2017.2.28线性代数补考(本三A)

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《 线性代数》2016-2017-2-A卷答案

《 线性代数》2016-2017-2-A卷答案

2016~2017学年第二学期《 线性代数A 》课程期末考试卷A 卷考核方式: 闭卷 考试日期:20 年 月 适用专业、班级:一. 填空题 (每小题3分,共15分)1. 排列()()12321n n n --的逆序数为(2)(1)2n n -- 2. 向量组()()()123,0,,,,0,0,,TTTa cbc a b ααα===线性相关,则a,b,c 应 满足 abc=03. ,A B 为三阶方阵,1,3,2A B ==则12T B A -= 484. 若齐次线性方程组1232312320250320x x x x x x x kx ++=⎧⎪+=⎨⎪--+=⎩有非零解,则k=___7___5. 设4阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为11111,,,,B E 2345--=则__24__二. 选择题(每小题3分,共15分).1. 若11121321222331323312a a a D a a a a a a ==,则11131112121232122313331322 22 22 2a a a a D a a a a a a a a -=-=-( C ) (A ) 4 (B ) 4- (C )2 (D )2-.2. 设,A B 均为n 阶对称矩阵,AB 仍为对称矩阵的充要条件是( D ) (A )A 可逆. (B )B 可逆 (C )AB 0≠ (D )AB BA =3. A 为m 行n 列矩阵,A 的n 个列向量线性无关,则r(A)( D )(A )>m (B )<n (C )=m (D )=n 4. 向量组12,,,s ααα线性无关,且可由向量组12,,,t βββ线性表示则必有(A )t s ≤ (B )t s ≥ (C )t s < (D )t s > ( B )5.2λ=是非奇异矩阵A 的特征值,则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭有一个特征值为( B )(A )43 (B )34 (C )12 (D )14三. 计算下列行列式的值(每小题6分,共12分)1.1 3 5 73 5 7 1 5 7 1 3 7 1 3 5解:1 3 5 71 3 5 7 1253 5 7 1 0 -4 -8 -20128134 5 7 1 3 0 -8 -24 -3258117 1 3 50 -20 -32 -44==-12512801120480214=--=--2.1 3 3 3 3 32 33 33 3 3 3 3 3 3 3 1 33 3 33 nn n- 解:1 3 3 3 32 0 0 0 03 2 33 3 0 -1 0 0 03 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 30 0 0 3 3 33 nn n-=- 4 00 0 00 3nn n --2 0 0 0 0 0 -1 0 0 036(3)!0 0 0 4 00 0 0 0 3n n n -==--- 四给定向量组()()()()12341, 1, 0, 4,2, 1, 5, 6,1, 2, 5, 2,1,1, 2, 0,αααα=-===--()53,0, 7, 14α= 求它的一个极大无关组,其余向量用此极大无关组线性表示。

2017考研数学线性代数部分真题解析

2017考研数学线性代数部分真题解析

21题给了⼀个⼆次⾏,还有⼀个未知参数a,和2010年⼀个题很类似,把10倍矩阵变成对⾓矩阵。

这个叫反求问题,以前考察当中出现次数⽐较多,将⼀个⼆次⾏通过正⾓变换变成标准⾏。

然后求a,求正⾓变化矩阵q。

这是⽐较常规的变化。

⼀旦通过正⾓变换变成标准,前⽅系数是特征值,通过这种系数得到特征值是0,通过这个我们可以把a算出来。

因为特征只有0,对应矩阵⾏列是0的。

算出a。

接下来就正⾓矩阵q的时候,就把特征向量,单位化就完事。

这道题拿到11分问题不⼤。

在真题解析⾥,我们讲历年真题⾥练得⽐较熟。

第20题,这个题从计算量来讲,今年线性代数计算量,21题要算⼀下,还得把它进⾏单位化、正⾓化。

没有算具体值是什么。

20题计算量⽐较⼩,但是涉及到证明问题。

20题说了这么⼀件事,数⼀和数三线性代数⼤题是⼀样的。

给了⼀个矩阵A,是三阶矩阵,有三个不同特征值,⼤部分同学应该还是能反应过来,有三个不同特征值。

然后给了阿尔法3,以及就⼀个抽象的⽅程,AX等于β。

这块涉及到抽像⽅程求解的例⼦。

第⼀问解决了第⼆问⾮常容易。

要指明质为2,如何证明。

有三个不同特征值,这⾥涉及到特征值问题,我们说如果抽象矩阵涉及到特征值问题,你当然要从定义出发去处理它。

这⾥只有这么⼀个条件,这个条件怎么去⽤,⽤好了这件事就搞定了。

在我们讲抽样⽅程求解⾥这类问题写过的,⽽且这个东西处理起来和咱们讲的题差不多,移过来阿尔法1+阿尔法2-阿尔法3等于0。

是A乘上它,得到其次线性⽅程解,A×它等等0×它,0是它的特征值,说明0这个特征值是它的单根。

三阶矩阵有三个不同特征值,可以对⾓化,跟对⾓矩阵相似。

有⼀个特征值是0,还有两个特征值不是0,说明对⾓矩阵值是2,A也得是2。

第⼀问就这么证完了。

还是考了对⾓化问题。

第⼆求⽅程⾮其次通解,加上⾮其次可解就可以了。

我们证明了A是2,⽆关个数只有⼀个,就可以作⽤基础解析,K×它,再加上⾮其次特解,有⼀个条件叫,⾮其次⽅程叫做β等于α1+α2+α3。

17-18线性代数第一学期考试卷A - 答案

17-18线性代数第一学期考试卷A - 答案

第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称: 线性代数A 考试时间: 120 分钟 考试方式:闭卷 (A )卷一、填空题(每题 3 分,共 15 分)1、设矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321,则矩阵A 的伴随矩阵A *= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0,则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交,则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量, 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值,则123λλλ= 40 二、选择题(每题3 分,共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵,则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵,则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ,则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(B ) (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )((其中k 为非零常数)第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量,则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分,共40分)11、求行列式21021001201002。

课程:线性代数(专升本)试题和答案

课程:线性代数(专升本)试题和答案

课程:线性代数(专升本)--习题和答案1.(单选题) 对于元齐次线性方程组,以下命题中,正确的是( )(本题3.5分)A、若的列向量组线性无关,则有非零解;B、若的行向量组线性无关,则有非零解;C、若的列向量组线性相关,则有非零解;D、若的行向量组线性相关,则有非零解。

