微积分PPT课件
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微积分基本公式PPT课件
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
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非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
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非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n个小区间，各小区间的长度依次
为
一x点i i （xii xi1x，i ）(i，作1,乘2,积)f，(在i 各小(区i 间1上,2任,取)
)xi n
并作和S
记 x max{i1x1
,f(x2 ,i), xxin，}，
积分下限
被 积 函 数
被 积
积 分
[a,b] 积分区间
表
变
达 式
量
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x) 在区间[a, b]上的定积分存在时
)
x max{x1, x2 , xn }
趋近于零 ( x 0或者 n0) 时，
曲边梯形面积为 A lim0 i1 f (i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程 ） 设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是
时 间 间 隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程
b
k a f ( x)dx.
性质3 假设a c b
b
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx .
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
a
f ( x)dx
b
c
微积分基本公式ppt课件
热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
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微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
微积分PPT课件
故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
4.2 微积分基本定理(79)
10
例 3 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
x
2x f (t )dt 1在 (0,1) 内只有一个解. 0
证
令
F(x) 2x
x
f (t)dt 1,
0
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
T2 v(t)dt
T1
s(T2 ) s(T1),
其中 s(t) v(t).
4.2 微积分基本定理(79)
3
2、积分上限函数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为 [a, b]上的一点， 考察定积分
x
x
a f ( x)dx a f (t)dt.
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对每个取
F ( x) d b( x)
dx a( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
证
0
F(x)
b( x)
f (t )dt f (t)dt
a( x)
0
b( x)
a( x)
f (t)dt f (t)dt,
0
0
F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
F ( x)
0
x
2
,
0 f (t)dt
x
f ( x) 0, ( x 0) f (t)dt 0, 0
又( x t) f (t) 0, 且不恒为0，0 t x,
4.2 微积分基本定理(79)
10
例 3 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
x
2x f (t )dt 1在 (0,1) 内只有一个解. 0
证
令
F(x) 2x
x
f (t)dt 1,
0
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
T2 v(t)dt
T1
s(T2 ) s(T1),
其中 s(t) v(t).
4.2 微积分基本定理(79)
3
2、积分上限函数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为 [a, b]上的一点， 考察定积分
x
x
a f ( x)dx a f (t)dt.
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对每个取
F ( x) d b( x)
dx a( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
证
0
F(x)
b( x)
f (t )dt f (t)dt
a( x)
0
b( x)
a( x)
f (t)dt f (t)dt,
0
0
F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
F ( x)
0
x
2
,
0 f (t)dt
x
f ( x) 0, ( x 0) f (t)dt 0, 0
又( x t) f (t) 0, 且不恒为0，0 t x,
微积分的基本公式PPT幻灯片课件
一个原函数, 则
b a
f
(x)d x
F ( x)
b a
F (b)
于是
0 | F(x) | |
x x
f (t)dt |
xx
| f (t) | dt Mx
x
x
由夹逼定理及点 x 的任意性, 即可得 F (x) C([a,b]) .
7
定理1说明: 定义在区间[a,b] 上的 积分上限函数是连续的.
积分上限函数是否可导?
8
由 F(x x) F(x)
xx
f (t)dt,
x
如果 f (x) C([a,b]), 则由积分中值定理, 得
xx
F(x x) F(x) x f (t)dt f ( )x ,
( 在 x 与 x x 之间)
故 lim F (x x) F (x) lim f ( )x
x0
推论2 基本初等函数在其定义域内原函数存在.
推论3 初等函数在其有定义的区间内原函数存在.
17
2. 微积分基本公式
如果 f (x) C([a,b]), 则
x
f (t)dt
为 f (x) 在[a,b] 上
a
的一个原函数.
若已知 F (x) 为 f (x) 的原函数, 则有
x
a f (t)dt F (x) C0.
( x)
F(x) ( a f (t)dt ) f ((x)) (x) .
14
例3
e1 t2 d t
计算 lim x0
cos x
x2
.
解
e1 t2 d t
cos x et2 d t
《微积分入门》课件
《微积分入门》ppt课件
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。
《微积分》PPT课件
x x0
f (x)
f
(x0 )
何时函数f(x)在 点 处间断？
(1)f(x)在点 x0 处无定义；
(2)f(x)在点
x0 处有定义，但
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
定 义 2 . 5 ： 若 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 总 存
在一个正数M，使得当x＞M（x＜-M）时，
恒 有 f (x) A＜ 成 立 ， 则 称 当 x （x )
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
y=arcsinx x [1,1], y [ , ]
22
y=arccos x [-1,1], y [0, ]
y=arctanx X R, y ( , ) 22
y=arccotx X R，y （0，）
1.4 初等函数（三角函数）
正弦函数和余弦函数
正切函数和余切函数
正割函数与余割函数
三角函数的基本关系式：
xx0
ua
2.4
被迫性定理 若在某个变化过程中，
恒有y≤x≤z，且 limy=limz=A,则limx=A
两个重要极限（必考）
单调有界定理
单调有界的数列
必有极限
} 单 调 增 + 有 上 界
单调减+有下界
数列收敛
定理 2.12
定义 2.9
定理 2.13
若数列 {an}满足 an an1(或an an1）（n N） 则称数列 {an}为单调增 加(或单调减少)数列。
当x 0时，等价无穷小量：
sinx~x tanx~x
arcsinx~x 1-cosx~x2
《微积分》课件
微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为，包括切线、函数的变化率 等；积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
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的内容进行预习. 预习的重点是阅读一下要讲的定 义、定理和主要公式. 预习的主要目的是：第一， 在听课时能做到心中有数，不至于被动地听课；第 二，知道哪些地方是重点和自己的难点，从而在听 课时能提高效率；第三，可以弥补由于基础、理解 力上的差异所造成的听课困难.
