第九章振动习题解答

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第9章振动学基础习题答案

第9章振动学基础习题答案
9-1 一竖直弹簧振子，T=0.5s，现将它从平衡位置向下拉 4cm释放，让其振动，则振动方程为
y 4 cos 4t cm
9-2 已知简谐振动方程 x 2 cos 动能 E K 最大；势能 E P

2 最大；E K E P 。
t (cm) ，则t为何值时，
k 2 令最大 2 解：E K 2 sin t t 2n 1 2 2 2 2 t 2n 1 , n 0,1,2, k 2 令最大 E P 2 cos 2 t t n 2 2 2 t 2n , n 0,1,2,
x 0.12 cost 3
9-10 一质点沿x轴简谐振动，振幅为0.12m，周期2s，当t=0 时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正向运动，求（1）质点振动的运动方程；（2）t=0.5s时质点的位置、速度、加
速度；（3）质点在x=-0.06m处，且向x轴负向运动，再回
解：用旋转矢量法表示两个振动，
A1 4 2 3 j 2 6
A2 2( 56 ) 3 j
A A1 A2 3 j 2 6
表示为振动方程。合振动为
x 2 cost cm 6
9-10 一质点沿x轴简谐振动，振幅为0.12m，周期2s，当t=0 时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正向运动，求（1）质点振动的运动方程；（2）t=0.5s时质点的位置、速度、加
x 0.12cost1 0.06 t1 23 或 43 3 3 v 0.12 sint1 0 t1 23 3 3
令
在平衡位置，x 0.12cos t 0 3

大学物理(肖剑荣主编)-习题答案-第9章

第九章课后习题解答桂林理工大学理学院胡光辉（《大学物理·下册》主编：肖剑荣梁业广陈鼎汉李明）9-1一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表示．如果时质点的状态分别是：(1)；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过处向负向运动； (4)过处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：因为将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有 9-2一质点沿x 轴做简谐振动，振幅为0.12m ，周期为2s ，当t=0时，质点的位置在0.06m 处，且向x 轴正方向运动，求；（1）质点振动的运动方程；（2）t=0.5s 时，质点的位置、速度、加速度；（3）质点x=-0.06m 处，且向x 轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。

解（1）由题意可知：可求得（初速度为零），所以质点的运动方程为 x A T 0=t A x -=02A x =2Ax -=îíì-==0000sin cos f w f A v A x )2cos(1p p p f +==t T A x )232cos(232p p p f +==t T A x )32cos(33p p pf +==t T A x )452cos(454p p pf +==t T A x 0020.12,,cos A m x A Tp w p j ====03p j =-（2）任意时刻的速度为所以任意时刻的加速度为所以（3）根据题意画旋转矢量图。

由图可知，质点在x=-0.06m 处，且向x 轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为所以9-3 质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?0.12cos 3x t p p æö=-ç÷èø0.50.12cos 0.50.1()3t x m p p =æö=-=ç÷èø0.12sin 3v t p p p æö=--ç÷èø10.50.12cos 0.50.19()3t v m s p p p -=æö=--=-•ç÷èø20.12cos 3a t p p p æö=--ç÷èø()220.50.12cos 0.5 1.03t a m s p p p -=æö=--=-•ç÷èø325236j p p p D =-=()50.8336t s jw D D ==»kg 10103-´)SI ()328cos(1.0p p +=x(3)与两个时刻的位相差；解：(1)设谐振动的标准方程为，则知：又(2)当时，有，即 ∴ (3)9-4 原长为0.50m 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg 的砝码。

力学答案第九章

第九章一、选择题1、弹簧振子作简谐运动时，如果振幅增加为原来的两倍，则它的总能量是[ ](A) 原来总能量的2倍 (B) 原来总能量的4倍(C) 原来总能量的一半 (D) 不发生变化2、关于共振，下列说法正确的是：[ ](A) 当振子作无阻尼受迫振动时，共振时振幅为无限大(B) 当振子作无阻尼受迫振动时，共振的振幅很大，但不会无限大(C) 受迫振动是一个稳定的简谐振动(D) 共振不是受迫振动3、弹簧振子作简谐运动时，如果振幅增加为原来的两倍，而频率减小为原来的一半，则它的总能量是[ ]（A）原来总能量的2倍（B）原来总能量的4倍（C）原来总能量的一半（D）不发生变化4、对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？[ ](A) 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值(B) 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零(C) 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零(D) 物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零5、以下关于简谐振动的合成，说法正确的是[ ]（A）两个同方向、同频率简谐振动合成后还是一个简谐振动，频率发生了改变（B）两个同方向、同频率简谐振动合成后还是一个简谐振动，频率不发生改变（C）两个同方向、同频率简谐振动合成后不是一个简谐振动，频率不发生改变（D）两个同方向、同频率简谐振动合成后不是一个简谐振动，频率发生了改变6、以下关于驻波的说法错误的是[ ]（A）驻波是入射波和反射波叠加的结果（B）驻波中，除了节点外，各点均做同频率的简谐振动（C）驻波中，波腹和波节等距离交互排列（D ）两相邻波节间各点的振动位相相同，一波节两侧的点的振动位相也相同7、一质点同时参与两个同方向的简谐振动，振动方程分别为)45cos(05.01π+=t x ，250.05cos(5)4x t π=+，则合振动方程为[ ] (A) 0 (B) 30.05cos(5)2x t π=+ (C) 30.1cos(5)2x t π=+ (D)30.1cos(10)2x t π=+8、同一个弹簧振子，使它分别在光滑水平面上，竖直方向上，光滑的斜面上以相同的振幅作简谐振动，则：[ ]（A ）它们的频率不同（B ）通过平衡位置时的动能不同（C ）到达平衡位置时弹簧形变相同（D ）它们的周期相同9、竖直弹簧振子系统谐振周期为T ，将小球放入水中，水的浮力恒定，粘滞阻力及弹簧质量不计，若使振子沿铅直方向振动起来，则：[ ](A) 振子仍作简谐振动，但周期<T (B) 振子仍作简谐振动，但周期>T(C) 振子仍作简谐振动，且周期仍为T (D) 振子不再作简谐振动10、一质点的振动方程为：)3/2cos(2.0ππ+=t x ，则在t=0.3 （s ）时：[ ](A) 质点在平衡位置右方，沿x 轴负向运动(B) 质点在平衡位置左方，沿x 轴正向运动(C) 质点在平衡位置右方，沿x 轴正向运动(D) 质点在平衡位置左方，沿x 轴负向运动11、弹簧振子作简谐振动时的总能量为E ，如果振幅增大为原来的两倍，振动质量减少为原来的一半，则总能量E’为：[ ]（A ）E’=E （B ）E’=2E （C ）E’=0.5E （D ）E’=4E12、质量为m 的物体作简谐振动，振幅为A ，最大加速度为a ，则通过平衡位置时的动能为：[ ]（A ）0.5maA 2 (B) 0.5ma 2A 2 (C) ma 2A 2 (D) 0.5maA二、填空题1、两个同方向同频率的简谐振动合成后的运动是。

大学物理第九章振动学基础习题答案

第九章振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。

解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略 9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。

设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。

（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。

解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。

（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。

现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。

（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。

解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。

质点距球心x 时所受力为324433x m F G G mx x πρπρ=-=- 令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。

（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50s 。

当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ＝1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动。

求以上各种情况的振动方程。

解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。

大学物理答案第九章

振幅A与初相位三、振幅与初相位φ 的确定
ψ = Acos(ωt +φ)
dψ = − Asin ω +φ) ω ( t dt
简谐振动的振幅和初相位由振动的初始状态决定。简谐振动的振幅和初相位由振动的初始状态决定。初始状态决定
已知t=0时，振动量Ψ的振动状态为 ψ0, dψ
ψ0 = Acosφ
− 1
dΨ dt 0 2 A= Ψ0 + ω
2
dΨ dt φ = tan−1 0 ω 0 Ψ
说明： (1) 一般来说φ 的取值在 - π和π(或0和2π)之间； (2) 在应用上面的式子求φ 时，一般来说有两个值，还要由初始条件来判断应该取哪个值； (3)常用方法：先求A，然后由 Ψ0=Acosφ 、 (dΨ /dt)0=-Aωsinφ 两者的共同部分求φ 。
1 2 Ekmax = kA 2
Ekmin = 0
势能
Ep = 1 kx2 2
1 2 2 = kA cos (ω +φ0) t 2
1 2 Epmax = kA 2
Epmin = 0
机械能
1 2 E = Ek + Ep = kA 2
简谐振动系统机械能守恒
E
E (1/2)kA2
Ep
o
Ek
Ep = Ek
t
T
x t
由起始能量求振幅
1 2 E = kA 2
2E0 2E A= = k k
LC振荡电路中，电容器上的电量q和电路中的电流I分别为：
q =Q cos(ωt +φ) 0 I = −ωQ sin ωt +φ) ( 0

第9章振动学基础答案

第9章振动学基础答案9.4 一个运动质点的位置与时间的关系为 m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=325cos 1.0ππ , 其中x 的单位是m , t 的单位是s .试求：（1）周期、角频率、频率、振幅和初相位；（2）t =2s 时质点的位移、速度和加速度.解：（1）由题中质点位置与时间的关系便知，振幅A =0.1m ，初相位3πϕ=，角频率s rad /25πω=，频率Hz 45=ν，周期s f T 8.0541===（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325sin 41πππυt dt dx ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325cos 85222πππt dt x d a 则当t=2s 时，质点的位移，速度和加速度分别为m x 05.03cos 1.03225cos 1.0-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=πππ；s m /68.0833sin 413225sin 41===⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=ππππππυ222/1.33cos 853225cos 85s m a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=πππππ9.5 一个质量为2.5kg 的物体，系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定.若弹簧受10N 的拉力,其伸长量为5.0cm,求物体的振动周期.解：由kx f =可得弹簧的经度系数为 m N x f k /1021051022⨯=⨯==- 弹簧振子的周期 s k m T 70.01025.2222=⨯==ππ9.6 如图9.27图所示 ,求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的劲度系数为1k 和2k 。