学生答案:未答题标准答案:C解析:得分:2.(单选题) 设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有( )(本题3.5分)A、 A =0B、B C时A=0C、A0时B=CD、|A|0时B=C学生答案:未答题标准答案:D解析:得分:3.(单选题) 设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有( )(本题3.5分)B、k<3C、k=3D、k>3学生答案:未答题标准答案:A解析:得分:4.(单选题) 已知为四维列向量组,且行列式,,则行列式( )(本题3.5分)A、;B、 B.;C、;D、。

学生答案:未答题标准答案:D解析:得分:5.(单选题) 设A=(a ij)3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=( ).(本题3.0分)B、 2C、 3D、 4学生答案:未答题标准答案:D解析:得分:6.(单选题) 设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则( )(本题3.5分)A、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0D、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0学生答案:未答题标准答案:D解析:得分:7.(单选题) 设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( )(本题3.5分)A、如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B、如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值C、A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D、如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关学生答案:未答题标准答案:B解析:得分:8.(单选题)( ).(本题3.0分)A、 3B、 5C、 6D、8学生答案:未答题标准答案:C解析:得分:9.(单选题) 设矩阵A=,已知α=是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为( ).(本题3.0分)A、 1B、 2D、 4学生答案:未答题标准答案:A解析:得分:10.(单选题) 已知,则以下选项中正确的是( )(本题3.5分)A、;B、;C、;D、。

工程数学:线性代数第三版习题三答案

工程数学:线性代数第三版习题三答案

1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X .5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样? 解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023010*********71210 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2;(3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331,于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有 B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k 为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010002/102/12/11,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).(4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x . 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171,即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x为通解的齐次线性方程组.解 根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x x x x ,与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x c x c c x c c x ,或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x ,或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x ,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr.(1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x当λ取何值时有解?并求出它的解.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ. 要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2. 当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000001101101,方程组解为⎩⎨⎧=+=32311x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数).当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000021102101,方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解.解 B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ. 要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须 (1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0, 所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时,增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000001221,方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=3322321 1x x x x x x x ,或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数).18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T .证明 必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为 )0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A . 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T .充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1, 所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ;证明 由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=R (A , E m ),而| E m |是矩阵(A , E m )的最高阶非零子式, 故R (A )=R (A , E m )=m .因此,方程AX=E m有解的充分必要条件是R(A)=m.(2)方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=n.证明注意,方程YA=E n有解的充分必要条件是A T Y T=E n 有解.由(1)A T Y T=E n有解的充分必要条件是R(A T)=n.因此,方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=R(A T)=n.20.设A为m⨯n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y.证明由AX=AY,得A(X-Y)=O.因为R(A)=n,由定理9,方程A(X-Y)=O只有零解,即X-Y=O,也就是X=Y.。

2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版

2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版
【解析】由 E A 0 可知 A 的特征值为 2,2,1
1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1,∴A
可相似对角化,且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ,∴B 不可相似对角化,显然 C 可相似对角化, ∴ A ~ C ,且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2

)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛,所以1 k 0 k 1 .选 C.
(5)设 是 n 维单位列向量, E 为 n 阶单位矩阵,则( )
( A ) E T 不可逆 ( B ) E T 不可逆 ( C ) E 2 T 不可逆 ( D ) E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
(D) n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1),C 正确, i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
(A) f (1) f (1) (B) f (1) f (1) (C) f (1) f (1) (D) f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1:
f
(x)
f
'(x)

2017线性代数试题及答案

2017线性代数试题及答案

(试卷一)一、 填空题(本题总计20分,每小题2分)1. 排列7623451的逆序数是 15_______。

2. 若122211211=a aa a ,则=16030322211211a aa a 33. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵,则CAB =-1。

4. 若A 为n m ⨯矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 R(A)=R(A,b)=n_5.设A 为86⨯的矩阵,已知它的秩为4,则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A,则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是R (A ) < n 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ,则=++++4544434241A A A A A 09. 向量α=(2,1,0,2)T-的模(范数)______________。

10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交,则=k 1 1-2k+1=0二、选择题(本题总计10分,每小题2分) 1. 向量组rααα,,,21 线性相关且秩为s ,则(D)A.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ D.r s <2. 若A 为三阶 方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ,则=A (A )A.8 B.8-C.34 D.34- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示,则( D )A.)()(A R B R ≤ B.)()(A R B R < C.)()(A R B R = D.)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ,则()*kA 等于_____。

C)(A *kA )(B *A k n)(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ,B 和C ,则下列说法正确的是B _____。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc

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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分)(1)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续,则( ) )(A 21=ab 。

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→,b f f =-=)00()0(,因为)(x f 在0=x 处连续,所以)00()0()00(-==+f f f ,从而21=ab ,应选)(A 。

(2)二原函数)3(y x xy z--=的极值点为( ))(A )0,0(。

)(B )3,0(。

)(C )0,3(。

)(D )1,1(。

【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-='',y x z xy 223--='',x z yy 2-='',当)0,0(),(=y x 时,092<-=-B AC ,则)0,0(不是极值点;当)1,1(),(=y x 时,032>=-B AC 且02<-=A ,则)1,1(为极大点,应选)(D 。

(3)设函数)(x f 可导,且0)()(>'⋅x f x f ,则( ))(A )1()1(->f f 。

)(B )1()1(-<f f 。

)(C |)1(||)1(|->f f 。

)(D |)1(||)1(|-<f f 。

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ,则0)(>'x f ,从而0)1()1(>->f f ;若0)(<x f ,则0)(<'x f ,从而0)1()1(<-<f f ,故|)1(||)1(|->f f ,应选)(C 。

2017级线代试卷A (1) -评分标准

2017级线代试卷A (1) -评分标准
0 0 0 0
此时
x1 x3 1
x2
x3
1
,令 x3 C
1 1
得通解
X
C 11
2 0
.
其中 C 为任意常数 .
12
故 R 1, 2, 3, 4 =2
1, 2为一个最大无关组
3=
5 2
1
1 2
2
4 3 1 2 2.
12
2
江南大学考试卷专用纸
本题 得分
五、(本题12 分) 求一个正交变换将二次型 f
因此当 l m 1 0 时,上述方程组只有零解.向量组 l 1 2 , 2 3 , m 3 1 线性无关.
当 l m 1=0 时,上述方程组有非零解.向量组 l 1 2 , 2 3 , m 3 1 线性相关.
6
3
得分
4= 5,2,4, 10T ,求该向量组的秩以及一个最大无关组,并将其余向量用该最大
无关组线性表示.
解:
1 1 3 5
1 1 3 5
1,
2,
3,
4
2 0
4 2
3 1
2 4
r2 2 r1
r4 2r1
0 0
6 2
3
12
1 4
2
2
6
10
0 0 0 0
1
r2 r3
江南大学考试卷专用纸
2017《线性代数 I》期末考试卷(A)评分标准
使用专业、班级
学号
姓名
l
8
若二次型 f
x1, x2 , x3
x12
x
2 2
2
x
2 3
2 t
x1
x2