(2) 听课
听课是在大学中获取知识的主要环节. 因此，应 带着充沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣、带着 预习中的疑点和难点，专心致志地听教师如何提出问 题、分析问题和解决问题，并且积极主动地思考.
数学教研室 王学顺
绪论
高等数学是高等院校中理工类、经济类专业学 生必修的重要基础理论课.
随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识 到：没有数学，就难于创造出当代的科学成就. 科 学技术发展越快，对数学的需求就越多.
如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科 学各学科数字化的趋势、社会科学各部门定量化的 要求，使许多学科都在直接或间接地，或先或后地 经历了一场数学化的进程——在基础科学和工程建 设研究方面，在人事管理和军事指挥方面，在经济
掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它 来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不 规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和 计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体 的重心等等物理量；就可以用它来刻画和计算总产 量、总成本等等经济量…….
高等数学既为其它学科提供了便利的计算工 具和数学方法，也是学习近代数学所必备的数学 基础 .
(6) 答疑 答疑是高等数学学习的一个重要的环节. 遇到
疑问时应该及时地与同学讨论，与教师交流，切不 可将问题放置一旁不理.
除了要重视上述学习环节之外，还有一点应该大 力提倡，那就是互助合作、共同研讨、共同提高. 团 队精神对于学好高等数学同样重要.
在听课时常会遇到某些问题没听懂的情况，这时 千万不要在这些问题上持续徘徊而影响继续听课，应 承认它并在教材上或笔记上相应处作上记号，继续跟 上教师的讲授. 遗留的问题、疑点待课后复习时再思 考、钻研，或找同学讨论，或找教师答疑，或查看参 考书加以解决.
(3) 记笔记
记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学 习环节. 但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、 看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化 课上所讲的内容. 因此，记笔记不应占用过多的课 堂时间. 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但 应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.
同学们要注意抓好学习的六个环节
高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最 重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力 的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学 们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应 新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节.
(1)预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲
计划方面，甚至在人类思维方面，都可以看到强大 的数学化的进程…. .
高等数学主要学习内容
通过《高等数学》这门课程的学习,要使学生获得： (1)函数、极限、连续; (2)一元函数微积分学； (3)向量代数和空间解析几何； (4)多元函数微积分学； (5)无穷级数； (6)常微分方程. 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学 习后继课程奠定必要的数学基础.
(4)知识体系的连惯性
高等数学的教学特点
对于大学课程，特别是作为基础理论课的高 等数学，课堂教学是重要环节. 高等数学的课堂 教学与中学数学的课堂教学相比，有下述三个显 著的差别:
(1)课堂人数多
高等数学课堂是一百多人的大课堂，在这种大课 堂上不可能经常让同学们提问题. 同学们在学习的基 础上、水平上、理解接受能力上肯定存在差异，但是 教师授课的基点只能是照顾大多数，不可能给跟不上、 听不全懂的少数同学细讲、重复讲.
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
(5)做作业
要把高等数学学到手，及时、认真地完成作 业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好 在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后 进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段，同时 也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达 能力以及计算能力的重要手段.
特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨 治学的一个环节.因此，要求作业“字迹工整、绘 图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭，尽 量不先看书后的答案.
(2)时间长
每次授课两节，共110分钟.
(3)进度快
高等数学的内容极为丰富，而学时又相对较少 (同中学数学相比)，平均每次课要讲授教材内容一至 两节(甚至更多). 另外，大学与中学的教学要求有很 大的不同，教师讲课主要讲重点、难点、疑点，讲分 析问题的方法，讲解题的思路，而例题要比中学少得 多，不象中学上数学课那样，对一个重要的定理，教 师要仔细讲、反复讲，讲完之后又举大量典型的例子.
(4) 复习
学习包括“学”与“习”两个方面. “学”是为 了获取知识，“习”是为了消化、掌握、巩固知识. 每次课后的当天都应结合课堂笔记和教材及时复习课 上所讲的内容. 但是，在翻开教材与笔记之前，应先 回顾一下课上所讲的主要内容. 另外，应该经常地、 反复地复习前面所讲过的内容， 这样一方面是为了避 免边学边忘，另一方面可以加深对以前所学内容的理 解，使知识水平上升到更高的层次.
