4.4群与代数方程根式可解性
代数的历史与发展
代数的历史与发展代数学(algebra)是数学中最重要的分支之一。
代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。
在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。
代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。
代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。
该著作名为”ilm al-jabr wa’I muqabalah”，原意是“还原与对消的科学”。
这本书传到欧洲后，简译为algebra。
清初曾传入中国两卷无作者的代数书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后改译为《代数学》(李善兰译，1853)。
初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。
代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。
代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。
这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆”（一堆东西），并以象形文字表示。
古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。
数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？古希腊时代，几何学明显地从代数学中分离出来，并在希腊科学中占统治地位，其威力之大，以至于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言：量被理解为长度，两个量之积解释为矩形、面积等。
现在数学中保留的称二次幂为“平方”，三次幂为“立方”，就是来源于此。
古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。
该书中解决了某些一次、二次方程问题和不定方程问题，出现了缩写符号和应用负数之例。
第六章 群论
1824年到1826年，挪威数学家阿贝尔提出阿贝尔定理：一般 高于四次的方程不可能代数求解。
在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方 程的可解性问题，在研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果， 只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判 定已知方程是否可用根式求解的问题。
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对称性最为神奇的一点：和物理世界中的守恒一一对应。
物理学定律是不因时间的流逝而改变的，换言之它在时间变换下对称； 而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一：能量守恒； 物理学定律又不随着空间的位置而改变，这个对称性又能推出另一条 同样关键的定律：动量守恒。 二十世纪最伟大的数学家之一艾米· 诺特（Emmy Noether）女士发现： 每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性。
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“群论”最早考虑的是五次以上方程解法的问题， 但是今天它的应用场合已被大大拓展，最大用途是 关于“对称性”的研究，所有具有对称性的东西， 群论都能派上用场。 只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变，就 是对称的。
几何体当然可以是对称的：一个圆左右翻转后还是圆，旋 转180度后还是圆，所以它在这两种变换下是对称的。 非几何体的抽象概念：比如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2这个函数， 无论怎么调换x、y、z的位置，都是不变的；或者sin(t)， 用t+2π代替t，也是不变的。
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定理6.1 ： 一个半群(S , )，如果它有一个子代数系统
子集、运算相 同，且封闭
(M , )，则该子代数也是一个半群。
代数课程思想方法介绍
若想谈论尺规作图不能问题，要把含直观因素 的尺规作图概念进行公理化（数学模型），用 代数方法解决问题．
尺规作图是从已知一些初等几何图形，一些线 段，一些点，而求出一些初等几何图形，线段， 点等．
即，已知平面上的一些点，要求尺规作出另一些 点来．
取定某线段为单位长的坐标系，平面上的点可以 用 (a,b) R R 表示。这样，尺规作图问题是：已 知一些实数 1, a1, a2,...an ,要求用尺规作图作另一 些数 b1,b2 ,...bn.
说明1,2,...,n为根,(1),(2 ),...,(n )也为根 故(1),(2 ),...,(n )是1,2,...,n的一个排列.
K中具有性质*的所有双射成一个群，K的伽罗华群（p(x)的
伽罗华群），它是 S11 的子群。
定理
p(x) 0可根式求解 相应的伽罗华群是可解群。
伽罗华理论是伽罗华21岁时提出的，论文寄给当 时一流的数学家庞加莱，他没有看懂，丢在一边。 40~50年后，才被发现．创立了群的理论，创立 了近代的代数学．
则( 0; , )就是复数域， a bi | a,b ,i2 1
0 , : (a,b) (a bi)
再扩充下去：四元数，八元数
（6） 代数数，超越数
是某有理系数多项式p(x)的根的实数称为代数数。
不是任一个有理系数多项式的根的实数称为超越数。
有理数
代数数
实数
无理数
超越数
e,都是超越数，2 2，e是超越数
{an} {bn} {an bn},
{an} {bn} {anbn}, ( 0; , )就是实数域。
（5） 复数域
定义：含有实数域 和i的最小域 ，称为复数域，
群的基本概念
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
代数学的新生
阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次
方程之外，他还研究了更广的一类代数方程，后人发
现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他，后
人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数，
得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理。这 些工作使他成为分析学严格化的推动者。
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阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数 论的奠基者。阿贝尔发现了椭圆函数的 加法定理、双周期性、并引进了椭圆积 分的反演。他研究了形如∫R(x,y)dx的积 分（现称阿尔贝积分），其中R(x,y)是x 和y 的有理函数，且存在二元多项式 f ， 使 f ( x,y)=0。他还证明了关于上述积分 之和的定理，现称阿贝尔定理，它断言: 若干个这种积分之和可以用g个这种积 分之和加上一些代数的与对数的项表示 出来，其中g只依赖于f，就是f的亏格。
们都被不可克服的困难阻挡住了；把细枝末节完善化看来是剩
下来惟一可做的事情了，所有这些困难好象是宣告我们的分析
的力量实际上是已经穷竭了。”
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这种世纪末悲观主义的由来，可能是因为17、18世纪数学与 天文力学的紧密结合，使部分数学家把天文与力学看成是数学 发展的几乎惟一源泉，而一旦这种结合变得相对滞缓和暂时进 入低谷，就会使人感到迷失方向。18世纪末出现的数学悲观主 义具有深刻的认识论背景。