2017年自考线性代数历年考试试题及答案解析

2017年自考线性代数历年考试试题及答案解析

第一部分选择题(共28分)一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于()A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于()A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中()A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有()A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是()A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是()A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则()A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为()A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。

中国农业大学2017-2018.doc(秋)《线性代数》期末考试试题解析

中国农业大学2017-2018.doc(秋)《线性代数》期末考试试题解析

2017~2018学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分,请将合适的答案填在每题的空中)1.设100220345A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,*A 为A 的伴随矩阵,则1*1|()|4A A --=.解析:由于2211110,|10,,10A A A A A A A *-**=====则31*116(6)|()|441010A A A A A --**---=-==注释本题知识点:(1)1;n A A -*=(2);AA A A A E **==(3).n A A λλ=答案:3(6)10-2.设矩阵101112,011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭321,,ααα为线性无关的三维列向量组,则向量组123,,A A A ααα的秩为.解析:矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭的秩为2,321,,ααα为线性无关的三维列向量组,因此,矩阵123(,,)ααα可逆,而123123(,,)(,,)A A A A αααααα=,则123,,A A A ααα的秩为2.注释本题知识点:(1)矩阵的秩的定义;(2)矩阵秩的性质:若=A PBQ ,其中,P Q 为可逆的矩阵,则=()()R A R B (3)向量组的秩与矩阵秩的关系:向量组321,,ααα的秩等于矩阵123(,,)ααα的秩.答案:2.3.设100020001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,要使A kE +为正定矩阵,k 应满足.解析:100020001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭特征值为1,2,1λ=-,则A kE +的特征值为1,2,1k k k λ=-+++,若A kE +为正定矩阵,则10,20,10k k k -+>+>+>,故1k >.注释本题知识点:(1)A 为正定矩阵的充要条件是A 的所有特征值大于零;答案:1k >4.设A 是三阶实对称矩阵,A 的秩()1,R A =若25A A O -=,则A 的非零特征值是.解析:由25A A O -=知矩阵A 的特征值为0λ=或5λ=,由A 的秩()1,R A =知A 的非零特征值是5.注释本题知识点:(1)特征值的定义;(2)正定矩阵的性质.答案:55.在四元非齐次线性方程组Ax b =中,A 的秩R (A )=3,且123,,ααα为它的三个解向量,已知()()1232,0,5,1,1,0,0,2,T Tααα=-+=则方程组Ax b =的通解可以写成.解析:由于A 的秩R (A )=3,则在四元齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有一个非零的解向量.又123,,ααα为Ax b =的三解向量,且()()1232,0,5,1,1,0,0,2,TTααα=-+=则231()2(1,0,0,2)2(2,0,5,1)(3,0,10,4),T T T ααα+-=--=--是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系,则非齐次线性方程组Ax b =的通解为-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2300,51014k k R .注释本题知识点:(1)线性方程组通解的结构答案:-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2300,51014k k R 二、选择题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)1.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,001010100P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100001010Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则PAQ 为()(A)123456789⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)132465798⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)798465132⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭.(D)321987.654⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析:001123100789100798010456001456001465100789010123010132PAQ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注释本题知识点:(1)初等矩阵在矩阵行列变换中的作用答案:C2.下列矩阵中,不能相似于对角阵的是()(A)001010.100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)111022.003⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(C)121242.121-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(D)211020.403-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭解析:(A)中矩阵⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭001010100是实对称矩阵,能与对角阵相似;(B)中矩阵⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭111022003有三个不同的特征值1,2,3λ=,则能对角化;(C)中矩阵-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭121242121特征值为0,0,3λ=,0λ=为二重特征值,但对应两个线性无关的特征向量,因此能对角化.(D)中矩阵-⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭211020403特征值2λ=为二重特征值,但对应一个线性无关的特征向量,因此不能能对角化.注释:本题知识点:(1)n 阶方阵对角化的充分必要条件是:存在n 个线性无关的特征向量;(2)实对称矩阵一定能对角化.答案:D3.设)(ij a A =是三阶方阵,满足*T A A =,其中*A 为A 的伴随矩阵,A 为A 的行列式,则||A =()(A)0.(B)0或1.(C)-1.(D)1.解析:由*T A A =得,T A A A *==,由于2A A *=,得(1)0A A -=,故0A =或1.注释本题知识点:(1)行列式性质TA A =;(2)行列式性质1n A A-*=.答案:B4.设123,,ξξξ是方程组0Ax =的基础解系,则下列向量组中也是方程组0Ax =的基础解系的是()(A)122331,,ξξξξξξ+++.(B)122331,,ξξξξξξ+-+.(C)122331,,ξξξξξξ---.(D)1231312,,2ξξξξξξξ+-++.解析:(A)中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭,而矩阵101110011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆,则122331,,ξξξξξξ+++线性无关,为方程组0Ax =的基础解系;(B)中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+-+= ⎪ ⎪-⎝⎭,而矩阵101110011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭不可逆,则122331,,ξξξξξξ+++线性相关,不为方程组0Ax =的基础解系;(C)中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭,而矩阵101110011-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭不可逆,则122331,,ξξξξξξ---线性相关,不为方程组0Ax =的基础解系;(D)中1231312123112(,,2)(,,)101110ξξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+-++= ⎪ ⎪-⎝⎭,而矩阵112101110⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭不可逆,则1231312,,2ξξξξξξξ+-++线性相关,不为方程组0Ax =的基础解系;注释本题知识点:(1)线性方程组基础解系的定义;(2)向量组的秩与矩阵秩的关系;(3)矩阵秩的性质.