4上海交通大学2010年矩阵理论试题
上海交通大学2010-2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题,总分
上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置.一、 单项选择题（每题3分，共15分）1. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001001001A ，则=-199200A A ( )（A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A .2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )（A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的通常乘法；（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；（C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算0x x k =⋅，k 是实数，0x 是某一取定向量；（D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法.3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )（A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基；（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )（A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0；（C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10)(-∞=-=∑A E A k k .5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )（A ）{}021=⋂V V ； （B ）2121dim dim )dim (V V V V +=+；（C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =⋃][21.二、填空题（每空3分，共15分）设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0201,1201B A . 1、21,T T 的乘积:21T T V V 在基21,αα下的矩阵为 . 2、=)(dim 1T R .3、)()(21T N T R ⋂的一个基为 .4、若常数k 使得)(B A k +为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 .5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛B B A 0的Jordan 标准型为 .三、计算题（12分）向量空间22⨯R 中的内积通常定义为.))(,)((,),(22222121⨯⨯=====∑∑ij ij i j ij ij b B a A b a B A选取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1110,001121A A ，构造子空间],[21A A W =.1、求⊥W 的一组基；2、利用已知的W 和⊥W 求22⨯R 的一个标准正交基.四、计算题（18分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110130002A .1、求矩阵A 的Jordan 标准型J 和可逆矩阵P 使得A 相似于J ；2、计算矩阵A e ；3、求下列微分方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧==,)0(,0x x Ax dt dx ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1110x .五、计算题（10分）设n m C A ⨯∈的秩为r ，A 的奇异值分解为*UDV A =，nm O O O D ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ=，),,(21r s s s diag ，=Λ.求矩阵)(A A B =的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广义逆.六、计算题（18分） 设多项式空间})({][3322104R a t a t a t a a t f t P i ∈+++==中的线性变换为3032322110)()()()()(t a a t a a t a a a a t Tf -+-+-+-=.1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A ；2、求与A 相关的四个子空间)(),(),(T A R A R A N 和)(T A N ；3、求线性变换T 的值域的基与维数；4、求线性变换T 的核的基与维数.七、证明题（6分）设n n C A ⨯∈. 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ，使得2B A =.八、证明题（6分）设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式)(λg 使得0)(=A g .。
上交大矩阵试卷
(
3. 4 ) A A−B 0 B (A) (x−1)2 (x−2)
(
) (C) (x−1)2 (x−2)2 (D) (x−1)3 (x−2)3 ( ) (D) || A|| ≥ ρ(A∗ A) ( )
(B) (x−1)(x−2)2
i=1 n ∑ i,j =1
(B) (D) 15 )
λ1 , · · · , λ n s1 , · · · , sn , n ∑ |λi |2 = |si |2 |si |2 =
i=1 n ∑ i,j =1
|aij |2 ,
i=1 n ∑ i=1
|aij |2
3
8.
9. 10.
(x, y, z )T ∈ R3 , σ ((x, y, z )T ) = (2x−y, 2x)T , σ )( ) ( ) ( x1 b1 1 1 = x2 b2 0 0 2 −1 2 1 2 2 −1 , x → Ax A= 3 −1 2 2 t e tet tet λE − A A 3 , eAt = 0 et 0 , t 0 0 e A r≥1 n , B = E − cos A, 1 B
1
二. 填 空 题 (每空 3 分, 共 15 分) 设二维线性空间V 的线性变换T1 : V → V 与T2 : V → V 在基α1 , α2 下的矩阵分别为 ( A= ) 1 0 , 2 1 ( B= ) 1 0 . 2 0 .
1、T1 , T2 的乘积T1 T2 : V → V 在基α1 , α2 下的矩阵为 2、dim R(T1 )= . .
V = R2 V , σ V
, (x, y )T ∈ V , e1 = (1, 0)T , e2 = (0, 1)T . (•, •) e1 , e1 + e2 ; e2 e1 − e2 ; , σ (e1 ) = e1 + e2 . σ ((x, y )T )?
矩阵理论答案(上海交大版)
0 2 2 2 ， 3 1 2 1 3
即
T
e1, e2 , e3 e1, e2 , e3 A,
作
基
变
换
e1,
e2 , e3 '
'
,e1
'
,e 则 2
e3 .