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第1卷（1826）刊登了7篇阿贝尔的 文章，其中有一般五次方程用根式不能 求解的证明。以后各卷也有很多他的文 章。1826年阿贝尔到巴黎，遇见了勒让 德和柯西等著名数学家。他写了一篇关 于椭圆积分的论文，提交给法国科学院， 不幸未得到重视，他只好又回到拍林。 克雷尔为他谋求教授职位，没有成功。 阿贝尔（1802～1829）
群的等价定义及其证明
群的等价定义及其证明1 引言群是具有一种代数运算的代数系，是代数结构中重要的一种．群的系统研究起源于19世纪初Galois 研究多项式方程根式解的问题．这是数学史中一块众所周知的里程碑．随后人们在理解了Galois 的思想之后，于19世纪中叶给出了抽象群的概念，开始以公理化的方式研究群．群论是近世代数的重要内容，近世代数又在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而群论是现代科学技术的数学基础之一．时至今日，群论的发展已日趋完善，在各个学科领域得到广泛的应用．为了便于学习、掌握群的知识和全面、深刻理解群的概念，以下给出了群的近十种定义，并通过证明，阐明群的各个定义间的等价关系．2 预备知识代数系[]1(23)P - 设A 、B 是两个非空集合，映射σ:A B C ⨯→称为A B ⨯到C 的一个代数运算．称(),,A B C σ⨯是一个代数系，特别地，当B C =时，称σ是A 左乘B 的代数运算，当A C=时，称σ为B 右乘A 的代数运算，当A B C ==时，称σ为A 的一个二元运算，此时代数系统记作()σ,A 或简记作A ．半群[]1(5)P 设() ,A 是一个代数系统，定义A 的一个二元运算“ ”，我们称它为乘法运算，如果“ ”满足结合律，则称() ,A 是一个半群．幺半群[]1(7)P () ,A 是半群，如果有e G ∈，恒有a ae ea ==，则称e 是A 的单位元，又称幺元，() ,A 就称为幺半群．为简便其间，在以下群的定义当中所定义的二元运算，即乘法运算“ ”不再书写．3 群的定义定义 1[]1(24)P 若幺半群() ,G 中每个元都有逆元，则称() ,G 是一个群．定义 2 设G 是半群，G 中存在左幺元素e （即对a G ∈，均有ea a =），并且G 中每个元素a均有左逆元素1-a ( 即1a a e -=)， 则称G 是一个群．定义 3[]2(33)P 一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于的G 任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea a =，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a1-，能让1a a e -=． 定义 4[]3(21)P 设G 是半群，对于任意元素a 、b ∈G ，方程ax =b 和xa =b 在G 都可解，则称G 为群．定义 5[]2(31)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的 ;Ⅱ．结合律: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元素a 、b 、c 都对;Ⅲ．对于G 的任意两个元a 、b 来说ax =b 和ya =b 都在G 里有解．定义 6[]2(35)P G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: ∀a 、b ∈G ，∃c G ∈，使ab =c ;Ⅱ．结合律: ∀a 、b 、c G ∈， ()bc a =()c ab ;Ⅲ．右单位元: ∃e G ∈，∀a ∈G ，a ea =;Ⅳ．右逆元: ∀a ∈G ， ∃1-a ∈G ，e a a =-1．定义 7[]3(21)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个单位元e ，使a ea ae ==，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ， G 里至少存在一个逆元1-a ，使 a a 1-=a 1-a =e ．定义 8 设一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: a ∀、b G ∈，ab ∈G ;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c G ∈，()bc a =()cab 成立; Ⅲ．存在右单位元，即对∀a ∈G ae =a ;Ⅳ．存在左逆元，即对a ∀∈G ∈∃-1a G 使得e a a =-1;Ⅴ．左商不变性: 对a ∀、b ∈G ， 都有11--=bb aa．4 群的等价证明(为了简便只对定义间的不同条件做等价证明)定义1⇒定义2 由定义1可知G 中有单位元e ，对∈∀a G 使得a ae ea ==，且每个元都有逆元．显然，G 中存在左幺元e 使a ae =．并且G 中每个元素均有左逆元1-a ，使得1a a e -=．定义2⇒定义3 显然成立．定义3⇒定义4 从定义3的条件可知G 中存在左单位元e ，并且对a ∀、b G ∈，G 中1a -∃、1b -使得1a a e -=，1b b e -=，ea a =，由封闭性1ba G -∈，显然1ba a b -=，即xa b =在G 中有解，再由ax b =，可得11a ax a b --=．显然易得1ex x a b -==，且有1a b G -∈，因而ax b =在G 中也有解．定义4⇒定义5 显然成立．定义5⇒定义6 由定义5可知，在G 里对a G ∀∈ ，ax a =有解，设x e G =∈即ae a =．对b G ∀∈， ya b =在G 里有解，则be yae ya b ===，所以e 为右单位元．且有ax e =在G 中有解，设1x a -= 即1aae -=．由a 的任意性可得，对于G 里的每个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，使1aa e -=．定义6⇒定义7 由定义6可知，G 里面存在右单位元e ，对于a G ∀∈，都有右逆元即1ae a aa e -==，．设元1a -的右逆元为11a -，即111a a e --=，又111111a ea a a e ----=，可得1111a aa a e ---=，得1a a e -=．显然1a -同为a 的左逆元，又由于1ae aa a ea a -===，e 同时为左单位元，所以G 里面至少存在一个单位元e ，能让ae ea a ==．同样G 里面至少存在一个逆元1a-能使11aa a a e --==，其中a G ∀∈．定义7⇒定义8 由定义7可知，在G 里存在右单位元e ，使得a G ∀∈，ae a = ，存在逆元，即对于a G ∀∈，1a G -∃∈使得11a a aa e --==．显然G 的每一个元a 存在左逆元1a G -∈，使得1a a e -=．且对a b G ∀∈，，即11a b G --∃∈，，使得11aa bb --=．定义8⇒定义1 设G 为一个非空集合，根据定义8可知，G 中存在右单位元e ，使得对a G ∀∈，都有ae a =．且每个元都有左逆元．则有1e G -∈，使得11e e e e --==．且可知1ee ee e -==．对1a G -∈使得1a a e -=，11aa ee e --==．由a 的任意性可知，G 里每个元素都有右逆元．又由1ae aa a a -==，可得ea a =，即e 同时为左单位元．显然(),G 为幺半群，且每个元都有逆元．5 有限群定义[]2(3840)P -设 G 是一个有限非空集合，对于一个叫做乘法的代数运算， 称G 是一个群，假如满足: Ⅰ．封闭性: a b G ∀∈、，bc G ∈;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c ∈ G ，()bc a =()c ab 成立;Ⅲ．左消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若zy zx =，则y x =，右消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若yz xz =，则y x =．证明 （此处用定义１的各个条件证明G 是一个群）集合G 是代数运算封闭且满足结合律．则首先是个半群．因G 为限集，不妨设G n =，对于a G ∀∈，设'121{,,,,}n n G a a a a+=⋅⋅⋅，显然'G 中元素的个数有1n +个．又有'G G ⊂，所以'G 中至少有两个元素相等．在此不妨,(11)i ja a j i n =≤≤≤+．