人教A版高中数学必修三第二章 统计

[例2] 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得 出的120人的身高资料(单位：cm)：
(1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比．
[分析]
[解析] (1)列出样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158)
或系统抽样
成
研究统计问题的基本思想方法就是从总体中抽取样本， 用样本估计总体，因此选择适当的抽样方法抽取具有代表性 的样本对整个统计问题起着至关重要的作用．高考中主要考 查三种抽样方法的比较和辨析以及应用．
[例1] 某高级中学有学生270人，其中一年级108人， 二、三年级各81人．现要利用抽样方法抽取10人参加某项调 查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方 案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三 年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学 生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10 段．如果抽得号码有下列四种情况：
(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)求这两个班参赛的学生人数．
[分析] 由频率分布直方图中各小组的频率之和为1，可 频数
求解第(1)问；根据频率＝总数，可求解第(2)问．
[解析] (1)∵各小组的频率之和为1.00，且第一、三、 四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.
(2012～2013·山西模拟)如下图，图甲是某市有 关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率 分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4 000.在 样本中记月收入在[1 000,1 500)，[1 500,2 000)，[2 000,2 500)，[2 500,3 000)，[3 000,3 500)，[3 500，4 000)的人数依 次为A1，A2，…，A6.图乙是统计图中月工资收入在一定范围 内的人数的程序框图，图乙输出的S＝________(用数字作 答)．
丙 80 90 86 99 95 分别从平均数、中位数和方差等方面分析甲与丙的成绩 谁好谁坏，并说明理由． [分析] 先按平均数和中位数的定义求出数据的平均数 和中位数．根据方差的公式求出它们的方差，判断成绩波动 大小．
[解析]
(1)平均分：
x
甲＝
1 5
×(65＋98＋94＋98＋95)＝
90，
x 乙＝15×(62＋98＋99＋100＋71)＝86.
频率 0.050 0.200
② 0.300 0.100 1.00
(1)频率分布表中的①和②位置应填什么数据？ (2)补全频率分布直方图(如下图)，再根据频率分布直方 图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数．
[解析] (1)100－5－35－30－10＝20，所以①处填20； 1－0.050－0.200－0.300－0.100＝0.35，所以②处填0.35. (2)补全频率分布直方图如下图所示．
D.^y＝176
[答案] C
[解析] 由数据知，y与x之间是近似直线上升的，计算
易得
－
x
＝176，
－
y
＝176，而回归直线必过样本的中心(
－
x
，
－
y
)，
代入选项验证，知C正确．
机器可以按各种不同速度运转．其生产的物件
中有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的多少随机器运
转的速度而变化，下列即为其试验结果：
[90,100]，8
结合 ①可求众数：最高小长方形的 中点所对应的数据； ②可求中位数：中位数左边和 右边的直方图面积相等； ③可求平均数：每个小长方形 的面积乘以小长方形底边中点 的横坐标之和； ④可求落在各个区域内的频率
名称
数
总体密度 曲线
同上
形
结合
可精确地反映一个总
体在各个区域内取值
的百分比，如分数落
成才之路·数学
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
统计
第二章
章末总结
知识结构
[答案]
专题突破
专题1 三种抽样方法的比较 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较如下表：
类别 共同点
各自特点
简单随 机抽样
抽样过程 中每个个 体被抽到
从总体中逐个抽 取
的可能性 将总体均分成几
(2012～2013·北京石景山模拟)为增强市民的节
能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条
件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者的年龄情况如下表
所示.
分组(单位：岁) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45] 合计
频数 5 ① 35 30 10 100
∴第二小组的频率为
1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. 频率
∴落在59.5～69.5内的第二小组的长方形的高为 组距 ＝
0.40 10
＝0.04，由此可补全频率分布直方图(如下图阴影部分所
示)．
(2)设高一两个班参赛的学生人数为x， 因为第二小组的频数为40，频率为0.40， 所以4x0＝0.40, 解得x＝100. 故高一两个班参赛的学生人数为100.
系统 相等；每 部分，按预先制
抽样 次抽出个 定的规则在各部
体后不再 分中抽取
分层 抽样
将它放 将总体分成几 回，即不 层，分层进行抽 放回抽样 取
联系
适用范围 总体中个体无 差异且个数较 少
在第一组抽取样本 总体中个体无
时采用简单随机抽 差异且个数很
样
多
在各层抽取样本时 总体由差异明
采用简单随机抽样 显的几部分组
s
2
甲
＝
1 5
×[(65－90)2＋(98－90)2＋(94－90)2＋(98－90)2＋
(95－90)2]＝158.8.
由于两人的平均分相同，所以从平均分看，甲、丙成绩 同样好；从中位数看，甲的中位数高，甲的成绩高；从方差 看，丙的方差小，丙的成绩较稳定，所以丙的成绩好．
归纳总结：不同的数字特征代表着不同的信息．由于 需要不同信息而选择不同的数字特征，对同一组数据的评价 可能会相差很大．
甲的中位数是95，乙的中位数是98.