P
' ' e1' , e2 , e3 e1, e2 , e3 PAP 1. 故使为对角形的基 e1, e2 , e3 P1 即可。
u1 ； w1 ； 故 U W 的基为 3w1 w2 ， U 的基为 3w1 w2 ， W 的基为 3w1 w2 ， U W
的基为 3w1 w2 ， u1 ， w1 。 6． U W ( x, y, z, w)
1 1 1 1 x y z w 0 ， r 2， 1 1 1 1 x y z w 0
数非 0 且不满足此方程式的元即可生成此补空间。 5． 记 U= u1, u2 , u3 ， W w1, w2 ，把 U,W 放在一起成 4 行 5 列的矩阵，其 Hermite 标 准形为
1 0 0 0
4 5 1 2 1 5 1 1 3 9 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
5． | Em AB |
mn
， En BA 知除 0 外 AB 与 BA 的特征值全相同（包括代数重数）
而迹为矩阵特征值之和。
2 6． （1）特征多项式 x 8 x 7 为最小多项式，可能角化
（2） | E A | 1 2 3 为最小多项式，可对角化 （ 3 ）特征多项式为 1
上海交大研究生矩阵理论答案
nk rnn12习题 一1．（ 1）因cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x =cosxcos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x，故由归纳法知cosnx sin nx A。
sin nx cosnx（ 2）直接计算得A4E ，故设 n4 k r (r 0,1,2,3) ，则 AnA 4 k Ar( 1) A ， 即只需算出 A 2, A 3即可。
0 1 0 1（ 3 ）记 J=，则，1 0n1 n 12 n 2na C n aC n a C nanC 1 a n 1C n 1aAn(aE J )nnC i a i Jn ii 0n n an 。
C 1a n 1 an2. 设 AP1a2P 1(a 1,0),则由A 2E 得a 1时,11110 12 12 1 02不可能。
1而由 a10时,2 1知1 所以所求矩阵为 PB P 1 ，其中 P 为任意满秩矩阵，而ii2221 0 1 0 1 0 B 1, B 2, B 3。
0 10 11注： A2E 无实解， AnE 的讨论雷同。
3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2个未知数时线性方程 AXXA=0 有 n 2个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，1*1a w通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。
a na n 1 a 1 04. 分别对（ A B ）和A 作行（列）初等变换即可。
C5. 先证 A 或 B 是初等到阵时有AB*B *A *，从而当 A 或 B 为可逆阵时有AB*B * A *。
考虑到初等变换 A 对 B 的 n1阶子行列式的影响及 A A 即可得前面提到的结果。
E r 0 下设 PAQ，（这里 P ， Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可：0 0**E r 0 *E r 0 B B，0 00 0（ 1） r<n-1 时，因秩小于 n-1 的 n 阶方阵的 n-1 阶子式全为 0，结论显然；B n1*E r 0 0 0 **E r 0 0B n2（ 2） r=n-1 时，0 0， B，但0 10 0E r 0b 11b 12b 21b 22b 1 nb 2nb 11b 12b 21b 22b 1n b 2n ，故0 B nn0 0b n1b n2b nn0 0E r 0 B n1 *B n 2**E r 0 BB。
上海交通大学线性代数第一、二章复习题附答案
代数第一、二章复习 2005-10-316A 2B = 54、填空题1、设，则A 中元素a i2的代数余子式等于-11;Q A 121)12、设3A3、设 3n A333阶方阵At ，且 AB 0， 3-7a 1 4 •设 A = a ? a 3b 1 b 2 b s C1a 1 C2C3a 2 a 3b 1 b 2 b 3d 1d 2 d 3，且 A =4， B =1，则3a 1 3D C 1 2d 1a 1 bi C 1 2d 13a 2 3b 2 2d 2 32 a 2 b 2 C 2 2d2 3a 33b 3 C 3 2d 3a 3b 3 C 3 2d 3A 2B =a 1b 2d 1 a ? b 2 C 29 a 2 b 2 2d 2 a 3 ba 3b 3 2d 3 9 9[4 2 1] 54 ；a 1b 1 a 1b 2ab_ azd a 2b 2 a 2b n 0 , b )i 0, i 1, 2, ,n ,6.