再设G 存在元素1e ，使得1j j a e a =，那么i j a a =等价于1j i j j a a a e -=，由左消去律得1i j a e G -=∈，显然同样有1j i j j i j e a a a a a -===，有i j a a =得1i j i j j aa a aa ---=，由右消去律可得i j a a a -=，即1e a a =，易知1ae a =．对∀b G ∈，同理有2e G ∈，使得22e b be b ==．由等式1212ae be e ae b =，变形整理得12ae b ae b =，由消去律可得12e e =．不妨设12e e e ==，由,a b 的任意性，可知对c G ∀∈，有ec ce c ==，即G 存在单位元e ．由以上可知对于a G ∀∈，显然有m a e =，(m 为整数)．令11m aa --=，则11a a aa e --==，所以G 里每个元素都有逆元．6 群与对称性以及几种特殊群6.1 对称和群的关系这里所讲的对称概括的说是：若考虑的对象A 是一个带有若干关系的集合M （数学中的对象大致都具有这种形式）时，我们就把所有保持这些关系不变的，集合M 的一一变换的全体所购成的群看作是这个对A 的对称，即为集合M 的对称群[]4(11)P ． 在此补充以下几个定义．1) 置换：一个有限集合的一一变换叫作一个置换[]()250P ．2) 置换群：一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群[]()250P ．3) n 次对称群:若一包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫作n 次对称群，这个群通常用n S 来表示[]()250P ．下面通过一个例子阐述对称群的意义和实质．我们把以数域F 中的数作系数的n 元多项式的全体记作[]12,,,n F x x x ⋅⋅⋅(或简记作[]F x )，每一n 元多项式可以唯一地表示为不同类单项式的有限线性和:()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅1212nn a x x x ααααα=⋅⋅⋅∑．其中()12,,,n αααα=⋅⋅⋅，{}0i Z α+∈而a F α∈．令{}12,,n M x x x =⋅⋅⋅，则M 的n 次对称群n S 中的元素就是{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅的一个置换，略去字母x 的下标，这时一一变换可记作1212n n i i i σ⋅⋅⋅⎛⎫= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭, 其中()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,n ⋅⋅⋅的一个排列，而()j j i σ=．利用变换群n S 中的元素∑去定义集合[]F x 到[]F x 的一个映射． [][]:F x F x σφ→,()()1212,,,,,n n i i i f x x x f x x x ⋅⋅⋅→⋅⋅⋅,其中()12,,n i i i f x x x ⋅⋅⋅是在多项式()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅中将1x 换成1i x ，2x 换成2i x ，⋅⋅⋅后所得到的多项式，显然σφ是集合[]F x 的一个变换．令{}|n n T S σφσ=∈，n T 是[]F x 的一些(n !个)变换组成的集合．定义“ ”为变换之间的乘法运算．证明代数系(),n T 为[]F x 的置换群．证明 任取,n S σθ∈，令12121212,n n n n i i i i i i j j j σθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭. 则有σθφφ：()()()121212,,,,,,,,n n n i i i j j j f x x x f x x x f x x x →→, σθφ： ()()1212,,,,,n n j j j f x x x f x x x →. 显然有θσθφσφφ=即运算满足封闭性．对,,n S σθϕ∀∈，则有对应的,,n T σθϕφφφ∈，可得等式：()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==，()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==， 所以()()σθϕσθϕφφφφφφ= 即运算满足结合律．对单位元n I S ∈，则有I n T φ∈ 显然有I Iσσφφωφφ== I I σσσφφφφ==． 令()11σσφφ--=，显然()n T ∈-1σφ， 可得:()()111I σσσσσσφφφφφφ---===． 显然由σφ的任意性可知n T 中每个元都有逆元．进而可知()n T 为[]F x 的置换群．令()12,,,n f x x x 是一个n 元多项式，令(){}|f n S T f f σσφφ=∈=，同理可证(),f S 满足群的各个条件，即f S 为群．则称()f S 为n 元多项式()12,,n f x x x 的对称群[]()289P -.6.2 几种特殊群 例1 设()n SL Q 是有理数域Q 上所有其行列式为1的n 阶矩阵的全体，()n SL Q 关于矩阵的乘法“”作成的代数系()(),n SL Q 为一个群，称之为特殊线性群[]()252P .证明 任取三个元(),,n A B C SL Q ∈，则考虑AB 其行列式的值:||||||1AB A B =⨯=，所以()n AB SL Q ∈，运算满足封闭．由矩阵的运算性质显然有:()()AB C A BC =既满足结合律．又有单位矩阵I ，||1I =即()n I SL Q ∈，显然I 为()n SL Q 里的单位元．再有()n SL Q 里每个矩阵的行列式的值为1，显然每个元都可逆，设1A -为A 的逆矩阵，则1AA I -=．由此可得11||||||1AA A A --=⨯=，易得1||1A -=，即()1n A SL Q -∈．由A 的任意性可知()n SL Q 中每个元都有逆元．所以()(),n SL Q 是一个群．例 2 设n Z 为对于模n 的剩余类，定义n Z 中的加法运算“⊕”．即对任n Z 中意元素[][](),01i j i j n ≤≤≤- [][][]i j i j ⊕=+．则()n Z ⊕构成群，称之为剩余类加群[]1(4951)P -．证明 由剩余类的性质，显然易知“⊕”满足封闭性，结合律．同样不难证明[]0为n Z 的单位元．对[]n i Z ∀∈，易得[]n i -为其逆元．很显然()n Z ⊕是一个群．例 3 假如A 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面绕一个定点的所有旋转组成的集合G ，用θτ表示旋转θ角的旋转．定义运算“”:1212θθθθτττ+=，则(),G 是一个群，也称为平面运动群[]2(48)P ．证明 1212G θθθθτττ+=∈封闭，结合律显然成立，单位元0e G τ=∈，再有对G θτ∈，其逆元，显1G θθττ--=∈然G 是一个群．例 4 若p 为素数，p N 表示关于模p 所有余数构成的集合，即小于p 的非负整数集合．定义pN中的运算“p ⋅”．对任意,p a b N ∈ 则 ()p b a b a p mod ⋅=⋅ 即代数系统{}p p N ⋅-,0是群，并称为模p 乘群，或模p 剩余乘群[]3(23)P .证明 任取{},,0P a b c N ∈-，(){}0mod -∈⋅=⋅p p N p b a b a 运算满足封闭性． 同样不难得知，运算满足结合律．很显然{}10p N ∈-，不难验证1为{}0p N -中的单位元．验证{}0p N -中元素有逆元，任取{}0p a N ∈-，则0a p <<，(),1a p =．因此有整数,c d 使得1c a d p ⋅+⋅=，从而得(),1c p =．当记mod p c c p =时，显然有1p c p ≤<，这表明{}0p p c N ∈-，进而可得等式：()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p a c p a c a c p p p()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p c a p c a c a p p p所以p c 是关于p ⋅的逆元．由a 的任意性可知{}0p N -中元素有逆元．所以说{}p p N ⋅-,0是群．参考文献：[1] 华中师范大学数学系《抽象代数》编写组.抽象代数[M].华中师范大学出版社.2000[2] 张禾瑞.近世代数基础[M].高等教育出版社.1978[3] 王兵山，李舟军.抽象代数[M].国防科技大学出版社.2001[4] 刘绍学.近世代数基础[M].高等教育出版社.1999[5] 吴品三.近世代数[M].北京：人民教育出版社.1979[6] 谢邦杰.抽象代数学[M].上海：上海科学技术出版社.1982[7] 姚慕生.抽象代数学[M].上海：复旦大学出版社.1998[8] N Jacobson.Basic Algebra [M]. W H Freeman and Company .1985。