答案:A5.设n 维列向量组1,,()m m n αα< 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为()(A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示.(B)向量组1,,m ββ 可由向量组1,,m αα 线性表示.(C)向量组1,,m αα 与向量组1,,m ββ 等价.(D)矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B .解析:(A)中令12(1,0,0,0),(0,1,0,0)T T αα==;12(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T ββ==,则(A)、(B)、(C)都不成立.在(D)中若矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B ,则1,,m ββ 线性无关;反之1,,m ββ 线性无关,则矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B .注释本题知识点:(1)向量组的线性表示;(2)向量组的等价;(3)向量组秩的定义及性质.答案:D三、(本题满分14分)计算下列各题1.计算四阶行列式0052002112341326D =--.解析:()()00521234002113263254112340052132621D --===--=--2.设n 阶行列式=det()n ij D a ,其中||(1,)ij a i j i j n =-≤≤,求n D .解析:122301231111111012211111310131111132104111111234012340r r n r r n n n D n n n n n n n n n -----------==-------------213112100001200012200(1)(1)2.1222012324251c c n n c c n n n n n n +--+------==-----------注释本题知识点:(1)行列式性质;(2)行列式的计算方法.四、(本题满分16分)1.设三阶方阵A,B 满足16,A BA A BA -=+且131415A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求B .解析:显然A 可逆,用1A -右乘方程两边,得--=+⇒-=116()6A B E B A E B E ,从而--=-116()B A E .--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11324,354A A E --⎛⎫⎪⎪⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭11121()314A E .从而--⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭1136()232B A E 2.已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量依次为123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2),T T T p p p ==-=--求矩阵A .解析:由已知,A 可以对角化.令123122(,,)221212P p p p -⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭,则1101P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,从而1101A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,10210123220A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注释本题知识点:(1)矩阵的运算;(2)特征值特征向量的定义与矩阵对角化的定义.五、(本题满分12分)设有向量组12341111101121,,,,,2324335185a a a a a b a β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭问,a b 为何值时,1.β不能由1234,,,a a a a 线性表示.2.β能由1234,,,a a a a 线性表示,且表示式唯一.3.β能由1234,,,a a a a 线性表示,且表示式不唯一,并写出一般表示式.解析:设=++121233x a x a x a β,设1234(,,,)A a a a a =,对增广矩阵(,)A β实行初等行变换()11111111110112101121,2324300103518500010A r a b a b a a β⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪= ⎪ ⎪+++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,由此可见(1)当1,0a b =-≠时,方程组无解,即β不能由1234,,,a a a a 线性表示;(2)当1a ≠-时,β能由1234,,,a a a a 线性表示,且表示式唯一;(3)当1,0a b =-=,方程组有无穷多解,并且112212123142202112112010001x k k x k k k k x k x k -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即=-+++-++∈121122132412(2)(12),(,).k k a k k a k a k a k k R β.注释本题知识点:(1)向量的线性表示与线性方程组的关系;(2)线性方程组的求解过程与方法.六、(本题满分10分)设A 是n 阶方阵,,,123ααα是n 维列向量,且10α≠,11A αα=,212A ααα=+,323A ααα=+,证明:向量组,,123ααα线性无关.解析:设有三个数123,,k k k 使得1122330k k k ααα++=(1),(1)式两边同时左乘A,可得1122330k A k A k A ααα++=,即11212323()()0k k k ααααα++++=,整理得12123233()()0k k k k k ααα++++=.(2)(2)减(1)得21320k k αα+=,(3)(3)式两边左乘A,得2131320k k k ααα++=(4)(4)减(3)得310k α=,因为10α≠,可得30k =,代入(3)式,可得20k =,从而10k =,即123,,ααα线性无关.注释本题知识点:(1)向量组的线性无关性的定义;(2)证明向量组的线性相关性的方法.七、(本题满分12分)设二次型22212312313(,,)222(0)T f x x x x Ax ax x x bx x b ==+-+>中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.1.求,a b 的值.2.用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换及标准形.解析:(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭,设A 的特征值为123,,λλλ,由已知条件知123221a λλλ++=+-=,21230020421202a ba b b λλλ==--=--,得1,2a b ==(2)由矩阵A 的特征多项式2102||020(2)(3)202E A λλλλλλ---=-=-+-+,得到A 的特征值为1232,2,3λλλ===-,对于特征值122λλ==,解齐次线性方程组(2)0E A x -=,得基础解系12(2,0,1),(0,1,0)T T ξξ==,对于33λ=-,解齐次线性方程组(3)0E A x --=,得基础解系3(1,0,2),T ξ=-由于123,,ξξξ已经是正交向量组,故只需将其单位化123,(0,1,0),T T T ηηη===-令010Q ⎫⎪⎪= ⎪ ⎪,则Q 为正交矩阵,在正交变换x Qy =下,二次型的标准行为222123223f y y y =+-.注释本题知识点:(1)矩阵特征值、特征向量的定义与性质;(2)二次型化标准形的方法.八、(本题满分6分)设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,求n 阶矩阵T A E αα=-的全部特征值并证明其不可逆.解析:因为-=T E A αα为对称矩阵,由=()1T R αα,知-=()1R E A ,则-=()1R A E .所以A-E 的特征值有一个是非零的,其余n -1个都是0.设矩阵A 的所有特征值为12,,n λλλ ,则A-E 的特征值为121,1,,1n λλλ--- .因此,121,1,,1n λλλ--- 中有n -1个都是0,即12,,n λλλ 有n -1个都是1,由121,1,,1n λλλ--- 中有一个非零知,12,,n λλλ 中有一个不等于1.又因为0T A E ααααα=-=,所以0是A 的特征值.所以矩阵A 的所有特征值为1,1, ,1,0.因为0是A 的特征值,所以A 不可逆.注释本题知识点:(1)矩阵秩的有关结论:()1,0T R ααα=≠;(2)矩阵特征值、特征向量的定义与性质.。

线性代数补考 (参考答案)