设A，其中a ianb a n b 2a nb n则r(A) = 15已知A 是秩为2的4阶矩阵，则A j7 、设A , B , C 都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式r(A )= oBD 1!27(-A) 2C 3Q 由于(1)9| B|( -A) 1;3 B 3A 1 B ( 3)- A 1278、已知A 为三阶方阵，且 A 4 , A 2E 8 ,则A A 1 = __2__ ；o阶方阵，且行列式|A| a ，则|2A| _|2A| 25a、选择题*11 *12 *134*11 2*11 3*12 *13 1、如果D*21 *22 *23 1 ,则 D 14*21 2*213*22 *23*31*32*334*312*313*32*3311 1 11 10 39、设 A，则第1 1 1 0121 110、设A 为n 阶可逆矩阵 5B 是将矩阵，则AB1Pii。
11 •设A 为5阶方阵， 且A< =-4 4行各元素的代数余子式之和为A 中的第i 行与第j 行元素对调后的则行列式|AA 46a 11 a 12a 135*113*12 *1312如果D821 *22 *233，则 D 15*21 3*22 *23*31*32*335*313*32*33a 21 a 2214 .已知行列式A 12元素（2,321X 1 *22 X 2 b 1b 2的解必素(1,2)的 代数余子式1）的代数余子式A 21的值15 .已知A 为5 =-45 a 12811X1a 12X 213.如果线性方程组a 11(A) 8 (B) 12 (C) 24 (D) 242 •设A为4阶方阵，已知A 3，且，则A A 1= ____________ ；3、设A, B, C是n阶方阵，且ABC E, E为n阶单位矩阵,则下列各式中必成立的是()(A) BCA E (B) ACB E (C) BAC E (D) CBA E14、当ad be时，a b=() e d(A)1 d e (B) 1 d e ad be b a ad be b a(C)1 d b (D) 1 d bbe ad e a ad be e a5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是()1 0 0 1 0 0 1 0 0(A) 0 0 1 (B) 0 1 0 (C) 0 1 0 (D)0 1 0 1 0 1 0 0 40 0 10 1 01 0 1a11 a12 a13 a 11 3a31 a12 3a32 a13 3a 336 、若P a21 a22 a23 = a21 a 22 a23 则Pa31 a32 a33 a31 a32 a33( )1 0 0 1 0 3 0 0 3(A) 0 1 0 (B) 0 1 0 (C) 0 1 03 0 1 0 0 1 1 0 11 0 0(D) 0 1 00 3 10 07、设A a 10 b 4 a 2 b s 0 b 2 a 3 0 bia 4 ，则 A =() (A) (C) 3i 323334b 2b 3)(a i a 4 bb 4)(B) a 1a 2a 3a 4 ①匕鸟①匕厶(a 2a 3 (@a 2 db 2)(a 3a 4 b 3b 4)8、设n 阶方阵A 满足A 2 2E ,其中E 是n 阶单位阵，则必有( 1 1 (C) A -A2 (D) (A) A 2A 1 (B) A 2E (D) 9、设 A 、 (A) (C) B 都是n 阶非零矩阵，且 必有一个等于零 一个小于n ，—个等于n 10 •设n 阶矩阵 ) AA 满足 A 2 AB 0, (B) (D) E 0，其中 则A 和B 的秩(都小于n 都等于0 E 为n 阶单位矩阵, 则必有 ( (A) (B) E (C) A A 1(D) 11 •设 ，且 1 a , b , c 均不为零，则A (A) (B) (C)12 .设(A)r(B) 2二、计算题1、 已知(D)12B 是n 阶方阵，且 r(B) 2(B)AB 0,r(B) r(A) 21 42, (C)则(r(B)(D)3 求(AB)T 。
上海交通大学矩阵理论试卷张跃辉
八、证明题(6 分)
设A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g(λ)使 得g(A) = 0。
8
附
录
上海交通大学 2009-2010 学年第一学期《矩阵理论》试卷
姓名
学号
矩阵理论分班号
成绩
本试卷共四道大题, 总分 100 分. 其中 A∗ 表示矩阵 A 的共轭转置.
A
与
B
的最小多项式分别为
(x
−
1)2(x
−
2)
与
(x
−
1)(x
−
2)2,
则矩
阵
A A−B 0B
的最小多项式为 (
)
(A)(x−1)2(x−2)
(B)(x−1)(x−2)2
(C)(x−1)2(x−2)2
(D)(x−1)3(x−2)3
4. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, ρ(A) 是其谱半径, || • || 是一种矩阵范数, 则必有 ( )
(3) 设 σ 是 V 的一个等距变换, σ(e1) = e1 + e2. 求 σ((x, y)T )? 这样的等距变换唯一吗?
100
13. 设 A = 1 0 1 .
