抛物线Radon变换中的参数采样与假频
Radon变换知识讲解
• 对f(x,y)的Radon变换R f ( p, ) 定义为沿由 p 和
定义的直线l的线积分 。其用于Radon变换的坐 标系如下：
Y
（x,y)
t| zq
p t
l X
• 上述线的积分可以表示为：
Rf(p, ) f(x,y )dl
Rf ap,at
f (x, y) (ap ax cos ay sin )dxdy
• 常熟因子a可以从Delta函数中提取出来，得到：
•
Rf af , at a 1 Rf p,t （放缩性）
• 若a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶函数
R f p , t R f p , t
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
• Delta函数（狄克拉函数）是一个广义函数，并 没有具体的定义，该函数在非零点取值均为0， 而在整个定义域的积分为1，下面为一个最简单 的Delta函数：
(x )
0,x 1,x
0 0
• 结合直线方程，则Delta函数可以表示为：
(p
x
cos
y
sin )
0,p 1,p
x cos x cos
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
Radon变换资料讲解
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
Radon变换及其应用
• 主要介绍内容：
• Radon变换的定义 • Radon变换的基本性质 • Radon反变换 • Radon变换的应用
一、Radon变换的定义
• 图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间特有性质 方便地进行一些加工，最后再转换回图像空间以 得到所需要的效果。
• 其方法为：
• 首先，通过Radon变换将二维图像投影到一维 Radon域，并在 Radon域应用高阶统计量对PSF进 行辨识，不同于以往在二维图像域直接应用高阶 统计量，所以提高了算法的运算速度。将PSF作 为MA过程，使用高阶统 计量方法对模型参数进 行辨识，增加了算法对噪声的鲁棒性并可以不考 虑噪声是否有色。然后，利用估计出来的PSF， 通过Richardson- Lucy(RL)迭代解卷积算法在 Radon域估计出原图像的投影。最后反投影到图 像域来求得原图像。
radon变换 (2)
radon变换简介Radon变换是一种在医学影像处理和图像处理中广泛应用的数据变换技术。
它被用于从投影的二维片上恢复出原始图像的信息，并在CT扫描和核医学中进行图像重建。
Radon变换是针对傅里叶切片定理的一种离散化实现。
它通过将空间物体的投影数据转换为在Radon坐标空间上的数据，从而实现对空间物体在不同角度上的特征分析。
原理Radon变换的原理是通过在空间中根据不同的角度对物体进行投影，从而得到物体在每个投影方向上的一维函数。
这些一维函数被称为Radon变换的投影。
Radon变换公式如下所示：其中，x和y是图像坐标，θ是投影角度。
Radon变换将一个二维函数f(x, y)映射到一个角度θ上的一维函数R(θ, p)。
p是沿着θ方向的投影距离。
应用CT扫描CT扫描是使用X射线对人体进行断层扫描的一种医学成像技术。
在CT扫描中，Radon变换被用于重建图像。
通过在不同角度上对人体进行X射线投影，得到一系列的投影数据。
然后使用Radon变换将投影数据转换为图像，从而得到人体的内部结构信息。
CT扫描的Radon变换过程包括以下几个步骤： 1. X射线束从不同角度通过人体，得到一系列的投影数据。
2. 使用Radon变换将投影数据转换为在Radon坐标空间上的数据。
3. 对Radon坐标空间上的数据进行重建，得到人体的内部结构图像。
核医学核医学是一种使用放射性物质对人体进行诊断和治疗的技术。
在核医学中，Radon变换被用于重建正电子发射断层扫描（PET）图像。
PET技术通过注射放射性示踪剂，然后使用PET机器测量示踪剂在体内的分布情况。
PET图像的Radon变换过程包括以下几个步骤： 1. 测量示踪剂在体内的分布情况，得到一系列的投影数据。
2. 使用Radon变换将投影数据转换为在Radon坐标空间上的数据。
3. 对Radon坐标空间上的数据进行重建，得到示踪剂在体内的分布图像。
图像处理除了在医学影像中的应用，Radon变换也被广泛应用于图像处理中。
Radon变换综述
Radon变换综述研究背景Radon变换是一种投影方法,其基本思想是对某个被积函数在给定的路径上进行积分运算[1]。
当被积函数的积分路径是直线时,则称,,p为线性Radon变换,又称为变换或倾斜叠加,,当被积函数的积分路径不是直线时,则称为非线性Radon变换,或广义Radon变换。
,,q常见的非线性Radon变换有,抛物线Radon变换,又称为变换,,双曲Radon 变换(又称为速度叠加),多项式Radon变换。
这两种类型的Radon 变换实质上是统一的,它们可以用一个统一的公式表述。
Radon变换自建立起相应的理论之日起就为图像重构问题提供了一个统一的数学基础,Fourier投影定理证明Radon 变换和Fourier 变换有明确的对等关系,即凡能用Fourier 变换解决的问题都能用Radon变换解决,这又为Radon变换的快速求解提供了手段。