近世代数发展简史
近世代数发展简史根据课程教学安排，通过查阅近世代数发展历史的相关资料，了解了相关的知识，并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。
一、近世代数的定义代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科，而近世代数（又称抽象代数）是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。
二、近世代数的发展代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（Abel，.）证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念；1830年，年仅19岁的伽罗瓦（Galois，E.）彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念；后来，凯莱（Cayley，A.）在1854年的文章中给出有限抽象群；戴德金（Dedekind，）于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群；克莱因（Klein，.）于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉。
然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯（Weber，H.）在的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。
由于李（Lie，.）对连续群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius，.）对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响。
同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，然而，它的发展却是19世纪末和20世纪初，由基灵（Killing，）、外尔（Weyl，（.）H.）和嘉当（Cartan）等人的卓越工作才建立了系统理论。
域这个名词虽是戴德金较早引入的，但域的公理系统却是迪克森（Dickson，.）与亨廷顿（Huntington，.）于19世纪初才独立给出。
数与代数在这一部分内容主要包含一、数与式；二、方程与
数与代数在这一部分内容主要包含：一、数与式；二、方程与不等式；三函数。
一数与式（一）重点是：关于数与式的主要内容，包括有理数、实数、代数式和二次根式，代数式主要是整式和分式。
这一部分内容的重点应当是强调理解数的意义，建立数感，理解代数式的表述功能，建立符号感，同时理解运算的意义，强调运算的必要性。
（二）内容的变化（1）降低了对于实数运算的要求。
比如“会用平方运算求某些非负数的平方根与算术平方根，用立方运算求某些数的立方根”转化为“会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根”。
（2）取消了对“有效数字”的要求，但重视学生的估算能力，要求学生理解近似数。
例如“能用有理数估计一个无理数的大致范围”, “了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值”。
（3）与实验稿比较，加强了对二次根式的要求，比如对二次根式的化简，分母有理化，但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。
（4）在具体情境中理解字母表示数的意义。
例如要求“借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
”（5）注重代数式的实际应用和实际意义。
例如要求“能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。
”以及“会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
”（6）对于代数式的意义，除了关注数学意义外，还关注现实的意义。
（7）强调几何直观的作用。
（8）知道｜a｜的含义（这里a 表示有理数）。
二方程与不等式（一）重点方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容，一个就是关于方程的，比方说一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，可化为一元一次方程的分式方程。
不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式组。
方程和不等式这部分内容一个我们强调方程和不等式的模型思想，也就是说如何从现实生活中去把问题进行抽象，用这种方程的形式和不等式的关系刻划出来，然后进行讲学，最后运用到现实问题。
盘点人类史上最伟大的十位数学家，牛顿非三甲，第一无争议
盘点⼈类史上最伟⼤的⼗位数学家，⽜顿⾮三甲，第⼀⽆争议什么是伟⼤的数学家？在我看来，伟⼤的数学家应具有以下特征，⼀是对数学的发展做出重⼤贡献，⼆是引领了⼀批数学⼈才，三是解决本领域关键问题，四是创⽴学科分⽀。
我⼼⽬中的⼈类史上最伟⼤的⼗位数学家的排名如下：戴维·希尔伯特第⼗位：希尔伯特（1862年—1943年）戴维·希尔伯特，德国数学家。
他提出新世纪数学家应当努⼒解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学领域的⾼峰，对这些问题的研究有⼒推动数学的发展。
希尔伯特是对20世纪数学有深刻影响的⼈物之⼀。
希尔伯特培养了⼀批对现代数学发展做出重⼤贡献的杰出数学家，他的主要研究有：不变量理论、代数数域理论、⼏何基础、积分⽅程等，在这些数学领域中，希尔伯特都做出了重⼤的或开创性的贡献。
格奥尔格·康托尔第九位：康托尔（1845年—1918年）格奥尔格·康托尔，德国数学家。
他对数学的贡献是集合论和超穷数理论，这两个理论⽅法是19世纪末到20世纪初数学领域最杰出的贡献之⼀。
康托尔对数学⽆穷领域的⾰命，⼏乎是由他⼀个⼈独⽴完成的。
第⼋位：伽罗⽡（1811年—1832年）埃⽡⾥斯特·伽罗⽡，法国数学家，是现代数学中分⽀学科群论的创⽴者。
他在⽤群论解决根式求解代数⽅程时总结出的群和域的理论，被⼈们称之为伽罗⽡群和理论。
埃⽡⾥斯特·伽罗⽡伽罗⽡使⽤群论的⽅法去讨论⽅程式的可解性，整套⽅法被称为伽罗⽡理论，是当代代数与数论的基本⽀柱之⼀。
他系统化地阐释了为何五次以上之⽅程式没有公式解，⽽四次以下有公式解。
伽罗⽡贡献⾮凡。
第七位：笛卡尔（1596年—1650年）勒内·笛卡尔，法国数学家、哲学家、物理学家，他对现代数学发展做出了重要贡献，被⼈们称为解析⼏何之⽗。
但笛卡尔最⼤的贡献是在哲学⽅⾯，他是欧洲近代哲学的奠基⼈之⼀，有着“近代哲学之⽗”之称。
勒内·笛卡尔笛卡尔对数学最重要的贡献是创⽴了解析⼏何，他的这⼀成就为微积分的创⽴奠定了基础，解析⼏何直到现在仍是重要的数学⽅法之⼀。
人教版B版高中数学选修3-4(B版)群与代数方程根式可解性
要点总结
想要理解伽罗瓦理论并不是一件简单的事情，我们 需要深厚的群、环、域的基础，在这里我们简单介绍一 下伽罗瓦理论。
首先，域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。 那么，若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合 构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal(K/F)。 这里的域是一个和我们学的群不一样的代数结构。
典型剖析
有了这个定理，便可以解决用尺规做正பைடு நூலகம்边形的问 题。
