北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试题(解析版)

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2019-2020学年北京市101中学上学期高二期末考试数学试题(解析版)

2019-2020学年北京市101中学上学期高二期末考试数学试题一、单选题 1．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．【答案】A【解析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2．设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【解析】,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B-n =﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．3．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4．椭圆2214x y +=的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（） A ．30° B ．45°C ．60°D ．以上答案均不正确【答案】A【解析】画出满足条件的图形，由112212,AO B B A O B B ⊥⊥可得出1FOA ∠为所求二面角的平面角，通过解三角形1FOA 即可求出二面角. 【详解】由椭圆2214x y +=得长轴124,A A = ，短轴122B B =.将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，如图.设点A 1在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点，设该焦点为F . 则1A F ⊥平面122B B A .所以1A F ⊥FO .由112212,AO B B A O B B ⊥⊥,所以1FOA ∠为所求二面角的平面角. 在1AOF △中，12,AO OF ===所以11cos OF FOA OA ∠==由条件二面角为锐角，所以1=30FOA ∠︒【点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，属于中档题. 5．已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程. 【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切. 所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆. 则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D 【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.6．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==，所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7．正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为（）A ． BC ．D ．【答案】B【解析】设,F G 分别为,DC SC 的中点,则可证明AC ⊥平面EFG ，得到满足条件的动点P 的轨迹为EFG V ，然后求解即可. 【详解】由0PE AC ⋅=u u u r u u u r，即满足PE AC ⊥.设,F G 分别为,DC SC 的中点，连接,,,,AC BD EF FG GE . 设,AC BD 交于点O ，,AC EF 交于点1O . 所以在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD .所以SO AC ⊥,且AC BD ⊥, 由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以1//,//BD EF SO GO ,则有，1GO AC ⊥,AC EF ⊥,且11EF GO O =I 所以AC ⊥平面EFG .故当点P 在平面EFG 内时，有PE AC ⊥成立.所以动点P 的轨迹为平面EFG 截正四棱锥S -ABCD 的截面，即EFG V . 由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点. 所以111,,222EF BD GE SB FG SD === 又正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，所以22BD =,()21+2=3SB =.所以23EF FG GE ++=+故选：B【点睛】本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题.8．设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ．（123] B ．（12]C ．23，+∞） D ．2，+∞）【答案】B【解析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果. 【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1ba≤,则双曲线的离心率为c e a ====≤又1e >,则1e <≤故选B 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式c e a ====考查了理解能力和转化能力.二、填空题9．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px=的焦点pp,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 【考点】考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为_____. 【答案】1【解析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果. 【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r,又因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=.故答案为:1 【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11．已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线. 【答案】①②③【解析】设点M 的坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形. 【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r 计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线. 故答案为: ①②③ 【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= .故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13．斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____【答案】4105【解析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值. 【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b <<222641616168011225525b b b AB --+=+-=0b =时，max 804102255AB ==. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 5≤|A 1P |6≤P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】4π43【解析】156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大. 【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =156A P ≤≤可计算得12AP ≤≤又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为12之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W 的面积是221[(2)1]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答题15．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +u u u r u u u r ）⋅OC u u u r的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中2z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果. 【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R; 由|z |2=,得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0, z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2, 所以xy =1; 解得x=1,y=1; 所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16．如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值；（2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【答案】（1）13；（225. 【解析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =u u u r （0,1,0）,CD =u u u r （﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914OB OB CD CD⋅===⋅⨯u u u r u u u r u u u u u r ur , ∴异面直线OB 与CD 所成角的余弦值为13. （2）OB =u u u r （0,1,0）,OC =u u u r （1,0,0）,OD =u u u r （0,12,1）,设平面COD 的法向量n =r（x ,y ,z ）,则0102n OC x n OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u uv r u u uv r ,取2y =,得n =r（0,2,﹣1）, 设直线OB 与平面COD 所成角为θ, 则直线OB 与平面COD 所成角的正弦值为:sinθ2555OB nOB n ⋅==⋅=u u u r r u u u r r .【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17．已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 为边长为2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CMCPλ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ . 【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果. （Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意 2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO == 所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =u u u v由()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,1PC =-u u u v设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =v，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =v3cos ,331n OB n OBn OB⋅===⋅⋅u u u v v u u u v vu u u v v由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为3（Ⅲ）设BN BP μ=u u u v u u u v，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v令0BM AN ⋅=u u u u v u u u v得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数，当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19．一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8．【解析】【详解】（Ⅰ）设点，，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且1DN ON ==u u u r u u u r ，所以，且22002200(1,1.x t y x y ⎧-+=⎨+=⎩）即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点D 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y += （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线，由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,{20,y kx m x y =+-=可得；同理可得．由原点O 到直线PQ 的距离为21m d k =+和21P Q PQ k x x =+-，可得． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--．当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．【考点】椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值．。

北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题

北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（） A. 14y 5x 22=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=- D. 116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（）A. （0，1）B. （0，161） C . （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。

则真命题的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（） A. 2 B. 2 C. 2± D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. （332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [332，+∞）二、填空题共6小越。

北京市西城区2018-2019学年高二第一学期期末考试数学试题(解析版)

北京市西城区2018—2019学年度第一学期期末试卷高二数学2019.1一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆方程得到的值，然后由求得的值，进而求得离心率.【详解】根据椭圆标准方程，得，故，所以椭圆的离心率为.故选B.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的标准方程写出，根据椭圆的几何性质求离心率，属于基础题.2.命题“对任意的，”的否定是（）A. 不存在，B. 存在，C. 存在，D. 对任意的，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出原命题的否定，注意否定结论.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，主要到要否定结论，故原命题的否定是“存在，”.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.3.数列的前项和为，且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件得到数列是等比数列，并且得到首项和公比，根据等比数列前项和公式求得.【详解】由可知数列为等比数列，且公比为，首项为，故.所以选D.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.4.已知点，，是中点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中点坐标公式，求得的中点的坐标.【详解】根据中点坐标公式得，即，故选A.【点睛】本小题主要考查空间坐标计算，考查空间两点中点坐标的求法，属于基础题.5.平面经过三点，，，则平面的法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对四个选项，通过计算判断是否是平面的法向量.【详解】设平面的法向量为，对于选项，，故A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，故C选项错误.对于D选项，由于，故D选项符合题意.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查空间法向量的概念以及法向量的判断，属于基础题.6.如果，那么下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用的特殊值，代入选项逐一判断选项是否正确，由此得出正确选项.【详解】令.对于A选项，所以A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，C选项正确.对于D选项，，故D选项错误.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查比较数的大小，考查选择题的特殊值排除法，属于基础题.比较两个数的大小，对于对于选择题或者填空题来说，最主要的方法是特殊值法.还有的方法就是利用不等式的性质，或者指数函数单调性、对数函数的单调性来求解.如果问题较为复杂，还需要借助奇偶性，结合图像来求解.7.已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为，可得，即，解得，所求双曲线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.8.设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。

北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期中考试数学试卷(含精品解析)

曲线”，否则则不是．
【详解】对于①，由题意得曲线 C1 是以(0,0)为圆心，2 为半径的圆；曲线 C2 是以(2,−1)为圆心，半径
为 1 的圆．两圆的圆心距为 C1C1 = 5 ，由于1 < C1C1 < 3 ，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正
确．对于②，由题意得曲线 C1，C2 是共轭双曲线（它们各自在 x 轴上方的部分），具有相同的渐近线，因此两曲线没有公切线，故②不正确．对于③，因为 b>a>0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形．
由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故③正确．
对于④，当 a=1 时，曲线 C1： y = x2 +2x +2 = (x +1)2 +1 ，此时直线 y =1与曲线 C1 和曲线 C2 都相切，
故④正确．综上可得有三个命题正确．故选 C．【点睛】解答本题的关键是正确理解题意，并找出两曲线的公切线，解题时要注意对每个结论中两曲线形状、性质的分析和判定，进而得到两曲线是否有公切线．考查理解和运用知识解决问题的能力．
④必存在正数 a 使得曲线 C1： y = ax2 +2x +2 和曲线 C2： x2 + y2 =1为“相关曲线”.其中正确命题 2
的个数为（）
A. 1 B. 2 【答案】C 【解析】
C. 3
D. 4
【分析】
根据“相关曲线”的定义，只需判断每个命题中的两条曲线是否有公切线即可，若有公切线，则为“相关
①有且只有两条直线 l 使得曲线 C1： x2 + y2 = 4 和曲线 C2： x2 + y2 - 4x +2 y +4 = 0 为“相关曲线”；