010
(1) 求 A 的 Jordan 标准形 J(不必计算变换矩阵 P ); (2) 设 n ≥ 3, 计算 An − An−2 与 A2 − E; (3) 求 ∫0t(E − A−2)eAsds.
1
二. 填空题(每空 3 分, 共 15 分)
设二维线性空间V 的线性变换T1 : V → V 与T2 : V → V 在基α1, α2下的矩阵分别为
()
A=
1 2
矩阵理论试卷集锦
2. 设 n阶方阵 A的最小多项式为 λ λ 2, λ , λ , … , λ 3. 设A 4. 矩阵 A 1 0 0
全不为 0, 则 dim R A
= ; . LL ，下三角矩阵
1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2
∞ ∑ n=1
).
).
B n , 则 eCt 的 Jordan 标 准 形
1
三 . 计算 题 与证 明题 (11-14 题每 题 15 分 , 15 题 10 分, 共 70 分 ) 11. 设 U = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x + y + z + w = 0}, W = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x − y + z − w = 0} 是 通常 欧氏 空 间 R4 的两 个 子空 间 . 设 I 是 R4 上的 恒 等变 换. ∩ ∩ (1) 求 U 与 U W 的正 交 补 (U W )⊥ 的各 一 组标 准 正交 基; (2) 试求 出 R4 上 的所 有 正交 变换 σ 使 得线 性变 换 I − σ 的 核 Ker(I − σ ) = U .
(3)设b
(4) 设 σ 是 线 性 空 间 R 上 的 正 交 投 影 变 换 , 且 满 足 σ 的 像 空 间 Im σ 五. 设矩阵A 1 1 1 2 2 1 2 1 . 2 R A ,试求σ在标准基e , e , e , e 下的矩阵.
(1)求矩阵A的 Jordan 标准形J; (2) 试求一个可对角化矩阵 D和一个幂零矩阵 N ,且DN A D N. ND, 使得
随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定
2. 设 是 n 维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不 同的是( A. σ是单映射 C. σ是一一对应 ) B. dim Im σ D. σ适合条件σ n 0
上海交通大学研究生(非数学专业)数学基础课程《矩阵理论》教学大纲.doc
2018年度中等职业教育质量年度报告黑龙江东亚学团职业高级中学2019年3月目录一、学校情况11.1学校概况 11.2学生情况 11.3教师队伍 21.4设施设备 2二、学生发展32.1学生素质 32.2在校体验 42.3资助情况 52.4就业质量 52.5职业发展 6三、质量保障措施63.1专业动态调整 63.2教育教学改革 73.3教师培养培训 83.4规范管理 83.5德育工作情况 133.6党建情况 16四、校企合作164.1校企合作开展情况和效果184.2学生实习情况 184.3集团化办学情况18五、社会贡献195.1技术技能人才培养 195.2社会服务 205.3对口支援 20六、举办者履责206.1经费保障 206.2政策措施 21七、特色创新221.加强心理健康教育22八、主要问题和改进措施222018年度黑龙江东亚学团职业高级中学质量报告1.学校情况1.1学校概况黑龙江东亚学团职业高级中学系原第一机床厂职业高级中学，成立于1980年, 学校的主要任务是为工厂培养技术工人。
1995年，齐齐哈尔第一机床厂经济效益开始滑坡，出现拖欠职工工资的情况。
1998年2月学校加入了齐齐哈尔工程学院（原齐齐哈尔职业学院）为龙头的民办教育集团——黑龙江东亚学团，学校易名为黑龙江东亚学团职业高级中学。
2008年8月20日，由齐齐哈尔市国有资产监督管理委员会、齐齐哈尔职业学院、齐齐哈尔市龙沙区人民政府和齐齐哈尔第一机床厂四家单位共同签署的文件《关于对东亚学团资产清查界定和处置的协议书》中，黑龙江东亚学团职业高中办学性质被界定为“国有公办，执行托管协议。
委托齐齐哈尔工程学院（原齐齐哈尔职业学院）进行管理”。
校园占地面积5864.64平方米，建筑面积（校舍面积）22841.32平方米，校园总面积39040.32平方米。
学校资产总额13718916.91元，固定资产7554957.64元。
1.2学生情况目前学校在籍学生257人，其中职高学籍为37人；开设计算机平面设计、计算机网络技术、航空服务、铁路客运服务、汽车运用与维修、数控技术应用、机械制造技术等专业，2018年招生人数比上一年有所减少。
上海交通大学版线性代数第一章答案
当 或 时有无穷多解
时
时
(2)当 时，无解；
当 时，有无穷多解，通解为
(3)当 时无解；
当 且 时有唯一解
当 时有无穷多解，通解为
(4)当 时无解；
当 且 时有唯一解
当 时有无穷多解，通解为
38.求解下列各题。
(1)已知 是三元非齐次线性方程组 的解， ，且
求方程组的通解。
(2)已知 是 的两个不同解， 是 的基础解系，求非齐次线性方程组 通解。
证：由17题， ，当 时， ，当 可逆时， ，从而 ， 可逆。
19.判断下列线性方程组是否有解：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：令系数矩阵为 ，系数矩阵 ，增广矩阵为
(1)因为 ，所以线性方程组有唯一解；
(2)因为 ，所以线性方程组无解；
(3)因为 ，所以线性方程组有无穷多个解；
(4)因为 ，所以线性方程组无解；
(1) ; (2) ;
(3) ,其中为 非零常数;
(4) ,其中
，
此处 为非零常数。
解：
(1)
；
(2)
(3)
同上小问的方法
；
(4) ；
其中
17.设A,B为n阶方阵，数 .证明： .