线性代数补考 (参考答案)
C.向量组中各向量可以相互线性表示D.向量组的任一部分组都线性相关
4.设 , 是非齐次线性方程组 的解, , 为常数,若 也是 的一个解,则 =(A)
A.1 B.0 C.-1 D.2
5.若二次型 的秩为2,则k=(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(共15分,每题3分)
1. 。
2.若 为三阶矩阵且 =5,则 25。
(6分);
令 ,即有正交变换 使得: (2分)
四、证明:令 得: (2分)
由向量组 线性无关得 (2分);
即: ,而 ,由克莱姆法则,方程组只有唯一解 (4分)
所以 , , 也线性无关(2分)
一、选择题(共15分,每题3分)
1.设行列式 ,则 等于(C)
A.8 B.-12 C.-24 D.24
2.设A,B,C均为n阶方阵,下列等式一定成立的是(C)
A. B.若 ,则
C. D.
3.若向量组 , ,…, 线性相关,则(B)
A.向量组中任一向量可由其它向量线性表示B.向量组中至少有一向量可由其它向量线性表示
(2分);
所以 (3分)
4.解: (6分);
向量组的秩: (2分);一个最大无关组: (2分)。
5.解:由 , ,(6分)
得 , ,所以方程组有解(2分);
从而得 ,即 ,令 , , ,则方程组的通解为: (其中k1,k2为任意常数)(4分)。
6.解: ,所以 ,
由 ,即 ,得 , , (4分);
由 ,得特征向量分别为: , , ,单位化得 , ,
3.向量组 , , ,则 , , 是线性相关。(填相关或无关)
4.含有n个未知数的线性方程组 有唯一解的充分必要条件是 。

线性代数A三套模拟试题及答案

线性代数A三套模拟试题及答案

线性代数A 模拟试卷一参考答案一、(15分)填空题:1.设123456110A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 |A|= -9 , A*=63276318113-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,A -1=6327163189113-⎡⎤-⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.2.设4维向量α=(1,2,0,-3)T , β=(2,-1,5,0)T ,则α与β的内积(α,β)= 0 ,夹角<α,β>= 90o . 3.设矩阵123456A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,1224510B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,初等矩阵P 满足:AP=B,则P=101010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(A 的第3列-第1列得B ,所以P 为E 的第3列-第1列所得初等阵) 4. α1,α2,α3,α4均为3维向量,则向量组α1,α2,α3,α4必线性 相 关. (ch3/Th7/推论2)5.[]2R x 中的基222142,3,15x x x x x -++-+到基21,,x x 的过渡矩阵为1131516114102034672152713---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 二、(15分)选择题: 1.设3阶行列式112233112233112233a x a x a x Db y b y b yc z c z c z +++=++++++则( B ). (A )123123123123123123a a a x x x D b b b y y y c c c z z z =+; (B )122331223312233122331223312233a a x a x x a x a x D b b y b y y b y b y c c z c z z c z c z ++++=+++++++++ (C )123123123123123123123123123a a x a x a x a a Db b y b y b y b bc c z c z c z c c =++.(ch1/行列式性质5)2.设矩阵A 的秩R(A)=r,则( B ).(A)A 中只有一个r 阶子式不为零,其余的r 阶子式全为零;(B) A 中存在一个r 阶子式不为零,所有的r+1阶子式(若有)全为零; (C) A 中所有的r 阶子式均不为零,而高阶子式全为零. 3. 设线性方程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解,则( C ). (A)a=1;(B)a=-2;(C)a ≠1且a ≠-2.4.设 向量组α1,α2,…,αs 线性相关,则( C ).(A) α1一定可由α2,α3,…,αs 线性表示; (B) α1一定不可由α2,α3,…,αs 线性表示;(C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示. 5.n 阶方阵A 与对角阵相似,则( C ).(A)A 有n 个不同的特征值;(B) A 有n 个相同的特征值;(C) A 有n 个线性无关的特征向量. 三、(14分)设n 维向量αT =(1/2,0,…,0,1/2),又A=E-ααT , B=E+2ααT ,其中E 为n 阶单位矩阵,求AB,A -1,B -1,并写出A -1与B -1的具体形式. 解:AB=( E-ααT )(E+2ααT )= E-ααT +2ααT -2ααT ααT= E+ααT -2α(αT α)αTαT α=120111110...0 (2)2442012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴AB= E+ααT -ααT =E.A -1=B=11/40...01/42000...001120...02..................22000...0011/40...01/42E E ⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎛⎫ ⎪⎢⎥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭=1/20...01/23/20...01/200...0001...00..............................00...0000...101/20...01/21/20...03/2E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B -1= A =11/40...01/42000...00110...0..................22000...0011/40...01/42E E ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎛⎫ ⎪⎢⎥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭=3/40...01/401...00...............00...101/40...03/4-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.四、(16分)设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(2,3,4,5)T , α3=(3,4,5,6)T , α4=(4,5,6,7)T ,求由该向量组生成的向量空间L=L (α1, α2, α3, α4)的维数及一组基,并求其余向量在这组基下的坐标.解:A=【α1, α2, α3, α4】14,3,21234234534564567i i r r i --=⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎣⎦4232211234*********111r r r r r r ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1222(1)1234012300000000r r r +⨯-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1012012300000000--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,dimL=R (A )=2,α1, α2为L 的一组基, ∵α3= -α1+2α2,α4= -2α1+3α 2.∴α3在这组基下的坐标为-1,2;α4在这组基下的坐标为-2,3. 五、(14分)λ为何值时,下列线性方程组有唯一解?无解?无穷多解?若有无穷多解,求出全部解.123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩解:3223222222||254254245011r r c c A λλλλλλλ+-----=--=--=--+-- 242294001λλλ----- = -(λ-1)2(λ-10).1)当1λ≠且10λ≠,|A|≠0,方程组有唯一解2)当λ=1,增广阵B=122112212442000024420000r⎡-⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦, x 1=1-2x 2+2x 3,令2132x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得通解1122132122x c c x c x c -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=12122010001c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 3)当λ=10,增广阵B=82218041201725422017011124511011100027r r ⎡--⎤⎡---⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦,.R (A )=2,R (B )=3,系数阵与增广阵秩不相等,无解。

2016-2017线性代数试A答案

2016-2017线性代数试A答案

《线性代数与空间解析几何》期末考试试卷A 答案一、填空题(6小题,每空3分,共18分)1.设向量(1,-3,5)与向量(-2,6,a )线性相关,则a= -10 .2. 在算式()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x 中,21x x 的系数为2112a a +. 3.过点M(4,-1,3)且平行于直线x-3y 1=215z -=的直线方程为 4+13=215x y z --=. 4. 设三阶矩阵A 的特征值为1,-1,3,若224B A A E =-+,求B 的特征值为 5,7,7 .5. 已知二次型yz z xz y xy x z y x f 4244),,(222+++++=,则二次型对应的矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121242121.6. 向量空间V=},,,|)0,,,,({121121R x x x x x x n T n ∈=-- α的维数为 n-1 。