北京101中学高二数学文期末试题含解析

北京101中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若为假命题，则A. 命题与的真值不同B. 命题与至少有一个假命题C. 命题与都是假命题D. 命题与都是真命题参考答案：D略2. 设，曲线在点处切线的斜率为2,则 ( )A. B. C.D.参考答案：B3. 设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（）A．相交B．相切C．相离D．以上答案均有可能参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M且到准线的距离是d．设P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．结合中位线的定义与抛物线的定义可得： ==半径，进而得到答案．【解答】解：不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，由抛物线的定义可得： ==半径．所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切．故选：B．4. ( )A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据定积分的运算公式，可以求接求解.【详解】解:，故选C.【点睛】本题考查了定积分的计算，熟练掌握常见被积函数的原函数是解题的关键.5. 设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2?bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．6. 偶函数满足=，且在时，，则关于的方程，在上解的个数是( )A.1B.2C.3D.4参考答案：D7. 已知m=0.9 5.1 ，n= 5.1 0.9 ，p=log 0.9 5.1，则这三个数的大小关系是( )a.m＜n＜pb.m＜p＜nc.p＜m＜nd.p＜n＜m参考答案：C本题考查指数函数的单调性和对数函数的单调性.由指数函数的性质，∵0＜0.9＜1，5.1＞1，∴0＜0.9 5.1 ＜1，即0＜m＜1.又∵5.1＞1，0.9＞0，∴ 5.1 0.9 ＞1，即n＞1.由对数函数的性质，∵0＜0.9＜1，5.1＞1，∴log 0.9 5.1＜0，即p＜0.综合可得p＜m＜n.8. 设a=，b=﹣，c=﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：B 【考点】72：不等式比较大小．【分析】利用有理化因式和不等式的性质即可得出．【解答】解： =，．∵，∴，∴b＜c．∵=4，∴．即c＜a．综上可得：b＜c＜a．故选：B．【点评】本题考查了有理化因式和不等式的性质，属于基础题．9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①则；②若则；③若则；④若，则．其中正确的命题的序号是A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④参考答案：C10. 已知a为函数的极小值点，则a=（）A. －4B. －2C. 4D. 2参考答案：D【分析】利用导数研究函数的极值得解.【详解】由题得，令，所以函数的增区间为，减区间为（-2,2）,所以函数的极小值点为x=2. 所以a=2. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且=，则=．参考答案：【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列前n 项和的特点，设出两数列的前n 项和分别为S n =kn （3n ﹣1），T n=kn（2n+3）（k≠0），由关系式：n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1求出它们的通项公式，再求出的值即可．【解答】解：∵{a n }，{b n }为等差数列，且其前n 项和满足=，∴设S n =kn （3n ﹣1），T n =kn （2n+3）（k≠0），则当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=6kn ﹣4k ，当n=1时也满足，则a n =6kn ﹣4k ；当n≥2时，b n =T n ﹣T n ﹣1=4kn+k ，当n=1时也满足，则b n =4kn+k ，∴=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，求出等差数列{a n }，{b n }的通项是解题的关键，是中档题．12. 过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的方程为 ▲参考答案：13. 已知双曲线C 与双曲线有共同的渐近线，且C 经过点，则双曲线C 的实轴长为．参考答案：3【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线C 与双曲线有共同的渐近线，设出方程，把点，代入求出λ再化简即可．【解答】解：由题意双曲线C 与双曲线有共同的渐近线，设所求的双曲线的方程为（λ≠0），因为且C 经过点，所以1﹣=λ，即λ=，代入方程化简得，，双曲线C 的实轴长为：3．故答案为：3．【点评】本题考查双曲线特有的性质：渐近线，熟练掌握双曲线有共同渐近线的方程特点是解题的关键． 14. 已知,(i 是虚数单位)则,ab = .参考答案：2，215. 若点（1,1）到直线的距离为，则的最大值是．参考答案：16. 过点M （1，-1），N （-1,1），且圆心在x+y-2=0上的圆的方程是___ ____________. 参考答案：略17. （5分）已知复数z 满足，则|z+i|（i为虚数单位）的最大值是．参考答案：由，所以复数z 对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，所以|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径，等于．故答案为．由复数模的几何意义可得复数z 对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，由此可得|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

【精品高二数学期末】2018-2019海淀区高二年级第一学期期末数学练习+答案(文)

海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科） 2019.1学校班级姓名成绩本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线210x y +-=在y 轴上的截距为（）A ．2- B. 1- C. 12- D. 12．双曲线22:1169x y C -=的渐近线方程为（）A ．34y x =± B. 43y x =± C. 916y x =± D. 169y x =±3. 已知圆 22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于（）A ．32- B. 1- C. 1 D. 324. 鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑. 它看似简单，却凝结着不平凡的智慧. 下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则它的体积为（） A. 32 B. 34C. 36D. 405. 椭圆22:11612x y C +=的焦点为1F ，2F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最大角为（）A. 90︒B. 105︒C. 120︒D. 150︒ 6. “0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件12244俯视图C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，下面说法正确的是（）A. m m n n αβαβ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊂⎭B. m m n n αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊂⎭C.m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭D. mm αββα⎫⇒⎬⊂⎭8．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为BC 中点，点Q 为线段1AD （与1,A D 不重合）上一动点. 给出如下四个推断： ① 对任意的Q ，1A Q 平面11B BCC② 存在点Q ，使得11AQ B P③ 对任意的Q ，11B Q AC ⊥ 则上面推断中所有正确．．的为（） A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ② ③ 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．直线:10l x y +-=的倾斜角为____, 经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为_____． 10. 抛物线24y x =的焦点坐标为____，点(4,4)到其准线的距离为____. 11．请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是_________. (只需写出一组)12. 直线10x y +-= 被圆221x y += 截得的弦长为_______. 13. 已知椭圆和双曲线的中心均为原点，且焦点均在轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于右表中, 则双曲线的离心率为_______.14．曲线W3=.① 请写出曲线W 的一条对称轴方程______________； ② 请写出曲线W 上的两个点的坐标______________； ③ 曲线W 上的点的纵坐标的取值范围是____________.1C 2C x1A 1D 1C 1A 1B 1DA BC三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x ≥上，且OC （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且点D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ；（Ⅱ）求证：BC ⊥PA ．EDCBAPC如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是全等的等腰梯形，其中ABFC ED ，且122AB BC FC ===，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：直线OG ⊥平面FCDE ；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．；（Ⅲ）在线段CD 上是否存在点H ，使得BH 平面EGO ？如果存在，求出DH 的长度，如果不存在，请说明理由.18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，12AF F ∆是斜边长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线y x m =+与椭圆C 交于不同两点,P Q .(i)当1m =时，求线段PQ 的长度；(ii)是否存在m ，使得43OPQ S ∆=？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准2019.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分.9.3π4，20x y +-= 10. (1,0),5 11. 1,,,A A B C （此答案不唯一）12. 13.14. ① 0x =（或0y =） ② (0,2),(0,2)- 此答案不唯一 ③ [2,2]-说明：9，10题每空2分， 14题中 ① ②空各给1分，③给2分三. 解答题:本大题共4小题,共44分. 15.（本小题满分10分）解: （I ）设圆心(,)C a a ，则 OC = …………………1分解得2a =，2a =-（舍掉） …………………2分所以圆22:(2)(2)1C x y -+-= …………………4分（Ⅱ）① 若直线l 的斜率不存在，直线l ：1x =，符合题意 …………………5分 ② 若直线l 的斜率存在，设直线l 为(1)y k x =-，即 0kx y k --= …………………6分由题意,圆心到直线的距离1d ==， …………………8分解得34k =…………………9分所以直线l 的方程为3430x y --= …………………10分综上所述，所求直线l 的方程为1x =或3430x y --=．16．（本小题满分10分）解: （Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点 ,所以 //DE PC …………………1分因为 DE ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC …………………3分说明：上面两个必须有，少一个扣1分.所以 //DE 平面PAC ． …………………4分（Ⅱ）证明：因为 PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点,C因为 PDAD D =，,PD AD ⊂平面PAD …………………8分所以 BC ⊥平面PAD …………………9分因为 BC ⊂平面ABC所以平面ABC ⊥平面PAD …………………10分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点所以OG FC ⊥ …………………1分又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF平面FCDE FC =………………3分所以OG ⊥平面FCDE …………………4分（II ） ,F D 点为所求的点因为FD ⊂平面FCDE , 所以OG ⊥FD …………………5分又EDFO ，且EF ED =，所以EFOD 为菱形 …………………6分所以FD EO ⊥ …………………7分因为EO OG O =，所以FD ⊥平面EGO …………………8分（Ⅲ）假设存在点H ，使得BH 平面EOG …………………9分由EDOC ，所以EOCD 为平行四边形，所以EO DC …………………10分因为EO ⊂平面EOG又BH DC H =，所以平面EOG平面BCD ，所以BC平面EOG ，所以BCOG ，所以GBCO 为平行四边形，所以 GB CO = ，矛盾，所以不存在点H ，使得BH平面EOG …………………12分18．（本小题满分12分）解: （I）由题意，12F F =b c = …………………1分所以2b c a === …………………3分椭圆C 的标准方程为22142x y += …………………4分（II ）把直线1l 和椭圆的方程联立22142x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 2234240x mx m ++-= …………………5分当1m =时，有23420x x +-=，1243x x +=-， 1223x x =-…………………6分所以12|||PQ x x -=…………………8分（Ⅲ）假设存在m ，使得43OPQ S ∆=.因为12|||PQ x x -= …………………9分点O 到直线y x m =+的距离为d = …………………10分所以114||223OPQ S PQ d ∆=⋅== 所以42680m m -+=，解得2,m =± …………………11分代入221612(24)0,m m ∆=-->m=±均符合题意…………………12分说明：所以2,解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