证：因为 ，
，
所以有
因此对于 ，
对于， ，有 ，则有 。
18.设A和B为n阶方阵，且E-AB可逆.证明：E-BA也可逆.
60.当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有唯一解或无穷多组解？在有解时求出其解。
(1)
(2)
解：同上题用消去法
(1)当 ，无解
当 ，有无穷多解
(2)当 ，有唯一解
2010矩阵论试卷及答案
y1 0 d ( AY ) ( AY ) ) ( 0 dA aij y1 y2 0 0 y2
a
j 1
4
2j
yj
0 y4
y2
0
0 y2
y4 0 0 y4
5 4 0 0
0 2 0
0 0 5 4
。
1 1 2 ，B (kI A) 2 ( I 为与 A 同阶单位阵)，则与 B 相似的对 8. 已知 A 0 2 2i 1 0 0
(k 1) 2 角阵 0 0
(1 2 , 1 ) (1 , 1 ) ( 2 , 1 ) 1 ( 1) 0 ( 2 , 3 ) 0 ； (1 2 2 3 , 2 2 3 ) 3
（2）根据施密特正交法计算：
1 1 ； 2 2
（4）向量范数与矩阵范数的相容性：
*
Ax * Axa H A xa H A x
*
故得结论， * 为一个向量范数，且与矩阵范数 相容。
a 五． （7 分）设 A 11 a 21
a12 a 22 a13 a 23 a14 ， Y y1 a 24
y2
y3
2010 年矩阵论试卷
一．填空题（每题 3 分，共 30 分）
0 0 1. 设 矩 阵 A 0 1 ， 则 I A 的 所 有 行 列 式 因 子 为 D1 ( ) 1 ， 0 0
D2 ( ) ( ) ， D3 ( ) ( )3 。
解答：先求 A 的特征值和特征向量，由
上海交通大学线性代数教材课后答案习题四
习题四 （一）1．求下列二次型的矩阵并求出二次型的秩： （1）()222,,4424f x y z x y z xy xz yz =+++++（2）222123123121323(,,)2222f x x x x x x x x x x x x =++--+（3）()()121211,,,n n i i i f x x x x x -+==-∑解 (1) 121242121⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,r(f)=1(2) 111121111--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,r(f)=2 (3) 1100121012101210011-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪-⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭,r(f)=n-12.设()ij n n A a ⨯=为实矩阵，n 元二次型()()21211221,,,nn i i in n i f x x x a x a x a x ==+++∑证明：二次型f 的矩阵为TA A 证()112,1,,,nn i j j n ki kj k i f a a x x x x x ==⎛⎪⎝=⎫ ⎭∑∑，故f 的矩阵为1n k Tkj k ij i A A a a =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑。
3．已知二次型的矩阵如下，试写出对应的二次型：（1）258531810⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----012101210；（3）1010000010100010100000101000000010100000100000101-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭解 (1) 2212312121323(,,)2310162f x x x x x x x x x x x =++++(2) 1231213(,,)24f x x x x x x x =-322x x - (3) ()2212211,,,2n n n i i i i i f x x x x x x -+===-∑∑4.用配方法化下列二次型为标准型，并求出所作的非奇异线性替换：(1) 22123131223(,,)22f x x x x x x x x x =-++(2) 123121323(,,)f x x x x x x x x x =++ (3) 11222121121(,,,)22n n n ni i i i i f x x x x x x x x --+===++-∑∑解 (1)()()()()222212311223312232222(,,)22x x f x x x x x x x x x x x x x =++--=-++-令11222333y x x y x x y x +-=⎧⎪=⎨⎪=⎩,得非奇异线性替换x Cy =为112322333x y y y x y y x y =--⎧==⎪+⎨⎪⎩,其中111011001C --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2212f y y =+(2)令11221233x y y x y y x y +⎧⎪-==⎨=⎪⎩，即1x C y =，其中1110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()22222121313322f y y y y y y y y =-+=+--令1122233z y y z y z y ==+=⎧⎪⎨⎪⎩，1122233y z z y z y z ==-⎧⎪=⎨⎪⎩，即2y C z =，其中2110010001C -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 得非奇异线性替换12,x Cz C C C ==222123f z z z =-- (3) ()()121211,,,n n i i i f x x x x x -+==-∑令()11,,1,n n i i i y x i x n y x +==-=-，则()11,,1,n n i i i x y i y n x y +==-=+，即x Cy =，1100110101001C ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121n i i f y -==∑5．设对称矩阵A 合同于B ，证明B 是对称矩阵。
2010年上海交通大学841经济学考研真题及详解
