非线性反演方法1

多尺度反演过程示意图：
Df ( f ) 大尺度（总体背景）全局极小 D f 1 ( f ) D f 2 ( f ) Pj 1 f 中尺度（背景）全局极小 Pj f D ( f ) P f f k j 1 Pj 2 f 小尺度（背景）全局极小 Pj k f
1 i0 1 1 h2 1 i0 2 1 h3
半纯函数

半纯函数是一种复变函数--即自变量和因变量都取 值复数， 也称亚纯函数。 半纯函数在定义域中的某些 点上没有定义，我们称这些点为极点。 函数在这些极 点附近的幂级数展开可写为(以单变量为例)罗朗展开式： f(z)=c_m/（z-a)^m+...+c_2/(z-a)^2+c_1/(z-a)+ c_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+......, 这里c_i和a_j都是常系 数， z=a是极点。 全纯函数是最简单的半纯函数，也称解析函数， 就是说它没有任何极点。 根据刘维尔定理，在紧致流 形上， 全纯函数只能是常值函数。 任何有理函数（即通过多项式加减乘除得到的函数） 都是半纯函数。
多尺度分解方法原理：数学显微镜，逐层求解 符号表达： Vj Wj 设光滑部分近似属于 空间，细节部分近似属 于 空间，若在基于上，则两空间正交互补。 (5.109)
Vj-1 =Vj Wj Vj+1 Wj+1 Wj
示意图：如右
9.3 多尺度反演法
反演基本算子操作过程： 第一个算子：反演问题分解（从小到大）为各尺度上的反 问题。 第二个算子：求取各尺度上反问题的解。 第三个算子：将稍大尺度上的解嵌入稍小尺度，并作为其 反问题求解的起始点。
设函数ƒ(z)以z
=α为n级极点，则
当n=1时，就有 特别地，当式中φ(z)和ψ(z)都在
z=α处解析， ψ(z)以z =α为一级零点，φ(α)≠0，则
微层划分
反演问题的关键：将实测的 C ( ) 展成上面所示的连分 式形式。 微层划分原则：可以近似的把每层中的 E(, z) 和 E(, z) 看为随深度变化的线性函数。 则对K层有：E(, zk 1 ) E(, zk ) ( zk 1 zk )E(, zk ) E(, zk 1 ) E(, zk ) i0 k E(, zk ) 由一维介质中电磁波满足Helmholtz方程知：
C ( ) h1
1 i0 1 1 h2 1 i0 2 1 hM 1 1 i0 M 1
当 M
0
C ( ) h1
1 i0 1 1 h2 1 i0 2 1 hM 1
步
骤： 1 建立实测大地响应函数 C ( )
最小尺度（原始尺度）总体极小
9.2 小波与多尺度分析
小波产生的背景： 常规傅氏变换不能提取频域的局部特征，窗口傅氏变换 实现了时域局部化，但一旦函数 g(t-b) 选定，不能满足 高频和低频信号对窗口大小的不同要求。 定义一：称满足条件 2 1 | ( ) | | | d (5.100) 的函数 (t ) L2 ( R) 为小波函数或母小波。 式中 ( ) 是 (t ) 的傅氏变换。
带入上式得到： E(, zk 1 ) E(, zk ) i0 k E(, zk )
E(, zk ) i0 ( z) E(, zk )
连分式模型
根据定义： 假设 E(, zk ) E(, zk 1 ) 将上式代入有： Ck 1 ( ) hk
反演过程分析
采样点数 M 2 j，对应于尺度 2 j 。 当 j 1 时 ，M 2 ，为 反演2个数据（此时可以用线性反 演方法）的初始模型， G 为 2 N 阶。 当 j 2 时 ， 反演4个数据的初始模型， G 为 4 N 阶。 当 j 3 时 ， 反演8个数据的初始模型， G 为 8 N 阶。 以此类推: 直至最小的尺度，即最大采样率是的反演问题，这是 问题的解为最终解 。这里 N 为模型参数个数。
a
式中： f , a,b 为内积； ( t b ) 与 (

t b ) a
dadb a 2 (5.103)
是共轭，且
(5.104)
c

2 1 | ( ) | | | d
定义三： 在实际应用中，常用其离散形式，若令 a 2 j , b 2 j.i 则(5.101)式为二进制小波，可以表达为：
Ck 1 ( ) C (, zk 1 ) E (, zk 1 ) E ( , zk 1 )
1 1 Ck ( )
i0 k
可以得到如下连分式：
C ( ) h1 1 i0 1 1 h2 1 1 i0 2 CM ( )
当 M
(5.106)
若设：
D2 j
i
f ,