2018~2019学年北京海淀区北京一零一中学高二上学期期中数学试卷

A.
B.
，它的一个焦点在抛物线
C.
D.
8. 正方体 A.
中，平面 B.
与平面 C.
所成角的正切值为（）． D.
9. 若存在直线与曲线和曲线都相切，则称曲线和曲线为“相关曲线”，有下列四个命
题：
①有且只有两条直线使得曲线
和曲线
为“相关曲
线”．
②曲线
和曲线
是“相关曲线”．
③当
时，曲线
和曲线
焦点为，，为椭圆上一点，则
的周长为
．
，
，且，夹角的余弦值为，则
．
的离心率是，则
．
15. 如图，正方形
和正方形
的边长分别为，
经过，两点，则
．
，原点为的中点，抛物线
三、解答题:共4小题，共40分
16. 已知抛物线
的焦点为，直线
（ 1 ）求弦长．
（ 2 ）求
的面积．
与抛物线交于，两点．
明理由．
，若存在，求线段的长度．若不存在，说
19. 在平面直角坐标系中，已知点上．
和点
都在椭圆
（ 1 ）求椭圆的方程及其离心率．（ 2 ）已知是坐标系原点，一条直线与椭圆交于，两点，与轴正半轴交于点，令
．试问：是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点的坐标和的值．若不存在，请说明理由．
B.
C.
相内切，那么等于（ D.
5. 直线：
与圆：
的（）．
A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
相要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
6. 抛物线

北京101中学2018-2019学年高二数学上册期末测试题

北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（）A. 123p p p ==B. 123p p p =<C. 132p p p =<D. 321p p p =<2. 某公司10位员工的月工资（单位:元）为10321,,,,x x x x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A. x ，22100+sB. 100+x ，22100+sC. x ， 2sD. 100+x ，2s3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出i 的值是（）A. 27B. 31C. 63D. 154. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人。

则这三个社团共有（）A. 130人 B . 140人 C . 150人 D. 160人 5. 下列结论中正确的个数是（）①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”； ②若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件； ③命题“若22,am bm a b <<则”的逆命题是真命题； ④,R x ∈∀不等式2243x x x +>-均成立.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 若区间)1,0(上任取一实数b ，则方程20x x b ++=有实根的概率为（） A.14 B. 13C.12 D. 347. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（） A.34B.38 C. 2D. 48. 已知点M （－3，2）是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是（）A. 72B. 52C. 3D. 2二、填空题：本大题共6小题，共30分。

北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷及答案

北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知z 轴上一点N 到点A （1，0，3）与点B （－l ，1，－2）的距离相等，则点N 的坐标为（）A. （0，0，21-） B. （0，0，52-） C. （0，0，21）D. （0，0，21） 2. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A. BD 与CF 成60°角B. BD 与EF 成60°角C. AB 与CD 成60°角D. AB 与EF 成60°角3. 若椭圆22a x +22b y =1（a >b >0）的焦距为2c=2，且其离心率为22，则椭圆的方程为（）A. 42x +22y =1B. 22x +12y =1C. 42x +32y =1D. 82x +42y =14. 5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 120种5. 某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。

如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（）A. 6人B. 7人C. 8人D. 9人6. 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A. 68种B. 70种C. 240种D. 280种7. 在（xx 12-）5的展开式中，第4项的二项式系数为（） A. 10B. －10C. 5D. －58. 某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是21，构造数列{n a }，使得 ⎩⎨⎧-=次抛掷时出现反面，第次抛掷时出现正面，第n n a n ,1,1记1a S n =+a 2+…a n （n ∈N +），则24=S 的概率为（） A.161B.81C.41D.21 9. 已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为31，则=ABAD（）A.21B.23C. 32D.3510. 下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。

2018-2019学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科)