二、单项选择题(5小题,每小题3分,共15分)7. 转置也是一种运算,下列不是转置运算律的为(D )(A ) (A T )T =A ; (B ) (A+B )T =A T +B T ;(C ) (λA )T =λA T ; (D ) (AB )T =A T B T .8. 已知A 、B 是同阶矩阵,下列运算正确的是 ------------ ( B );2)()(222B AB A B A A +-=- ;)()(T T A B B A B +=+T;)()(T T B A AB C =T .)()(111---=B A AB D9. 4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于---------------- ( D ) (A ) 43214321b b b b a a a a -; (B ) 43214321b b b b a a a a + ;(C ) ))((43432121b b a a b b a a --; (D ) ))((41413232b b a a b b a a --.10. 设矩阵A 的秩为r ,则下列结论正确的是( C )。

线性代数及概率论与数理统计-多套复习试题压缩打印版(含答案)

线性代数及概率论与数理统计-多套复习试题压缩打印版(含答案)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0211 0011 0101 0121 4211 0011 2101 21214 3 2 1α
α
α
α而0 2 11 20 011 101 020 011 101 121 ≠?=== 故秩为3。 (5)令ω=α+2β+γ =x(α+β)+y(β+γ )+z(γ +α),则有: 4 2 2 xz xy yz += += +=? 解得: 2 0 2 x y z = = =?所求的ω的坐标为 ()2,0,2? 四. 解: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =+= =+∴ =+ =
+∴ ?=? ? ?? ? ?1 00 042 024 200 012 021 100 002 020 )( )( )(1 1 11 1 1E
1 3 β?? ?? =? ?? ?? ??,在基123111 0,1,1 101 ααα?????? ?????? === ?????? ?????? ??????下的坐标。 2.设1020 200, 001 AABAB??? ?? ==? ?? ?? ??,求矩阵1B?-A 3.计算行列式1335 19925 12727125 18181625 ? ? 4.计算矩阵13409 266310 39693 394120A??? ????????=???????????列向量组生成的空间的一个基。 5. 设12 02 01 012... ... ... ...... ...n n nabbb babb Abbab bbba ?? ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? 计算det A

《线性代数》补考试卷A及参考答案

《线性代数》补考试卷A及参考答案

《线性代数》补考试卷A 含答案适用专业:农学.林学.动科等. 试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 总分100分 考试日期:2021.9一.选择题(2分×5=10分)1.排列5 1 3 2 4 的逆序数为( D ) A.4 B.1 C.3 D.52. 设A 为n(n ≥2)阶方阵,且A 的行列式|A |=a ≠0,则1A -等于( A ) A.1-a B. a C.1-n aD.n a3. 设A 为n 阶可逆阵,则下列成立的是( C ) A.112)2(--=A A B. 11)2()2(--=TTA AC. [][]1111)()(----=TTA A D.[][]TTT AA 111)()(---=4.设B A 、为n 阶可逆方阵,则下列结论成立的是( C )。

A 、B A B A +=+ B 、BA AB =C 、BA AB =D 、111)(---+=+B A B A5.设A 为3阶方阵,且2=A ,则A 2=( C ) A.4 B.8 C.16 D. 21二.填空题(2分×10=20分)1.设A 、B 均为3阶方阵,且|A |=3,|B |=-2,则|AB |= -62. 设A 为方程组⎩⎨⎧=+=+002121x x x x λλ有非零解,则λ=1±3.已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-,则方阵2A 的特征值是4 、 1 、 14.向量α=111,120β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则[],αβ= 05. 向量α线性相关的充分必要条件是0α=6.设00a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则n A =00nn a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.设y x ,为实数,则当=x 0 , 且=y 0 时,010100=---y x yx三. 计算题:(总共70分)1.计算 cos sin sin cos D θθθθ-=(5分) 2.求13211A -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=(5分)解22cos sin 1D θθ=+= (5分) 解13121A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(5分)3.设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321212113,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101012111,求,2TA AB A -(10分) 解:T321A 112,123⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5分) 002AB 2A 210,652⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(5分)4.求矩阵A 的特征值与特征向量,其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---131312121(10分)解=-)det(A E λ]14)1)[(1(1313121212+--=------λλλλλ(3分)11=λ (5分)院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________当11=λ时:0)(=-X A E (7分)基础解系T )2,1,3(1-=α特征向量为X=K 1α(10分)5.求矩阵E A 2-的逆矩阵,其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300041003 ( 10分) 解:3002002140020003002A E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦( 3分) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1000210012000200023000410032E A ( 5分)利用分块法可求得其逆矩阵()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--1000212100121E A ( 10分)6设矩阵1101121301120111A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,求矩阵A 的列向量组的秩,并求A 的列向量组的一个最大无关组。

