北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试题(解析版)

9.已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点 P，使△ APB的最大边是 AB”发生的概率为 ，则
（）
A. B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 【分析】
根据概率，确定构成事件 M 的长度为线段 CD 的 ，根据对称性，当 PD CD 时， AB＝ PB，利用勾股定理，即可得
出结论． 【详解】 解：记“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使△ APB 的最大边是 AB”为事件 M ，试验的全部结果构
）
A. 10 B. － 10 C. 5 D. － 5 【答案】 A
【解析】 【分析】 根据二项展开式的通项公式，即可得到结果 .
【详解】在（
） 5 的 展开式的通项公式为 Tr+1
?（﹣ 1） r?x10﹣ 3r，
∴第 4 项的二项式系数为 故选： A 【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的二项式系数，属于基础题．
【点睛】 本题考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合
理运用． 15.在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为 _________ 。
30 秒、 5 秒和 40 秒。当你到达路口时，不是红灯的概率为
【答案】
【解析】 【分析】 利用对立事件概率计算公式求解． 【详解】 解：∵一个路口的红绿灯，红灯的时间为 ∴当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是：
求面积．
【详解】 解：椭圆 C：
1 的左、右焦点分别为 F1（﹣ 4， 0）、F 2（ 4， 0），
设 P（ x1， y1），由已知 PF1⊥ PF2，所以
，
即 （﹣ 4﹣ x1，﹣ y1）?（ 4﹣ x1，﹣ y1）＝ 0， ∴x12+y12＝ 16，
又因为
1，
解得
，所以，△ PF1F 2 的面积
30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，
﹣B1 的大小为 ．
【详解】 解：设正方体 ABCD ﹣ A1B1C1D1 的棱长为 1， 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣ xyz， A（ 1， 0，0）， B（ 1， 1，0）， D1（ 0， 0， 1）， B1（ 1， 1， 1），
（0， 1， 0），
（﹣ 1，﹣ 1， 1），
（ 0， 0，1），
）
A. 24 种 B. 48 种 【答案】 B
C. 96 种
D. 120 种
【解析】
【分析】
5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素， 与另外 3 个元素全排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．
【详解】 解：∵ 5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，
则这五个接收器不能同时接收到信号的概率是
故选： B 【点睛】本题考查等可能事件的概率，对立事件概率，注意本题中分组为平均分组，其次要结合电学知识分析电路．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.编号为 1， 2，3， 4， 5 的五个人，分别坐在编号为 1， 2， 3，4， 5 的座位上，则恰有两个人的编号与其座位号分 别相同的坐法种数为 __________。（用数字作答） 【答案】 20 【解析】
成的长度即为线段 CD，构成事件 M 的长度为线段 CD 的 ，
设 AB＝ 3x， AD＝ y，则
根据对称性，当 PD CD 时， AB＝ PB，
由勾股定理可得（ 3x）2＝y2+（2x） 2，
∴
，
∴
．
故选： D．
【点睛】 本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件
A 的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长
【详解】 解：设 125 条以上的频率为 x， 根据所求频率和为 1 可知 20×（ 0.003+0.006+0.0075+0.009+0.0105+0.012 ） +x＝ 1，
解得 x＝ 0.04．
该公司共有员工 200 人，则收到 125 条以上的大约有 200× 0.004＝ 8． 故选： C．
BD 与 CF 成 0°角， BD 与 EF 成
考点：异面直线及其所成的角．
3.若椭圆 + =1（ a>b>0）的焦距为 2，且其离心率为 ，则椭圆的方程为（
）
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
【答案】 B 【解析】 【分析】
由题意可知 2c＝ 2， c＝1，根据离心率公式 e
【分析】
利用间接法，先求出没有限制条件的选法，再排除只有男生（或女生）的选法，问题得以解决
.
【详解】 解：从 8 个人中选 4 人共 种选法，只有男生（或女生）的选法有
种，
所以既有男生又有女生的选法有
来自百度文库68 种．
故选： A．
【点睛】 本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题
7.在（
） 5 的展开式中，第 4 项的二项式系数为（
司共有员工 200 人，则收到 125 条以上的大约有（
）
得到了如图所示的频率分布直方图。 如果该公
A. 6 人 B. 7 人 C. 8 人 D. 9 人 【答案】 C 【解析】 【分析】
设 125 条以上的频率为 x，根据所求频率和为 1 建立等式，求出 x，最后根据频数＝样本容量×频率求出所求．
度，两者求比值，即为概率．
10.下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收
到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有
六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器不能同时接收到信号的概率是（
8.某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是
，构造数列 { } ，使得
记
+a 2+…ａn （ n∈Ｎ+），则
的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】 【分析】 S4＝ 2 说明掷 4 次硬币，出现了 3 次正面和一次反面，共有
4 种情况，而所有的情况共有 24＝ 16 种，由此求得
S4＝ 2 的概率．
AN ，BN ，
解得 z ，故 N（ 0， 0， ）
故选： D．
【点睛】 考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统
化，属基础题．
2.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（
）
A. BD与 CF成 60°角 B. 【答案】 C
BD与 EF 成 60°角 C.