解：设物体离开平衡位置的位移是x ，此时物体所受合力x k k f )(21+-=作为线性回复力，则有021=++x m k k x故m k k 21+=ω mk k 2121+=πν9.7 如图9.28所示 , 求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的径度系数为1k 和2k 。

解：设物体m 离开平衡位置的位移为x ，所受线性回复力为f 则有）（12211x k x k f -=-= )2(21xx x =+（1）、（2）联立解之得 212121/1/11k k k k x k k f +-=+-=所以有振动方程0)(12121=++x k k k k m x，则 )(21,)(21212121k k m k k k k m k k +=+=πνω9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式.解：对于单摆系统中的物体m ，其振动动能 2222121θυ ml m E k == 系统的势能（重力势能）221)cos 1(θθmgl mgl mgh E p ≈-== 而系统的总能量 201θm gl E E E p k =+= 所以20212212221θθθmglmglml =+ 由此得：)()(22022202θθωθθθ-=-=lg )220θθωθ-±= 9.9 与轻弹簧的一端相接的小球沿x 轴作简谐振动,振幅为A ,位移与时间的关系可以用余弦函数表示.若在t =0时,小球的运动状态分别为（1）x = - A ；（2）过平衡位置,向x 轴正向运动；（3）过x =A /2处,向x 轴负向运动；（4）过2/A x =处,向x 轴正向运动.试确定上述状态的初相位. 解：位移x 与时间t 的一般关系可表为 )cos(ϕω+=t A x（1）t =0时，A x -=，则有ϕcos A A =-，即1cos -=ϕ。

振动与波复习题及答案

第九章振动复习题1．一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是：(A) 2max 2max /x m k v =． (B) x mg k /=．(C) 22/4T m k π=． (D) x ma k /=．［ B ］ 2．一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量231ml J =，此摆作微小振动的周期为 (A) gl π2. (B) g l 22π.(C) g l 322π. (D) gl3π. ［ C ］ 3．把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为(A) ． (B) /2． (C) 0 ． (D) ．［ C ］ 4．两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(t + )．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为(A) )π21cos(2++=αωt A x ． (B) )π21cos(2-+=αωt A x ． (C) )π23cos(2-+=αωt A x ． (D) )cos(2π++=αωt A x ．［ B ］［］l6. 一质点作简谐振动．其运动速度与时间的曲线如图所示．若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) /6． (B) 5/6． (C) -5/6．(D) -/6． (E) -2/3．［］7. 一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2．将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '．则有(A) 11T T >'且22T T >'． (B) 11T T <'且22T T <'． (C) 11T T ='且22T T ='． (D) 11T T ='且22T T >'．［ D ］ 8. 一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动．当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时．则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )21/cos(π-=t m k A x(C) )π21/(cos +=t k m A x (D) )21/cos(π-=t k m A x(E) t m /k A x cos = ［ B ］ 9. 一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点．若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为(A) 1 s ． (B) (2/3) s ．(C) (4/3) s ． (D) 2 s ．［ B ］10．一物体作简谐振动，振动方程为)41cos(π+=t A x ω．在 t = T /4（T 为周期）时刻，物体的加速度为 (A) 2221ωA -． (B) 2221ωA ． (C) 2321ωA -． (D) 2321ωA ．［ B ］ 11. 两个同周期简谐振动曲线如图所示．x 1的相位比x 2的相位(A) 落后/2． (B) 超前．(C) 落后． (D) 超前．［ B ］v (m/s)t (s)Omm v 21tOx 1 x 212．一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［ B ］13. 一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是 (A) s ． (B) s ．(C) s ． (D) s ．［ B ］15. 用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v ～t ）关系曲线如图所示,则振动的初相位为 (A) /6. (B) /3.(C) /2. (D) 2/3. (E) 5/6.［ A ］17．一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为x o A ϖ x A 21 ω A 21ωA 21-(D) oo o A 21 xx x A ϖA ϖxA ϖxω ωx (cm)t (s)O42 1A21-A21-A21 21A21 AA21- oo 2T2T A21- t21 xtx(A)(B)(C)(D)2T2Tottxxv (m/s)t (s)Om 21- -m(A) E 1/4． (B) E 1/2．(C) 2E 1． (D) 4 E 1 ．［ D ］18 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 (A) kA 2． (B)221kA ． (C) (1/4)kA 2． (D) 0．［ D ］19．一物体作简谐振动，振动方程为)21cos(π+=t A x ω．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能之比为：(A) 1:4． (B) 1:2． (C) 1:1．(D) 2:1． (E) 4:1．［ D ］20.动的初相为 (A) π23． (B) π．(C) π21． (D) 0．［ B ］二. 填空题21. 在t = 0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图(a)、(b)、(c)三种状态．若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为(a) ______________________________；(b) ______________________________；(c) ______________________________．23. 在两个相同的弹簧下各悬一物体，两物体的质量比为4∶1，则二者作简谐振(c)A/ -A 2cos()2x A t T ππ=+2cos()2x A t Tππ=+2cos()x A t T ππ=+动的周期之比为___2:1___．24. 一质点作简谐振动，速度最大值v m = 5 cm/s ，振幅A = 2 cm ．若令速度具有正最大值的那一时刻为t = 0，则振动表达式为_____50.02cos()22x t π=-___．25. 一物体作余弦振动，振幅为15×10-2m ，角频率为6 s -1，初相为，则振动方程为 __0.15cos(6)2x t ππ=+(SI)．27. 一简谐振动的表达式为)3cos(φ+=t A x ，已知 t = 0时的初位移为0.04 m ，初速度为0.09 m/s ，则振幅A = ，初相 =____3arcsin 5-____________．30. 已知两个简谐振动的振动曲线如图所示．两简谐振动的最大速率之比为_______1:1__________．31. 一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =； =_____/6rad s π_____；=_____3π__________．．34. 已知三个简谐振动曲线如图所示，则振动方程分别为： x 1 =10cos t π______________________，x 2 =10cos()2t ππ-_____________________，x 3 =10cos()t ππ+_______________________．x (cm)t (s)105-101471013Ox (cm)t (s)O x 1x 2x 3100-101234 32-1 1 to x 1 x 21 -2237.一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动的初相为_____4π_______．振动方程为__0.02cos()4x t ππ=+____________．41. 一作简谐振动的振动系统，振子质量为2 kg ，系统振动频率为1000 Hz ，振幅为0.5 cm ，则其振动能量为______1002πJ________．43. 一弹簧振子系统具有 J 的振动能量，0.10 m 的振幅和1.0 m/s 的最大速率，则弹簧的劲度系数为____200N/m_______，振子的振动频率为_5πHZ________． 44.两个同方向的简谐振动曲线如图所示．合振动的振幅为______21A A -___________，合振动的振动方程为_____212()cos()2x A A t T ππ=-+______． 50. 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为)612cos(10421π+⨯=-t x , )652cos(10322π-⨯=-t x (SI)则其合成振动的振幅为，初相为____6π_____．第十章波复习题一、选择题1．在下面几种说法中，正确的说法是： (A) 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的． (B) 波源振动的速度与波速相同．t ·--(C) 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后(按差值不大于计)．(D) 在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前．(按差值不大于计)［ C ］2．机械波的表达式为y =(t + ) (SI) ，则(A) 其振幅为3 m ． (B) 其周期为s 31． (C) 其波速为10 m/s ． (D) 波沿x 轴正向传播．［ B ］ 3．一平面简谐波沿Ox 正方向传播，波动表达式为]2)42(2cos[10.0π+-π=x t y (SI)，该波在t = s 时刻的波形图是［ A ］4．横波以波速u 沿x 轴负方向传播．t 时刻波形曲线如图．则该时刻［ D ］(A) A 点振动速度大于零． (B) B 点静止不动． (C) C 点向下运动． (D) D 点振动速度小于零．5．把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端．维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则(A) 振动频率越高，波长越长． (B) 振动频率越低，波长越长．(C) 振动频率越高，波速越大． (D) 振动频率越低，波速越大．［ B ］ 6．一平面余弦波在t = 0时刻的波形曲线如图所示，则O 点的振动初相为：(A) 0. (B)π21x (m)O 20.10(A)x O 20.10y (m)(B)x (m)O 2-0.10y (m)(C)x O2y (m)(D)-0.10 xuA BC D OxyOu(C) (D)π23（或π-21）［ B ］ 7．如图所示，有一平面简谐波沿x 轴负方向传播，坐标原点O 的振动规律为)cos(0φω+=t A y ），则B 点的振动方程为(A) ])/(cos[0φω+-=u x t A y ．(B) )]/([cos u x t A y +=ω．(C) })]/([cos{0φω+-=u x t A y ．(D)})]/([cos{0φω++=u x t A y ．［ C ］8．如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，该波的波速u = 200 m/s ，则P 处质点的振动曲线为［ C ］9．一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P处质点的振动在t = 0时刻的旋转矢量图是［ A ］xy u BO |x|x (m)1000.1u OPy (m)t (s)(A)0.102t (s)(B)0.10.5P t (s)(C)0.10.5y P (m)t (s)(D)0.11y P (m)ωS A ϖO ′ωSA ϖO ′ωA ϖO ′ωSAϖO ′(A)(B)(C)(D) xS A uPO10. 一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P 处介质质点的振动方程是(A) )314cos(10.0π+π=t y P (SI)．(B) )314cos(10.0π-π=t y P (SI)．(C))312cos(10.0π+π=t y P (SI)．(D) )612cos(10.0π+π=t y P (SI)．［ A ］11. 图示一简谐波在t = 0时刻的波形图，波速 u = 200 m/s ，则P 处质点的振动速度表达式为［ C ］ (A) )2cos(2.0π-ππ-=t v (SI)． (B) )cos(2.0π-ππ-=t v (SI)．(C) )2/2cos(2.0π-ππ=t v(SI)． (D) )2/3cos(2.0π-ππ=t v(SI)．12．在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I 1 / I 2 = 4，则两列波的振幅之比是 (A) A 1 / A 2 = 16． (B) A 1 / A 2 = 4．(C) A 1 / A 2 = 2． (D) A 1 / A 2 = 1 /4．［ C ］ 13. 一列机械横波在t 时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是：(A) o ＇，b ，d ，f ． (B) a ，c ，e ，g ．(C) o ＇，d ． (D) b ，f ．［ B ］14．一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是 (A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零．(C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零．［C ］15．一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 (A) 它的势能转换成动能． (B) 它的动能转换成势能． (C) 它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加．(D) 它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元，其能量逐渐减小．［ C ］ 16．如图所示，S 1和S 2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为的简谐波，P 点是两列波相遇区域中的一点，已知 λ21=PS ，λ2.22=P S ，两列波在P 点发生相消干涉．若S 1的振动方程为)212cos(1π+π=t A y ，则S 2的振动方程为(A))212cos(2π-π=t A y ． (B) )2cos(2π-π=t A y ．(C))212cos(2π+π=t A y ． (D) )1.02cos(22π-π=t A y ．［ D ］17. 两相干波源S 1和S 2相距 /4，（为波长），S 1的相位比S 2的相位超前π21，在S 1，S 2的连线上，S 1外侧各点（例如P 点）两波引起的两谐振动的相位差是：(A) 0． (B)π21． (C) ． (D)π23．［ C ］ 18． S 1和S 2是波长均为的两个相干波的波源，相距3/4，S 1的相位比S 2超前π21．若两波单独传播时，在过S 1和S 2的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是I 0，则在S 1、S 2连线上S 1外侧和S 2外侧各点，合成波的强度分别是(A) 4I 0，4I 0． (B) 0，0． (C) 0，4I 0 ． (D) 4I 0，0．［ A ］ 19 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同．(C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同．［ B ］ 20 在波长为的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为(A)/4． (B) /2．(C) 3/4． (D)．［ B ］21.沿着相反方向传播的两列相干波，其表达式为)/(2cos 1λνx t A y -π= 和 )/(2cos 2λνx t A y +π=．在叠加后形成的驻波中，各处简谐振动的振幅是 (A) A ． (B) 2A ．(C) )/2cos(2λx A π． (D) |)/2cos(2|λx A π．［ D ］S 1S PS 1S 2Pλ/4二、填空题22.一个余弦横波以速度u 沿x 轴正向传播，t 时刻波形曲线如图所示．试分别指出图中A ，B ，C 各质点在该时刻的运动方向．A _____________；B_____________ ；C ______________ ． 23. 一平面简谐波的表达式为)37.0125cos(025.0x t y -= (SI)，其角频率=__________________________，波速u =______________________，波长= _________________．24. 频率为100 Hz 的波，其波速为250 m/s ．在同一条波线上，相距为0.5 m 的两点的相位差为________________．25. 图为t = T / 4 时一平面简谐波的波形曲线，则其波的表达式为______________________________________________． 26、一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波长为．若如图P 1点处质点的振动方程为)2cos(1φν+π=t A y ，则P 2点处质点的振动方程为_________________________________；与P 1点处质点振动状态相同的那些点的位置是___________________________． 27、一简谐波沿x 轴正方向传播．x 1和x 2两点处的振动曲线分别如图(a)和(b)所示．已知x 2 .> x 1且x 2 - x 1 < （为波长），则x 2点的相位比x 1点的相位滞后 ___________________．28、已知某平面简谐波的波源的振动方程为t y π=21sin 06.0(SI)，波速为2 m/s ．则在波传播前方离波源5 m 处质点的振动方程为_______________________．xy u OA B Cx (m)O -0.101u =330 m/sy (m)234xOP 1P 2L 1L 2ty 1ty 2(a)(b)29、（1）一列波长为的平面简谐波沿x 轴正方向传播．已知在λ21=x 处振动的方程为y = A cos t ，则该平面简谐波的表达式为______________________________________． (2) 如果在上述波的波线上x = L （λ21>L）处放一如图所示的反射面，且假设反射波的振幅为A ＇，则反射波的表达式为 _______________________________________ (x ≤L )．30、一平面简谐波沿x 轴负方向传播．已知 x = -1 m 处质点的振动方程为)cos(φω+=t A y ，若波速为u ，则此波的表达式为 _________________________________________________________． 31、一个波源位于O 点，以O 为圆心作两个同心球面，它们的半径分别为R 1和R 2，在两个球面上分别取相等的面积S 1和S 2，则通过它们的平均能流之比=21P /P ___________________.32、一点波源发出均匀球面波，发射功率为4 W ．不计媒质对波的吸收，则距离波源为2 m 处的强度是__________________．33、如图所示，波源S 1和S 2发出的波在P 点相遇，P 点距波源S 1和S 2的距离分别为 3和103 ，为两列波在介质中的波长，若P 点的合振幅总是极大值，则两波在P 点的振动频率___________，波源S 1的相位比S 2的相位领先_________________．34、如图所示，S 1和S 2为同相位的两相干波源，相距为L ，P 点距S 1为r ；波源S 1在P 点引起的振动振幅为A 1，波源S 2在P 点引起的振动振幅为A 2，两波波长都是，则P 点振幅A =_________________________________________________________． 35、两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是t A y ωcos 1=和)21cos(2π+=t A y ω．S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长．两波在P 点引起的两个振动的相位差是____________．xO 反射面波疏媒质波密媒质LPS 1S 3λ10λ/312Lr36、 S 1，S 2为振动频率、振动方向均相同的两个点波源，振动方向垂直纸面，两者相距λ23（为波长）如图．已知S 1的初相为π21． (1) 若使射线S 2C 上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则S 2的初相应为________________________． (2) 若使S 1 S 2连线的中垂线MN 上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则S 2的初位相应为_______________________． 37、两列波在一根很长的弦线上传播，其表达式为 y 1 = ×10-2cos (x - 40t ) /2 (SI) y 2 = ×10-2cos (x + 40t ) /2 (SI)则合成波的表达式为__________________________________________________；在x = 0至x = 10.0 m 内波节的位置是_____________________________________ __________________________________；波腹的位置是________________________________________________________． 38、设入射波的表达式为)(2cos 1λνxt A y +π=．波在x = 0处发生反射，反射点为固定端，则形成的驻波表达式为____________________________________． 39、一驻波表达式为t x A y ππ=100cos 2cos ．位于x 1= 3 /8 m 的质元P 1与位于x 2= 5 /8 m 处的质元P 2的振动相位差为_____________________________． 40、在弦线上有一驻波，其表达式为 )2cos()/2cos(2t x A y νλππ=, 两个相邻波节之间的距离是_______________．S 1S 2MNC。