2017年考研数学三真题及答案解析

2017年考研数学三真题及答案解析

2017年考研数学三真题及解析一、选择题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.分.1.若函数1cos ,0(),0xx f x ax b x ì->ï=íï£î在0x =处连续,则处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】0011cos12lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++®®®-===,0lim ()(0)x f x b f -®==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =Þ=.所以应该选(A ) 2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是(的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ¶=---=--¶,232z x x xy y¶=--¶,2222222,2,32z z z z y x x xyx yy x¶¶¶¶=-=-==-¶¶¶¶¶¶解方程组22320320z y xy y x z x x xy y¶ì=--=ï¶ïí¶ï=--=¶ïî,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x ¢>,则,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ¢¢=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-Þ>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k n n ¥=éù--êúëûå收敛,则k =( )(A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n ®¥时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n æöæöæöæö--=---+=++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø 显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设a 为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则阶单位矩阵,则(A )TE aa -不可逆不可逆 (B )TE aa +不可逆不可逆(C )2TE aa +不可逆不可逆 (D )2TE aa -不可逆不可逆【详解】矩阵Taa 的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2T T T T E E E E aa aa aa aa -+-+的特征值分别为0,1,1,1 ;2,1,1,,1 ;1,1,1,1,1,1,,,1- ;3,1,1,,1 .显然只有TE aa -存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A æöç÷=ç÷ç÷èø,210020001B æöç÷=ç÷ç÷èø,100020002C æöç÷=ç÷ç÷èø,则,则(A ),A C 相似,,B C 相似相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似不相似(C ),A C 不相似,,B C 相似相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1l l l ===.是否可对解化,只需要关心2l =的情况.的情况.对于矩阵A ,0002001001E A æöç÷-=-ç÷ç÷èø,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2l =存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -æöç÷-=ç÷ç÷èø,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2l =只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是(条件是( )(A ),A B 相互独立相互独立 (B ),A B 互不相容互不相容 (C ),AB C 相互独立相互独立 (D ),AB C 互不相容互不相容【详解】【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然,A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ).8.设12,,,(2)n X X X n ³ 为来自正态总体(,1)N m 的简单随机样本,若11ni i X X n==å,则下列结论中不正确的是(正确的是( )(A )21()ni i X m =-å服从2c 分布分布 (B )()2212n X X -服从2c 分布分布(C )21()nii XX =-å服从2c 分布分布(D )2()n X m -服从2c 分布分布 解:(1)显然22()~(0,1(0,1))()~1(1),),1,2,i i X N X i n m m c -Þ-= 且相互独立,所以21()nii X m =-å服从2()n c 分布,也就是(A )结论是正确的;)结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n SXXn S n c s=--=-=-å,所以(C )结论也是正确的;)结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N n X N n X nm m m c Þ-Þ-,所以(D )结论也是正确的;)结论也是正确的;(4)对于选项(B ):221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22nn n X XX X N N X X c --ÞÞ-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)把答案填在题中横线上) 9.322(sin)x x dx pp p -+-=ò .解:由对称性知332222(sin)22x x dx x dx ppp pp p -+-=-=òò. 10.差分方程122tt tyy+-=的通解为的通解为. 【详解】齐次差分方程120t tyy+-=的通解为2xy C =;设122t t tyy+-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =;启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研所以差分方程122t t ty y+-=的通解为12 2.2tty C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为,则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e -+-.平均成本()1QC Q e-=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为,从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -¢=+-12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)y ydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)yf x y xye =.13.设矩阵101112011A æöç÷=ç÷ç÷èø,123,,a a a 为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A a a a 的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A æöæöæöç÷ç÷ç÷=®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø,知矩阵A 的秩为2,由于123,,a a a 为线性无关,所以向量组123,,A A A a a a 的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-´+´+´=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题三、解答题15.(本题满分10分)分) 求极限03lim xt x x te dt x+®-ò启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,xxtx ux te dt uedu --=òò33300002lim lim limlim 332xxxtxuu x x x x x x te dt eue du ue du xe xx x x ++++---®®®®-====òòò 16.(本题满分10分)分) 计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++òò,其中D 是第一象限中以曲线y x =与x 轴为边界的无界区域.轴为边界的无界区域.【详解】【详解】332422422424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282xDx y y dxdy dxdyxy x y d x y dx x y dxx x p +¥+¥+¥=++++++=++æöæö=-=-ç÷ç÷ç÷++èøèøòòòòòòò 17.(本题满分10分)分)求21lim ln 1nnk k k n n ®¥=æö+ç÷èøå 【详解】由定积分的定义【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx ®¥®¥==æöæö+=+=+ç÷ç÷èøèø=+=ååòò 18.(本题满分10分)分) 已知方程11ln(1)k x x -=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x =-Î+,则,则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x xf x x x x x x x ++-¢=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ¢¢=+-+-=启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-¢¢=<Î+,所以()g x ¢在(0,1)上单调减少,上单调减少,由于(0)0g ¢=,所以当(0,1)x Î时,()0)0g x g ¢¢<=,也就是()g x ()g x ¢在(0,1)上单调减少,当(0,1)x Î时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x Î时,()0f x ¢<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.上单调减少.0011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++®®®æö-+=-==ç÷++èø,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<. 19.(本题满分10分)分) 设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ,()S x 为幂级数0n n n a x ¥=å的和函数的和函数(1)证明nn n a x ¥=å的收敛半径不小于1. (2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-,并求出和函数的表达式.,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+Þ+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n aa a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+ 1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=´´´=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!n k n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-å111lim lim lim 12!3!!nn nn n nna e n r ®¥®¥®¥=£+++£= ,所以收敛半径1R ³ (2)所以对于幂级数nn n a x ¥=å, 由和函数的性质,可得11()n n n S x na x ¥-=¢=å,所以,所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n n nn n n n nnn n n nn nn n n n n n x S x x na xna xna xn a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ¥¥¥--===¥¥+==¥+=¥¥¥+-===¢-=-=-=+-=++-====ååååååååå也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-.解微分方程(1)()()0x S x xS x ¢--=,得()1xCe S x x-=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1x e S x x-=-.20.(本题满分11分)分)设三阶矩阵()123,,A a a a =有三个不同的特征值,且3122.a a a =+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,b a a a =+,求方程组Ax b =的通解.的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ³.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ³,又因为31220a a a -+=,也就是123,,a a a 线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220a a a -+=,所以基础解系为121x æöç÷=ç÷ç÷-èø; 又由123,b a a a =+,得非齐次方程组Ax b =的特解可取为111æöç÷ç÷ç÷èø;方程组Ax b =的通解为112111x k æöæöç÷ç÷=+ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø,其中k 为任意常数.为任意常数.21.(本题满分11分)分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Q y =下的标准形为221122y y l l +,求a 的值及一个正交矩阵Q . 【详解】二次型矩阵21411141A a -æöç÷=-ç÷ç÷-èø因为二次型的标准形为221122y y l l +.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =114111(3)(6)412E A l l l l l l l ---=+=+---令0E A l -=得矩阵的特征值为1233,6,0l l l =-==.通过分别解方程组()0i E A x l -=得矩阵的属于特征值13l =-的特征向量111131x æöç÷=-ç÷ç÷èø,属于特征值特征值26l =的特征向量211021x -æöç÷=ç÷ç÷èø,30l =的特征向量311261x æöç÷=ç÷ç÷èø, 所以()12311132612,,036111326Q x x x æö-ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷ç÷èø为所求正交矩阵.为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<ì=íî其他.(1)求概率P Y EY £();(2)求Z X Y =+的概率密度.的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +¥-¥===òò所以{}23024239P Y EY P Y ydy ìü£=£==íýîþò(2)Z X Y =+的分布函数为的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =£=+£=+£=++£===£+=£-=£+£-=+-故Z X Y =+的概率密度为的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z ¢==+-££ìï=-£<íïî其他23.(本题满分11分)分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量m 是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N m s 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n m =-= ,利用12,,,n Z Z Z 估计参数s . (1)求i Z 的概率密度;的概率密度;(2)利用一阶矩求s 的矩估计量;的矩估计量; (3)求参数s 最大似然估计量.最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P m m ss ì-ü=£=-£=£íýîþ 当0z <时,显然()0ZF z =; 当0z ³时,{}{}()21iZ i i X zz F z P Z z P X z P mm sssì-üæö=£=-£=£=F -íýç÷èøîþ;所以i Z 的概率密度为2222,0()()20,0z Z Z e z f z F z z s ps-ì³ï¢==íï<î.(2)数学期望222022()z i EZ z f z dz zedz s s -+¥+¥===òò,22p p12(2)ne ps å=21ln(222n s--å令3ln ()1d L n d s s s s =-+å211n i i z n ==å.。