ji
ji (t )
(5.107)
则分解等式可以写成：
f (t )
n
D
2n

n j 1 n

D2n
n j
D

2n
(5.108)
(5.108)第一项大尺度对应平滑部分，第二项小尺度对 应细节部分。 基于(5.108)式的分析方法称为尺度分析方法。
主要内容
9.1尺度 尺度与分辨率 多尺度反演过程 9.2小波与尺度分析 小波与二进制小波 多尺度分析 9.3多尺度反演法 三个基本算子 三种实现方法
9.1 尺度
尺度：当我们以离散方式描述某一空间或时 间的函数时，均匀离散点之间的距离。 分辨率：单位距离内离散点的个数。 尺度越大，分辨率越低；尺度越小，分辨率越高。

留数(又称残数residue ) ，复变函数论中一个重要的概 念。解析函数 ƒ(z)在孤立奇点z =α处的洛朗展开式 (见 洛朗级数)中，(z－α)-1项的系数с-1称为ƒ(z)在z =α处的 留数,记作或Resƒ(α)。它等于，式中Г是以α为中心的充 分小的圆周。 留数的概念最早由 A.-L.柯西于1825年提出。由于 对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项(z-α)-1,因 此称为留数。它在很多问题上都有重要应用，如定积分 计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为 部分分式,将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近 估计等。
连续小波 a,b (t ) 是基于仿射群
(
at b
，通过母小
t b ) 变换而得。 其表达式为： 波 a 1 t b 2 a ,b (t ) | a | ( ) a
(5.101)
b
a , b 的含义如下
a 尺度伸缩变量
|a|
1 2
位置平移变量 物理空间的实际位置
是归一化因子
多尺度分解反演实现方法： 设地球物理线性反演问题的数据方程为： 第一种方法
M N N 1
G m= d
M 1
WGm Wd
第二种方法
Wd WGW Wm (W (WG) ) Wm
T T T
第三种方法
d GHale Waihona Puke Baidu Wm (WG ) Wm
T T T
加密插值：大尺度上的解作用于小尺度模型时，解的样点要进行加 密，主要方法有样点复制或线性插值法。
2 利用最小方差原理求得其部分分式
an C ( j ) (a0 ) j 1 n 1 n i
M k 2
（或者求C(j ) 之极点和函数）
3 将部分分式展开成连分式，求得各微层厚度和电导率
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谢
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反演对比结果分析
MSI和GI反演的比较
理论模型
理论 模型1
初始模型
初始 模型1 初始 模型2 初始 模型3
方法
MSI GI MSI GI MSI GI
迭代次数
17 21 13 15 22 35
X2
3.85 92.87 7.58 29.53 0.28 5500.00
理论 模型2
R.Parker法不仅适用于电磁感应资料反演，而 且也适用于某些频域地球物理资料反演，其非线 性反演原理—以大地电磁为给以例说明。
ij (t ) 2 j /2 (2 j t i)
(5.105)
二进制小波构成 L2 (R) 的一个正交基，利用 ij 可以 将在无穷大处衰减得充分快的任意函数 f (t ) 分解为：
f (t )
j i
f ,


ji
ji (t )
(i, j ) Z
响应函数
响应函数—阻抗 定义为：
Z ( ) E ( ) H ( )
E ( ) 1 Z ( ) E( ) i0
或导出： 为一半纯型函数 所以有部分分式结构： 写其成连分式为：
C ( )
C ( ) a0
an n 1 n i
k
C ( ) h1
j 2 ( j Z ) ，则所对应的尺度为 2 j。 若分辨率为
优点
大尺度 （低波数）
缺点
分得散，搜索极值 极值点少，“全局 点容易 极小点”不一定是 真正全局极小点
小尺度 （大波数）
极值点多，全局极 无上一尺度的搜索 小点离真正全局极 结果指导则直接搜 小点较近 索较困难
多尺度反演：是把目标函数分解成不同尺度的分量，根 据不同尺度上目标函数的特征逐步搜索全局极小。 反演过程：根据上一级搜索到的背景“全局极小点”为起 点，在其附近搜索下一级尺度的“全局极小点”；不 断迭代缩小尺度至原始尺度，提高分辨率，找到真 正全局极小点。 优点：反演稳定，反演结果不受初始模型的影响；反 演不受局部极小困扰，收敛速度加快。
2 f ( t ) L ( R) 的函数，有 定义二：对于任一
Wf (a, b) f , a ,b | a |

1 2


t b f (t ) ( )dt a
(5.102)
为其小波变换。 其逆变换为
1 f (t ) c



Wf (a, b)a ,b (t )