第9章机械振动习题详解

第9章机械振动习题详解9-1下列说法正确的是：（ A ）A ）谐振动的运动周期与初始条件无关B ）一个质点在返回平衡位置的力作用下，一定做谐振动。

C ）已知一个谐振子在t =0时刻处在平衡位置，则其振动周期为π/2。

D ）因为谐振动机械能守恒，所以机械能守恒的运动一定是谐振动。

9-2一质点做谐振动。

振动方程为x=A cos （φω+t ），当时间t=21T （T 为周期）时，质点的速度为（ B ）A ）-A ωsin φ;B ）A ωsin φ;C ）-A ωcos φ;D ）A ωcos φ; 9-3一谐振子作振幅为A 的谐振动，当它的动能与势能相等时，它的相位和坐标分别为（ C ） A ）3π±和32π±，;21A ± B ）6π±和65π±，;23A ±C ）4π±和43π±，A 22±； D ）3π±和32π±，;23A ± 9-4已知一简谐振动⎪⎭⎫ ⎝⎛+=531041πt x cos ，另有一同方向的简谐振动()φ+=t x 1062cos ，则φ为何值时，合振幅最小。

（ D ）A ）π/3；B ）7π/5；C ）π；D ）8π/59-5有两个谐振动，x 1t A x ,t A ωωsin cos 221==，A 1＞A 2，则其合振动振幅为( A )A ）21A A A +=；B ）21A A A -=；C ）A=2221A A +；D ）A=2221A A -9-6一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动规律用余弦函数作描述，则其初相位应为（ C ）A ）π/6；B ）5π/6；C ）-5π/6；D ）-π/69-7质量为 m =1.27×10-3kg 的水平弹簧振子，运动方程为x =0.2cos （2πt +4π）m ，则t =0.25s 时的位移为m 102-，速度为s m /52π-，加速度为2/522s m π，恢复力为N 31008.7-⨯，振动动能为J 4105-⨯，振动势能为J 4105-⨯。

高二物理第九章机械振动知识点及习题练习+单元练习(含答案)

机械振动三、基础知识 1、简谐运动的概念①简谐运动的定义：____________________________________________________________。

②简谐运动的物体的位移x 、回复力F 、加速度a 、速度v 、动能E K 、势能E P 的变化规律： A ．在研究简谐运动时位移的起点都必须在平衡位置处。

B ．在平衡位置：位移最小、回复力最小、加速度最小；速度最大、动能最大。

C ．在离开平衡位置最远时：_________________________________________。

D ．振动中：注意以上各量的矢量性和对称性。

③简谐运动机械能守恒，但机械能守恒的振动不一定时简谐运动。

④注意：A ．回复力是效果力。

B ．物体运动到平衡位置不一定处于平衡状态。

C ．简谐运动定义式F=-K x 中的K 不一定是弹簧的劲度系数。

2、总体上描述简谐运动的物理量①振幅A ：______________________称为振幅。

它是描述振动______的物理量。

它是__量。

简谐运动的振幅不变，而位移在时刻变化。

②周期T 和频率f ：_________________________________称为周期T,它是_____量，单位是秒；________________________________称为振动频率，单位是赫兹（Hz ）。

周期和频率都是描述___________的物理量，它们的关系是：T=1/f 。

它们与______无关，由_________________决定，因而以叫_______周期，或______频率。

3、单摆①单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，________________可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。

②单摆的特点：A ．单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型;B ．单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与___________________无关;动C．单摆的回复力由_______________________提供，当最大摆角α<100时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T=__________。

大学物理第九章振动学基础习题答案

解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略 9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。

设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。

（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。

解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。

（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。

现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。

（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。

解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。

质点距球心x 时所受力为324433x m F G G mx x πρπρ=-=- 令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。