C52＝ 10 种结果，
其余的三个座位与人的编号不同，则第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定，共有
2 种结果，
根据分步计数原理得到共有 10× 2＝ 20 种结果，
故答案为： 20
【点睛】 本题考查组合公式以及分步计数原理的运用，易错点为当两个相同的号码确定以后，其余的三个号码不同
的排法共有 2 种结果．
．
故答案为： 9．
【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，用到数形结合思想，这是高中数 学的一种重要思想． 14.正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，二面角 A－BD1－ B1 的大小是 __________。
【答案】
【解析】 【分析】 设正方体 ABCD ﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣ xyz，利用向量法能求出二面角 A﹣ BD 1
）
A. （ 0，0， ） B. （ 0， 0， ）
C. （ 0， 0， ） D. （ 0，0， ）
【答案】 D 【解析】 【分析】 根据点 N 在 z 轴上，设出点 N 的坐标，再根据 N 到 A 与到 B 的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得 解方程即可求得 N 的坐标． 【详解】 解：设 N（ 0， 0，z） 由点 N 到点 A（ 1，0， 3）与点 B（﹣ 1， 1，﹣ 2）的距离相等，得： 12+0 2+（ z﹣3） 2＝（﹣ 1﹣ 0） 2+（ 1﹣0） 2+（﹣ 2﹣z） 2
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】
先求出 五个接收器能同时接收到信号的概率，再利用对立事件概率公式即可得到结果
.
【详解】 将六个接线点随机地平均分成三组，共有
种结果，
五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有
这五个接收器能同时接收到信号的概率是
，
C4 1?C21?C11 ＝ 8 种结果，
【详解】 解：由 S4＝ 2 可得，掷 4 次硬币，出现了 3 次正面和一次反面，共有 而所有的情况共有 24＝ 16 种，
4 种情况，
故 S4＝2 的概率为
，
故选： C． 【点睛】 本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率，等可能事件的概率，体现了等价转化的数学思想， 属于中档题．
设平面 ABD 1 的法向量
，
则
，取 x＝ 1，得 （ 1， 0， 1），
设平面 B1BD 1 的法向量
（ a， b， c），
则
，取 a＝ 1，得 （ 1，﹣ 1， 0），
设二面角 A﹣ BD 1﹣ B1的平面角为 θ，
cosθ＝﹣ |cos
|
，
∴二面角 A﹣ BD 1﹣ B1的大小为 ．
故答案为： ．
【点睛】 本题主要考查了用样本的频率分布估计总体分布，以及频率分布直方图，同时考查了频数＝样本容量×频 率等知识，属于基础题．
6.某中学从 4 名男生和 4 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动， 若选出的 4 人中既有男生又有女生， 则不同的选法共
有（
）
A. 68 种 B. 70 种 C. 240 种 D. 280 种 【答案】 A 【解析】
∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外
3 个元素排列，
再者甲和乙之间还有一个排列， 共有 A44A22＝ 48， 故选： B．
【点睛】 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查相邻问题，是一个比较简单的题目，这种题目一般有限制条件，
首先排列有限制条件的元素．
5.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，
，求得 a， b，即可求得椭圆 C 的标准方程 .
【详解】 由题意可知： 2c＝ 2，即 c＝ 1，
由椭圆的离心率 e b2＝ a2﹣ c2＝ 1，
，解得： a ，
∴椭圆 C 的标准方程：
；
故选： B
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆简单的几何性质，属于基础题
.
4.5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（
12.若抛物线
【答案】 4
【解析】
的焦点与双曲线
的右顶点重合，则 p=_________。
解：双曲线右顶点坐标为
，即：
.
13.设 P 是椭圆
=1 上的一点，且
，则△ PF1F2 的面积为 _________。
【答案】 9 【解析】 【分析】
设出 p 点的坐标（ x1， y1），根据 PF 1⊥ PF 2，求出 y1，再根据
【分析】
根据题意，首先从 5 个号码中，选出两个号码，使其编号与座位号一致，由组合数公式可得情况数目，再分析其余
的三个座位与人的编号不同的情况数目，易得第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定，共有
2 种结果；由分
步计数原理相乘得到结果．
【详解】 解：由题意知本题是一个排列、组合及简单计数问题， 恰有两个人 的编号与座位号一致，则首先从 5 个号码中，选出两个号码，有
AB与 CD成 60°角 D.
AB与 EF 成 60°角
【解析】 试题分析：由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到 90°角， AB 与 CD 成 60°角， AB 与 EF 成 90°角． 解：由正方体的平面展开图， 还原成如图所示的正方体， ∵BD ∥ CF， ∴ BD 与 CF 成 0°角，故 A 错误； ∵BD ∥ 平面 A 1EDF ，EF ? 平面 A 1EDF ， ∴BD 与 EF 成 90°角，故 B 错误； ∵AE ∥CD ， ∴∠ BAE 是 AB 与 CD 所成角， ∵△ ABE 是等边三角形， ∴∠ BAE=60° ， ∴AB 与 CD 成 60°角，故 C 正确； ∵AB ∥ A 1D，又 A 1D ⊥EF， ∴AB 与 EF 成 90°角，故 D 错误． 故选： C．
北京 101 中学 2018－2019 学年上学期高二年级期末考试数学试卷
本试卷满分 120 分，考试时间 100 分钟
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。
1.已知 z 轴上一点 N到点 A（ 1， 0， 3）与点 B（－ l ， 1，－ 2）的距离相等，则点 N 的坐标为（