伯努利概型

购买一张彩票中奖的概率为 p 0.01 问需要买 , 多少张彩票才使至少中一次奖的概率不小于0.95？
例6.
解:
设 需要买n 张彩票 , 表示中奖的次数 X
则 P{X 1} 1 P{ X 0}
1 C p (1 p)
0 n 0
n
1 0.99n 0.95
ln 0.05 n 299.57 ln 0.99
k Pn (k ) C n p k q n k
现将E重复
重伯努里试验
为
p (0 p 1) A 恰好发生 k 次的概率 q 1 p ( k 0 , 1, 2 , , n )
证: 设 事件 A 在 n 次试验中发生了 X 次 设 A = “在第 i 次试验中事件发生”
i
P( A1 A2 Ak Ak 1 An )
2 C 50 0.022 0.9848 0.186 0.98 C 0.02 0.98
50
1 50
49
例5. 袋中装有30只红球, 70只蓝球, 回地抽取5 次, 每次取1 只球, 试求: 1) 取出的5只球中恰有 2 只红球的概率;
现从袋中有放
2)
取出的5只球中至少有 2 只红球的概率；
因此至少要买 300 张彩票才行
作业
P29 26 27 32
主要知识点
1、条件概率、乘法公式
2、事件的独立性 3、全概率公式、贝叶斯公式
由于 n 次试验是相互独立的，事件 一个一般的求法。
A 发生的次数为X, 则 X 的取值为 0,1, 2,, n.
在 而 X k 就表示一个事件， n 重贝努利试验中，
事件A 正好出现 k 次的概率有
P{ X k} C p (1 p)
k n
k
nk
( k 0 , 1, 2 , , n )
n4
p 0.3
2 4 2 2
8 P X 2 C 0.3 0.7 27
例4
某车间有50台机床，
一天内每台需要维修的概
率均为0.02 , 求一天内需维修的机床不多于2台的概率。 解
n 50
p 0.02
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2
5 次取球相互独立 设 X 为取到红球的次数
解: 取到红球的概率为0.3 , 故为5 重伯努里概型,
P{ X k} C5k 0.3k 0.75k k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 2 2 3 1) P{X 2} C5 0.3 0.7 0.3087 2) P{X 2} 1 P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1} 0 0 5 1 4 1 C5 0.3 0.7 C5 0.3 0.7 0.4718
p k (1 p) nk P( A1 ) P( Ak ) P( Ak 1 ) P( An ) k p k (1 p) n k P{ X k} C n ( k 0 , 1, 2 , , n )
伯努里试验是一种很重要的数学模型，
用途广泛。
在 n 重贝努利试验中， A 正好出现 k 次的概率有 事件
五. 伯努利概型 有一类十分广泛存在的只有相互对立的两个结果 的试验。 即在试验E 的样本空间S 只有两个基本事件
A 与 A.
例如： 试验“成功”、“失败”。种子“发芽”、“不发芽” 生“男孩”、“女孩 ” 产品“合格”、“不合格” 且每次试验中 考试“及格”、“不及格”
买彩票“中奖”、“不中奖”
P( A) p
例1
某人射击每次命中的概率为 0.7,
现独立射击 5
次，求正好命中 2 次的概率。 解 例2
P X 2 C 0.7 0.3 0.13
2 5 2 3
从学校乘汽车去火车站一路上有 4 个，
某人从学校到火车站途中2次遇到红灯的概率。 解 途中遇到 4次经交通岗为4重贝努利试验，其中
P( A ) 1 p q
0 p 1
我们称这只有两个对立的试验结果的试验为 伯努里试验。 若只有两个对立结果的试验可在相同 的条件下进行，则有
n重伯努里试验： 设在试验E 中事件A发生的概率为p， 独立的进行 n 次， 称这 n 次试验为n 伯努里定理 设在一次试验中事件A 发生的概率为 则在n 重伯努利试验中事件