（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50s 。

求以上各种情况的振动方程。

内蒙古科技大学马文蔚大学物理下册第六版解答

内蒙古科技⼤学马⽂蔚⼤学物理下册第六版解答
第九章振动
习题：P37～39 1，2，3，4，5，6，7，8，16.
9-4 ⼀质点做简谐运动,周期为T,当它由平衡位置向X轴正⽅向运动时,从1/2最⼤位移处到最⼤位移处这段路程所需的时间( )
A、T/12
B、T/8
C、T/6
D、T/4
分析（C），通过相位差和时间差的关系计算。

可设位移函数
y=A*sin(ωt),其中ω=2π/T；
当 y=A/2,ωt1=π/6；当 y=A,ωt2=π/2；△t=t2-t1=[π/(2ω)]-[π/(6ω)]=π/(3ω)=T/6
第⼗章波动
习题：P89～93 1，2，3，4，5，6，12，16，25，
10-6在驻波中,两个相邻波节间各质点的振动（）：
A.振幅相同,相位相同
B.振幅不同,相位相同
C.振幅相同,相位不同
D.振幅不同,相位不同
答案：波函数叠加检验.（C) 振幅相同，相位相反
第⼗⼀章光学
P177～182 1，2，3，4，5，6，7,8,11,23,26,31,37,38.
11-4 、在迈克尔逊⼲涉仪的⼀条光路中,放⼊⼀⽚折射率为n=1.4的透明介质薄膜后，⼲涉条纹产⽣了7.0条条纹移动.如果⼊射光波长为589nm,则透明介质薄膜厚度为( )
A 10307.5nm
B 1472.5nm
C 5153.8nm
D 2945.0nm
答案（C）由2(n-1)t=N得出
11-26、某⼈⽤迈克尔逊⼲涉仪测量⼀光波的波长，当可动反射镜M 移动了0.310mm 的过程中，观察到⼲涉条纹移动了1100条，求该光波的波长
解：d=N /2, =563.6nm。

第9章_振动集美大学物理答案

第9章_振动集美⼤学物理答案班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第9-1 振动⼀．填空题：1．为了测得⼀物体的质量m ，将其挂到⼀弹簧上，并让其⾃由振动，测得振动频率v 1=1.0Hz ；若再将另⼀个质量m 2=0.5kg 的物体单独挂在该弹簧上，测得振动频率v 2=2.0Hz ，则被测物体的质量m = 2.0 kg 。

（设振动均在弹簧弹性限度内进⾏）2．如图为以余弦函数表⽰的简谐运动的振动曲线，则其初相?=3π-或53π，P 时刻的相位为0或2π。

⼆．选择题：3．下列表述中正确的是： ( D )(A) 物体在某⼀位置附近来回往复的运动是简谐振动。

(B) 质点受回复⼒（恒指向平衡位置的作⽤⼒）作⽤，则该质点⼀定作简谐振动。

4．⼀质点沿x 轴作简谐运动，运动⽅程为 x ＝4×10-2 cos(ππ312+t ) (SI) ，从t ＝0时刻起，到质点位置在x ＝－２cm 处，且向x 轴正⽅向运动的最短时间间隔为：（ C ） (A) 1/8 s (B) 1/4 s (C) 1/2 s (D) 1/3 s (E) 1/6 s５．⼀个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A /2，且向x 轴的正⽅向运动，代表此简谐运动的旋转⽮量图为：（ B ）(D)(A)(C)三．计算题：6．作简谐运动的⼩球，速度最⼤值v m =3㎝/s ，振幅A ＝2㎝。

若从速度为正的最⼤值的某时某刻开始计时，求：⑴振动周期；⑵加速度的最⼤值；⑶振动表达式。

解：⑴由ωυA m =，得s rad Am/23==υω，所以s T 342πωπ==；⑵由22/5.4s cm A a m ==ω⑶由题意可得初识时刻的旋转⽮量图如右所⽰，可见2π-=，所以振动表达式为)()223cos(2cm t x π-=7．某振动质点的x-t 曲线如图所⽰，试求：⑴运动⽅程；⑵点P 对应的相位；⑶到达点P 相应位置所需时间。

大学物理下波的振动部分的习题及答案

第九章振动一、简答题1、如果把一弹簧振子和一单摆拿到月球上去,它们的振动周期将如何改变? 答案：弹簧振子的振动周期不变，单摆的振动周期变大。

2、完全弹性小球在硬地面上的跳动是不是简谐振动，为什么？答案：不是，因为小球在硬地面上跳动的运动学方程不能用简单的正弦或余弦函数表示，它是一种比较复杂的振动形式。

3、怎样判定一个振动是否简谐振动？写出简谐振动的运动学方程和动力学方程。

答案：物体在回复力作用下，在平衡位置附近，做周期性的线性往复振动，其动力学方程中加速度与位移成正比，且方向相反:x dt xd 222ω−=或：运动方程中位移与时间满足余弦周期关系:)cos(φω+=t A x 4、简谐运动的三要素是什么？答案：振幅、周期、初相位。

5、一质量未知的物体挂在一劲度系数未知的弹簧上，只要测得此物体所引起的弹簧的静平衡伸长量，就可以知道此弹性系统的振动周期，为什么？答案：因为kmT π2=，若知伸长量为l ，则有kl mg =，于是glT π2=。

6、弹簧振子作简谐运动时，如果振幅增为原来的两倍而频率减小为原来的一半，问它的总能量怎样改变? 答：根据2222121A m kA E ω==，如果是保持质量不变通过减小劲度系数减小频率，则总能量不变；如果是保持劲度系数不变通过增大质量减小频率，则总能量将变为原来的4倍。

二、选择题1、一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A−，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ B ）2、已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程(x 的单位为cm ,t 的单位为s )为( D )：(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛−=ππ3232cos 2x t (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ3232cos 2x t(C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛−=ππ3234cos 2x t (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ3234cos 2x t3、两个同周期简谐运动曲线如图所示，1x 的相位比2x 的相位( B )：(A) 落后2π(B) 超前2π(C) 落后π (D) 超前π4、当质点以频率f作简谐运动时，它的动能的变化频率为( C )：(A)2f (B)f (C) f 2 (D) f 45、一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子,己知其振幅为A ，周期为T ，如果在0t =时质点处于2A 处并且向x 轴正向运动，则振动方程为( D )： (A)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3T 2Acos x ππt (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32T2Acos x ππt (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛−=32T 2Acos x ππt (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛−=3T 2Acos x ππt 6、两个质点各自作简谐振动，他们的振幅相同、周期相同，第一个质点的振动方程为()αω+=t Acos x 1。

《大学物理》第二版课后习题答案第九章

《大学物理》第二版-课后习题答案-第九章习题精解9-1.在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。

设弹簧的劲度系数为k 1和k 2.解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为12()F k k x =-+根据牛顿第二定律有 2122()d xF k k x ma m dt=-+==化简得21220k k d x x dt m++=令212k k mω+=则2220d x x dtω+=所以物体做简谐振动，其周期22T πω==9-2 如图9.2所示在电场强度为E 的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql 的电偶极子，+q 和-q 相距l ，且l 不变。

若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。

试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。

设电荷的质量皆为m ，重力忽略不计。

解取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图9.2所示位置时，电偶极子所受力矩为sin sin sin 22l lM qE qE qEl θθθ=--=- 电偶极子对中心O 点的转动惯量为2221222l l J m m ml ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由转动定律知 2221sin 2d M qEl J ml dtθθβ=-==•化简得222sin 0d qE dt mlθθ+=当角度很小时有sin 0θ≈，若令22qE mlω=，则上式变为222sin 0d dtθωθ+=所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。

而且其周期为22T πω==9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。

汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在 1.3v Hz = 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。

问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？解汽车正常载重时的质量为m ，振子总劲度系数为k ，则振动的周期为2T =，频率为1v T==正常载重时弹簧的压缩量为22220.15()44mg T gx g m k vππ====9-4 一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O 点，如图9.3所示。