2017-2018-2《线性代数》试卷A 答案

2017-2018-2《线性代数》试卷A 答案

《 线性代数》课程试卷(A )参考答案及评分标准 第 1 页 共 4页中国计量大学现代科技学院2017 ~ 2018 学年第2学期《线性代数》课程 试卷(A )参考答案及评分标准开课系部: 基础部,学生班级:电气171-4,管理171-176,教师: 王航平,魏淑慧一、填空题(5*2=10)1、设4ij D a =,则展开式中含元素1324,a a 的正项是_____________.(13243142a a a a )2、设211,()2101ϕ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭A x x x ,则矩阵多项式 .(0000⎛⎫ ⎪⎝⎭)3、设n 阶矩阵A 可逆,则其行最简形矩阵为_____________.(n E )4、n 元非齐次线性方程组Ax b =有解的充要条件为________ _____.(R (A )=R (A ,B ))5、设()1m n R A n ⨯=-,且Ax b =有两个不同的解12,γγ,则线性方程组Ax b =的通解为_____________.(112(),k k γγγ+-∀) 二、选择题(5*2=10)1、设A 为n 阶方阵,则kA =[ D ]A :k A ;B :2k A ;C :1n k A -;D :n k A . 2、设A 为n 阶方阵,则()*kA =[ C ]A :*kA ;B :2*k A ;C :1*n k A -;D :*n k A .3、设A 是n 阶矩阵,关于A 可逆的充分必要条件,下列说法不正确的是[ D ]. A :存在n 阶矩阵B ,使得AB=BA=E ; B :矩阵A 的秩()R A n =; C :||0A ≠; D :A O ≠.4、设矩阵A 的列向量组可由矩阵B 的列向量组线性表示,则下列命题中不成立的是[ A ] A :Ax=B 有解; B :Bx=A 有解; C :矩阵B 的列向量组与矩阵(A ,B )的列向量组等价; D :()()R A R B ≤.5、设4阶矩阵A 的伴随矩阵*A O ≠,则A 的秩为[D ] A :0或1; B :1或2; C :2或3; D :3或4.()A ϕ=《 线性代数》课程试卷(A )参考答案及评分标准 第 2 页 共 4页三、计算题(5*8=40) 1、计算下列行列式(1) 11112114124611242D ----=-1112053005324357024315015---==--=-- --------4(2) 11112222233334444a ba a a a ab a a D a a a b a a a a a b++=++422221333344441111()k k a a b a a b a a a a b a a a a a b=+=+++∑411111000()000000k k b b a b b==+∑431()k k b a b ==+⋅∑ -----------------42、设321332233A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,且满足3AB A B =+,求B . 解:(3)A E B A -=1(3) 46344234943211991233212792332712196B A E A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= '=--------⎛⎫ ⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭------- ⎪ ⎪⎝⎭3、设线性方程组Ax =b 的增广矩阵为111000111121(,)220121553484A b ⎛⎫ ⎪---⎪= ⎪-- ⎪---⎝⎭试求Ax =b 的通解。

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河北科技大学理工学院2016——2017学年第2学期
《线性代数》补考试题(A) 2017.3
班级 姓名 学号
一 填空题 (本题共10小题,每小题3分,共30分)
1.若向量T 1(1,2,3)α=-与T 2(2,,6)t α=-线性相关,则t = . 2.设123A ααα⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,其中123,,ααα均为3维行向量.若1A =, 则312123αααα-= . 3.设A , B 均为3阶方阵, 2,3,A B ==-A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,则C = . 4.设100111A ⎛⎫
⎪= ⎪-⎝⎭,则T A A =.
5.设T T (1,0,1),(0,1,1)αβ==-,T =A αβ,则2017A = .
6.设3阶方阵A 等价于矩阵100010000⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
,则()R A = . 7.设A 为3阶方阵,且5A =,则A -= .
8.已知齐次线性方程组123123123000
kx x x x kx x x x kx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则k = .
9.已知A 相似于对角阵1 001Λ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
,则A = . 10.设A 为3阶方阵,且矩阵,,3A E A E A E -+-均不可逆,则A = .
二 选择题 (本题共5小题,每小题4分,共20分)
1.设,A B 均为n 阶矩阵, 0A ≠, 0AB =,则必有 【 】
(A) 0B =; (B) 0BA =; (C) 0B =; (D) 222()A B A B +=+.
2. 现有矩阵322322,,A B C ⨯⨯⨯,下列运算有意义的是 【 】
(A) CA ; (B)ABC ; (C)BA C -; (D) AB CB -.
3. 向量组12,,,s αααK (2s >) 线性无关的充分必要条件是 【 】
(A) 12,,,s αααK 中没有零向量;
(B) 12,,,s αααK 中任意两个向量的分量不成比例;
(C) 12,,,s αααK 中有一部分向量线性无关;
(D) 12,,,s αααK 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示.
4. 设12,αα是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量,则以下命题正确的是 【 】
(A) 121122
αα+是λ对应的特征向量; (B) 13α是λ对应的特征向量; (C) 12,αα一定线性相关; (D) 12,αα一定线性无关.
5. 设A 为35⨯矩阵, ()3R A =,则非齐次线性方程组Ax b = 【 】
(A) 有无限多解; (B) 有唯一解; (C) 无解; (C) 解的情况不确定.
二 计算题(本题共4小题,共44分)
1.(本小题10分)设矩阵22114212,0312242A B -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
,求解矩阵方程AX B =.
2. (本小题10分) 设T T T T 1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)αααα====,求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组, 并将不在最大无关组中的向量用此最大无关组线性表示.
3. (本小题12分)已知矩阵1222246836810A ⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭
. (1) 求A 的行最简形.
(2) 矩阵A 的列向量组是否线性无关? 解释原因.
(3) 若向量b 等于A 的4个列向量之和,求Ax b =的通解.
4. (本小题12分)设102030201A ⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭,求可逆矩阵T 及对角阵Λ,使得1T AT Λ-=.
四 证明题(本题6分)设T A E αα=-,其中α为n 维非零列向量. 证明2A A =的充分必要条件是T 1αα=.。

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