但是Radon变换本身的特点决定了Radon变换域中场的物理特征更为直观明确,有利于对比分析,易于为人们所接受和使用,所以Radon换在包含更多场的物理特征的地震勘探领域,如波场模拟、速度分析、偏移成像、平面波分解、噪声衰减、数据插值补道拓道、多次波衰减等方面得到广泛的应用。
由于Radon变换算子是非正交的,这也就导致了直接进行Radon正反变换能量的不对等性,于是提出了基于最小范数反演的Radon变换,这在一定程度上减少了拖尾现象,但是最小范数约束将会产生平滑效应,不能保证能量足够集中,所以不能在Radon域获得期望的分辨率。
因此要想获得高分辨率的Radon变换结果,消除平滑效应,必须采用新的方法改进反演约束的方式。
首次提出高分辨率Radon变换方法是在频率空间域,是一种稀疏约束反演算法,得到频率域的稀疏解。
对应于Radon变换在频率域的Toeplitz结构[2],求解方法有,Levinson递推算法、Cholesky分解法、共轭梯度法、预条件共轭梯度法等。
Radon变换资料讲解
写成极坐标形式为：
f
x,
y
0
d
q
F
qt
exp
j
2qpdp
• 上式中方括号内是 q F qt 的1-D傅里叶反变换。 利用傅里叶变换的卷积定理可得：
F 1 q F q tF 1 q F 1 F q t
• 上式等号右边的第二项等于Radon变换 Rf x,y
• 4、平移性
• 给定 R f x, y Rf p, cos ,sin ，则对任意的常数
a和b，f x a, y b的Radon变换可以如下计算：
R f x a, y b Rf p a cos bsin,t
• 5、微分
•
这里只考虑 到。
f x
，其他结果可以用相同的方法得
f
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
• 将 q 的1-D傅里叶反变换表示为：
F1
q
F
1 q
sgn
q
F
1j2q
F
1
sgn q
j2
• 利用微分性质，可将上式第2个等号右边的第一 个反变换表示为：
F -1 j2 p
• 利用柯西值 ，可将上式第2个等号右边的第2 个反变换表示为：
• 正变换：图像空间到其他空间 • 反变换：其他空间到图像空间
几种Radon变换方法压制表面多次波的对比分析研究
几种Radon变换方法压制表面多次波的对比分析研究孔祥琦;张炬;吕遥远;田东升;邢小林【摘要】In seismic prospecting data processing, the surface-related multiple is a coherent noise, this is particularly evident in ocean exploration. Radon transform is an effective method of surface-related multiples attenuation. Several commonly used Radon transform;r-p transform, parabolic Radon transform, hyperbolic Radon transform is refer to. According to the formula and principles, these types of Radon transform analysis to explain these types of transformations have their respective advantages and disadvantages.%在地震勘探数字处理中,表面多次波是一种干扰波.这种情况在海洋勘探中尤为明显,Radon变换是压制表面多次波的一个有效的方法.引用了几种常用的Radon变换:T-P变换、抛物Radon变换、双曲Radon变换,根据其公式和原理,对这几种Radon变换进行分析,阐述这几种变换各自所具有的优缺性.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2012(064)004【总页数】4页(P740-742,748)【关键词】表面多次波;Radon变换;T-p变换;抛物Radon变换;双曲Radon变换【作者】孔祥琦;张炬;吕遥远;田东升;邢小林【作者单位】东北石油大学地球科学学院,大庆163318;东北石油大学地球科学学院,大庆163318;中油辽河油田公司曙光采油厂,盘锦124109;东北石油大学地球科学学院,大庆163318;东北石油大学地球科学学院,大庆163318【正文语种】中文【中图分类】P539.4近些年来，随着地震勘探的深入、地震理论方法的发展以及人们对地震勘探认识的加深，多次波问题重新得到了人们的注意和重视。
Radon-Wigner 变换
Radon-Wigner 变换及应用主要内容：1、Radon变换2、Radon-Wigner 变换的定义3、Radon-Wigner 变换的性质4、Radon-Wigner 变换的应用一、Radon变换1、提出的原因：时变信号中，线性调频（LFM）信号特别引人关注：一方面，作为大时间-频带积的扩频信号，LFM信号广泛应用于各种信息系统，如通信、雷达、声纳和地震勘探等；另一方面，探测系统的目标多普勒频率与目标速度近似成正比，当目标作等加速运动时，回拨即为线性调频。