9+振动++习题解答

第三篇波动过程光学求解波动过程和光学问题的基本思路和方法教材将这三部分内容安排在一起，是充分考虑到它们之间的关联性，因而在学习这部分内容和求解有关习题时也要学会前后内容和方法上的关联．我们知道振动是波动的基础，机械波就是机械振动在弹性介质中振动状态的传播过程．波动要有波源，所谓波源就是一个振动源．因而要讨论波动情况，首先要熟悉振动的研究．例如：要写波动方程，就要会求波源的振动方程．必须弄清振动物理量和波动物理量的联系和区别．又例如：研究波的干涉（包括光的干涉），就要知道两个同频率、同振动方向简谐运动的合成．这其中相位及相位差是一个十分重要的物理概念，掌握了相位差的计算对掌握振动合成、机械波和光波的干涉等一些题的求解作用很大．因此学好前面的内容对后面帮助很大．下面是这部分内容的几个常用解题方法的简介．一、比较法在振动、波动这二章的习题中，有相当一部分题目是求简谐运动方程和波动方程．通常有两种类型：（1）由题给一些条件求简谐运动或波动方程；（2）由题给振动曲线图和波形图求简谐运动方程和波动方程．而比较法是求解这类问题常用的一种方法．这里的所谓比较法就是针对要求的问题，有目的地先写出简谐运动方程或波动方程的一般形式，即()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=波动方程简谐运动方程 π2cos cos cos 000λx T t A u x t ωA y t ωA y 然后采用比较法与已知条件比较确定式中各相应的物理量．实际求解的题中往往只有少数量是未知的，只要设法由已知条件配合其他方法求出这些未知量，整个问题就解决了．这种解题思路的好处是目的明确，知道自己要做什么和如何去完成．这里要求读者真正掌握简谐运动方程和波动方程一般表示式，并理解其中每个量的物理意义．请读者结合参阅9-7,10-9 等题的求解过程，来学会这种解题的方法．二、旋转矢量法描述振动可以用解析法、图示法和旋转矢量表示法等．旋转矢量表示法就是将简谐运动与一旋转矢量OA 对应，使矢量作逆时针匀速转动，其长度等于简谐运动的振幅A ，角速度等于简谐运动的角频率ω．在t ＝0 时，它与参考坐标轴的夹角为简谐运动的初相位φ．这时，旋转矢量末端在参考坐标轴上的投影点的运动规律即可代表质点作简谐运动的规律．旋转矢量表示法是研究简谐运动及其合成的直观而有力的方法．尤其在求振动的初相位和相位时非常方便．在求振动方程，波动方程时常需求原点的振动初相位，因此掌握好这种方法很关键．读者可以结合参阅9-12、9-14、9-15、10-3、10-14 等题的解去体会这种方法的好处．三、相位分析法相位是研究振动、波动问题的有效工具．无论是建立振动方程、比较两个振动的差异、研究振动的合成，或是表述波动特征、导出波动方程和研究波的干涉及学习波动光学等都离不开相位和相位差的概念和计算．常用相位分析法求解下述四类问题．1．在振动合成问题中，两个同频率、同方向简谐运动合成时，它们的相位差12Δ-=是一个常量，合振动的振幅大小A A A A A cos Δ2212221++=，其值由Δ决定．其中特殊情况是()()()⎩⎨⎧-=++==2121 π12 π2ΔA A A k A A A k 振幅最小振幅极大请读者参阅题9-28、题10-20等的求解过程，可体会到相位差Δ的重要性．2．在波动中，波线上各点相位有密切联系．因为波动是波源的振动状态由近及远向外传播的过程，也称为振动相位的传播．对于平面简谐波，波线上任两点的相位差λx /Δπ2Δ⋅=是一定的．波线上所有点都重复同一种运动状态，只是相位不同而已．因此只要知道波线上任一点的运动方程，就可通过求相位差而得出其他点的运动方程．3．在波的干涉中，干涉问题实际上是振动合成问题．波场中任一点，参与的合成运动是来自两个同频率、同方向简谐运动的波源，合成结果仍是简谐运动，合振动振幅A 的值取决于分振动的相位差．但要注意这种情况的相位差为 ()12121122π2π2π2Δx x λx λt ωx λt ω---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 这里相位差由两个分振动的波源初相位差和两列波到达场点的波程差决定．波场中不同点，由于波程差()12x x -值不同而使ϕ∆不同，合振幅就有强弱之分，这就是波的干涉现象．讨论波的干涉，求干涉极大和极小的位置分布，采用相位分析法很方便．４．在光的干涉中，两束光在相遇区出现明、暗条纹，实际上就是两束振幅相同的相干光波因干涉使合成振动振幅出现极大和相消的问题．因此只要求出两束光在相遇点的相位差即可．所以对杨氏双缝、牛顿环、劈尖、薄膜和迈克尔逊干涉仪等干涉，其核心问题就是找出两束相干光的相位差ϕ∆．有了ϕ∆则结果为()()()⎩⎨⎧+=暗条纹明条纹 π12 π2Δk k 考虑到两束相干光的初相位差为零，则可有δλπ2Δ=．δ是光程差，λ是光在真空中的波长．那么上式也可表达为()()()⎩⎨⎧+=暗条纹明条纹 π12 π2Δk k因此当你掌握了相位差（或光程差）的计算，光的干涉问题就基本解决了，对于不同问题只是等式左边形式的不同而已．例如薄膜干涉，22/λδ+=ne 或ne 2=δ（要仔细考虑半波损失情况，决定是否加2/λ项）．如果你理解了这一点，能帮助你提高解题能力．而对于光的衍射，其本质仍是光波的干涉，不论是多缝的光栅衍射，还是单缝衍射，在讨论其明暗衍射条纹时，仍然是从相位差分析出发．对光栅衍射，当光栅常数为b b '+时，对应不同的衍射角ϕ，任意相邻两缝到屏上某点的光程差为()λk b b δ='+=sin时出现明条纹（即两束相干光在该点相遇时相位差为π2）．而对单缝衍射，要注意的是明暗条纹公式为()()()⎩⎨⎧+==明条纹暗条纹 2/12 sin λk λk φa δ但这也可由相位差分析得到．如图，对应屏上P 点，将单缝波阵面AB 分成1AA 、21A A 、BA 2等段，使A 、1A 、2A 、B 这些相邻点的光到达P 点的相位差为π（对应的光程差为2/λ，即图中22211/λ===C B B B BB ）．由于在相邻的1AA 和21A A 段波阵面上均能找到相位差为π的一一对应点，从而使它们在P 点干涉相消．这样当AB 被分成偶数段这样的波阵面时（对应()2/12sin λk a BC +==），屏上P 点出现暗条纹，而当AB 被分成奇数段这样的波阵面时（对应()2/12sin λk φa BC +==），将有一段不会被抵消，而使屏上出现明条纹．第九章振动9-1 一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A -，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（）题９-１图分析与解（b ）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A /2，且投影点的运动方向指向O x 轴正向，即其速度的x 分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b ）．9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a ）所示，则此简谐运动的运动方程为（）()()()()()()()()cm π32π34cos 2D cm π32π34cos 2B cm π32π32cos 2C cm π32π32cos 2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t x t x t x t x题９-２图分析与解由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 –A /2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为3/π2．振动曲线上给出质点从–A /2 处运动到+A 处所需时间为 1 s ，由对应旋转矢量图可知相应的相位差3/π4Δ=，则角频率()1s 3/π4Δ/Δ-==t ω，故选（D ）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案．9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a ）所示， x 1 的相位比x 2 的相位（）（A ）落后2π （B ）超前2π （C ）落后π （D ）超前π 分析与解由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b ）即可得到答案为（b ）．题９-３图9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（）（A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 分析与解质点作简谐运动的动能表式为()ϕωω+=t A m E k 222sin 21，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C ）． 9-5 图（a ）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（）（A ） π23 （B ）π21 （C ）π （D ）0 分析与解由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是π（即反相位）．运动方程分别为t A x ωcos 1=和()πcos 22+=t ωA x ．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b ）很方便求得合运动方程为t A x ωcos 21=．因而正确答案为（D ）．题９-５图9-6 有一个弹簧振子，振幅m 10022-⨯=.A ，周期s 01.=T ，初相4/π3=．试写出它的运动方程，并作出t x -图、t -v 图和t a -图．题９-6 图分析弹簧振子的振动是简谐运动．振幅A 、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程()ϕω+=t A x cos 的三个特征量．求运动方程就要设法确定这三个物理量．题中除A 、ϕ已知外，ω可通过关系式T ω/π2=确定．振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同．解因T ω/π2=，则运动方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=t π2cos cos T A t ωA x 根据题中给出的数据得 ()()m 75.0π2cos 100.22πt x +⨯=-振子的速度和加速度分别为()()-12s m π75.0π2sin 10π4d /d ⋅+⨯-==-t y x v()()-1222s m π75.0π2cos 10π8d /d ⋅+⨯-==-t y x a t x -、t -v 及t a -图如图所示．9-7 若简谐运动方程为()()m π25.0π20cos 10.0+=t x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度．分析可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果．解（1）将()()m π25.0π20cos 10.0+=t x 与()ϕω+=t A x cos 比较后可得：振幅A ＝0.10m ，角频率1s π20-=ω，初相ϕ＝0.25π，则周期s 1.0/π2==ωT ，频率Hz /1T =v ．（２）s 2=t 时的位移、速度、加速度分别为()m 1007.7π25.0π40cos 10.02-⨯=+=t x()-1s m 44.4π25.0π40sin π2d /d ⋅-=+-==t x v()-22222s m 1079.2π25.0π40cos π40d /d ⋅⨯-=+-==t x a9-8 一远洋货轮，质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S ．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．分析要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F 与位移x 间的关系，如果满足kx F -=，则货轮作简谐运动．通过kx F -=即可求得振动周期k m ωT /π2/π2==．证货轮处于平衡状态时［图（a ）］，浮力大小为F ＝mg ．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O ，竖直向下为x 轴正向，如图（b ）所示．则当货轮向下偏移x 位移时，受合外力为∑'+=F P F其中F '为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为gSx mg gSx F F ρρ+=+='题９-８图则货轮所受合外力为kx gSx F P F -=-='-=∑ρ式中gS k ρ=是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．由∑=t x m F 22d d /可得货轮运动的微分方程为 0d d 22=+m gSx t x //ρ 令m gS /ρω=2，可得其振动周期为gS ρm πωT /2/π2==9-9 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度33m kg 1055-⋅⨯=.ρ．现假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为m 的质点在此隧道内作无摩擦运动．（1）证明此质点的运动是简谐运动；（2）计算其周期．题９-９图分析证明方法与上题相似．分析质点在隧道内运动时的受力特征即可．证（1）取图所示坐标．当质量为m 的质点位于x 处时，它受地球的引力为2x m m G F x -= 式中G 为引力常量，x m 是以x 为半径的球体质量，即3/π43x ρm x =．令3/π4Gm ρk =，则质点受力kx Gmx ρF -==3/π4因此，质点作简谐运动．（2）质点振动的周期为s 1007.5/π3/π23⨯===ρG k m T9-10 如图（a ）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为1k 、2k ．当物体在光滑斜面上振动时．（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率．题9-10 图分析从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b ）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O ，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率υ．证设物体平衡时两弹簧伸长分别为1x 、2x ，则由物体受力平衡，有2211sin x k x k mg ==θ （1）按图（b ）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x 时，两弹簧又分别被拉伸1x '和2x '，即21x x x '+'=．则物体受力为()()111222sin sin x x k mg x x k mg F '+-='+-=θθ （２）将式（1）代入式（2）得1122x k x k F '-='-= （３）由式（3）得11k F x /-='、22k F x /-='，而21x x x '+'=，则得到 ()[]kx x k k k k F -=+-=2121/式中()2121k k k k k +=/为常数，则物体作简谐运动，振动频率 ()m k k k k πm k ωv 2121/21/π21π2/+=== 讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2）如果振动系统如图（c ）（弹簧并联）或如图（d ）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为()m k k v /π2121+=，读者可以一试．通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．*9 －11 在如图（a ）所示装置中，一劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为1m 的物体A ，置于光滑水平桌面上．现通过一质量m 、半径为R 的定滑轮B （可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为2m 的物体C ．设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率．题9-11 图分析这是一个由弹簧、物体A 、C 和滑轮B 组成的简谐运动系统．求解系统的振动频率可采用两种方法．（1）从受力分析着手．如图（b ）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A 相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O ，此时弹簧已伸长0x ，且g m kx 20=．当弹簧沿x O 轴正向从原点O 伸长x 时，分析物体A 、C 及滑轮B 的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程．（2）从系统机械能守恒着手．列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程．