第九章 振动习题解答

第九章振动习题解答

9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I 。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。

解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽略一切阻力，则刚体所受力矩τ= - mghsin φ因为是微小摆动，sin φ≈φ,∴τ= - mgh φ，即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位置附近运动，因

而是简谐振动。

由转动定理：22/dt Id mgh φφ=- 即，I

mgh I mgh

I mgh dt

d ==

∴=+02

0,02

2ωωφφ

9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m ，弹簧的劲度系数为k 1和k 2，支承面为理想光滑面，求系统振动的固有频率。

解：以平衡位置为原点建立

坐标o-x 。设m 向右偏离平衡位 置x ，则弹簧1被拉长x ，弹簧2

被压缩x ，m 所受的合力（即回复力）x k k F )(21+-=.

由牛顿第二定律：0,)(212

222

21=+

=+-+x m x k k m

k k dt x d dt

x

d

m

k k m

k k 212102

0,++=

=

∴ωω

9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m ，弹簧的劲度系数为k 1.若在振子和弹簧k 1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k 2应是k 1的多少倍？

解：以两个弹簧串联后m 的平衡位置为原点建立图示坐标o-x,设m 向下偏离平衡位置x ，弹簧1伸长ΔL 1，弹簧2 伸长ΔL 2，ΔL 1+ΔL 2 = x (1)；由于忽略弹簧质量，

两个弹簧连接点处所受的两个弹力等大反向，即 k 1ΔL 1 = k 2ΔL 2 (2)；由⑴、⑵解得：x L k k k 2

112+=

∆，

所以m 所受的回复力 x L k F k k k

k 2

12

122+-=∆-=， 由牛顿二定律；22

2

121dt

x

d k k k k m x =-

+ ，即 0)

(21212

2=+

+x k k m k k dt x

d

)

(02121'k k m k k +=

∴ω，未串联前频率 m

k 1

0=ω，令

210'ωω=，即 m

k k k m k k 121212

1

)

(=

+，可求得：1

12k k =

9.2.4 单摆周期的研究：⑴单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的车厢内；⑵单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内；⑶单摆悬挂于以加速度a （a

解：⑴以车为参考系，单摆受力如图示，设平衡位置与竖直线成α角，由平衡条件：

g a tg mg T ma T /,cos ,sin =∴==ααα

设单摆偏离平衡位置角位移为θ(θ<5°)，单摆所受回复力矩：

θ

αααθααθατα

αθθθθθαθαθαθαθαθατ)sin cos ()]sin (cos )cos (sin [cos sin ,sin ,1cos ,5)]

sin sin cos (cos )sin cos cos (sin [)]

cos()sin([a g ml a g ml a g a g ml mal mgl +-=--+-≈=≈≈︒<--+-=+-+-= 由转动定理：)sin cos (,

2

22

αατβθa g ml ml I dt d +-==，

2

222222

22,,

,

/sin ,/cos ,00sin cos 2

02222sin cos g a l l

g a g a a g l

a g dt d T g a a g a g +++++==

=

=

∴+=+==+

π

ωωααθα

αα

αθ 以上求解较为麻烦，我们可以用

另外一种简捷的思路和方法：

在重力场中单摆的周期为g

l T π

2=，g 是重力场强度

现在单摆在力场a m g m f g m g m

-=+=*'中振动，力场强度：

2

2

22,',''

22a g l g l T a g g a g g +==∴+=-=π

π

⑵以电梯为参考系，平衡位置仍然在铅直方向，由转动定理：

2

22

)(sin )(dt d ml l a g m l ma mg θθθ=+-≈+-

a g l l

a g l

a g dt d T +++==

∴=+

π

ωθθ2,,002

2

同样可以认为单摆在力场 a m g m g m

-=' 中振动，力场强度：

a g l g l T a g g +==∴+=π

π

22,''

⑶与前面分析完全相同，a g l T

-=π

2

9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为1013/s ，设想各原子间彼此以弹簧连接，1摩尔银的质量为108g ，且包含6.02×1023个原子，现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。

解：利用9.2.2题的结果： m

k m

k k 202

1=

=

+ω