因此重点研究这种信号具有重要的意义。
前面已经提到，用Wigner-Wille分布研究单分量LFM信号是十分有利的。
但LFM信号存在多个分量时，分量之间的交叉项就会使时频平面变得模糊不清。
虽然使用核函数可对Wigner-Wille分布交叉项起到平滑抑制作用，但在对交叉项制的同时，信号项的时频聚集性也会下降。
但由于理想LFM信号的Wigner-Wille 分布为直线型冲激函数，有限长的LFM信号的Wigner-Wille分布为背鳍状，所以对其Wigner-Wille分布的时频平面沿相应直线作积分平滑，是抑制交叉项的一种理想选择。
而Radon-Wigner 变换就是在此基础上提出来的。
它是对Wigner -Wille分布的时频平面作直线积分投影的Radon变换，统称对信号作Radon -Wigner 变换。
来源：Radon变换是J. Radon于1917年提出的。
在Fourier变换及它们对应的卷积可以快速计算之前，Radon变换的计算几乎没有引起人们的兴趣。
现在Radon变换已经成为医学成像和许多遥感成像等的主要工具而受到广泛重视。
1962年，P. Hough又从图形特征检测的角度提出了Hough变换。
由于以直线图形为特征的Hough变换与Radon变换相当，所以在有些文献里，也成Radon -Wigner 变换为Hough-Wigner 变换。
迭代抛物Radon变换法分离一次波与多次波
迭代抛物Radon变换法分离一次波与多次波谢俊法;孙成禹;韩文功【摘要】Radon变换法是进行一次波与多次波分离的常用手段,最小平方约束下的频率域抛物Radon变换将t-x域数据转换到Radon域后,因存在剪刀状发散的截断效应,用传统方法难以彻底分离一次波和多次波.针对这一缺陷,提出了迭代抛物Radon变换法,即在Radon域截取一次波聚焦点附近很小区域内的数据为初始数据,经过Radon反变换和正变换后得到新的Radon域数据,然后用初始数据覆盖对应的小区域,经过迭代,最终得到保幅效果较好的一次波,且几乎不含多次波.利用相同的方法,也可以得到几乎不含一次波的多次波.最后通过理论模型和实际资料的处理,验证了本文方法的正确性和有效性.【期刊名称】《石油地球物理勘探》【年(卷),期】2014(049)001【总页数】6页(P76-81)【关键词】Radon变换;迭代法;一次波;多次波;波场分离【作者】谢俊法;孙成禹;韩文功【作者单位】中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580;中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580;中国石化胜利油田分公司,山东东营257000【正文语种】中文【中图分类】P6311 引言在常规地震资料处理中，多次波被视为一种相干噪声严重干扰一次波，降低了地震资料的信噪比；但也有学者认为可以将多次波转换为准一次波［1］，从而使多次波的信息得以利用。
无论是利用多次波，还是压制多次波，多次波与一次波的分离都是必不可少的，Radon变换在多次波与一次波的分离中具有重要的作用。
鉴于相同截距时间的一次波和多次波有不同的视速度，因此在Radon域中一次波和多次波显示不同的曲率，利用该特性就可以将二者分离开来。
Hampson［2］将Radon变换用于多次波的剔除，然而常规最小二乘抛物线Radon变换存在剪刀状发散的截断效应，多次波与一次波仍然难以彻底分离。
基于稀疏约束反演的高精度Radon变换，虽然可以获得较高的分辨率，且截断效应降到足够小，可以更好地分离多次波和一次波，但计算量大，难以保证分离后信号振幅的恢复［3，4］。
Radon变换ppt课件
形式为：
因 为 f x , y 可 用 F （ u , v ) 的 2 D 傅 里 叶 反 变 换 表 示 ， 写 成 极 坐 标
f ( x ,) y d [ q F ( q t ) e x p ( j 2)] q p d p
Radon变换
目录
1、Radon变换定义 2、Radon变换基本性质
3、Radon反变换
1、Radon变换定义
图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性 质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空 间以得到所需的效果。 正变换： 图像空间到其他空间 反变换： 其他空间到图像空间
2、Radon变换基本性质
根据偏微分的定义得到：
[pt ,] f R f [ ]c o s x p
(6)卷积 这里用 表示1-D卷积，而用 表示2-D 卷积以示区别。对Radon变换的卷积定理可 ( x ,) yg ( x ,) y h ( x ,) y 如下表示：如果 f ，那么对
2、Radon变换基本性质
(5)微分 这里仅考虑 ，其他结果可用相同方法得到。
f x
e ) f fx [ ( , y ] fx (, y ) c o s i m e xl e 0 c o s
现在对上式两边取Radon变换，利用平移性质 得到：
[ p e ,] t [,] p t f R R f f [ ] c o s l i m x e e 0
1、Radon变换定义
对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分。
radon变换矫正 原理
