栅栏，设每间羊圈的一边长为x(m)，三间羊圈的总面积S(m2)，则S关于x的函数表达式是____________，当x＝____________时，S最大．5．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x的变化而变化．(1)S与x之间的函数表达式为____________；(2)当x＝_____时，这个三角形面积S最大，最大面积是_______．6．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)中档题7．如图，在一个近似于直角三角形的空地上挖一个长方形的水池，要求长方形水池的两个边在直角三角形空地的直角边上，若测量出直角三角形的三边长分别是30 m，40 m，50 m，则水池的最大面积是( )A．285 m2B．300 m2 C．325 m2D．400 m28．如图，在长度为1的线段AB上取一点P，分别以AP，BP为边作正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为____________．9．(温州中考)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为____________m2.10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？11．(成都中考)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．综合题12．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．参考答案1．C 2.B 3.C 4.S ＝－4x 2＋24x 3 5.(1)S ＝－12x 2＋20x(2)20 200 cm 26．根据题意，得y ＝20x(90－x)．整理，得y ＝－20x 2＋1 800x. ∵y ＝－20(x －45)2＋40 500，且a ＝－20＜0， ∴当x ＝45时，函数有最大值，y 最大＝40 500，即当底面的宽为45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm 3. 7．B 8.12 9.7510．(1)S ＝－12x 2＋30x.(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.∴当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2. 11．(1)∵AB ＝x m ，则BC ＝(28－x)m ， ∴x(28－x)＝192. 解得x 1＝12，x 2＝16. 答：x 的值为12或16.(2)由题意可得S ＝x(28－x)＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196. ∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15 m 和6 m ， ∴x ＝13时，S 取到最大值为S ＝－(13－14)2＋196＝195. 答：花园面积S 的最大值为195平方米．12．(1)∵S △PBQ ＝12PB·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y ＝12x(18－2x)，即y ＝－x 2＋9x(0<x ≤4)．(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－(x －92)2＋814.∵当0<x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0<x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.。

二次函数求面积专题巩固练习

2019-10-9 二次函数的面积专题
（A 层做前三个，B 层有能力可以选做前两个）
1、如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．
求此抛物线的解析式；
直接写出点C 和点D 的坐标；
（3）若点P 在抛物线上，且S △ABP=4S △COE ，求P 点坐标．
2、如图，经过原点O 的抛物线y=ax 2+bx （a ≠0）与x 轴交于另一点A （23
，0），在第一象限内与直线y=x 交于点B （2，t ）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B ，O ，C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标；
3、如图是二次函数y=（x+2）2的图象，顶点为A，与y轴的交点为B．
（1）求经过A、B两点的直线的函数关系式；
（2）请在第二象限中的抛物线上找一点C，使△ABC的面积与△ABO的面积相等．
下题先思考：
4、如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2-4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