2018-2019学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．3．已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|﹣|等于（）A．1 B．C．3 D．94．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）A．B．C．D．5．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（）A．3 B．5 C．7 D．156．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是（）A．至少有一个黑球B．恰好一个黑球C．至多有一个红球D．至少有一个红球7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m ＜09．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=111．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A． B．C．3 D．412．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x=；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为．14．双曲线的离心率等于；渐近线方程为．15．在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为．16．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．18．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）（注：s2= [（x）2+（x2﹣）2+…+（x）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E 是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．22．已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．2018-2019学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键．2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，椭圆的离心率e==．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，∴椭圆的离心率e==，椭圆的离心率，故选D．【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．3．已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|﹣|等于（）A．1 B．C．3 D．9【考点】向量的模．【分析】先根据空间向量的减法运算法则求出﹣，然后利用向量模的公式求出所求即可．【解答】解：∵=（2，3，1），=（1，2，0），∴﹣=（1，1，1）∴|﹣|==4．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率P（A）=．故选：A．5．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（）A．3 B．5 C．7 D．15【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的t的值，当t的值不满足条件（t+2）（t﹣5）＜0时退出循环，输出即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得t=﹣1，不满足条件t＞0，t=0，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，不满足条件t＞0，t=1，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，满足条件t＞0，t=3，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，满足条件t＞0，t=7，不满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，退出循环，输出t的值为7．故选：C．6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是（）A．至少有一个黑球B．恰好一个黑球C．至多有一个红球D．至少有一个红球【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用对立事件、互斥事件定义直接求解．【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，在A中，至少有一个黑球与事件恰有两个红球是对立事件，故A不成立；在B中，恰好一个黑球与事件恰有两个红球是互的事件，故B不成立；在C中，至多一个红球与事件恰有两个红球是对立事件，故C不成立；在D中，至少一个红球与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件，故D成立．故选：D．7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l⊂β或l∥β；在B中，由线面垂直的判定定理得l ⊥β；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，l与β相交、平行或l⊂β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．8．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m ＜0【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m＜0”，故选：D【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．9．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．10．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，由双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b ＞0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为：，故选A．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．11．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A． B．C．3 D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．12．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④【考点】平行投影及平行投影作图法；棱锥的结构特征．【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析4个选项，即可得出结论．【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确．故选D．【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x= 24；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为9．【考点】分层抽样方法．【分析】由于每个个体被抽到的概率都相等，由=0.2，可得得x 的值．先求出三班总人数为36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，求出每个学生被抽到的概率为，用三班总人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：由题意可得=0.2，解得x=24．三班总人数为120﹣20﹣20﹣24﹣20=36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，每个学生被抽到的概率为=，故应从三班抽取的人数为36×=9，故答案为24；9．14．双曲线的离心率等于2；渐近线方程为y=x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】在双曲线的标准方程中，分别求出a，b，c，再由离心率和渐近线的定义进行求解．【解答】解：双曲线中，a=2，b=2，c==4，∴e===2．渐近线方程为：y=±=x．故答案为：2，y=x．15．在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为2600人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为97.5．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图的性质求出分数在90分以上的频率，由此能求出分数在90分以上的人数，根据频率分布直方图能估计此次考试成绩的中位数．【解答】解：由频率分布直方图的性质得：分数在90分以上的频率为：1﹣（0.005+0.0125）×20=0.65，∴分数在90分以上的人数约为：0.65×4000=2600．由频率分布直方图知分数在90分以下的频率为（0.005+0.0125）×20=0.35，分数在[90，110）的频率为：0.02×20=0.4，∴根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为：90+=97.5．故答案为：2600，97.5．16．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义和条件可得△AKF为正三角形，F到l的距离为d=2，结合中位线定理，可得|AK|=4，根据正三角形的面积公式可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，由抛物线的定义可得|AF|=|AK|，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|，即有△AKF为正三角形，由F到l的距离为d=2，则|AK|=4，△AKF的面积是×16=4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）结合图表，由平均值和方差的定义可得答案；（Ⅱ）列举可得5名学生中选2人包含基本事件有共10个，事件A包含基本事件有7个，由古典概型的公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为：5名学生数学成绩的方差为：5名学生物理成绩的平均分为：5名学生物理成绩的方差为：因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以，估计高三（1）班总体物理成绩比数学成绩稳定．（Ⅱ）设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A，5名学生中选2人包含基本事件有：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A2A3，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共10个．事件A包含基本事件有：A1A4，A1A5，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共7个.所以，5名学生中选2人，选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为．18．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）（注：s2= [（x）2+（x2﹣）2+…+（x）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【考点】极差、方差与标准差；频率分布折线图、密度曲线；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生人数，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A，由对立事件概率计算公式能求出至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．（3）当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，90或79，85，90．【解答】解：（1）由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，∴该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有：1000×=750人．（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A，由题意，得P（A）=1﹣=1﹣，∴至少有1人体育成绩在[60，70）的概率是．（3）∵甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，∴当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，90或79，85，90．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E 是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空间直角坐标系C﹣xyz．则A，B1，E，A1，可得，，，可知，根据，，推断出AB1⊥CE，AB1⊥CA1，根据线面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面A1CE的法向量，，进而利用向量数量积求得直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz．A（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），∴，，．又因为，，∴AB1⊥CE，AB1⊥CA1，AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面A1CE的法向量，，∴|cos＜，＞|==．设直线A1C1与平面A1CE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．所以直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明EF∥PC即可得EF∥平面PAC．（Ⅱ）证明AE⊥平面PBC 即可得AE⊥PF．（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），求出平面AEF的一个法向量为，由二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求出m，即可【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，所以EF∥PC．…..又因为EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，…．所以EF∥平面PAC．…..（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC．PA∩AB=A所以BC⊥平面PAB．…..由于AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE．由已知PA=AB，点E是PB的中点，所以AE⊥PB．…..又因为PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC．…..因为PF⊂平面PBC，所以AE⊥PF．…..（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0）．于是，．设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r），由得取p=2，则q=﹣m，r=m，…．得=（2，﹣m，m）．…..由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD．即平面ABF的一个法向量为．…..根据题意，，解得．…..由于BC=AB=2，所以．…..21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，所以，解得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x．（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．所以x1x2=4．由，，两式相乘，得，注意到y1，y2异号，所以y1y2=﹣4．所以直线OM与直线ON的斜率之积为，即OM⊥ON．22．已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．【考点】椭圆的应用．【分析】（Ⅰ）根据直线和椭圆的位置关系即可求出AC的长；（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，利用根与系数之间的关系即可求出三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由，得3x2+4x=0，解得x=0或，∴A，C两点的坐标为（0，1）和，∴．（Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，∵|OB|=3|OP|，P在线段OB上，∴，求得，∴△OAC的面积等于．②若B不是椭圆的左、右顶点，设AC：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），C（x2，y2），由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，则，，∴AC的中点P的坐标为，∴，代入椭圆方程，化简得2k2+1=9m2．计算|AC|===．∵点O到AC的距离d O﹣AC=．∴△OAC的面积=．综上，△OAC面积为常数．。

北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷(解析版)

北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

从每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∵，∴复数所对应的点为，故选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2.抛物线的准线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由抛物线x2＝y可得：2p＝1，即可得出抛物线的准线方程．【详解】由抛物线x2＝y可得：2p＝1，∴，因此抛物线的准线方程是y．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其准线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.椭圆的长轴长是短轴长的4倍，则a=A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出．【详解】由椭圆的焦点在x轴上，∴a＞1＝b，由题意可得2a＝4×2×1，解得a＝4．故选：B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质，是基础题．4.在三棱锥中，A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量加减法运算即可.【详解】,∴，故选：C.【点睛】本题考查向量加减法，是基础题.5.下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为;;的共轭复数为；的虚部为iA. ,B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．【详解】∵z1+i，∴：|z|，：z2＝2i，：z的共轭复数为1-i，：z的虚部为1，∴真命题为p2，p3．故选：A．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．6.已知数列为等差数列，则“，，成等比数列”是为常数列的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】若,解d=0，故成立；若，，不构成等比数列，故不成立，故选：A.【点睛】本题考查等差及等比数列的性质，充分必要条件，注意常数列不一定是等比数列.7.如图，在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与AD1所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2AD＝2，则A1（1，0，2），B（1，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，2），（0，1，﹣2），（﹣1，0，2），设异面直线A1B与AD1所成角为θ，则cosθ．∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．故选：D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8.点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】设M(x,y),,将，代入化简为y的函数求最值即可.【详解】设M(x,y),∵ 点M为双曲线上,∴=故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，是基础题.9.已知点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P在椭圆C上，则使为等腰三角形的点P的个数是A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】分以P,A,B为顶点三种情况，讨论即可.【详解】以P为顶点时，显然AB中垂线与椭圆有两个交点，即点P有两个；当以B为顶点时，设,，且解或(舍去)，此时P 有一个；当为等腰三角形以A为顶点时,,且解或(舍去) 此时P有一个，综上点P有4个，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，点点距，分类讨论思想，注意讨论要全面.10.设点O为坐标原点，已知点Q为抛物线上与O不重合的任意一点，直线为抛物线C在点Q处的切线，过点Q且与垂直的直线与x轴交于点G，轴于点H，则A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】设Q(m,n),则再得QH方程，进而得H坐标，即可解答.【详解】设Q(m,n),则则令,故选：B.【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，切线方程，是基础题, 设P=在P点处切线方程为二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11.已知数列满足，，则_________【答案】8【解析】【分析】由递推关系分别计算即可.【详解】故答案为8.【点睛】本题考查数列递推关系，求数列的项，是基础题.12.点（0，1）到双曲线的渐近线的距离是_________。

北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题

北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（）A. 14y 5x 22=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=- D. 116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（）A. （0，1）B. （0，161） C . （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。

则真命题的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（）A. 2B. 2C. 2±D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. （332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [332，+∞）二、填空题共6小越。

