人教版高一数学必修四第一章正切函数的性质与图象

1．4.3 正切函数的性质与图象

考点 学习目标

核心素养 正切函数的图象 能借助单位圆中的正切线画出y ＝tan x 的图象

数学抽象、直观想象 正切函数的性质

掌握正切函数的性质

数学运算、逻辑推理

问题导学

预习教材P 42－P 45，并思考下列问题： 1．正切函数有哪些性质？

2．正切函数在定义域内是不是单调函数？

函数y ＝tan x 的图象与性质

解析式

y ＝tan x

图象

定义域 ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪x ≠π

2＋k π，k ∈Z

值域 R 最小正 周期 π 奇偶性

奇函数

单调性

在开区间⎝⎛⎭

⎫－π2＋k π，π

2＋k π(k ∈Z )上都是增函

数

对称性

对称中心⎝⎛

⎭⎫

k π2，0(k ∈Z )

(1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内

是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数．

(2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

6的定义域是( )

A.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π－π

2，k ∈Z

B ．{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }

C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π

6，k ∈Z

D.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π

3，k ∈Z

答案：D

函数y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π

4的最小正周期为( )

A.π2 B ．π C ．2π D ．3π

答案：A

函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π

4的单调递增区间是________．

答案：⎝⎛⎭

⎫－π4＋k π，3π

4＋k π，k ∈Z

正切函数的定义域

求下列函数的定义域：

(1)y ＝1

1＋tan x ；

(2)y ＝lg(3－tan x )．

【解】 (1)要使函数y ＝1

1＋tan x

有意义，

需使⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π

2（k ∈Z ），

所以函数的定义域为

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π

2，k ∈Z .

(2)因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π

3

＋k π(k ∈Z )，

根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π

3

(k ∈Z )，

所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x |k π－π2＜x ＜k π＋π

3，k ∈Z .

求正切函数定义域的方法

(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π

2

＋k π，k ∈Z .

(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π

2

，k ∈Z ，解得x .

函数 y ＝tan(2x －π

4

)的定义域是________．

解析：因为 2x －π4≠π2＋k π(k ∈Z )⇒x ≠3π8＋k π2(k ∈Z )，所以定义域为{x |x ≠k π2＋3π

8，k

∈Z }．

答案：{x |x ≠k π2＋3π

8

，k ∈Z }

正切函数的单调性及其应用

(1)求y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π

4的单调区间．

(2)比较tan 6

5

π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π的大小． 【解】 (1)由题意，k π－π2<12x ＋π4

2，k ∈Z ，

即k π－3π4<12x

4，k ∈Z ，

所以2k π－3π2

2

，k ∈Z ，

故单调递增区间为⎝ ⎛

⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )．

(2)tan 65π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π＋π5＝tan π5，

tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2π－π7 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π7＝tan π7，

因为－π2＜π7＜π5＜π

2

，

y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π2，π2上单调递增，

所以tan π7＜tan π

5，

即tan 6

5

π＞tan ⎝⎛⎭⎫－137π.

(1)运用正切函数单调性比较大小的方法

①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．

(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

①若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思