比如作正七边形，这个看上去非常简单的题目，曾 经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能 由尺规作出的。
再比如作正九边形，此图也不能作出来，因为单用 直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。
伽罗瓦理论有深远的影响，广义上的伽罗瓦理论还 包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内 容。
典型剖析
如果平面上一点P是（1）中两直线的交点或是（1） 中一直线和（2）中一圆的交点或是（2）中两圆的交点， 则称点P可用尺规直接从S作出。
如果对点P存在一串点P1，…，Pn，Pn=P使得P1可用 尺规直接从S作出而且Pi+1可用尺规直接从点集S∪{P1，…， Pn}作出，则称P可用尺规从S作出。
群与代数方程根式可解性
知识填充
一个多项式的根如何用它的系数经过四则运算和开 方表示出来即所谓用根式解方程的问题，这是19世纪以 前代数的一个主要问题。
大约在公元前1700年人们就已经知道一元二次方程 的解法，但是三、四次方程直到公元1500年左右才由费 罗、塔塔格利亚、卡尔塔诺和费拉利给出解的公式。
要点总结
线性代数简史
线性代数简史线性代数是高等代数的一个分支，是研究具有线性关系的代数量的一门学科。
历史上，线性代数中的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又反过来促进了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
此外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促进了线性代数的进一步发展。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但从数学史上来看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。
行列式：行列式的概念最初是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一－－莱布尼兹(Leibnitz)。
1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并指出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。
1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704‐1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。
1764年，法国数学家贝祖 (E.Bezout,1730‐1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化；对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程，贝祖证明了系数行列式等于零是该方程组有非零解的条件。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (Vandermonde，1735‐1796) 。
范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。
1772 年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法，用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。
抽象代数-01百科集锦
近世代数近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
1理论构成抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。
抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。
经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。
而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。
泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。
抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。
后来凯利对群作了抽象定义(Cayley，1821~1895)。
他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响。
“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”。
直到1878年，凯利又写了抽象群的四篇文章才引起注意。
1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。
1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856~1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。
20世纪初给出了群的抽象公理系统。
群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。
例如，找出给定阶的有限群的全体。
判别代数方程根的存在性的几种方法
判别代数方程根的存在性的几种方法摘要：代数方程通常指整式方程，即由多项式组成的方程。
有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和无理方程。
在数学学习中，常常要计算一些代数方程的解，然而在解代数方程时，我们首先就要判断这类方程的解的存在性。
本文从复变函数论、连续函数零点、多项式根的判别式、不动点定理、Kronecker定理方面判别代数方程根的存在性。
总结前人的研究成果，并略作一些整理，使分散的知识点汇聚在一起，以方便阅读。
关键词：代数方程；根；存在性Several methods ofdetermining the existence of Algebraic EquationWang Sheng-feng，College of Mathematics and Computer Science Abstract：Algebraic equations usually mean equations of integral expression, that is composed of polynomial equations. Sometimes it also refers to the unknown algebraic equations, including equation of integral expression, fractional equation and irrational equation. During learning mathematics, often to calculate the number of algebraic equation, but in solving algebraic equations, we must first determine the existence of solutions of these equations. From the theory of complex functions, continuous functions’zero, polynomial root discriminant, fixed point theorem, Kronecker theorem of algebraic equations determine the root of the problem. We summarize previous research results, and slightly up a bit, so that brings together scattered knowledge points to facilitate reading.Key words：Algebraic equations；Root；Existence1 引言中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。
伽罗华理论
√
√
σ( 2) = ± 2.