解1 在图（b ）的状态下，各物体受力如图（c ）所示．其中()i F 0x x k +-=．考虑到绳子不可伸长，对物体A 、B 、C 分别列方程，有()22101d d tx m x x k F T =+-= （1） 22222d d tx m F g m T =- （2） ()2212d d 21tx mR J R F F T T ==-α （3） g m kx 20= （4）方程（3）中用到了22T T F F '=、11T T F F '=、22/mR J =及R a /=α．联立式（1）～式（4）可得02d d 2122=+++x m m m k t x / （5）则系统振动的角频率为 ()221//m m m k ++=ω解2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒．设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离x （此时速度为v 、加速度为a ）为末状态，则由机械能守恒定律，有()20222212021212121x x k ωJ m m gx m E +++++-=v v 在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取．为运算方便，选初始状态下物体C 所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点．将上述方程对时间求导得()tx x x k t ωωJ t m t m g m d d d d d d d d 00212+++++-=v v v vv 将22/mR J =，v =R ω，22d /d d /d t x t =v 和02kx g m = 代入上式，可得 02d d 2122=+++x m m m k t x / （6）式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致．9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50ｓ．当t ＝0 时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置、向负方向运动；（3）物体在x ＝-1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．分析在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x 0 和v ＝v 0 来确定φ值．（2）旋转矢量法：如图（a ）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x 0 和速度v 0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．题9-12 图解由题给条件知A ＝2.0 ×10-2 m ，1s π4/2-==T ω，而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求．解析法：根据简谐运动方程()ϕω+=t A x cos ，当0t =时有()ϕω+=t A x c o s 0，sin 0ωA -=v ．当（1）A x =0时，1cos 1=ϕ，则01=ϕ；（2）00=x 时，0cos 2=ϕ，2π2±=，因00<v ，取2π2=；（3）m 100120-⨯=.x 时，50cos 3.=ϕ，3π3±= ，由00<v ，取3π3=；（4）m 100120-⨯-=.x 时，50cos 4.-=ϕ，3ππ4±= ，由00>v ，取3π44=．旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b ）所示，它们所对应的初相分别为01=ϕ，2π2=，3π3=，3π44=．振幅A 、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为（1）()m t πcos4100.22-⨯=x（2）()()m /2πt π4cos 100.22+⨯=-x（3）()()m /3πt π4cos 100.22+⨯=-x（4）()()m /3π4t π4cos 100.22+⨯=-x 9-13 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m ．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1）当t ＝0 时，物体在平衡位置上方8.0 ×10-2 ｍ处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2）当t ＝０时，物体在平衡位置并以0.6ｍ·s -1的速度向上运动，求运动方程．分析求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A 、ω和φ．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数k ）决定的，即ω=k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相φ需要根据初始条件确定．题9-13 图解物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F ＝mg ．而此时弹簧的伸长量Δl ＝9.8 ×10-2m ．则弹簧的劲度系数k ＝F ／Δl ＝mg ／Δl ．系统作简谐运动的角频率为1s 10-=∆==l g m k //ω（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向．由初始条件t ＝0 时，x 10 ＝8.0 ×10-2 m 、v 10 ＝0 可得振幅()m 10082210210-⨯=+=./ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相π1=［图（a ）］．则运动方程为()()m π10t cos 100.821+⨯=-x（2）t ＝０时，x 20 ＝0、v 20 ＝0.6 ｍ·s -1 ，同理可得()m 100622202202-⨯=+=./ωv x A ；2/π2=［图（b ）］．则运动方程为()()m π5.010t cos 100.622+⨯=-x9-14 某振动质点的x -t 曲线如图（a ）所示，试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的相位；（3）到达点P 相应位置所需的时间．分析由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量A 、ω和0ϕ，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．解（1）质点振动振幅A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t 0 ＝0 和t 1 ＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b ）所示．由图可见初相3/π0-=（或3/π50=），而由()3201//ππω+=-t t 得1s 24/π5-=ω，则运动方程为 ()m 3/π24π5cos 10.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x题9-14 图（2）图（a ）中点P 的位置是质点从A ／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c ）所示．当初相取3/π0-=时，点P 的相位为()000=-+=p p t ωϕϕ（如果初相取成3/π50=，则点P 相应的相位应表示为()π200=-+=p p t ω．（3）由旋转矢量图可得()3/π0=-p t ω，则s 61.=p t ．9-15 作简谐运动的物体，由平衡位置向x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？（1）由平衡位置到最大位移处；（2）由平衡位置到x ＝A /2 处；（3）由x ＝A /2处到最大位移处．解采用旋转矢量法求解较为方便．按题意作如图所示的旋转矢量图，平衡位置在点O ．（1）平衡位置x 1 到最大位移x 3 处，图中的旋转矢量从位置1 转到位置3，故2/πΔ1=，则所需时间 411//T t =∆=∆ωϕ（2）从平衡位置x 1 到x 2 ＝A /2 处，图中旋转矢量从位置1转到位置2，故有6/πΔ2=，则所需时间 1222//T t =∆=∆ωϕ（3）从x 2 ＝A /2 运动到最大位移x 3 处，图中旋转矢量从位置 2 转到位置3，有3/πΔ3=，则所需时间633//T t =∆=∆ωϕ题9-15 图9-16 在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0 kg 的重物．现使平板沿竖直方向作上下简谐运动，周期为0.50ｓ，振幅为2.0×10-2 m ．求：（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？题9-16 图分析按题意作示意图如图所示．物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力P 和板支持力F N 作用，F N 是一个变力．按牛顿定律，有22d d ty m F mg F N =-= （1）由于物体是随板一起作简谐运动，因而有()ϕωω+-==t A ty a cos d d 222，则式（1）可改写为()ϕωω++=t mA mg F N cos 2 （2）（1）根据板运动的位置，确定此刻振动的相位ϕω+t ，由式（2）可求板与物体之间的作用力．（2）由式（2）可知支持力N F 的值与振幅A 、角频率ω和相位（ϕω+t ）有关．在振动过程中，当π=+t ω时N F 最小．而重物恰好跳离平板的条件为N F ＝0，因此由式（2）可分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅．解（1）由分析可知，重物在最低点时，相位ϕω+t ＝0，物体受板的支持力为()N 9612222./=+=+=t mAmg mA mg F N πω 重物对木块的作用力N F ' 与N F 大小相等，方向相反．（2）当频率不变时，设振幅变为A ′．根据分析中所述，将N F ＝0及π=+t ω代入分析中式（2），可得m 102.6π4//2222-⨯==='gT ωm mg A（3）当振幅不变时，设频率变为v '．同样将N F ＝0及π=+t ω代入分析中式（2），可得Hz 52.3/π21π22==='mA mg ωv 9-17 两质点作同频率、同振幅的简谐运动．第一个质点的运动方程为()ϕω+=t A x cos 1，当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点，试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差．题9-17 图解图示为两质点在时刻t 的旋转矢量图，可见第一个质点M 的相位比第二个质点N 的相位超前2/π，即它们的相位差Δφ＝π/2．故第二个质点的运动方程应为()2cos 2/πϕω-+=t A x9-18 图（a ）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm ，求（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程．分析根据v -t 图可知速度的最大值v max ，由v max ＝A ω可求出角频率ω，进而可求出周期T 和加速度的最大值a max ＝A ω2 ．在要求的简谐运动方程x ＝A cos （ωt ＋φ）中，因为A 和ω已得出，故只要求初相位φ即可．由v －t 曲线图可以知道，当t ＝0 时，质点运动速度v 0 ＝v max /2 ＝A ω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x 轴正向向着平衡点运动．利用v 0 ＝－A ωsinφ就可求出φ．解（1）由ωA v =max 得1s 51-=.ω，则s 2.4/π2==ωT（2）222max s m 1054--⋅⨯==.ωA a（3）从分析中已知2/sin 0ωA ωA =-=v ，即21sin /-=ϕ6/π5,6/π--=因为质点沿x 轴正向向平衡位置运动，则取6/π5-=，其旋转矢量图如图（b ）所示．则运动方程为 ()()cm 6/π55.1cos 2-=t x题9-18 图9-19 有一单摆，长为1.0m ，最大摆角为5°，如图所示．（1）求摆的角频率和周期；（2）设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3）摆角为3°时的角速度和摆球的线速度各为多少？题9-19 图分析单摆在摆角较小时（θ＜5°）的摆动，其角量θ与时间的关系可表示为简谐运动方程()ϕωθθ+=t cos max ，其中角频率ω仍由该系统的性质（重力加速度g 和绳长l ）决定，即l g /=ω．初相φ与摆角θ，质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同的物理概念，必须注意区分．解（1）单摆角频率及周期分别为s 01.2/π2;s 13.3/1====-ωT l g ω（2）由0=t 时o max 5==θθ可得振动初相0=ϕ，则以角量表示的简谐运动方程为t θ13.3cos 36π=（３）摆角为3°时，有()60cos max ./==+θθϕωt ，则这时质点的角速度为()()1max 2max max s2180800cos 1sin /d d --=-=+--=+-=..ωθϕωωθϕωωθθt t t线速度的大小为 1s 2180/d d --==.t l v θ讨论质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别．这是因为在导出简谐运动方程时曾取θθ≈sin ，所以，单摆的简谐运动方程仅在θ 较小时成立．9-20 为了测月球表面的重力加速度，宇航员将地球上的“秒摆”（周期为2.00ｓ），拿到月球上去，如测得周期为4.90ｓ，则月球表面的重力加速度约为多少？（取地球表面的重力加速度2E s m 809-⋅=.g ）解由单摆的周期公式g l T /π2=可知21T g /∝，故有2M 2E E M T T g g //=，则月球的重力加速度为()2E 2M E M s m 631-⋅==./g T T g9-21 一飞轮质量为12kg ，内缘半径r ＝0.6ｍ，如图所示．为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为2.0s ，试求其绕质心轴的转动惯量．9-21 题图分析飞轮的运动相当于一个以刃口为转轴的复摆运动，复摆振动周期为c /π2mgl J T =，因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离c l ，其以刃口为转轴的转动惯量即可求得．再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量．解由复摆振动周期c /π2mgl J T =，可得22π4/mgrT J =．则由平行轴定理得 222220m kg 8324⋅=-=-=./mr mgrT mr J J π9-22 如图（a ）所示，质量为1.0 ×10-2kg 的子弹，以500m·s -1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg ，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m -1 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程．题9-22 图分析可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v 0 ，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m 1 ＋m 2 和弹簧的劲度系数k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v 0 和初位移x 0 ）求得．初相位仍可用旋转矢量法求．解振动系统的角频率为 ()121s 40-=+=m m k /ω由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v 0 为()12110s m 01-⋅=+=.m m v m v又因初始位移x 0 ＝0，则振动系统的振幅为 ()m 105.2//202020-⨯==+=ωωx A v v图（b ）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位2/π0=，则简谐运动方程为()()m π0.540cos 105.22+⨯=-t x9-23 如图（a ）所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，其下挂有一质量为m 1 的空盘．现有一质量为m 2 的物体从盘上方高为h 处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动．问：（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？（2）此时的振幅为多大？。