radon变换矫正原理
Radon变换矫正是一种用于医学影像处理的技术，它可以将医学影像中的伪影和噪声去除，从而提高影像的质量和准确性。
该技术的原理是基于Radon变换，下面将详细介绍Radon变换矫正的原理。
Radon变换是一种数学变换，它可以将二维平面上的图像转换为一组一维的投影数据。
具体来说，Radon变换将图像中的每个像素点沿着一定的方向进行积分，得到该方向上的投影值。
通过对不同方向上的投影值进行组合，就可以重建出原始图像。
在医学影像处理中，Radon变换可以用于去除伪影和噪声。
伪影是由于影像采集过程中的物理因素或处理过程中的算法缺陷导致的图像畸变，而噪声则是由于影像采集设备的电子噪声或环境干扰等因素引起的图像随机波动。
这些因素会影响医学影像的质量和准确性，因此需要进行矫正。
Radon变换矫正的过程包括以下几个步骤：
1. 对原始影像进行Radon变换，得到一组投影数据。
2. 对投影数据进行滤波，去除高频噪声和伪影。
3. 对滤波后的投影数据进行反变换，得到矫正后的影像。
具体来说，滤波的过程可以采用不同的算法，如Butterworth滤波、高斯滤波等。
这些算法可以根据不同的需求进行调整，以达到最佳的矫正效果。
总之，Radon变换矫正是一种有效的医学影像处理技术，它可以去除伪影和噪声，提高影像的质量和准确性。
在实际应用中，需要根据具体情况进行调整和优化，以达到最佳的矫正效果。
radon变换构造频域算子
radon变换构造频域算子
Radon变换是一种用于图像处理和计算机视觉任务中的频域算子，它可以将图像从空域转换到频域，用于提取图像中的频域特征。
Radon变换的基本思想是将图像中的像素值在不同的角度上进行投影，然后对每个投影进行傅里叶变换，得到图像在不同频率上的响应。
这样可以得到一组频域投影数据，用于描述图像的频域特征。
具体的Radon变换可以按照以下步骤进行构造：
1. 选择一组角度值，例如0°、45°、90°、135°等。
2. 对于每个角度，将图像中的像素值沿该角度进行投影。
投影可以使用正弦和余弦函数来实现，计算每个像素在投影线上的位置和对应的像素值，并将其累加得到投影值。
3. 对每个投影值进行傅里叶变换，得到图像在不同频率上的响应。
4. 将得到的频域投影数据进行合并或处理，可以通过加权平均或选择特定频率范围的响应来提取图像的频域特征。
Radon变换可以用于图像恢复、图像分析、医学图像处理等领域，可以提取图像中的纹理信息、边缘信息等频域特征，对图像的处理和分析具有重要作用。
Radon变换图像重构
适用于需要从投影数据中重建出完整图像的场景，如CT成像、三 维重建等。
03 Radon变换的算法实现
离散Radon变换算法
离散Radon变换算法是一种将图像投影到一系列方向上的算法，通过在每个方向上 对图像进行投影，可以得到一组投影数据。
该算法通常使用快速傅里叶变换（FFT）来实现，可以在较短的时间内完成对大规模 图像的变换。
性质
Radon变换具有线性、可逆性和空间 不变性等性质，广泛应用于图像处理 和计算机视觉领域。
Radon变换的数学表达
数学表达式
Radon变换可以表示为将图像函数f(x, y)投影到射线θ=α，其中α是射线与x轴 的夹角，通过积分得到投影数据P(α, t)，即对每个角度进行积分运算。
逆变换
对于给定的投影数据，可以通过逆Radon变换重构原始图像。逆变换的过程是 通过对每个角度进行反投影运算，得到重构图像的像素值。
机器学习算法在Radon变换中的应用
利用机器学习算法对Radon变换进行改进，例如支持向量机、随机森林等，以提高图像重构的准确性和效率。
特征提取与分类
通过机器学习算法对Radon变换后的图像进行特征提取和分类，以实现更加精准的图像重构。
基于深度学习的Radon变换改进
深度学习模型在Radon变换中的应用
加鲜明。
细节提取
02
利用Radon变换的特性，可以从图像中提取出更多的细节信息，
提高图像的分辨率。
应用场景
03
适用于需要增强图像对比度和细节的场景，如安防监控、医学
影像分析等。
图像重建
逆Radon变换
通过逆Radon变换，可以从投影数据中重建出完整的图像。
投影数据获取
采样频率、采样点数、分辨率、谱线数
采样频率、采样点数、分辨率、谱线数之蔡仲巾千创作1．最高分析频率：Fm指需要分析的最高频率，也是经过抗混滤波后的信号最高频率。
根据采样定理，Fm与采样频率Fs之间的关系一般为：Fs=2.56Fm；而最高分析频率的选取决定于设备转速和预期所要判定的故障性质。
2．采样点数N与谱线数M有如下的关系：N=2.56M 其中谱线数M与频率分辨率ΔF及最高分析频率Fm有如下的关系：ΔF=Fm/M即：M=Fm/ΔF所以：N=2.56Fm/ΔF ★采样点数的多少与要求多大的频率分辨率有关。
例如：机器转速3000r/min=50Hz，如果要分析的故障频率估计在8倍频以下，要求谱图上频率分辨率ΔF=1 Hz ,则采样频率和采样点数设置为：最高分析频率Fm=8·50Hz=400Hz;采样频率Fs=2.56·Fm=2.56 ·400Hz=1024Hz;采样点数N=2.56·（Fm/ΔF）=2.56·（400Hz/1Hz）=1024谱线数M=N/2.56=1024/2.56=400条依照FFT变换，实际上得到的也是1024点的谱线，但是我们知道数学计算上存在负频率，是对称的，因此，实际上我们关注的是正频率部分对应的谱线，也就是说正频率有512线，为什么我们通常又说这种情况下是400线呢，就是因为通常情况下由于频率混叠和时域截断的影响，通常认为401线到512线的频谱精度不高而不予考虑。