另一方面,
上式也唯一确定了
σ
本身,
因为
F
的任何一个元素都具有形式
√ ϕ( 2),
其中
ϕ
是一个系数为有理数的有理函数. 因此, 我们可以把 Gal(F /Q) 等同于2个元素的置换群
S2. 它只有两个成员
(1, 2), (2, 1).
这个例子有一般性, 即多项式的伽罗华群是它的 n 个根的对称群 Sn 的一个子群.
4.2 数域的自同构
设 F 是一个数域. F 的一个自同构是一个1–1对应 σ: F → F , 它“保持”域的运算, 即 对任意的 a, b ∈ F ,
σ(a ± b) = σ(a) ± σ(b), σ(ab) = σ(a)σ(b), σ(a/b) = σ(a)/σ(b).
容易验证, 若 σ1 和 σ2 是自同构, 则它们的复合 σ1 ◦ σ2 也是. 由此不难看出, F 的所有自同 构构成一个群, 其乘法运算就是复合, 单位元素就是恒同同构.
拉格朗日考察了3次方程解法. 对于一般的3次方程
x3 + ax2 + bx + c = 0,
2 LAGRANGE 的研究
3
总可以通过配3次方消掉 x2 项. 所以只需要考虑如下的方程, 不失一般性设为
x3 + px + q = 0.
这个方程可以通过如下方法解出: 首先, 令
p3
x=y− ,
(2)
3y
拉格朗日实际上开辟了一条研究求解代数方程的新路, 但是他没有找到求解一般5次 或更高次方程的方法. 他猜测不存在求解一般高次方程的代数方法. 这个猜测不久便被证 明了.
4.4群与代数方程根式可解性
在最后介绍一下文中提到的几位 大数学家.首先是勒让德．
勒让德（1752～1833）法国数学 家.1752年9月18日生于巴黎 ，1833 年1 月10日卒于同地.1770 年毕业于马萨林 学院 ．1782 年以外弹道方面的论文获 柏林科学院奖.1783年被选为巴黎科学 院助理院士，两年后升为院士．1795年 当选为法兰西研究院常任院士．1813年 继任J.-L.拉格朗日在天文事务所的职 位．
在1824—1826年，年轻的挪威数学 家阿贝尔严格证明了：对于方程
xn+a1xn-1+…+an=0，如果其次数n≥5,并且
系数a1，a2,...,an看成是字母，那么任何一
个由这些字母组成的根式都不可能是方程
的根．这样，五次和高于五次的一般方程 的求解问题就有阿贝尔解决了．
阿贝尔还考虑了一些特殊的能用根 式求解的方程，其中的一类现在被称为 “阿贝尔方程”．
史性的贡献，其中尤以数学方面的成 就最为突出．
在1770年前后，法国数学家拉格朗日 利用统一的方法（现在称为拉格朗日预解 式方法），详细分析了二、三、四次方程 的根式解法，提出方程根的排列与置换理 论是解代数方程的关键所在，他的工作有 力地促进了代数方程论的进步，但他的这 种方法却不能对一般五次方程求解．
群论迅速发展成为了一门崭新的数
学分支，对近世代数的形式和发展产生 了巨大影响.群是一个高度抽象的概念， 群论对于数学的其他分支，如数学分析、 几何学、物理学、化学的发展，甚至对 于20世纪结构主义哲学的产生和发展都 发生了巨大的影响．
正像人们评价的，“群的概念是
近世科学思想出色的新工具之 一”“无论在什么地方，只要能应用 群论，就能从一切纷乱混淆中立刻结 晶出简洁与和谐”．
河北九年级数学知识点
河北九年级数学知识点一、代数与函数1. 数集与代数表示数集的分类：自然数集、整数集、有理数集、无理数集、实数集、复数集。
代数表示：线性方程、二次方程、不等式等。
2.函数与方程函数定义与图像：定义域、值域、图像、奇偶性、单调性。
一次函数与二次函数：函数表达式、图像特征、解析式、性质。
二元一次方程组的解法：代入法、消元法、用待定系数法。
3.指数与对数指数的性质：指数法则、指数运算、零指数、负指数。
对数及其性质：对数定义、对数运算、常用对数、自然对数。
4. 几何与图形平面几何：角度与图形、线段与比例、平行线与直线交角、三角形的性质、四边形的性质。
立体几何：体积、表面积。
5.概率与统计概率与事件：概率定义、基本概率、条件概率、乘法原理、全概率公式。
统计与图表：频数表、频率分布表、折线图、柱状图、折线图、饼图。
二、几何与三角1.平面几何角度与图形：角的度量、同位角、相交线与夹角、平行线与直线交角、对顶角、同旁内角、同旁外角。
三角形的性质：角平分线、中线、垂心、高线、外心、内心、重心。
2.圆与圆锥曲线圆锥曲线的性质：椭圆、双曲线、抛物线。
圆的性质：切线与切点、弦、弦心距、弧长、扇形、面积。
3.立体几何平行四边形：对角线、性质。
棱柱与棱锥：侧面积、全面积、体积。
三、函数与图像1.函数与方程函数的图像与性质：定义域、值域、图像、奇偶性、单调性。
一次函数与二次函数：函数表达式、图像特征、解析式、性质。
2.幂函数与指数函数幂函数与指数函数的性质：幂函数的图像、指数函数的图像、幂函数与指数函数的交点。
3.三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数的性质：定义域、值域、图像、周期、对称性、增减性。
四、数与式1.实数计算实数的基本运算：加法、减法、乘法、除法、分数运算。
整数幂和有理指数幂：运算法则、零指数、负指数。
2.根式与整式根式的运算：根式化简、加法与减法、乘法与除法。
整式的运算：加法、减法、乘法、乘方。
3.分式与方程分式的性质与运算：约分、通分、分式运算。
数学史8