(2)从平均分看，甲的平均分高，甲的成绩较好；从中位
数看，乙的中位数大，乙的成绩较好．
(3)
x
丙＝
1 5
×(80＋90＋86＋99＋95)＝90，丙的中位数为
90.
s
2
丙
＝
1 5
×[(80－90)2＋(90－90)2＋(86－90)2＋(99－90)2＋
(95－90)2]＝44.4；
(12,8)，(x3，y3)＝(17,9)，(x4，y4)＝(16,11)，则 x ＝12.5， y ＝
n
∑xiyi－n x y
8.25.回归直线的斜率
^
b
＝
i＝1
∑n x2i －n－x2
≈0.729，截距
^
a
＝
y
－
^
b
i＝1
x ≈－0.863.所以所求的回归直线方程为y^＝0.729x－0.863.
在(a，b)内的百分比
是左图中阴影部分的
面积
名称
数
形
结合
茎叶图
甲的数据： 95,81,75,89,71,65,7 6,88,94； 乙的数据： 83,86,93,99,88,103, 98,114,98
①茎是十位和百位数字， 叶是个位数字； ②可以帮助分析样本数据 的大致频率分布； ③可用来求数据的一些数 字特征，如中位数、众数 等
A．②③都不能为系统抽样 B．②④都不能为分层抽样 C．①④都可能为系统抽样 D．①③都可能为分层抽样
[解析] 分层抽样时，在各层所抽取的样本个数与该层 个体数的比值等于抽样比；系统抽样抽取的号码从小到大排 列后，每一个号码与前一个号码的差都等于分段间隔．
[答案] D
专题2 用样本的频率分布估计总体分布 总体分布反映了总体在各个范围内取值的可能性的大 小．在实际问题中，总体分布可以为合理的决策提供依据， 因此问题的解答就转化为求总体的分布问题，其解决的途径 是通过样本来估计总体．
散点图 n个ຫໍສະໝຸດ Baidu据点(xi，yi)
可以判断两个变量之间有 无相关关系
在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将高一两 个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组， 绘制出如下图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的 第一、第三、第四、第五小组的频率分别是 0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.
[例4] (2011·江西高考)为了了解儿子身高与其父亲身高 的关系，随机抽取5对父子身高数据如下表：
父亲身高x(cm) 174 176 176 176 177 儿子身高y(cm) 175 175 176 177 178
则y对x的线性回归方程为( )
A.^y＝x－1
B.^y＝x＋1
C.^y＝88＋12x
5
0.04
8
0.07
10
0.08
22
0.18
33
0.28
20
0.17
11
0.09
6
0.05
5
0.04
(2)画出频率分布直方图，如下图所示．
(3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为 5＋182＋0 10＝12230≈0.19， 所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%.
专题3 用样本的数字特征估计总体的数字特征 样本的数字特征可分为两大类，一类是反映样本数据的 集中趋势，包括样本平均数、众数、中位数，另一类是反映 样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差．通常，我们 用样本的数字特征估计总体的数字特征．有关样本平均数及 方差的计算和应用是高考考查的热点．
(2)根据回归直线方程
^
y
＝0.729x－0.863，要使
^
y
≤10，即
0.729x－0.863≤10，解得x<14.901，即机器的速度不能超过
14.901 r/s.
专题5 思想方法总结
思想1 数形结合思想
名称
数
形
数据分组及频
数：
[40,50)，2； 频率分布直 [50,60)，3；
方图 [60,70)，10； [70,80)，15； [80,90)，12；
[例3] 某学校高一(3)班甲、乙两名同学的最近5次数学
测验成绩(单位：分)统计如下：
甲 65 98 94
98
95
乙 62 98 99 100 71
(1)分别写出甲、乙成绩的平均数和中位数；
(2)分别用平均数和中位数分析甲、乙两位同学中，哪位
同学成绩较好；
(3)又知同班同学丙的最近5次数学测验成绩(单位：分)如 下：
速度(r/s)
每小时生产有缺点物件数
8
5
12
8
14
9
16
11
(1)求出由于机器速度的影响，每小时生产有缺点物件数 的回归直线方程．
(2)若实际生产中允许每小时最多生产有缺点物件数为 10，那么机器的速度不得超过多少转每秒？
[解析] (1)用x来表示机器速度，y表示每小时生产的有
缺点的物件数，4个样本数据为(x1，y1)＝(8,5)，(x2，y2)＝
i＝1
i＝1
(2)计算回归方程的系数a^，b^，
n xiyi－n－x －y
i＝1
b^＝
公式为
n x2i －n－x 2
i＝1
a^＝－y －b^－x ；
(3)写出回归方程^y＝b^x＋a^. 利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线 方程为^y＝b^x＋a^，则x＝x0处的估计值为^y0＝b^x0＋a^. 由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸， 所以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用．
专题4 回归直线与回归方程 除了函数关系这种确定性的关系外，还有大量因变量的 取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关 系．分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据的散 点图给出判断．若是线性相关，还可以利用最小二乘法求出 回归方程．
求回归方程的步骤：
n
n
(1)由已知数据计算出 x ， y ，x2i ，xiyi；
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,91,119,146,173,200,227,154； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
500名志愿者中，年龄在[30,35)的人数为0.35×500＝175.
思想2 转化与化归思想 转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简 单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知 的问题实现的．转化与化归思想是解决数学问题的根本思 想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．统计中充分 体现了转化与化归的思想方法，如部分与整体的转化、数与 图的转化、随机性问题与确定性问题的转化等．