数值计算方法课程设计

重庆邮电大学

数学与应用数学 专业

《数值计算方法》课程设计

姓名： 李金徽 王莹 刘姝楠

班级： 1131001 1131002 1131002 学号： 2010213542 2010213570 2010213571

设计时间：

2012-6-4

指导教师：

朱伟

一、课程设计目的

在科学计算与工程设计中，我们常会遇到求解线性方程组的问题，对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组，可以用直接法进行消元，而对于系数矩阵为大型稀疏矩阵的情况，直接法就显得比较繁琐，而迭代法比较适用。比较常用的迭代法有Jacobi 迭代与Gauss － seidel 迭代。本文基于两种方法设计算法，并比较他们的优劣。

二、课程设计内容

给出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组的算法思想和MATLAB 程序实现，并对比分析这两种算法的优劣。

三、问题的分析（含涉及的理论知识、算法等）

Jacobi 迭代法

方程组迭代法的基本思想和求根的迭代法思想类似，即对于线性

方程组Ax = b( 其中n

n n R b R R A ∈⨯∈,），即方程组

)1(2211222221211

1212111⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧=+⋯++⋯⋯=+⋯++=+⋯++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

将系数矩阵A 写为

)2(000000

21122

12122

11U

L D a a a a a a a a a A n n n n nn --≡⎪⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

若选取D M =，则U L A M N +=-=，方程组)1(转化为等价方程组

b x U L Dx ++=)(

迭代公式：

于是，得可逆，所以因为Jacobi b D x U L D x D n i a ii .)(),,,1(011--++==≠

)

3()()()1()

0(⎪⎩

⎪⎨⎧+=+f x B x x k J k 初始向量

迭代公式的分量形式：

。

）（其中，迭代矩阵Jacobi b D f U L D B J 11

-,-=+=

）可写为次近似，则式（为第引进记号：3),,,()()(2)(1)(k x x x x T

k n k k k =

∑≠=+-=n

i

j j k j ij i k i

ii x a b x

a 1)

()

1(

或

)

4(),2,1,0;,2,1(,),,,(1

)()1()0()0(2)0(1)0(⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧==-==∑≠=+ k n i a x a b x x x x x ii n

i j j k j ij i k i

T

n ，

为其精度||||)()1(k k x x -+。

Gauss-Seidel 迭代法

的等价方程组为

方程组下三角矩阵），于是若取)1(.(U A M N D L M =-=-=

b

Ux x L D +=-)(

赛德尔迭代公式：于是，得到高斯-

）

（初始向量）5()()1()

0(⎪⎩

⎪⎨⎧+=+f x B x x k G k

阵。赛德尔迭代法的迭代矩为解方程组的高斯称。

其中，-)(,)(11G G B b L D f U L D B ---=-=

）可写成

公式（记5,)()(2)(1),,,()

(x x x x

k n k k T

k =

b

U

x L D x

k k +=-+)

()1()（

b x

a x a x

a i

k j

n

i j ii

k j

i j ii k i

ii

+-

-=∑∑+=+-=+)(1

)

1(1

1

)1(

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

⎪⎪⎨⎧==--=

=∑∑+=+-=+),2,1,0;,2,1(),,,(1)

()1(11)1()0()0(2)0(1)0( k n i x x a b x x x x x ii n i j k j k j i j ii i k i T

n

，或

算法步骤： Jacobi 步骤

第一步：输入A ，b,x0,e 的初始值

第二步：求出b 的长度，和A 的大小；判断输入变量的个数，使x 与x0之间产生差值，设定x x x x k k ==+,0)1(,给定k 的初始值； 第三步：求出上下三角矩阵进而求出对角矩阵的逆；

第四步：求出谱半径，当谱半径小于一时，用while 循环，当满足

e x x k k >-∞+||||)1(时，

k=k+1;),2,1,0;,,2,1(,1)

()1( ==-=

∑≠=+k n i a x a b x

ii

n

i

j j k j ij i k i

。

若谱半径不小于一，则迭代法发散。 Gauss-Seidel 步骤：

第一步：输入A ，b,x0,e 的初始值

第二步：求出b 的长度，和A 的大小；判断输入变量的个数，使x 与x0之间产生差值，设定x x x x k k ==+,0)1(,给定k 的初始值；