另外，采样点数也不是随便设置的，即不是越大越好，反之亦然对于旋转机械必须满足整周期采样，以消除频率畸形，单纯提高分辨率也不克不及消除频率畸形过去，有人以为数据越长越好，或随便定时域信号长度，其实，这样做是在某些概念上不清楚，例如，不清楚整周期采样.不发生频率混迭的最低采样频率Fs要求在2倍最大分析频率Fm，之所以采取2.56倍主要跟计算机二进制的暗示方式有关。
其主要目的是防止信号混淆包管高频信号不被歪曲成低频信号。
Radon变换
(2)相似性 如果 ，则：
2、Radon变换基本性质
(3) 对称性 考虑如下等式(其中t=(cosӨ,sinӨ)为与l垂直方 向上的单位矢量。
2、Radon变换基本性质
常熟因子a可以从Delta函数中提出来，得到：
如果a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶 函数：
2、Radon变换基本性质
现在对上式两边取Radon变换，利用平移性质 得到：
[ pe ,] t [,] p t f R R f f [ ] c o s l i m x e e 0
2、Radon变换基本性质
根据偏微分的定义得到：
R [p ,t] f f [ ]c o s x p
1、Radon变换定义
对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分。
1、Radon变换定义
上述线积分可写为：
, , )l p R f(xyd
f
如果借助Delta函数，上述线积分还可写为：
( p , ) f ( x , yp ) ( x c o s ห้องสมุดไป่ตู้y s i n ) d x d y R
经 整 理 得 到 R a d o n 反 变 换 ：
1 1 1 ， fx ( ,) y 2 d [ ( p , t ) （ p ） ( ) ] 2 R f 0 2 2 p
1 ，
利 用 柯 西 主 值 ， 可 将 上 式 第 2 个 等 号 右 边 的 第 2 个 反 变 换 表 示 为 ：
s g nq 1 1 { } = ( ) 2 F j2 2 p
1
radon函数定义 -回复
radon函数定义-回复【radon函数定义】Radon变换是一种在二维或三维空间中将函数或图像转换为投影的数学工具。
由于Radon变换的广泛应用，它的数学定义变得非常重要。
Radon函数是Radon变换在空间中的一个重要函数。
Radon函数是一个多元函数，用来描述在某一特定方向上对物体进行成像时的强度分布。
Radon函数的数学定义可以表示为：R( θ, p) = ∫∫f(x, y) δ(cosθx + sinθy - p) dxdy其中，R( θ, p)是Radon函数，f(x, y)是原始函数，θ是角度（代表方向），p是与原点到直线的最短距离。
Radon函数的计算步骤如下：1. 设定角度范围和步长：选择要进行成像的角度范围，通常为0到180度，步长可以根据具体应用进行选择。
2. 获得原始函数：从待成像的实体或图像获取原始函数。
3. 进行投影：将原始函数在每个选择的角度上进行投影。
这一步可以通过对原始函数的逐个扫描来实现，具体方法是在给定角度上对每个点计算其在该角度上的投影。
4. 对投影结果进行累加：将所有投影结果进行累加以获得Radon函数。
5. 可视化或进一步处理：通过可视化方式来观察Radon函数的形态，或者根据应用的需求对Radon函数进行进一步的处理和分析。
Radon函数在医学影像学、地震学、计算机视觉等领域具有广泛的应用。
在医学影像学中，Radon函数可以通过成像仪对人体进行投影，获得人体的强度分布，在诊断疾病和异常情况方面起到重要作用。
在地震学中，Radon函数可以用来检测地震波的传播路径，从而提供关于地下构造的信息。
在计算机视觉中，Radon函数可以用于图像恢复、目标检测和图像分析等方面。
总结：Radon函数是Radon变换在空间中的一个重要函数，用来描述在某一特定方向上对物体进行成像时的强度分布。
Radon函数的计算步骤包括设定角度范围和步长、获得原始函数、进行投影、对投影结果进行累加以获得Radon函数，最后进行可视化或进一步处理。
采样定理与假频
回顾：小结
1）采样、带限信号的时间域抽样定理 （了解）； 2）SFT，采样频率； 3）离散信号的连续化（了解）。
回顾：SFT（或DTFT）
例1：地震勘探中通常采用1ms、2ms、4ms进行采样， 分别计算出它们所对应的折叠频率。 例2：在上例中，若原始信号中包含的最大有用频率为 200Hz，应该选择哪一种采样间隔最合适？为什么？
作业：
1 ( f 200) x(t ) X ( f ) 0 ( f 200)
分别采用1ms、2ms、4ms对该连续信号进行采样。 计算所得到的无限离散信号的频谱，分析其是否存 在假频现象（必须有计算过程、绘图表示）。
我们将在假频现象中引起频谱发生 畸变的那部分频率成分（即原始信号中 大于Nyquist频率的频谱成分）统称为假 频。
采样定理与假频
在该图中，哪一组抽样出现了假频？
采样定理与假频
在连续信号的离散信号过程中，应该怎样发现假频？ 1、使用小的采样间隔Δ 1可以有效防止假频现象， 但这样做是以增加计算量为代价的.