哈密顿为四元数制定一种不可交换的 乘法运算。他规定，原始单元相乘必须 满足下列规则：i2=j2=k2=-1 ij=-ji=k , jk=-kj=i , ki=-ik=j 任给四元数pq≠qp。一种数系的乘法没 有交换性，是数学史上的一大革新。 有了复数的几何解释后不久，数学家 们发现，复代数是研究平面向量，而物 理学中的大量问题是三维空间的向量， 需要一种能处理空间向量的数学理论， 他们在四元数中找到了思想的源泉。
高斯特别研究了x2≡o(modp)(其中p是 素数，a不是p的倍数)这种同余式方程． 如果它有解，就称x是p的二次剩余，否则 称a是p的二次非剩余．关于二次剩余和二 次非剩余，有一个著名的定理与之相联系 ，高斯称它为二次互反律
[(q-1)/2]. （p/q）· （q/p）=（－1）[(p-1)/2]·
8.3 布尔代数 19世纪中后叶，代数学还开拓了另一 个完全不同的领域．早在17世纪，莱布 尼茨想要发明一种通用的语言，借助它 的符号和专门语法来指导推理．他认为 逻辑语言应该用一些表意的符号，每一 个符号代表一个简单的概念，通过各种 符号的组合表达复杂的思想．他也认真 地考虑过建立一种推理的代数，试图通 过演算完成一切正确的推理过程．
由布尔开创的逻辑代数，在施罗德的 三大卷《逻辑代数讲义》(1890—1905) 中发展到了顶峰．而在1879年，德国数 学家弗雷格(G．Frege)则开创了数理逻 辑研究的另一种传统——数学基础传统 ．他的目标不是把数学应用于逻辑以实 现逻辑规律和逻辑推理的数学化，而是 利用精密化的逻辑为数学建立一个可靠 的基础．以后，通过佩亚诺(G．Peano) 、怀特黑德和罗素等人的工作，就将数 理逻辑研究中的逻辑代数传统和数学基 础传统汇合在一起．
8.1代数方程的可解性与群的发现 18世纪末和19世纪初，方程的代数解 法是数学的中心问题，意大利人在16世 纪解决丁三次、四次方程根式求解的一 般法则后，数学家一直在寻找五次以上 代数方程的求解问题，将近3个世纪， 数学家们绞尽脑汁毫无进展。 1770年拉格朗日发表论文《关于代数 方程解的思考》提出，五次和五次以上 方程没有根式解。
人教版B版高中数学选修3-4(B版)群与代数方程根式可解性
知识填充
天才的伽罗瓦（1811-1832）研究了拉格朗日、阿贝 尔和高斯的著作之后，对人一个n次方程f（x）给出了新 的预解式的概念。伽罗瓦定义方程的群为使方程等于零 的全部根的置换所组成个的集合。由此伽罗瓦才有可能 将f（x）的根可用根式解的条件转化成它的群所应具备 的条件。这是伽罗瓦所取得的突出的成就。
典型剖析
当然，利用伽罗瓦理论还能够解决一些经典的问题。 下面给出一个定理： 正n（n>1）边形可用尺规作图的充要条件是n有分解 式n=2ep1p2…pr，其中e≥0，p1，…，pr为不同的费马素 数。 费马数：n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以 得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 < a, b < n 且 b 为奇数，则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。）也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。
典型剖析
有了这个定理，便可以解决用尺规做正多边形的问 题。
比如作正七边形，这个看上去非常简单的题目，曾 经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能 由尺规作出的。
再比如作正九边形，此图也不能作出来，因为单用 直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。
伽罗瓦理论有深远的影响，广义上的伽罗瓦理论还 包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内 容。
要点总结
如果环F是交换幺环，至少含有两个元素，且全体非 零元素对乘法成一群，那么环F称为域。
那么什么是环呢？ 在非空集合L中，若定义了两种代数运算+和·（不 一定Байду номын сангаас加与乘），且满足：集合L在+运算下构成阿贝尔 群，乘法的结合律，乘法对加法的分配律，那么L就成为 一个环。
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这里说明一下，所谓的方程有根式 解（即代数可解），就是这个方程的解能 够由该方程的系数经过有限次加减乘除以 及开整数次方运算来表示．
从代数方程的根解法的发 展过程来看，早在公元前1700年左 右，古巴比伦人就能够用根式求解 一元二次方程ax2+bx+c=0了．
而直到3000多年之后，16世纪的 文艺复兴时期，三次方程 x3+ax2+bx+c=0和四次方程 x4+ax3+bx2+cx+d=0的求根公式才由意 大利数学家给出．到了16世纪中叶， 用根式求解四次或四次一下方程的问 题获得了圆满解决．
人们为了纪念他，把用群论的方法 研究方程根式解得理论称为伽罗瓦理 论． 更重要的是，群论开辟了全新的研 究领域，以结构研究代替计算，在错综 复杂的现象中寻求共同的结构，把偏重 计算研究的思维方式转变为用结构观念 研究的思维方式．