9.第九章习题解答

第九章机械波选择题9—1 下列叙述正确的是（ C ） (A) 机械振动一定能产生机械波;(B) 波函数中的坐标原点一定要设在波源上; (C) 波动传播的是运动状态和能量;(D) 振动的速度与波的传播速度大小相等.9—2 下列叙述正确的是（ C ） (A) 波只能分为横波和纵波;(B) 介质中各质点以波速向前运动;(C) 质点振动的周期与波动的周期数值相等; (D) 波在传播的过程中经过不同介质时波长不变.9—3 一平面简谐波通过两种不同的均匀介质时,不会变化的物理量是（ D ） (A) 波长和频率; (B) 波速和频率; (C) 波长和波速; (D) 频率和周期. 9—4 一平面简谐波的波函数为co s()x y A t uωω=-式中x uω-表示（ D ）(A) 波源振动的相位; (B) 波源振动的初相; (C) x 处质点振动的相位; (D) x 处质点振动的初相.9—5 一平面简谐波在弹性介质中传播,某一时刻介质中一质点正处于平衡位置,此时该质点（ C ）(A) 动能为零,势能最大; (B) 动能为零,势能为零; (C) 动能最大,势能最大; (D) 动能最大,势能为零.9—6 一平面简谐波在弹性介质中传播,介质中某质点从最大位移返回平衡位置的过程中（ C ）(A) 它的势能转换成动能; (B) 它的动能转换成势能; (C) 它的能量逐渐增加; (D) 它的能量逐渐减少.9—7 两波源发出的波相互干涉的必要条件是:两波源（ A ） (A) 频率相同、振动方向相同、相位差恒定; (B) 频率相同、振幅相同、相位差恒定;(C) 发出的波传播方向相同、振动方向相同、振幅相同; (D) 发出的波传播方向相同、频率相同、相位差恒定.9—8 在驻波中,相邻两个波节之间各质点的振动（ C ） (A) 振幅相同,相位相同; (B) 振幅相同,相位不同; (C) 振幅不同,相位相同; (D) 振幅不同,相位不同.9—9 一频率为ν的驻波,其相邻两波节间的距离为d ,则形成该驻波的两列波的波长和波速分别是（ D ）(A) ,d d ν; (B) 2,d d ν; (C) ,2d d ν; (D) 2,2d d ν.9—10 一平面简谐波,振幅增大为原来的两倍,而周期减小为原来的一半,则后者波的强度I 与原来波的强度0I 之比为（ D ）(A) 1; (B) 2; (C) 4; (D) 16.9—11 声音Ⅰ的声强级比声音Ⅱ的声强级大1d B ,则声音Ⅰ的声强1I 与声音Ⅱ的声强2I 的比值为（ D ）(A) 20.110.计算题9—12 一波源在O x 轴的原点O 处做简谐运动,其运动方程为3410co s 240πy t =⨯式中,y 的单位为m ,t 的单位为s .该波源形成的波以130m s -⋅的速度沿O x 轴正方向传播.求:(1) 波的周期和波长; (2) 波函数.解 (1) 波的周期为32π2π1s s 8.3310s 240π120T ω-====⨯波长为m 130m 0.250120u T λ==⨯=(2) 波函数为()33410co s 240π30 410co s 240π8πx y t t x --⎡⎤⎛⎫=⨯-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⨯-式中x 和y 的单位为m ,t 的单位为s .9—13 一平面简谐波沿O x 轴正方向传播,波速14m s u -=⋅.已知0x =处质点的运动方程为π0.2co s(2π)2y t =+式中, y 的单位为m ,t 的单位为s .求:(1) 波函数;(2) 2m x =处质点的运动方程. 解 (1) 波函数为π0.2cos 2π42ππ 0.2cos 2π22x y t t x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ (2) 2m x =处质点的运动方程ππ0.2cos 2π222π 0.2cos 2π2y t t ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⎪⎝⎭在上面两式中,x 和y 的单位为m ,t 的单位为s .9—14 一波源在O x 轴的原点O 处做简谐运动,周期为0.02s .该振动以1100m s -⋅的速度沿O x 轴负方向传播,形成振幅为0.3m 的平面简谐波.设0t =时,波源位于平衡位置且向O y 轴正向运动.求:(1) 波函数;(2) 1s t =时O x 轴上各质点的位移分布规律.解 (1) 0t =时,原点O 处质点简谐运动的旋转矢量的位置如图.由图可得,初相为π2ϕ=-.原点O 处质点的简谐运动方程为2πco s 2ππ 0.3co s 0.022π 0.3co s 100π2y A T t t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭波函数为π0.3co s 100π()1002π 0.3co s 100ππ2x y t t x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(2) 1s t =时,x 处的质点的位移为π0.3co s 100ππ2π 0.3co s π2y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭此即1s t =时,O x 轴上各质点的位移分布规律.在上面各式中,x 和y 的单位为m ,t 的单位为s .9—15 已知一平面简谐波在介质中以速度110m s u -=⋅沿O x 轴负方向传播.原点处质点的运动方程为20π2.010co s(2π)2y t -=⨯+式中,0y 的单位为m ,t 的单位为s .求:(1) 波函数;(2) 在0t =时, 1.25m x =处质点的振动速度. 解 (1) 波函数为22π2.010co s 2π()102ππ 2.010co s 2π52x y t t x --⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭式中x 和y 的单位为m ,t 的单位为s .(2) x 处的质点,在时刻t 的振动速度为2ππ4.0π10sin 2π52y t x t-∂⎛⎫==-⨯++ ⎪∂⎝⎭v在0t =时, 1.25m x =处,质点的振动速度为2121ππ4.0π10sin 1.25m s 8.8810m s 52----⎛⎫=-⨯⨯+⋅=-⨯⋅ ⎪⎝⎭v9—16 一横波沿绳子传播时波函数为0.05cos(10π4π)y t x =-式中, x 、y 的单位为m ,t 的单位为s .求绳上各点振动的最大速度和最大加速度.解绳上x 处的质点,在时刻t 的振动速度和加速度分别为0.50πsin (10π4π)y t x t∂==--∂v25.0πco s(10π4π)a t x t∂==--∂v绳上各点振动的最大速度和最大加速度分别为11m ax 0.50πm s1.57m s--=⋅=⋅v212m ax 5πm s49.3m sa --=⋅=⋅9—17 一平面简谐波的波函数为2410cos π(10005)y t x -=⨯-式中,x 、y 的单位为m ,t 的单位为s .求:(1) 该波的振幅、频率、波长和波速; (2) 1.5m x =处质点的运动方程. 解 (1) 将波函数改写为22410co s π(10005)410co s 1000π200x y t x t --⎡⎤⎛⎫=⨯-=⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与平面简谐波波函数的通用形式co s 2π()x y A t u νϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭比较,可得振幅、频率和波速分别为2410m A -=⨯ 500H z ν= 1200m su -=⋅波长为200m 0.400m 500u λν===(2) 1.5m x =处的质点的运动方程为22410co s π(10005 1.5)π 410co s(1000π)2y t t --=⨯-⨯=⨯+式中x 和y 的单位为m ,t 的单位为s .9—18 一平面简谐波的波函数为0.02cos π(504)y t x =+式中, x 和y 的单位为m ,t 的单位为s .求:(1) 该波的周期、波长、波速和波的传播方向; (2) 2s t =时O x 轴上各质点的位移分布规律. 解(1) 该波沿O x 轴负向传播.将波函数改写为0.02co s π(504)0.02co s 50π()12.5x y t x t =+=+与沿O x 轴负向传播的平面简谐波波函数的通用形式s co s 2π()x y A t u νϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭比较,可得波速和频率分别为112.5m su -=⋅ 25H z ν=周期为10.040s T ν==波长为12.50.040m 0.50m uT λ==⨯=(2) 2s t =时,O x 轴上各质点位移的分布规律为0.02co s π(5024) 0.02co s 4πy x x=⨯+=式中x 和y 的单位为m .9—19 一平面简谐波的振幅为0.001m ,周期为0.01s ,波速为1200m s -⋅,沿O x 轴正方向运动.当0t =时,O x 轴原点O 处的质点位于平衡位置,且向O y 轴负向运动.求:(1) 波函数;(2) 波线上距离原点9m 和10m 处两质点的相位差.解 (1) 原点O 处质点振动的振幅和周期,与简谐波的振幅和周期相同.0t =时,原点O 处质点简谐运动的旋转矢量的位置如图.由图可得,初相为π2ϕ=.原点O 处质点的简谐运动方程为02πco s 2ππ 0.001co s 0.012π 0.001co s 200π2t y A T tt ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭平面简谐波的波函数为π0.001s co s 200π()2002π 0.001s co s 200ππ2x y t t x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭式中x 和y 的单位为m ,t 的单位为s .(2) 该平面简谐波的波长为2000.01m 2m T λν==⨯=距离原点为19m x =和210m x =处两质点的相位差为212π2π()(109)π2x x δλ=-=-=9—20 一余弦式空气波沿直径为0.14m 的圆柱管传播,波的能流密度为328.5010W m--⨯⋅,频率为256H z ,波速为1340m s-⋅.求:(1) 波的平均能量密度;(2) 波的最大能量密度;(3) 相邻的两个同相位面之间空气中的波的能量. 解 (1) 由I =w u ,可得波的平均能量密度为33538.5010J m2.5010J m340I u ----⨯==⋅=⨯⋅w(2) 波的最大能量密度为5353m ax 22 2.5010J m5.0010J m----==⨯⨯⋅=⨯⋅w w(3) 相邻两同相波面之间的距离是一个波长,其间空气柱的体积为2π4d V λ=.相邻两同相波面之间空气中的的波的能量为22227πππ0.148.5010J 5.1010J 444256I d d I W V uλν--⨯⨯⨯=====⨯⨯w9—21 一列波在介质中传播,波速为311.010m s-⨯⋅,振幅为41.010m -⨯,频率为31.010H z ⨯.若介质的密度为238.010kg m-⨯⋅.求:(1) 该波的能流密度;(2) 1m in 内通过垂直于波的传播方向、面积为424.010m -⨯的平面的总能量.解 (1) 波的能流密度为()()2222222222234325211(2π)2π222π8.010 1.010 1.010 1.010W m1.5810W mI uA uA uA ρωρνρν---====⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅=⨯⋅(2) 1m in 内通过垂直于波的传播方向、面积为424.010m S -=⨯的平面的总能量为5431.5810 4.01060J 3.7910J W IS t -=∆=⨯⨯⨯⨯=⨯9—22 如图所示,同一介质中两个相干波源分别位于A 、B 点,它们相位相同,频率皆为100H z ,发出振幅皆为A 的两列波.介质中波速为110m s-⋅.求两列波在点P 处引起的合振动振幅.解两列相干波的波长为10m 0.10m 100u λν===图示P A A B ⊥.由几何关系可知,25m B P =.两列波的波程差为(2510)m =15m B P A P -=-是半波长的300倍,为偶数倍.因此,两列波在点P 处引起的合振动的振幅最大,是两列波的振幅之和,大小为2A .9—23 两个初相相同的相干波源分别位于A 、B 点,它们发出振幅分别为1A 和2A ,频率为ν,波长为λ的两列平面简谐波.A 、B 之间的距离为32λ,C 为A B 延长线上的任一点.求两列波在点C 引起的合振动振幅.解两列波到达点C 时的波程差为2132r r λ-=是半波长的奇数倍,因此,两列波在点C 引起的合振动的振幅最小,是两列波的振幅之差,大小为12A A A =-.9—24 绳索上驻波的表达式为0.8cos 2πcos 50πy x t =式中, x 、y 的单位为m ,t 的单位为s .求:(1) 形成该驻波的两列波的振幅、波长和波速; (2) 相邻两波节之间的距离. 解 (1) 将0.8cos 2πcos 50πy x t =和两列沿O x 轴相向传播的等幅相干波形成的驻波方程2π2π2co sco sy A x t T λ=相比较,可得形成该驻波的两列波的振幅、波长和周期为0.4m A = 1m λ= 1s 0.040s 25T ==波速为111m s25m s0.040u Tλ--==⋅=⋅(2) 相邻两波节之间的距离为1m 0.5m 22d λ===9—25 一驻波中相邻两波节之间的距离5cm d =,各质振动点的频率310H z ν=.求形成该驻波的两列波的波长和传播速度.解由2d λ=,可得形成该驻波的两列波的波长为210cm d λ==两列波的波速为3110.110m s100m su λν--==⨯⋅=⋅。