采样定理与假频
于是有
x (n) x(n)
1 2
X ( f )ei 2nf df
m i 2n ( f )
m 2 m 1 2
2 m 1 2
X ( f )ei 2nf df
m X ( f )e m 1
采样定理与假频
采样定理:
m 1 1 X ( f ) X ( f ) ( f [ , ]) 2 2 m
相对保幅的抛物线Radon变换法地震道重建
相对保幅的抛物线Radon变换法地震道重建李晶晶;孙成禹;谢俊法;张晓钊【摘要】实际地震资料中常见地震道缺失或空间采样不足的问题,这不仅会导致有效信息丢失,还有可能在后续的处理中产生不利影响.为此,基于抛物线Radon变换进行缺失地震道重建的基本原理,综合考虑AVO响应特征及傅里叶变换基本性质,提出了相对保幅的抛物线Radon变换地震道重建方法.该方法是对前人提出的道均衡抛物线Radon变换地震道重建方法的一种改进,即在道均衡过程中考虑了反射振幅随偏移距的变化,根据AVO特征对不同偏移距的重建地震道采用不同的均衡系数,而不是采用固定的道均衡系数对道与道之间简单地均衡,所以可以加快重建数据向实际数据逼近的速度并提高数据重建的精度.模型数据和实际地震资料的试算结果表明,相对保幅的抛物线Radon变换地震道重建方法对于叠前地震数据的重采样及不同偏移距地震道的重建是有效可行的,不仅能够实现缺失地震道的相对保幅重建,而且可以大大提高重建效率.【期刊名称】《石油物探》【年(卷),期】2014(053)002【总页数】7页(P181-187)【关键词】抛物线Radon变换;道均衡;AVO;相对保幅;地震道重建【作者】李晶晶;孙成禹;谢俊法;张晓钊【作者单位】中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580;中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580;中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580;中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580【正文语种】中文【中图分类】P631.4在地震资料野外采集中,由于受到施工条件(如地形、地貌)的限制或地震资料采集的孔径效应，以及检波器可能出现故障等因素的影响,采集数据中某些测线方向上会出现地震记录道间距过大或道缺失的情况。
数据缺失不仅意味着信息丢失,还可能在后续的处理过程中产生不必要的噪声和假频。
其中,波动方程偏移、与地表相关的多次波衰减及谱估计等基于多道处理算法的处理过程都将受到很大的影响[1-2]。
拉冬变换数学基础
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U ( , ) R[ d ( x , t )] d [ x , g ( x )]dx
在一些地震学的问题中也会涉及到RT或它在曲线积分上的 推广，这里我们将讨论层析成像在地震学中的各种应用。从 层析的意义看，沿着射线路径传播的信号（至少在高频极限 上可以这样近似地讲）累加起来构成了模型的某些性质—— 如慢度或慢度异常、衰减等等，当多道射线路径从许多方向 上穿经了该模型时，就可以提供出足以重建出该模型的信息。
模型测试与分析
5.2 F-X域拉当变换去除噪声的流程
图二 在f-ρ域滤波流程图
模型测试与分析
5.3 测试F-X域拉当正反变换
我们用某进行处理后无噪声的地震资料进行测试F-X域 Radon正变换，此地震资料采样间隔为1毫秒，采样点 为4096个点，有95道数据。在Radon变换前信号如图四 所示。
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
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收稿日期:2003201208基金项目:国家“863”青年基金课题(2001AA616010);国家自然科学基金项目(49974028)作者简介:黄新武(1972-),男(汉族),湖北汉川人,博士后,主要从事多次波压制、地震偏移和信号处理等研究工作。
文章编号:100025870(2003)022*******抛物线Radon 变换中的参数采样与假频黄新武1,吴 律2,牛滨华1,李 丽2,吴亚东1(1.中国地质大学物探系,北京100083;2.石油大学资源与信息学院,北京102249) 摘要:抛物线Radon 变换可作为消除多次波的一种非常有效的方法。
在频率域对最小平方抛物线Radon 变换中的曲率参数和偏移距参数的采样进行了研究,得到了保证方法稳定及抗假频的曲率参数的最小采样间隔和扫描范围,分析了由于偏移距采样不足造成的后果。