2022年九年级数学中考专题训练 —— 二次函数的面积问题

中考专题训练——二次函数的面积问题1．如图，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A ，B 重合），过M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q （点Q 在点P 的右侧），过Q 作QN ⊥x 轴于N ，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积．2．如图，抛物线y =x 2+bx +c 经过A （-1，0）、B （4，5）两点，点E 是线段AB 上一动点，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EF 的最大值；(3)抛物线与x 轴的另一个交点为点C ，在抛物线上，x 轴上方是否存在一个动点P ，使得S △ACP =25S △ABC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （2，3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D 在y 轴上，且BDO BAC ∠=∠，求点D 的坐标；(3)点P 在直线AB 上方的抛物线上，当△P AB 的面积最大时，直接写出点P 的坐标．4．如图所示，二次函数22y x x m =-++的图像与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)求点B 、点C 的坐标；(3)若抛物线的顶点是M ，求△ACM 的面积．5．已知抛物线()22230y x mx m m =-+-≠．(1)求证：抛物线与x 轴有两个交点；(2)设抛物线与x 轴交于B ，D 两点（点D 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点坐标为A ．①求证：△ABD 是等边三角形；②当m 时，求△ABC 面积的最大值．6．如图，直线y ＝x +2与抛物线y ＝ax 2-8x +6（a ≠0）相交于A （4，6）和B （12，52），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点E ，交抛物线于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)当D 为抛物线顶点的时候，求△ADC 的面积；(3)是否存在这样的点P ，使△ADC 的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线22y ax bx =++经过点()()1040，，，A B -，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D ，使23ABC ABD S S =△△？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与直线AC 交于点F ，直接写出BF 的长．8．如图，已经抛物线经过点(0,0)O ，(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时，求B 的坐标；(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，当PA PB -的值最大时，求P 的坐标以及PA PB -的最大值9．如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,4C ，顶点为点D ，直线1x =是抛物线的对称轴，且与直线BC 交于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)点F 是直线BC 上方抛物线上的一点，连接,DF EF ，若FDE 的面积等于32，求点F 的坐标； (3)平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．10．已知二次函数2(2)4y x m x m =+-+-，其中2m >．(1)当该函数的图像经过原点()0,0O ，求此时函数图像的顶点A 的坐标；(2)求证：二次函数2(2)4y x m x m =+-+-的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线2y x =--上运动，平移后所得函数的图像与y 轴的负半轴的交点为B ，求AOB 面积的最大值．11．如图，抛物线 y ＝ax 2+bx +c 与 x 轴交于 A （﹣2，0）、B （6，0）两点，与 y 轴交于点 C ．直线 l 与抛物线交于 A 、D 两点，与 y 轴交于点 E ，点D 的坐标为（4，3）．(1)求抛物线的解析式与直线 l 的解析式；(2)若点 P 是抛物线上的点且在直线 l 上方，连接 P A 、PD ，求△P AD 面积最大值；(3)由（2）并求出点 P 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()260y ax bx a =++≠交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且3OA OC OB ==，连接AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)动点P 和动点Q 同时出发，点P 从点C 以每秒2个单位长度的速度沿CA 运动到点A ，点Q 从点O 以每秒1个单位长度的速度沿OC 运动到点C ，连接PQ ，当点P 到达点A 时，点Q 停止运动，求CPQ S △的最大值及此时点P 的坐标；(3)点M 是抛物线上一点，是否存在点M ，使得15ACM ∠=︒？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一个动点．(1)求上述抛物线的解析式；(2)求△BCP 面积最大值和此时点P 的坐标，(3)在（2）的条件下，点P 是不是到BC 距离最远的点？如果是，请说明理由；如果不是，请找到满足条件的P 点．14．已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，P 是线段BC 上一点，过点P 作PN y ∥轴交x 轴于点N ，交抛物线于点M ．(1)求该抛物线的表达式；(2)如果点P 的横坐标为2，点Q 是第一象限抛物线上的一点，且QMC △和PMC △的面积相等，求点Q 的坐标．15．如图，已知抛物线的顶点坐标为A （1，4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点．点P 是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式．(2)求C ，D 两点坐标及△BCD 的面积．(3)若点P 在x 轴下方的抛物线上．满足13PCD BCD SS =，求点P 的坐标．16．小明将小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数212y x bx =-+刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标(3,)n ．(1)请求出b 和n 的值；(2)小球在斜坡上的落点为M ，求点M 的坐标；(3)点P 是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接,PO PM ，当点P 的坐标为何值时？POM 的面积最大，最大面积是多少？17．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．直线3y x =-经过点B 、C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线BC 于点D ，作PE BC ⊥于点E ．设点P 的横坐标为m ，连接PB ，①若m PDE △与BDF 是否会全等？说明理由；②线段PD 把PEB △分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为4:5，求出m 的值．18．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，其顶点为M ，连接MA ，MC ，AC ，过点C 作y 轴的垂线l ．(1)求该抛物线的表达式；(2)直线l 上是否存在点N ，使得2MBN MAC S S =△△？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，若将原抛物线绕点C 逆时针旋转45，求新抛物线与y 轴交点P 坐标．19．图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，其对称轴为1x =-．(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；(2)若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴上．①当P A ⊥NA ，且P A ＝NA 时，求此时点P 的坐标；②求四边形P ABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．20．如图，已知二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于点A （－1，0），B （3，0），直线AC 与y 轴交于点C ，与抛物线交于点D ，且△ABD 的面积为10．(1)求抛物线和直线AC的函数表达式；(2)若抛物线上的动点E在直线AC的下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△BPQ为等边三角形时，求直线AP的函数表达式。