北京市101中学2019-2020学年高二上学期统练数学试卷 Word版含解析

北京市101中学2019-2020学年高二上学期统练数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．已知方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．﹣9＜m ＜25B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞82．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．B ．C ．D ．3．已知椭圆+=1上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 为原点，则|ON|等于（）A ．2B ．4C ．8D ．4．直线y=kx+1（k ∈R ）与椭圆+=1恒有公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．[1，5）∪（5，+∞）D ．（1+∞）5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（） A ．（0，1） B ．（0，] C ．（0，） D ．[，1）6．已知F 1（﹣4，0），F 2（4，0），又P （x ，y ）是曲线+=1上的点，则（） A ．|PF 1|+|PF 2|=10 B ．|PF 1|+|PF 2|＜10 C ．|PF 1|+|PF 2|≤10 D ．|PF 1|+|PF 2|≥107．过点A （11，2）作圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条8．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题共6小题．9．已知直线5x ﹣12y+a=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则a 的值为． 10．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为． 11．椭圆+=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|= ，∠F 1PF 2的大小为．12．已知P为椭圆+y2=1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|•|PF2|的最大值是，|PF1|2+|PF2|2的最小值是．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．14．设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是．三、解答题共3小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0．（I）若点Q（x，y）在圆C上，求x+y的最大值与最小值；（II）已知过点P（3，2）的直线l与圆C相交于A、B两点，若P为线段AB中点，求直线l的方程．16．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．17．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．北京市101中学2019-2020学年上学期统练高二数学试卷参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．﹣9＜m＜25 B．8＜m＜25 C．16＜m＜25 D．m＞8【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴m+9＞25﹣m＞0，解得8＜m＜25．故选：B．2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍可知a=2b，进而可求得c关于a的表达式，进而根据求得e．【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率，故选D．3．已知椭圆+=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（）A．2 B．4 C．8 D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据椭圆的定义求出MF2=8的值，进一步利用三角形的中位线求的结果．【解答】解：根据椭圆的定义得：MF2=8，由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，根据中位线定理得：|ON|=4，故选：B．4．直线y=kx+1（k∈R）与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．[1，5）∪（5，+∞）D ．（1+∞）【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】求出直线结果的定点，利用直线与椭圆恒有公共点，列出不等式组求出m 的范围．【解答】解：由于直线y=kx+1恒过点M （0，1）要使直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点，则只要M （0，1）在椭圆的内部或在椭圆上从而有，解可得m ≥1且m ≠5故选：C ．5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（） A ．（0，1） B ．（0，] C ．（0，） D ．[，1）【考点】椭圆的应用．【分析】由•=0知M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆．又M 点总在椭圆内部，∴c ＜b ，c 2＜b 2=a 2﹣c 2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c ，∵•=0，∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆．又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2＜b 2=a 2﹣c 2．∴e 2=＜，∴0＜e ＜．故选：C ．6．已知F 1（﹣4，0），F 2（4，0），又P （x ，y ）是曲线+=1上的点，则（）A ．|PF 1|+|PF 2|=10B ．|PF 1|+|PF 2|＜10C ．|PF 1|+|PF 2|≤10D ．|PF 1|+|PF 2|≥10【考点】两点间的距离公式．【分析】根据题意，曲线表示的图形是图形是如图所示的菱形ABCD ，而满足|PF 1|+|PF 2|=10的点的轨迹恰好是以A 、B 、C 、D 为顶点的椭圆，由此结合椭圆的定义即可得到|PF 1|+|PF 2|≤10．【解答】解：∵F 1（﹣4，0），F 2（4，0），∴满足|PF 1|+|PF 2|=10的点在以F 1、F 2为焦点，2a=10的椭圆上可得椭圆的方程为，∵曲线表示的图形是图形是以A（﹣5，0），B（0，3），C（5，0），D（0，﹣3）为顶点的菱形∴由图形可得菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，因此，曲线上的点P，必定满足|PF1|+|PF2|≤10故选：C7．过点A（11，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A．16条B．17条C．32条D．34条【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数．【解答】解：圆的标准方程是：（x+1）2+（y﹣2）2=132，圆心（﹣1，2），半径r=13过点A（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分别只有一条）还有长度为11，12，…，25的各2条，所以共有弦长为整数的2+2×15=32条．故选C．8．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知|PF2|=，|PF2|=|F1F2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选D二、填空题共6小题．9．已知直线5x ﹣12y+a=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则a 的值为 ﹣18或8 ．【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程．【分析】求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出a 的值．【解答】解：圆的方程可化为（x ﹣1）2+y 2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得，所以a 的值为﹣18或8．故答案为：﹣18；810．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题设条件知，2a=12，a=6，b=3，由此可知所求椭圆方程为．【解答】解：由题设知，2a=12， ∴a=6，b=3，∴所求椭圆方程为．答案：．11．椭圆+=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|= 2 ，∠F 1PF 2的大小为 120° ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】第一问用定义法，由|PF 1|+|PF 2|=6，且|PF 1|=4，易得|PF 2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF 1|+|PF 2|=2a=6，∴|PF 2|=6﹣|PF 1|=2．在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2===﹣，∴∠F 1PF 2=120°．故答案为：2；120°12．已知P 为椭圆+y 2=1上任意一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|•|PF 2|的最大值是 4 ，|PF 1|2+|PF 2|2的最小值是 8 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】借助于椭圆的定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，利用基本不等式的性质即可|PF 1|•|PF 2|的最大值．利用PF 1|•|PF 2|的最大值，即可得到的|PF 1|2+|PF 2|2的最小值．【解答】解：由题意：椭圆+y 2=1，可得a=2，P 时椭圆上任意一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．由椭圆的定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，即m+n=2a=4，∴m+n ，当且仅当m=n 时取等号．所以：mn ≤4即|PF 1|•|PF 2|的最大值为4．|PF 1|2+|PF 2|2的=m 2+n 2≥2mn=8当且仅当m=n 时取等号．所以|PF 1|2+|PF 2|2的最小值8．故答案为：4，8．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是．【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．【分析】由于圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2=1，由题意可知，只需（x ﹣4）2+y 2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x+15=0，整理得：（x ﹣4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x ﹣4）2+y 2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx ﹣2的距离为d ，则d=≤2，即3k 2﹣4k ≤0，∴0≤k ≤．∴k 的最大值是．故答案为：．14．设F 1，F 2分别为椭圆+y 2=1的焦点，点A ，B 在椭圆上，若=5；则点A 的坐标是（0，±1）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出直线F 1A 的反向延长线与椭圆交于点B'，由椭圆的对称性，得，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x 1，x 2的方程，解之即可得到点A 的坐标．【解答】解：方法1：直线F 1A 的反向延长线与椭圆交于点B'又∵由椭圆的对称性，得设A （x 1，y 1），B'（x 2，y 2）由于椭圆的a=，b=1，c= ∴e=，F 1（，0）． ∵|F 1A|=|x 1﹣|， |F 1B'|=|x 2﹣|，从而有：|x 1﹣|=5×|x 2﹣|，由于≤x 1，x 2， ∴﹣x 1＞0，﹣x 2＞0，即=5× =5． ①又∵三点A ，F 1，B ′共线，∴（，y 1﹣0）=5（﹣﹣x 2，0﹣y 2） ∴．②由①+②得：x 1=0．代入椭圆的方程得：y 1=±1，∴点A 的坐标为（0，1）或（0，﹣1）方法2：因为F 1，F 2分别为椭圆的焦点，则，设A ，B 的坐标分别为A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），若；则，所以，因为A ，B 在椭圆上，所以，代入解得或，故A （0，±1）．方法三、由e=||，λ=5，e=，cos θ=，sin θ=，k=tan θ=，由，即可得到A （0，±1）．故答案为：（0，±1）．三、解答题共3小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y+9=0．（I ）若点Q （x ，y ）在圆C 上，求x+y 的最大值与最小值；（II ）已知过点P （3，2）的直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，若P 为线段AB 中点，求直线l 的方程．【考点】点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质．【分析】（I ）设 x+y=d ，d 取最值时，圆和直线 x+y=d 相切，则由圆心到直线x+y=d 的距离等于半径求得d 值，即为所求．（II ）由题意得 CP ⊥AB ，由 k CP =﹣1，可得 k AB =1，点斜式可求直线l 的方程．【解答】解：圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，∴圆心C （2，3），半径r=2，（I ）设 x+y=d ，则由圆心到直线x+y=d 的距离等于半径得，∴x+y 最大值为，最小值．（II ）依题意知点P 在圆C 内，若P 为线段AB 中点时，则CP ⊥AB ，∵k CP =﹣1，∴k AB =1，由点斜式得到直线l 的方程：y ﹣2=x ﹣3，即 x ﹣y ﹣1=0．16．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，其中左焦点F （﹣2，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求m 的值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）由题意，得由此能够得到椭圆C 的方程．（2）设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），由消y 得，3x 2+4mx+2m 2﹣8=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m 的值．【解答】解：（1）由题意，得解得∴椭圆C 的方程为．（2）设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），由消y 得，3x 2+4mx+2m 2﹣8=0， △=96﹣8m 2＞0，∴﹣2＜m ＜2．∴=﹣，． ∵点M （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=1上，∴，∴．17．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．【分析】（Ⅰ）设点P 的坐标为（x ，y ），先分别求出直线AP 与BP 的斜率，再利用直线AP 与BP 的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P 的纵坐标的方程，解之即得．【解答】解：（Ⅰ）因为点B 与A （﹣1，1）关于原点O 对称，所以点B 得坐标为（1，﹣1）．设点P 的坐标为（x ，y ）化简得x 2+3y 2=4（x ≠±1）．故动点P 轨迹方程为x 2+3y 2=4（x ≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为（x 0，y 0）则．因为sin ∠APB=sin ∠MPN ，所以所以=即（3﹣x 0）2=|x 02﹣1|，解得因为x 02+3y 02=4，所以故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为（）．。