研究表明,变换中曲率参数采样不足时,远炮检距数据道重建误差较大,采样过密只能稍微改善重建的结果,但会使最小平方反问题的方程组变为病态,而且还会增加计算机时。
当偏移距采样不足时,整个变换过程不稳定,且会产生假频,表现为变换域中能量的发散(拉伸)。
此外,若变换过程中曲率参数的扫描范围不能满足采样条件,变换时也会产生假频。
利用数值计算对文中方法进行了验证。
关键词:地震波;抛物线Radon 变换;曲率;偏移距;最小平方反问题;采样;假频;数值计算中图分类号:P 631.414 文献标识码:A引 言与F 2K 滤波方法相比,应用抛物线Radon 变换消除多次波的方法[1]是一种非常有效的方法。
该方法一般不会修改一次波,使得AVO 分析仍可照常进行。
但是,在进行抛物线Radon 变换处理过程中,由于地震数据空间采样不足,常会引起振幅异常和在L R T 变换中的假频问题[2～5]。
Zhou [4]提出了频率域中的抛物线Radon 变换(PR T )和线性Radon 变换(L R T )公式,将最小平方反问题表达为关于p 或q 的反褶积运算,这是一个依赖于频率的算子,通过这些算子可以研究有关参数的采样问题。
笔者在频率域中对最小平方抛物线Radon 变换中的曲率参数q 和偏移距参数x 的采样进行研究,分析采样过密和采样不足时会产生的后果。
1 最小平方法抛物线R adon 变换将地震数据d (t ,x )模拟为以零偏移距为中心的一组常振幅抛物线的叠加,定义如下:d (t ,x )=∫τ∫qu (τ,q )δ[t -(τ+qx 2)]d τd q.(1)式中,曲率参数q 用以描述以零偏移距为中心的一系列抛物线;τ为截距时间。
用正变换(模拟)算子可表示为 d =P ・u .(2)式中,P 为变换算子;d 为已知数据;u (τ,q )是问题的未知量,即变换结果。
在最小平方意义下,与方程(2)相关的反问题就是求解如下方程: (P 3P )u =P 3d .(3)共轭算子P 3是沿着抛物线的常规扫描(或叠加)[6],即u s (τ,q )=(P 3d )(τ,q )=∫xd (τ+qx 2,x )d x.(4)在方程(1)和(4)中,t 和τ呈线性关系,因而可对方程两边同时作关于时间的傅氏变换,然后在每一个频率处可独立求解方程[1]。
经过傅氏变换,方程(2)和(4)变换到频率域中为D (ω,x )=∫qU (ω,q )exp (-i ωqx 2)d q ,(5)U s (ω,q )=∫xD (ω,x )exp (i ωqx 2)d x.(6)将方程(5)代入(6),有 U s (ω,q )=(P 3P U )(ω,q ).(7)对于方程(5)和(7),算子P 3P 可表达成关于q 的褶积[4],即 U s (ω,q )=U (ω,q )3σPRT (ω,q ).(8)其中,褶积算子定义为2003年 第27卷 石油大学学报(自然科学版) Vol.27 No.2 第2期 Journal of the University of Petroleum ,China Apr.2003σPRT (ω,q )=∫xexp (i ωqx 2)d x.(9)因此,用最小平方反演法求解变换结果u (τ,q )的步骤如下:①根据方程(6)求得U s (ω,q );②根据方程(8)对每一频率求解反褶积问题,求得U (ω,q );③对时间作傅氏反变换,即可求得u (τ,q )。
步骤②中的最小平方反问题与褶积算子σPRT 的性质密切相关。
对于连续函数,即q 属于无限空间上的变量,ω>0(若ω<0,则将所有函数变为其共轭)时,由公式(9)可得褶积算子σPRT ,如图1(a )所示。
引入变量χ=sign (x )ωx 2,则褶积算子σPRT 关于q 的傅氏变换如下:F σPRT (ω,k q )=∫q∫xexp (i ωqx 2)d xexp (-i k q q )d q=∫x ∫qexp (i q (ωx 2-k q))d q d χ=∫x ∫q exp (i q (|χ|-k q ))2ω|χ|d q d χ=∫xπδ(|χ|-k q)ω|χ|d χ=π/ωk q ,ω(x 2)min ≤k q ≤ω(x 2)max ;0,其他.(10)由方程(10)算得PR T 的褶积算子的谱见图1(b )。