群论迅速发展成为了一门崭新的数 学分支，对近世代数的形式和发展产生 了巨大影响.群是一个高度抽象的概念， 群论对于数学的其他分支，如数学分析、 几何学、物理学、化学的发展，甚至对 于20世纪结构主义哲学的产生和发展都 发生了巨大的影响．
在1824—1826年，年轻的挪威数学 家阿贝尔严格证明了：对于方程 xn+a1xn-1+…+an=0，如果其次数n≥5,并且 系数a1，a2,...,an看成是字母，那么任何一 个由这些字母组成的根式都不可能是方程 的根．这样，五次和高于五次的一般方程 的求解问题就有阿贝尔解决了．
阿贝尔还考虑了一些特殊的能用根 式求解的方程，其中的一类现在被称为 “阿贝尔方程”． 阿贝尔关于代数方程的工作只是证 明对于一般的五次和五次以上方程根式 解是不可能的，但并不妨碍人们去求一 些特殊代数方程的解，不如阿贝尔方程 的根式解．
旧知回顾
“群”的概念经过前面几讲的学 习，相信同学们已经对它有了很好 的认识．“群”基本内容就是这 些．
新课导入
群理论是丰富多彩的．同学们有没 有想过，是那个聪明人发明的呢？在这 一节中，我们来介绍“群”这一概念是 怎么提出来的．
教学目标
知识与能力
• 了解代数方程的发展历程． • 认识一些伟大的数学家．
面对这样漂亮的结果，数学界迎来 了一个挑战：探寻五次和五次以上方程 的根式解．但是经过以后近300年的努 力，一直没有得到结果.在这期间，几 位数学家的卓越工作是值得一提的．
首先是数学家拉格朗日．
约瑟夫· 路易斯· 拉格朗日 （1735~1813）法国数学家、物理学 家.1736年1月25日生于意大利都灵， 1813年4月10日卒于巴黎.他在数学、 力学和天文学三个学科领域中都有历 史性的贡献，其中尤以数学方面的成 就最为突出．
首先来介绍一下伽罗瓦． 伽罗瓦（公元1811年~ 公元1832年）是法国 对函数论、方程式论 和数论作出重要贡献 的数学家，他的工作 为群论（一个他引进 的名词）奠定了基 础．
“群”这一概念是由法国数学家伽 罗瓦在1831年首次提出的，当时的代数 学仍是一门以方程为中心课题的数学学 科，代数方程的求解问题依然是代数学 的基本问题，特别是用根式求解方程．
在阿贝尔的工作之后，数学家所 面临的一个问题就是：什么养的特殊 方程能够用根式求解？这个问题稍后 被同样年轻的数学家伽罗瓦解决 了．对方程的根式可解问题的研究直 接导致了群伦的建立．
伽罗瓦继承和发展了前人及同时 代人的研究成果，融汇贯通了他们的 数学思想，并且凭着对数学特性的一 种直觉，超越了他们．
他首先提出了根的置换概念，主意 到每个方程都可以与一个置换群（伽罗 瓦群）联系起来，方程实际上是一个其 对称性可用群的性质描述的系统．这样， 伽罗瓦就把方程的根式问题转化为群论 问题来解决，而且他最终以群论为工具， 为方程的根式解问题提供了全面而透彻 的解答．
伽罗瓦是一位天才的数学家，他在少 年时期就直接阅读了数学大师们的专著， 如勒让德德经典著作《几何原理》，拉格 朗日的《解数值方程》《解析函数论》， 还有欧拉、高斯和柯西等的数学著作，打 下了坚实的数学基础．
在1770年前后，法国数学家拉格朗日 利用统一的方法（现在称为拉格朗日预解 式方法），详细分析了二、三、四次方程 的根式解法，提出方程根的排列与置换理 论是解代数方程的关键所在，他的工作有 力地促进了代数方程论的进步，但他的这 种方法却不能对一般五次方程求解．
接下来是数学家阿贝尔．
尼耳期．亨利克．阿贝尔（1802－ 1829）1802年8月出生于挪威的一个农 村．他很早变显示了数学方面的才华.16 岁那年，他遇到了一个能赏识其才能的 老师霍姆伯（Holmboe）介绍他阅读牛 顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作．大 师们不同凡响的创造性方法和成果，一 下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神 提升到一个崭新的境界，他很快被推进 到当时数学研究的前沿阵地．
伽罗瓦在21岁时就因一场决斗而 早逝.在他临终前给朋友的一封绝笔信 中，伽罗瓦写下了有关他研究的一份说 明．这封信，说明了伽罗瓦对数学本质 尤其是数学方法的追求和探索，展示了 他对现代数学的远见卓识．
在最后介绍一下文中提到的几位 大数学家.首先是勒让德．
勒让德（1752～1833）法国数学 家.1752年9月18日生于巴黎 ，1833 年1 月10日卒于同地.1770 年毕业于马萨林 学院 ．1782 年以外弹道方面的论文获 柏林科学院奖.1783年被选为巴黎科学 院助理院士，两年后升为院士．1795年 当选为法兰西研究院常任院士．1813年 继任J.-L.拉格朗日在天文事务所的职 位．
正像人们评价的，“群的概念是 近世科学思想出色的新工具之 一”“无论在什么地方，只要能应用 群论，就能从一切纷乱混淆中立刻结 晶出简洁与和谐”．
虽然伽罗瓦理论被公认为19世纪最 杰出的数学成就之一，但对19世纪初的 人来说太深奥了，就连当时的数学大师 都不能理解伽罗瓦的数学思想和他的工 作的实质，以至于他的论文得不到发表， 且在以后的几十年中一直被人们看成是 一部“天书”．
过程与方法
• 通过丰富的故事来了解方程的发展历程．
• 了解一些伟大的数学家．
• 以故事的形式，介绍群的产生．
情感态度与价值观
• 让学生感受到数学的发展历程． • 培养学生对数学的浓厚兴趣．
• 培养合作交流意识．
教学重难点
• 了解代数方程的发展历程． • 了解伽罗瓦群论思想的形成． • 了解认识一些伟大的数学家．