2010年上海交通大学841经济学（Ⅰ）考研真题及详解跨考网独家整理最全经济学考研真题资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研资料，经济学参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行解答。
一、（本题15分）假设生产函数为()1212,f x x x x p ，生产要素1和2的价格分别为1w 和2w 。
（1）求要素需求函数和产出函数供给函数； （2）求条件要素需求函数；（3）要素需求函数和条件要素需求函数之间存在什么关系？ 解：（1）厂商利润函数为：121122pf TC px x w x w x π=-=--利润最大化的一阶条件为：11102w x x π∂=-=∂ 22202w x x π∂==∂ 解得：21214p x w =，22224p x w =。
此即为要素需求函数，表示既定产出价格下利润最大化选择。
将21214p x w =和22224p x w =代入生产函数，可得()1212,22p pf x x w w =+，此即为产出供给函数。
（2）既定产量水平的最小成本选择的数学表达式为：211122,min x x w x w x +s t y =求解可得：()2221212w yx w w =+，()2212212w y x w w =+此即为条件要素需求函数，表示既定产量水平的最小成本选择。
（3）条件要素需求函数与要素需求函数的区别是：有条件的要素需求函数给出的是既定产量水平下的成本最小化选择，实现利益最大化的要素需求则给出了既定产出品价格下的利润最大化选择。
通常有条件的要素需求曲线是观察不到的，它们是一个假定的定义。
它回答的是这样一个问题：如果厂商以经济的方式生产某个既定的产量，它们将如何选择每种要素的使用量。
《矩阵分析》考试题1 2010解答 (1)
D 0 ，这里 0 0
D diag d1 , d2 ,
, dr ，且 d1 d2
dr 0 。 di i 1, 2,
, r 称为 A 的奇异值，而
D 0 H （P84） A P Q 称为矩阵 A 的奇异值分解式。 0 0
2
0 0 3、 ( 1) 2
1
4、下列命题不正确的是 。 （A）有相同特征多项式的两个矩阵一定相似； （B）有相同不变因子的两个矩阵一定相似； （C）有相同初级因子的两个矩阵一定相似； （D）有相同行列式因子的两个矩阵一定相似。 【分析】A。由 C 或 D 都能得到 B，而不变因子唯一确定矩阵的约当形。若矩阵的约当形相同， 则矩阵相似。A 的反例是显然的： M1
3
1
3
，
d1 1, d2 1 1 , d3 1 1
2
2
，
则
Smith
标 准
型 为
1
1 1
。 2 2 1 1
4、 lim A 0 的充要条件是： 其特征值的模的最大值（谱半径） A 1 。换言之， A 的所
3
0 1 1 2 0 0 1 2 阵 P 0 2 1 ， 约 当 标 准 形 J 0 1 1 （ 或 取 P3 0 ， 则 P2 4 ， 此 时 1 1 0 0 0 1 1 2 0 2 P 0 4 1 2 1 ） 。都有 P 1 AP J 。 0 1
2
1 1, 1 1 , 1 1
2
x,1 1 x 0 x 1dx 1 x 1 , 2 , 1 2 x 2 2 2 1 2 12 1,1 1 1 dx
矩阵理论2010-B
上海交通大学工程硕士《矩阵理论》考试试卷 （ B 卷 ）考试时间：2010.06.20, 09:00—11:00院系_________班级________学号___________姓名___________得分______ 注意：本试卷共6页，答案须写在此6页纸上。
要求字迹清楚。
一．（本题15分）设114020033A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 1000。
二．（本题15分）设U 是4R 中向量1(1,2,3,6)T u =，2(4,1,3,6)T u =-，3(5,1,6,12)Tu =生成的子空间，W 是4R 中向量1(1,1,1,1)T w =-，2(2,1,4,5)T w =-生成的子空间，分别求U W ⋂与U W +的维数与一组基。
三．（本题10分）设A 是n 正阶方阵，若满足A*=-A ，则称A 为反Hermite 阵。
证明：反Hermite 阵的特征值为零或纯虚数。
四．（本题15分）设{cos sin ,,}V a b a b θθ=+其中为任意实数是实二维线性空间。
对任意,f g V ∈,定义：(,)(0)(0)()()22f g f g f g ππ=+。
证明：(,)f g 是V 上的内积，并求()3cos(7)4sin(9)h θθθ=+++的长度。
五．（本题15分）设4[]P t 是实数域上的全体次数小于4的多项式形成的线性空间，其中的加法()+与数乘()∙就是通常意义下的函数的加法与数乘，即任意4,[]f g P t ∈，R α∈ ()()()()f g t f t g t +=+，()()()f t f t αα∙=。
任意2332104()[]f t a a t a t a t P t =+++∈，定义变换44:[][]P t P t σ→为 2301122330(())()()()()f t a a a a t a a t a a t σ=-+-+-+-。
（1） 证明 σ为线性变换；（2） 任取4[]P t 的一组基，写出σ在这组基下的矩阵；（3） 求σ的核空间和象空间的基与维数。
矩阵理论2010年试题-上海交通大学数学系
上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置.一、 单项选择题（每题3分，共15分）1. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001001001A ，则=-199200A A ( )（A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A .2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )（A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的通常乘法；（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；（C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算0x x k =⋅，k 是实数，0x 