2019-2020学年北京市北京一零一中学高二第一学期期末考试数学试题(含答案解析)

2019-2020学年北京市北京一零一中学高二第一学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．【答案】A【解析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2．设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【解析】,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B-n =﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．3．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2=2z i ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4．椭圆24x +y 2=1的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．arctan2【答案】A【解析】结合题意画出满足条件的图象,利用图象直观分析,找到二面角的平面角,然后解三角形求出二面角的大小. 【详解】由题意画出满足条件的图象如图所示:点1A 在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点,所以1FOA ∠即为所求二面角的平面角,因为椭圆标准方程为2214x y +=,所以12OA =,3OF =113cos OF FOA OA ∠==所以1=30FOA ∠︒.故选A 【点睛】本题考查了求二面角的平面角的大小,结合椭圆的翻折,能够画出或者直观看出二面角的平面角,并结合解三角形求出结果,需要掌握解题方法.5．已知两圆1C ：22(4)169x y -+=，2C ：22(4)9x y ++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．2216448x y -=B ．2214864x x +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】设出动圆半径为r ，根据两圆外切和内切判定圆心距与两圆半径和差的关系，消去r ，根据椭圆的定义，即可求得动圆圆心M 的轨迹，进而可求其方程．【详解】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，Q 圆M 与圆1C ：22(4)169x y -+=内切，与圆2C ：22(4)9x y ++=外切，113MC r ∴=-，23MC r =+， 12|168MC MC ∴+=，由椭圆的定义，M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，可得8a =，4c =；则22248b a c =-=，∴动圆圆心M 的轨迹方程：2216448x y +=，故选D ．【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程，属于中档题．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系. 6．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==，所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7．正四棱锥S —ABCD 底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为（）A ．1 BC ．D ．【答案】B 【解析】略8．设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．（1]B ．（1]C ．，+∞）D ．，+∞）【答案】B【解析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果. 【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1ba≤,则双曲线的离心率为c e a ====≤又1e >,则1e <≤故选B 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式c e a ====考查了理解能力和转化能力.二、填空题9．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px=的焦点pp,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 【考点】考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为_____.【答案】1【解析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果. 【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r,又因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=.故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11．已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线. 【答案】①②③【解析】设点M 的坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形. 【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r 计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线. 故答案为: ①②③ 【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= .故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13．斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____410【解析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值. 【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b <<222641616168011225525b b b AB --+=+-=0b =时，max 80410225AB ==. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 5≤|A 1P |6≤P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】4π43【解析】156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大. 【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =156A P ≤≤可计算得12AP ≤≤又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为12之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W 的面积是221[(2)1]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答题15．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +u u u r u u u r ）⋅OC u u u r的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中2z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果. 【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R; 由|z |2=,得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0, z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2, 所以xy =1; 解得x=1,y=1; 所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16．如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值；（2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【答案】（1）13；（225. 【解析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =u u u r （0,1,0）,CD =u u u r （﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914OB OB CD CD⋅===⋅⨯u u u r u u u r u u u u u r ur , ∴异面直线OB 与CD 所成角的余弦值为13. （2）OB =u u u r （0,1,0）,OC =u u u r （1,0,0）,OD =u u u r （0,12,1）,设平面COD 的法向量n =r（x ,y ,z ）,则0102n OC x n OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u uv r u u uv r ,取2y =,得n =r（0,2,﹣1）, 设直线OB 与平面COD 所成角为θ, 则直线OB 与平面COD 所成角的正弦值为:sinθ2555OB nOB n ⋅==⋅=u u u r r u u u r r .【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17．已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 为边长为2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CMCPλ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）3;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ .【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果. （Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意 2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO == 所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =u u u v 由()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,1PC =-u u u v设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =v，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =v3cos ,331n OB n OBn OB⋅===⋅⋅u u u v v u u u v vu u u v v由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为3（Ⅲ）设BN BP μ=u u u v u u u v，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v令0BM AN ⋅=u u u u v u u u v得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数，当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．【解析】（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；同理，当重合，即轴时，等号成立．所以椭圆C 的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有．（2）当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得．因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即．①又由可得；同理可得．由原点到直线的距离为和，可得．②将①代入②得，．当时，；当时，．因，则，，所以，当且仅当时取等号．所以当时，的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．【考点】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题．。

精品解析：北京市101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试题(解析版)

北京101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数z 11ii-=+，则|z |=()A.1B.2C.D.【答案】A 【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .【详解】由题意复数z 11ii -=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z .故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2.设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直【答案】C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -，sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B- =﹣1，∴两条直线垂直．故选C．3.已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4.椭圆2214x y +=的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（）A .30°B.45°C.60°D.以上答案均不正确【答案】A 【解析】【分析】画出满足条件的图形，由112212,A O B B A O B B ⊥⊥可得出1FOA ∠为所求二面角的平面角，通过解三角形1FOA 即可求出二面角.【详解】由椭圆2214x y +=得长轴124,A A =，短轴122B B =.将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，如图.设点A 1在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点，设该焦点为F .则1A F ⊥平面122B B A .所以1A F ⊥FO .由112212,A O B B A O B B ⊥⊥,所以1FOA ∠为所求二面角的平面角.在1A OF △中，12,A O OF ==所以113cos 2OF FOA OA ∠==.由条件二面角为锐角，所以1=30FOA ∠︒故选：A【点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，属于中档题.5.已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A.2216448x y -= B.2214864x y +=C.2214864x y -= D.2216448x y +=【答案】D 【解析】【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程.【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切.所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆.则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.6.已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34 B.1C.54D.74【答案】C 【解析】【分析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==，所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7.正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=，则动点P 的轨迹的周长为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设,F G 分别为,DC SC 的中点,则可证明AC ⊥平面EFG ，得到满足条件的动点P 的轨迹为EFG ，然后求解即可.【详解】由0PE AC ⋅=，即满足PE AC ⊥.设,F G 分别为,DC SC 的中点，连接,,,,AC BD EF FG GE .设,AC BD 交于点O ，,AC EF 交于点1O .所以在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD .所以SO AC ⊥,且AC BD ⊥,由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以1//,//BD EF SO GO ,则有，1GO AC ⊥,AC EF ⊥,且11EF GO O = 所以AC ⊥平面EFG .故当点P 在平面EFG 内时，有PE AC ⊥成立.所以动点P 的轨迹为平面EFG 截正四棱锥S -ABCD 的截面，即EFG .由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以111,,222EF BD GE SB FG SD ===又正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，所以BD =,SB =所以EF FG GE ++=故选：B【点睛】本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题.8.设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.（1，3] B.（1]C.[3，+∞） D.，+∞）【答案】B 【解析】【分析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果.【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1ba≤,则双曲线的离心率为c e a ====,又1e >,则1e <≤.故选B【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式c e a ====二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px =的焦点p p,03622p =∴=∴=（）,故答案为6考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF⋅的值为_____.【答案】1【解析】【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos 6022cos 60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=.故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11.已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线.【答案】①②③【解析】【分析】设点M 的坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形.【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线.故答案为:①②③【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12.过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程.【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==--,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+=.故答案为2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____【答案】4105【解析】【分析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值.【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b <<.222641616168011225525b b b AB --+=+-，当b =时，max 804102255AB ==.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所≤|A 1P |≤的点P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】(1).4π(2).43【解析】【分析】1A P ≤≤的平面区域,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大.【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =,1A P ≤≤,可计算得1AP ≤≤,又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为1和之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W 的面积是2211]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=.故答案为:4π；43【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.已知复数z 满足|z |=，z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R ;由|z |=x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x =1,y =1;所以复数z =1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16.如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值；（2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【答案】（1）13；（2）5.【解析】【分析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）,OB = （0,1,0）,CD = （﹣1,112，）,设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123OB OB CD CD ⋅==⋅ ,∴异面直线OB 与CD 所成角的余弦值为13.（2）OB = （0,1,0）,OC = （1,0,0）,OD = （0,12,1）,设平面COD 的法向量n = （x ,y ,z ）,则0102n OC x n OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,取2y =,得n = （0,2,﹣1）,设直线OB 与平面COD 所成角为θ,则直线OB 与平面COD 所成角的正弦值为:sinθ5OB nOB n ⋅==⋅= .【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17.已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：(I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值；(Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM CPλ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈.【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果.（Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .由题意PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以PO OB⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO==所以POA ∆≌POB ∆≌POC∆所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以PO OB⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB .因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ因为OP ⊂平面OPQ所以OP AB⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB = 由()1,1,0BC =- ，()1,0,1PC =- 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =3cos ,331n OB n OB n OB⋅===⋅⋅ 由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为33（Ⅲ）设BN BP μ= ，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=-- ()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=- 令0BM AN ⋅= 得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅=即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数，当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q.①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --；②求p 的取值范围.【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】【分析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p --=，即 4.p =所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y pxy x b ==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-±120.2y y y p +==-因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =-因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8．【解析】【详解】（Ⅰ）设点，，依题意，2MD DN = ，且1DN ON == ，所以，且22002200(1,1.x t y x y ⎧-+=⎨+=⎩）即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点D 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线，由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+．①又由,{20,y kx m x y =+-=可得；同理可得．由原点O 到直线PQ的距离为d =P Q PQ x =-，可得．②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--．当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128(8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．考点：椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值．。