高等数学有四个Βιβλιοθήκη 著特点：(1)高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出 来. 我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同 具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的 关系和空间形式，而舍弃了其他一切. 它的抽象程 度大大超过了自然科学中任何一门学科.
(2)严谨的逻辑性
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例， 只有当它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中
(2) 听课
听课是在大学中获取知识的主要环节. 因此，应 带着充沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣、带着 预习中的疑点和难点，专心致志地听教师如何提出问 题、分析问题和解决问题，并且积极主动地思考.
数学教研室 王学顺
绪论
高等数学是高等院校中理工类、经济类专业学 生必修的重要基础理论课.
随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识 到：没有数学，就难于创造出当代的科学成就. 科 学技术发展越快，对数学的需求就越多.
如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科 学各学科数字化的趋势、社会科学各部门定量化的 要求，使许多学科都在直接或间接地，或先或后地 经历了一场数学化的进程——在基础科学和工程建 设研究方面，在人事管理和军事指挥方面，在经济
掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它 来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不 规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和 计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体 的重心等等物理量；就可以用它来刻画和计算总产 量、总成本等等经济量…….
高等数学既为其它学科提供了便利的计算工 具和数学方法，也是学习近代数学所必备的数学 基础 .
(6) 答疑 答疑是高等数学学习的一个重要的环节. 遇到
疑问时应该及时地与同学讨论，与教师交流，切不 可将问题放置一旁不理.
除了要重视上述学习环节之外，还有一点应该大 力提倡，那就是互助合作、共同研讨、共同提高. 团 队精神对于学好高等数学同样重要.
在听课时常会遇到某些问题没听懂的情况，这时 千万不要在这些问题上持续徘徊而影响继续听课，应 承认它并在教材上或笔记上相应处作上记号，继续跟 上教师的讲授. 遗留的问题、疑点待课后复习时再思 考、钻研，或找同学讨论，或找教师答疑，或查看参 考书加以解决.
(3) 记笔记
记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学 习环节. 但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、 看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化 课上所讲的内容. 因此，记笔记不应占用过多的课 堂时间. 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但 应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.
同学们要注意抓好学习的六个环节
高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最 重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力 的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学 们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应 新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节.
(1)预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲
计划方面，甚至在人类思维方面，都可以看到强大 的数学化的进程…. .
高等数学主要学习内容
通过《高等数学》这门课程的学习,要使学生获得： (1)函数、极限、连续; (2)一元函数微积分学； (3)向量代数和空间解析几何； (4)多元函数微积分学； (5)无穷级数； (6)常微分方程. 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学 习后继课程奠定必要的数学基础.
(4)知识体系的连惯性
高等数学的教学特点
对于大学课程，特别是作为基础理论课的高 等数学，课堂教学是重要环节. 高等数学的课堂 教学与中学数学的课堂教学相比，有下述三个显 著的差别:
(1)课堂人数多
高等数学课堂是一百多人的大课堂，在这种大课 堂上不可能经常让同学们提问题. 同学们在学习的基 础上、水平上、理解接受能力上肯定存在差异，但是 教师授课的基点只能是照顾大多数，不可能给跟不上、 听不全懂的少数同学细讲、重复讲.
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
(5)做作业
要把高等数学学到手，及时、认真地完成作 业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好 在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后 进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段，同时 也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达 能力以及计算能力的重要手段.
特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨 治学的一个环节.因此，要求作业“字迹工整、绘 图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭，尽 量不先看书后的答案.
(2)时间长
每次授课两节，共110分钟.
(3)进度快
高等数学的内容极为丰富，而学时又相对较少 (同中学数学相比)，平均每次课要讲授教材内容一至 两节(甚至更多). 另外，大学与中学的教学要求有很 大的不同，教师讲课主要讲重点、难点、疑点，讲分 析问题的方法，讲解题的思路，而例题要比中学少得 多，不象中学上数学课那样，对一个重要的定理，教 师要仔细讲、反复讲，讲完之后又举大量典型的例子.
(4) 复习
学习包括“学”与“习”两个方面. “学”是为 了获取知识，“习”是为了消化、掌握、巩固知识. 每次课后的当天都应结合课堂笔记和教材及时复习课 上所讲的内容. 但是，在翻开教材与笔记之前，应先 回顾一下课上所讲的主要内容. 另外，应该经常地、 反复地复习前面所讲过的内容， 这样一方面是为了避 免边学边忘，另一方面可以加深对以前所学内容的理 解，使知识水平上升到更高的层次.
高等数学有四个Βιβλιοθήκη 著特点：(1)高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出 来. 我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同 具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的 关系和空间形式，而舍弃了其他一切. 它的抽象程 度大大超过了自然科学中任何一门学科.
(2)严谨的逻辑性
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例， 只有当它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中