是某一取定向量；（D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法.3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )（A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基；（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )（A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0；（C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10)(-∞=-=∑A E A k k .5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )（A ）{}021=⋂V V ； （B ）2121dim dim )dim(V V V V +=+；（C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =⋃][21.二、填空题（每空3分，共15分）设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0201,1201B A . 1、21,T T 的乘积:21T T V V 在基21,αα下的矩阵为 . 2、=)(dim 1T R .3、)()(21T N T R ⋂的一个基为 .4、若常数k 使得)(B A k +为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 .5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛B B A 0的Jordan 标准型为 .三、计算题（12分）向量空间22⨯R 中的内积通常定义为.))(,)((,),(22222121⨯⨯=====∑∑ij ij i j ij ij b B a A b a B A选取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1110,001121A A ，构造子空间],[21A A W =.1、求⊥W 的一组基；2、利用已知的W 和⊥W 求22⨯R 的一个标准正交基.四、计算题（18分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110130002A .1、求矩阵A 的Jordan 标准型J 和可逆矩阵P 使得A 相似于J ；2、计算矩阵A e ；3、求下列微分方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧==,)0(,0x x Ax dt dx ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1110x .五、计算题（10分）设n m C A ⨯∈的秩为r ，A 的奇异值分解为*UDV A =，nm O O O D ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ=，),,(21r s s s diag ，=Λ.求矩阵)(A A B =的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广义逆.六、计算题（18分） 设多项式空间})({][3322104R a t a t a t a a t f t P i ∈+++==中的线性变换为3032322110)()()()()(t a a t a a t a a a a t Tf -+-+-+-=.1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A ；2、求与A 相关的四个子空间)(),(),(T A R A R A N 和)(T A N ；3、求线性变换T 的值域的基与维数；4、求线性变换T 的核的基与维数.七、证明题（6分）设n n C A ⨯∈. 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ，使得2B A =.八、证明题（6分）设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式)(λg 使得0)(=A g .。
矩阵理论补充习题及10年试题
i=1
U ⊗V σ⊗τ E{x} Ex
向量 x 与向量 y 的内积 向量 x 与向量 y 正交 (垂直) 实数域上 n 维有序数组构成的线性空间 复数域上 n 维有序数组构成的线性空间 数域 F 上 n 维有序数组构成的线性空间 数域 F 上 n 阶方阵全体构成的线性空间 全体 m × n 阶实矩阵构成的线性空间 全体 m × n 阶复矩阵构成的线性空间 数域 F 上全体 m × n 阶矩阵构成的线性空间 区间 [a, b] 上全体实变量连续函数构成的线性空间 由向量 α1, ..., αk 生成的子空间 子空间 (或矩阵)U 与 W 的直和
虚实数数单域位, 复√数−域1 , 有理数域, 整数 (环), 自然数集 复数 λ 的实部 复数 λ 的虚部 复数 λ 的共轭 充分必要条件
对所有 (任意) 存在有
证毕
多项式 f (x) 的次数 矩阵 A 的逆矩阵 矩阵 A 的 Moore-Penrose 广义逆矩阵 矩阵 A 的 i 次方或矩阵 A 的第 i 行 矩阵 A 的第 j 列
1
主要符号表
R, C, Q, Z, N i Re(λ) Im(λ) λ¯ ⇐⇒ ∀ ∃
∂f (x) A−1 A† Ai Aj A(i,j) vec(A) rvec(A) AT A∗ A>0 A≥0 A⊗B adj A r(A) tr A σ(A) ρ(A) |||A||| ||A||1, ||A||2, ||A||∞ |A| Cnr dk(λ) δij diag(λ1, ..., λn) eTi ej Eij HA I, Im J Jk(λ) N (A) N (AT ) R(A) R(AT )
目录