北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题(解析版)

北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是()A. x<−1B. −1<x<0C. x<0D. 0<x<1【答案】A【解析】解：复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则1+x<0，解得x<−1．那么x的取值范围是x<−1．故选：A．利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知a<0，b>0，那么下列不等式中一定成立的是()A. b−a<0B. |a|>|b|C. a2<abD. 1a <1b【答案】D【解析】解：若a<0，b>0，则−a>0，则b−a>0，故A错误，|a|>|b|不一定成立，a2>ab，则C不成立，1 a <0，1b>0，则1a<1b，成立，故D正确，故选：D．根据a，b飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键.比较基础．3.已知等差数列{a n}的前15项和S15=45，那么a4+a12等于()A. 6B. 10C. 12D. 15【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n}的前15项和S15=45，∴S15=152(a1+a15)=152(a4+a12)=45，解得a4+a12=6．故选：A．推导出S15=152(a1+a15)=152(a4+a12)=45，由此能求出a4+a12的值．本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.i是虚数单位，复数2i1−i等于()A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i【答案】B【解析】解：2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i．故选：B．直接利用复数的除法运算进行化简计算．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．5.已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0)，那么实数k=()A. 3B. 5C. 3D. 5【答案】D【解析】解：因为椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0)，所以k>1，所以k−1=4，k=5．故选：D．通过椭圆的焦点，确定k>1，利用a，b，c的关系，求出k的值即可．本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题．6.已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=−2，a n+1=S n，那么a5=()A. −4B. −8C. −16D. −32【答案】C【解析】解：n≥2时，a n+1=S n，a n=S n−1，可得：a n+1−a n=a n，化为a n+1=2a n．n=1时，a2=a1=−2．∴数列{a n}从第二项起为等比数列，公比为2，首项为−2．那么a5=−2×23=−16．故选：C．利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.“直线l//平面α”是“直线在平面α外”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“直线l与平面α平行”⇒“直线l在平面α外”“直线l在平面α外”则直线l与平面α平行或相交，故“直线l在平面α外”不能推出“直线l与平面α平行”故“直线l与平面α平行”是“直线l在平面α外”的充分非必要条件故选：A．根据直线l在平面α外则直线l与平面α平行或相交可判定“直线l与平面α平行”与“直线l在平面α外”的关系．本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件的判定，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．8.已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α,β不重合)那么下列说法中：①n1//n2⇔α//β；②n1⊥n2⇔α⊥β；③v//n1⇔l//α；④v⊥n1⇔l⊥α.正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：∵平面α，β不重合；∴平面α，β的法向量平行(垂直)等价于平面α，β平行(垂直)；∴①②正确；直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α；∴③④都错误．故选：B．可以想象图形即可判断每个说法的正误．考查平面法向量的概念，直线方向向量的概念．9.三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足A1P=λA1B1，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，λ的值为()A. 12B. 22C. 32D. 2 55【答案】A【解析】解：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，则P (λ,0，1)，PN =(12−λ,12,−1)，平面ABC 的一个法向量为n =(0,0，1) ∴sin θ=|PN ⋅n ||PN |⋅|n |= (λ−1)+5，∴当λ=12时，(sin θ)max =2 55，此时角θ最大为arcsin2 55．故选：A ．建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．本题考查使线面角的最大值的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为( )A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025【答案】A【解析】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k 组：20，21，22，…，2k−1，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，…，2k −1，每项含有的项数为：1，2，3，…，k ，总共的项数为N =1+2+3+⋯+k =(1+k )k 2，当k =9时，(1+k )k 2=45，故该数列的前50项和为S 50=21−1+22−1+23−1+⋯+29−1+1+2+4+8+16=2(1−29)1−2−9+31=1044．故选：A ．将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2k−1，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.命题∀x∈R，x2−x+3>0的否定是______．【答案】∃x∈R，x2−x+3≤0【解析】解：原命题为：∀x∈R，x2−x+3>0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：∃x∈R，x2−x+3≤0故答案为：∃x∈R，x2−x+3≤0根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：(1)“若A，则B”的否定为“若￢A，则￢B”；(2)全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；(3)切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题.本题考查第二种形式，属简单题12.当且仅当x=______时，函数y=4x+1x(x>0)取得最小值．【答案】12【解析】解：由于x>0，由基本不等式可得y=4x+1x ≥24x⋅1x=4，当且仅当4x=1x (x>0)，即当x=12时，等号成立．故答案为：12．利用基本不等式时，等号成立，即4x=1x(x>0)时，得出x的值．本题考查基本不等式的应用，使用基本不等式注意三个条件“一正、二定、三相等”，考查计算能力，属于基础题．13.已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为y=−2，则抛物线C的标准方程为______．【答案】x2=8y【解析】解：由题意可设抛物线C的方程为x2=2py，(p>0)，∵准线方程为y=−2，∴−p2=−2，解得p=4．∴抛物线C的标准方程为x2=8y．故答案为：x2=8y．由题意可设抛物线C的方程为x2=2py，(p>0)，由已知准线方程为y=−2可解得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题．14. 不等式x−1x−3≤0的解集为______．【答案】[1,3)【解析】解：不等式等价为 x −3≠0(x−1)(x−3)≤0，即 x ≠31≤x≤3，即1≤x <3，则不等式的解集为[1,3)，故答案为：[1,3)．将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键．15. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______．【答案】 33【解析】解：∵△ABF 2是正三角形， ∴∠AF 2B =60∘，∵直线AB 与椭圆长轴垂直，∴F 2F 1是正三角形△ABF 2的高，∠AF 2F 1=12×60∘=30∘，Rt △AF 2F 1中，设|AF 1|=m ，sin30∘=|AF 1||AF 2|=12，∴|AF 2|=2m ，|F 1F 2|= |AF 2|2−|AF 1|2= 3m因此，椭圆的长轴2a =|AF 1|+|AF 2|=3m ，焦距2c = 3m ∴椭圆的离心率为e =ca =2c2a = 33．故答案为： 33根据△ABF 2是正三角形，且直线AB 与椭圆长轴垂直，得到F 2F 1是正三角形△ABF 2的高，∠AF 2F 1=30∘.在Rt △AF 2F 1中，设|AF 1|=m ，可得|AF 1||AF 2|=12，所以|AF 2|=2m ，用勾股定理算出|F 1F 2|= 3m ，得到椭圆的长轴2a =|AF 1|+|AF 2|=3m ，焦距2c = 3m ，所以椭圆的离心率为e =2c2a = 33．本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．16. 如图所示，四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD =2，E 是棱PB 的中点，M 是棱PC 上的动点，当直线PA 与直线EM所成的角为60∘时，那么线段PM的长度是______．【答案】344【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，P(0,0，2)，B(2,2，0)，∴AP=(−2,0,2)，∵E是棱PB的中点，∴E(1,1，1)，设M(0,m，m)，则EM=(−1,m−1,m−1)，|cos<AP,EM>|=|AP⋅EM|AP||EM||=221+2(m−1)2=12，解得m=34，∴M(0,34,34 )，∴PM=916+2516=344，故答案为：344．建立空间直角坐标系，易得各点坐标，设出点M的坐标，可得向量AP,EM，代入异面直线所成角公式可得点M的坐标，问题得解．此题考查了异面直线所成角，空间坐标系等，难度适中．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）17.等差数列{a n}中，a3=6，a5=10．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a4，a8分别是等比数列{b n}的第4项和第5项，试求数列{b n}的通项公式．【答案】解：(Ⅰ)在等差数列{a n}中，由a3=6，a5=10，得d=a5−a35−3=10−62=2，∴a n=a3+2(n−3)=6+2n−6=2n；(Ⅱ)在等比数列{b n}中，有b4=a4=8，b5=a8=16，∴公比q=b5b4=2，则b n=b4q n−4=8⋅2n−4=2n−1．【解析】(Ⅰ)在等差数列{a n}中，由已知求得d，代入等差数列的通项公式即可；(Ⅱ)在等比数列{b n}中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案．本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题．18. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线C 经过点P (3,6)．(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)经过抛物线C 的焦点且斜率为2的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】解：(Ⅰ)由题意设抛物线C 的标准方程为y 2=2px ，其图象经过点P (3,6)，则62=6p ，解得p =6，∴抛物线C 的标准方程为y 2=12x ；(Ⅱ)抛物线C 的标准方程为y 2=12x ，焦点F (3,0)，准线方程为x =−1；过焦点且斜率为2的直线l 方程为y =2(x −3)，由 y 2=12x y =2(x−3)，消去y ，整理得x 2−9x +9=0，由根与系数的关系得x 1+x 2=9，∴线段AB 的长为|AB |=x 1+x 2+p =9+6=15．【解析】(Ⅰ)利用待定系数法求出p 的值，写出抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线方程联立，消去y 得关于x 的方程，利用根与系数的关系求得x 1+x 2的值，再求线段AB 的长．本题考查了抛物线的标准方程与弦长问题，是中档题．19. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘.点D ，E 分别为棱PA ，PC 的中点，M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，PA =AC =4，AB =2． (Ⅰ)求证：MN //平面BDE ； (Ⅱ)求直线MN 到平面BDE 的距离； (Ⅲ)求二面角B −DE −P 的大小．【答案】证明：(Ⅰ)在三棱锥P −ABC中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘.点D ，E 分别为棱PA ，PC 的中点， M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，PA =AC =4， AB =2．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，M(0,0，1)，B(2,0，0)，C(0,4，0)，N(1,2，0)，D(0,0，2)，P(0,0，4)，E(0,2，2)，MN=(1,2，−1)，BD=(−2,0，2)，BE=(−2,2，2)，设平面BDE的法向量n=(x,y，z)，则n⋅BD=−2x+2z=0n⋅BE=−2x+2y+2z=0，取x=1，得n=(1,0，1)，∵n⋅MN=0，MN⊄平面BDE，∴MN//平面BDE．(Ⅱ)BM=(−2，0，1)，∴直线MN到平面BDE的距离：d=|BM⋅n||n|=2=22．(Ⅲ)∵平面BDE的法向量n=(1,0，1)，平面DEP的法向量m=(1,0，0)，设二面角B−DE−P的大小为θ，则cosθ=|m ⋅n||m|⋅|n|=2=22．∴θ=π4．∴二面角B−DE−P的大小为π4．【解析】(Ⅰ)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN//平面BDE．(Ⅱ)求出BM=(−2,0，1)，利用向量法得直线MN到平面BDE的距离d=|BM⋅n||n|．(Ⅲ)求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角B−DE−P的大小．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为22，离心率为33．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若过点P(−1,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，且P点平分线段AB，求直线AB的方程；(Ⅲ)一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，△OMN的面积为62.求证：|OM|2+|ON|2为定值．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为x2a +y2b=1(a>b>0)，即有2b=2，即b=，e=ca =33，即a=3c，由a2−b2=c2，可得a=3，则椭圆方程为x23+y22=1；(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，点P(−1,1)为AB的中点，可得x1+x2=−2，y1+y2=2，由2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，相减可得2(x1−x2)(x1+x2)=−3(y1−y2)(y1+y2)，可得k AB=y1−y2x1−x2=−2(x1+x2)3(y1+y2)=23，即有直线AB的方程为y−1=23(x+1)，化为2x−3y+5=0；(Ⅲ)证明：设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则|OM|2+|ON|2=x32+x42+y32+y42，当直线l的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，即x3=x4，y3=−y4，由x323+y322=1，△OMN的面积为62，可得12⋅|x3|⋅|2y3|=62，即有|x3|=62，|y3|=1，可得|OM|2+|ON|2=2(32+1)=5；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，代入椭圆方程2x2+3y2=6，可得(2+3k2)x2+6km+3m2−6=0，可得x3+x4=−6km2+3k ，x3x4=3m2−62+3k，△=36k2m2−12(2+3k2)(m2−2)>0，可得3k2+2>m2，|MN|=1+k2(−6km2+3k2)2−4(3m2−6)2+3k2=1+k2⋅263k2+2−m22+3k2，O到直线l的距离为d=1+k2，则S△MNO=12d|MN|=122⋅1+k2⋅263k2+2−m22+3k=6|m|2+3k2−m22+3k=62，化为2+3k2=2m2，即有x32+x42=(x3+x4)2−2x3x4=(−6km2+3k )2−2⋅3m2−62+3k=3，y32+y42=2(1−x323)+2(1−x423)=4−23(x32+x42)=4−23×3=2，则|OM|2+|ON|2=x32+x42+y32+y42=5，综上可得，|OM|2+|ON|2为定值5．【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得b，运用离心率公式和a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，运用中点坐标公式和点满足椭圆方程，作差，由直线的斜率公式可得AB的斜率，进而得到所求直线方程；(Ⅲ)设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则|OM|2+|ON|2=x32+x42+y32+y42，分别讨论直线MN 的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理即可得到所求定值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线方程的求法和两点距离的平方和为定值的证明，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和点差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

