第六章作业答案

第六章作业
6.1 列出从A＝{a,b,c}到B＝{1}的所有二元关系。

6.2 证明：R是A上的一个二元关系，则
1)R是∪∪R上的二元关系； 2) ∪∪R⊆A。

6.3 求A＝{1,2}上的有三个元素的二元关系，并分析其性质。

6.4 在集合A＝{a,b,c,d}上找出两个二元关系R1和R2，使得R1∩R2=∅，且R12＝R1，R22＝R2。

6.5设R是A＝{a,b,c,d}上的一个二元关系，为{<a,a>,<b,b>,<a,b>,<c,d>}，求
r(R◦R)，s(R◦R)，t(R◦R)。

6.6 已知R是非空集合上的二元关系，R满足：
1) R是自反的；
2) 如果<a,b>∈R，<a,c>∈R，则<b,c>∈R；
则R是等价关系。

6.7 设A＝{1，2，3}，画出A上所有的偏序关系的哈斯图，如果是全序和良序的指出来。

第六章作业答案
6.1 列出从A＝{a,b,c}到B＝{1}的所有二元关系。

A×B={<a,1>,<b,1>,<c,1>}
其所有的子集也即所有A到B的二元关系共8个，为：
∅，{<a,1>},{<b,1>},{<c,1>},{<a,1>,<b,1>},
{<a,1>,<c,1>},{<b,1>,<c,1>},{<a,1>,<b,1>,<c,1>},
6.2 证明：R是A上的一个二元关系，则
1)R是∪∪R上的二元关系； 2) ∪∪R⊆A。

1) R是∪∪R上的二元关系，即R是∪∪R×∪∪R的一个子集，就是证明
R⊆∪∪R×∪∪R
对于任意的x,y∈A
<x, y>∈R ⇔<x,y>⊆∪R⇔{{x},{x,y}}⊆∪R
⇒ ({x}∪{x,y})⊆∪∪R
⇒{x,y}⊆∪∪R
⇒x∈∪∪R ∧ y∈∪∪R
⇔<x, y>∈∪∪R
所以R⊆∪∪R×∪∪R成立，R是∪∪R上的二元关系
2) 对于任意的x
x∈∪∪R ⇒∃y(<x,y>∈R ∨ <y,x>∈R)
⇔∃y((x∈A∧y∈A) ∨ (y∈A∧x∈A)) (R⊆A×A)
⇔∃y(x∈A∧y∈A)
⇔ x∈A ∧ ∃y(y∈A)
⇒ x∈A。

所以∪∪R⊆A
6.3 求A＝{1,2}上的有三个元素的二元关系，并分析其性质。

A×A＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
三个元素的子集，四个中任选3个，4种方法：
1) {<1,1>,<1,2>,<2,1>} 对称的；
2) {<1,1>,<1,2>,<2,2>} 自反的，反对称的，可传递的；
3) {<1,1>,<2,1>,<2,2>} 自反的，反对称的，可传递的；
4) {<1,2>,<2,1>,<2,2>} 对称的；
6.4 在集合A＝{a,b,c,d}上找出两个二元关系R1和R2，使得R1∩R2=∅，且R12＝R1，R22＝R2。

一个例子：
R1＝{<a,a>, <b,b>}, R2＝{<c,c>, <d,d>}
6.5设R是A＝{a,b,c,d}上的一个二元关系，为{<a,a>,<b,b>,<a,b>,<c,d>}，求
r(R◦R)，s(R◦R)，t(R◦R)。

S=R ◦R={<a,a>,<a,b>,<b,b>}
r(R ◦R)= r(S)=S ∪S 0={<a,a>,<a,b>,<b,b>,<c,c>,<d,d>};
s(R ◦R)=s(S)=S ∪S -1={<a,a>,<a,b>,<b,b>,<b,a>};
t(R ◦R)=t(S)=S ∪S 2∪S 3∪S 4=S={<a,a>,<a,b>,<b,b>};
6.6 已知R 是非空集合上的二元关系，R 满足：
1) R 是自反的；
2) 如果<a,b>∈R ，<a,c>∈R ，则<b,c>∈R ；
则R 是等价关系。

要证明R 是等价关系，即证明R 具有自反性、对称性和可传递性。

1）自反性：由已知确知。

2）对称性：
对于任意的x,y;
<x, y>∈R ⇒<x, y>∈R ∧ <x, x>∈R (R 具有自反性)
⇒<y, x>∈R (由条件2)可得)
故R 具有对称性
3）可传递性：
对于任意的x,y,z;
<x, y>∈R ∧<y, z>∈R ⇒<y, x>∈R ∧ <y, z>∈R (R 具有对称性)
⇒<x, z>∈R (由条件2)可得)
故R 具有传递性
R 是等价关系。

6.7 设A ＝{1，2，3}，画出A 上所有的偏序关系的哈斯图，如果是全序和良序的指出来。

A 中有三个元素，所以，在哈斯图中有三个点，而点之间可有可无线。

当无线时：
当只有一条线时，哈斯图的形状为：
单个点可取3个中的一个，而连着的两个点上下有区别，应有两种方式，所以有3×2＝6种图：
1
1
2
2
3
3
三条线的哈斯图只能是如下三种情况：
在情况a 下，A 中三个元素不同排列可构成A 上的不同偏序关系，共3!=6个即：
在情况b 下，由于顶端的两个元素地位相同，所以A 中任何一个元素置于底部另两个元素置于顶部，即可构成A 上的不同偏序关系，共3个即：
在情况c 下，类似b 可构成A 上的不同偏序关系共3个即：
所有的偏序关系共有19种。

a c
b
3
1 1。