图1 褶积算子σPRT 及其谱图2 抛物线R adon 变换中参数q 的采样根据信号处理理论中的采样定理:对于任意函数f (x ),采样率Δx 和带宽B f 应满足如下关系: ΔxB f ≤2π.(11)对于PR T ,由方程(10)知 B f =ω(x 2)max -ω(x 2)min .代入方程(11)中,可得PR T 中变换参数q 的采样率应满足下式:Δq ≤2πB f=1f ((x 2)max -(x 2)min ).(12)因此,PR T 中参数q 的临界采样率为Δq c =1f ((x 2)max -(x 2)min ).(13)设原始数据中信号的最高有效频率为f max ,要想式(13)对所有的有效频率成分均成立,则式中f 应替换为f max ;同时,当在CMP 道集上做PR T 时,(x 2)min 通常比(x 2)max 小得多,因此一般可忽略(x 2)min 项,从而得到如下关系:Δq c =1f max (x 2)max.(14)图2为一个只含有50Hz 单一频率正弦波的CMP道集,因此同相轴均为水平同相轴。
道间偏移距差为50m ,最小偏移距为0m ,最大偏移距为1000m 。
令γ=Δq/Δq c ,分别取γ为0.2,0.4,0.6,0.8,0.95,1.0,1.1,1.2,1.3,1.35,然后作正反抛物线Radon 变换。
图4为重建道集与原始道集的相对能量误差E r 与γ关系曲线。
图2 只含有单一频率的CMP 道集由图3可知,从γ=1.1到γ=0.2,重建误差百分比缓慢减小,且都小于5%。
而大约在γ=1.0附近为一门槛,当γ大于这个门限值时,重建相对能量误差急剧增大,这样,越来越多的数据道能量将落在重建误差中。
试验发现,在实际计算中,取γ=018～0.9是比较合适的。
图4为γ=0.8时经过PR T 后的变换域数据、反变换后重建数据及重建误差。
由图4可知,各数据道都得到了较好的重建。
・82・石油大学学报(自然科学版) 2003年4月 图3 重建相对能量误差E r与γ关系 图4 PRT中参数q采样试验(γ=0.8) 3 抛物线R adon变换中偏移距x的采样 为了分析PR T中偏移距x的采样问题,与L R T对照进行。
将PR T看成是地震数据作x2拉伸后,再做L R T变换所得的结果。
对于L R T,只是将方程中的q换为p,x2换为x即可。
此时方程(5)变为D(ω,x)=∫p U(ω,p)exp(-iωpx)d p.(15)对方程(15)两边作关于x的傅氏变换,有D(ω,k x)=∫x∫p U(ω,p)exp[i x(k x-ωp)]d p d x=∫p U(ω,p)d p∫x exp[i x(k x-ωp)]d x=∫p U(ω,p)2πδ(ωp-k x)d p=2πUω,k xω,ωp min≤k x≤ωp max;0,其他.(16)在L R T变换中关于x的傅氏变换中k x的带宽为: B kx=ωp max-ωp min。
应用信号理论中的采样定理公式(11),有 Δx≤2πB kx=1f(p max-p min).(17)由于可将PR T变换看成为数据经过x2拉伸后再作L R T,为此在上式中用X=x2代替x,用q代替p,则有ΔX=2xΔx,代入上式,有 ΔX=2xΔx≤1f(q max-q min).(18)从而PR T中空间(偏移距)采样率应满足下式: Δx≤12f x max(q max-q min).(19)对于PR T,当Δx采样稀疏时,褶积算子σPRT如图5所示。
由图5可知此时褶积算子产生能量发散(拉伸),即产生大的旁瓣能量。
这种发散必然会导致变换域(τ,q)中能量的发散(拉伸),形成假频现象。
图5 Δx采样不足时的褶积算子σPRT然而对于实际数据,Δx只依赖于原始数据,而且是由野外采集时观测系统所决定的,除非做地震道插值,否则没法改变。
由公式(19)可知,要想避免变换域中的假频现象,可通过在变换过程中适当的选取参数q的扫描范围。
由采样定理可知,对于某一频率为f的信号,要想在PR T中尽量避免假频现象,则变换过程中所有的求和轨迹在相邻两道上所引起的时差应控制在一个周期T=1/f之内(相对于真实同相轴)。
设真实同相轴对应的曲率参数为q0,作PR T时求和抛物线轨迹在某一偏移距x处的局部斜率定义为 d td x=d(τ+qx2)d x=2qx,则抗假频条件为 2qx-2q0xΔx≤T.要想对所有偏移距x均成立,则有 2x max q-q0Δx≤T,・92・第27卷 第2期 黄新武等:抛物线Radon变换中的参数采样与假频即 q -q 0≤T2xmaxΔx =12fxmaxΔx .(20)这里通过两个数值试验实例来讨论PR T 中偏移距x 的采样问题。
例1 以图2所示的CMP 道集为例,来说明当偏移距x 采样不足时产生假频的情况。
真实同相轴对应的参数为q 0=0。
分别取q max =100ms/km 2和500ms/km 2来对该道集作PR T ,且q min =-q max 。
当增大q max ,而Δx 保持不变时,式(19)将会逐渐变得不成立,此时在变换域中就会产生假频。
图6为对该道集进行PR T 变换的情况,其中图6(a )中无假频,而图6(b )中有假频现象,表现为变换域中振幅能量的发散和拉伸,中间同相轴的振幅也减小。
由褶积算子σPR T 的示意图(图5)就可知这是由于一部分能量位于旁瓣上的缘故。