大学物理(马文蔚版)高等教育出版社第九章

第九章振动1、设一物体沿x 轴作谐振动的方程为)42cos(10.0ππ+=t x，式中x ，t 的单位分别为m ，s .试求：（1）振幅，周期，频率和初相；（2）s t 5.0=时，物体的位移、速度和加速度. 解：（1）谐振动的标准方程为)cos(ϕω+=t A x ，比较题中所给方程和标准方程，知振幅m A 10.0=，角频率πω2=s rad /，初相4πϕ=.由此，周期为12==ωπTs 频率为12==πωνHz （2）0.5s 时，物体位移m m x 21007.7)45.02cos(10.0)42cos(10.0-⨯-=+⨯=+=ππππ速度s m s m t dt dx v/44.0/)45.02sin(2.0)42sin(2.0=+⨯-=+-==ππππππ 加速度2222/28/)45.02cos(4)42sin(4s m s m t dt dv a =+⨯-=+-==ππππππ 2、一质点做简谐振动，周期为2=Ts,起始时刻质点对平衡位置的位移为06.00=X m ，速度π306.00-=v m.s 1-。

求：（1）此谐振动表达式。

（2）4Tt =时质点的位置、速度、加速度。

解：（1）由题意知ππ2==Tωs 1- 12.0π3π06.006.022222220=⋅⋅+=+=ωov x A m306.0ππ306.0tan 000=⋅⋅⋅=-=x v ωϕ 因为0v -为正， 0x ω亦为正，故0ϕ在I 象限，所以 3π=ϕ，谐振动方程式为： )3ππcos(12.0+=t x m（2）424==T ts 时，位置、速度、加速度分别为 )cos(0ϕω+=t A x 104.0)3π21πcos(12.0-=+⨯=)sin(0ϕωω+-=t A v 18.0)3π21πsin(12.0π-=+⨯⨯-= m.s 1-)cos(02ϕωω+-=t A a 1-2 m.s 03.1)3π21πcos(12.0π=+⨯⨯-=3、若简谐振动方程为)π5.0π10cos(10.0+=t x m ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）2=t s 时的位移、速度和加速度。

第九章振动习题册解答 (1)

分析：总能量： E = 1 k A2 2
势能：
E P1
=
1 2
k
(A)2 3
=
1 9
E;
动能：
E k1
=
E
-
E P1
=
8 9
E;
E P2
=
1 2
k
(A)2 2
=
1 4
E
E k2
=
E - EP2
=
3 4
E
9.8 把单摆小球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止释放，使其摆动。从放手时开始计时，若用余弦函数表示运动方程，则该单摆振动的初相位为:[ B ]
（m）
§9.3~9.7
9.6 一个弹簧振子，作简谐振动，已知此振子势能的最大值为 100J。当振子处于最大位移
的一半处时其动能瞬时值为：[ C ]
（A） 25J；（B） 50J；（C） 75J；（D） 100J。
分析：总能量 E = 1 k A2 = 100J 2
振子处于最大位移一半时，势能为 EP
2π m
分析：
T = 2π = 2π ω
m ν=1 k， T
k m
α
正
k
m
mg.sinα α
mg
平衡位置：kl=mg.sin α 任意位置：k(l-x)- mg.sinα =ma
a = − k x ，令ω = k ，则T = 2π m
m
m
k
9.3 一弹簧振子，振动方程为 x=0.1cos(πt-π/3)·m，若振子从 t=0 时刻的位置到达 x=-0.05m 处，且向 X 轴负向运动，则所需的最短时间为：[ D ]

物理化学第九章课后题答案

9.14 已知气体2I 相邻振动能级的能量差J 2010426.0，试求300K 时2I 分子的,,v v v vf q q 及。

解：Jh2010426.0Kkh v5.308当T=300K 时，9309.0)(122TTvvveeq 557.1)1(1Tvveq 557.10vvq f 9.16已知气态I原子的20,e g ，21,e g 电子第一激发态与基态能量之差J e2010510.1，试计算1000K 时气态I 原子的电子配分函数e q以及在第一激发态的电子分布数1n 与总电子数N 之比。

解：kTe kTe kTii e ee e ie eg eg eg q 1,0,,1,0,,67.2)exp(221,0,/0,kTq eq e e ekTee 2509.00/1,11,ekTe qeg Nn e 9.17 1mol2O 在298.15K ，100kPa 条件下，试计算（1）2O 分子的平动配分函数t q ；（2）2O 分子的转动配分函数r q ，已知2O 分子的平衡核间距m R 10102037.1；（3）2O 分子的振动配分函数v q 及0v q 。

已知2O 分子的振动频率11310666.4s ；（4）2O 分子的电子配分函数0eq ，已知电子基态30,e g ，电子激发态可忽略。

解：（1）平动配分函数t q ：mpnRTh mkT V hmkT q t3023223210345.4)2()2(（2）转动配分函数r q ：Ik hr2282R ImR 10102037.105.72rrTq （3）k hv0234.0)(122TTv vveeq 0005.1)1(1Tvveq （4）由于电子激发态可以忽略，则3,/00,e e kTeg q eqe 9.21利用9.17题的结果计算25℃时氧气的标准摩尔熵m S （298.15K ）。

解：em vm rm tm m S S S S S ,,,,其中723.20ln ln 25ln 23,pTMR S tm rrm TR S ln ,+R111,)1()1ln(TvTv m vv eT Re R S 0,ln eem q R S 那么11034.205KmolJ S m9.25用标准摩尔吉布斯自由能函数及标准摩尔焓函数计算下列合成氮反应在1000K 时的标准平衡常数，)(2)(3)(322g NH g H g N 已知数据如下：物质11,0)1000)((KmolJ K T U G mm 1,0)298(molkJ U K H mm )(2g N 198.054 8.669 )(2g H 137.0938.468)(3g NH 203.577 9.9161311.46)15.298,(molkJ K NH H m f解：由上述已知条件可得1322.92)15.298,(2)15.298(molkJ K NH H K H m fm rBB m B m B m m rmolkJ U K H U K H 1,,0,,0241.14)15.298()15.298(利用上述两式结果可以得1,0,0979.77)15.298()15.298(molkJ U K H K H U mm rm rmr那么1000K 时反应的标准摩尔吉布斯自由能函数变为1,,0,,,0179.202)1000)(()1000)((molkJ K TU G K TU G Bm BT m BBm m r那么938.141)1000)((1ln ,0,0mrm m rU RTK TU G RK则710255.3K。

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