主要符号表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 第一章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 第二章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 第三章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 第四章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 第五章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 第六章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 第七章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 第八章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 第九章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 第十一章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 附录：上海交通大学 2009-2010 学年《矩阵理论》考试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷
本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置. 一、单项选择题（每题3分，共15分）
1. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=00
1001
001A ，则=-199200A A ( ) （A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A .
2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )
（A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与
多项式的通常乘法；
（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； （C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算
0x x k =⋅，k
是实数，0x 是某一取定向量；
（D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法. 3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )
（A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基；
（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.
4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )
（A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0；
（C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10
)(-∞
=-=∑A E A k k .
5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )
（A ）{}021=⋂V V ； （B ）2121dim dim )dim(V V V V +=+； （C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =⋃][21. 二、填空题（每空3分，共15分）
设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02
01
,12
01B A . 1、21,T T 的乘积:21T T V V 在基21,αα下的矩阵为 . 2、=)(dim 1T R .
3、)()(21T N T R ⋂的一个基为 .
4、若常数k 使得)(B A k +为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 .
5、⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛B B
A 0的Jordan 标准型为 .
三、计算题（12分）
向量空间22⨯R 中的内积通常定义为
.))(,)((,
),(22222
1
2
1
⨯⨯=====
∑∑ij ij i j ij ij
b B a A b a
B A
选取⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=1110,00
11
21A A ，构造子空间],[21A A W =. 1、求⊥W 的一组基；
2、利用已知的W 和⊥W 求22⨯R 的一个标准正交基. 四、计算题（18分） 已知
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=11
0130
002
A . 1、求矩阵A 的Jordan 标准型J 和可逆矩阵P 使得A 相似于J ； 2、计算矩阵A e ； 3、求下列微分方程组的解
⎪⎩⎪⎨⎧==,)0(,
0x x Ax dt
dx ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1110x . 五、计算题（10分） 设n
m C
A ⨯∈的秩为r ，A 的奇异值分解为*
UDV A =，
n
m O O
O D ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ
=，
),,(21r s s s diag ，=Λ.求矩阵)(A A B =的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广
义逆.
六、计算题（18分）
设多项式空间})({][3322104R a t a t a t a a t f t P i ∈+++==中的线性变换为
3
032
322110)()()()()(t
a a t a a t a a a a t Tf -+-+-+-=.
1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A ；
2、求与A 相关的四个子空间)(),(),(T A R A R A N 和)(T A N ；
3、求线性变换T 的值域的基与维数；
4、求线性变换T 的核的基与维数. 七、证明题（6分）
设n n C A ⨯∈. 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ，使得
2
B A =.
八、证明题（6分）
设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式)(λg 使得0)(=A g .。