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北京海淀教师进修学校附中18-19学度高二上年末试题-数学（理）高二理科数学【一】选择题1、设等差数列{}n a 的前n项和为n S ,假设111a =-,466a a +=-,那么当n S 取最小值时,n 等于( )A.6B.7C.8D.9 2、由=1，给出的数列的第34项为( )A 、B 、100C 、D 、3、数列{ a n }是正项等比数列，假设a 1=32，a 3+ a 4=12，那么数列{loga n }的前n 项和S n 的最大值为( )A 、15B 、 12C 、 9D 、6 4、抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，抛物线上的动点M 在准线上的射影为M '，假设△F M M '是等边三角形，那么点M 的横坐标是( ) A 、p B 、23p C 、3p D 、 27p5、数列{n a }前n 项和是n S ，如果*32()n n S a n N =+∈，那么这个数列是〔〕 A.等比数列 B.等差数列C.除去第一项为哪一项等比D.除去最后一项为等差6、抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为，与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥，垂足为B ，那么四边形ABEF 的面积等于( ) A 、33 B 、43 C 、63 D 、837、△ABC 中，c b a ,,分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果c b a ,,成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b=〔〕A.231+ B.31+ C.232+ D.32+8、在平面直角坐标系xOy ，平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，那么平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为〔〕A.2B.C.12D.149、在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，那么这两个数的和是 ( )A.1141 B.1241 C.1341 D.144110、等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是〔〕A 、15B 、30C 、31D 、6411、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项之和，且98776,S S S S S >=<，那么以下结论中错误的选项是〔〕A.0<dB.08=aC.610S S >D.87,S S 均为n S 的最大项12、二次函数)(x f =a x 2+2x+c(x ∈R)的值域为[0，+∞)，那么ca 1++ac 1+的最小值为〔〕A.4 B 、42 C 、8 D 、82【二】填空题13、在△ABC 中,三边的长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三角形三边的长分别为_________.14、如图，长方体ABCD A B C D -1111中，AB =b ,BB 1=BC =a ,那么BC 1与A C 1所成的角的度数是；CD 1与BB 1所成角的余弦值是。

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